(完整版)2019届初高中数学衔接知识点及习题

数学
亲爱的2019届平冈学子：
恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。

从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。

打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。

假期发给你们的这本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。

你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。

这里给大家几个学数学的建议：
1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。

记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

2、建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。

3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。

5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。

如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

初高中数学衔接呼应版块
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。

配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。

方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

9. 角度问题，三角函数问题。

在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。

三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。

同时，度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。

10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

目 录
1.1 数与式的运算
1.1.1绝对值 1.1.
2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.４．分式 1．2 分解因式
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法
1.1 数与式的运算 1.1.1．绝对值
一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．
二、典型例题： 例1 解不等式：4|1|>-x 解法一：由01=-x ，得1=x ；
①若1<x ，不等式可变为4)1(>--x ，即41>-x ，得3-<x ，又x ＜1， ∴x ＜-3；
②若x ≤1，不等式可变为4)1(>-x ， 即5>x 又1≥x ∴ 5>x
综上所述，原不等式的解为3-<x 或5>x 。

解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；
所以4|1|>-x 的几何意义即为 |PA |＞4．
可知点P 在点C (坐标为-3)的左侧、或点P 在点D (坐标5)的右侧．
∴ 3-<x 或5>x 。

练 习A 1．填空：
（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，
则x =_________.
（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
1
-3
x
|x －1|
图1．1－1
（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 练习B
3．解不等式：3|2|<+x
4、化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．
1.1.
2. 乘法公式
一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 2
2
()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 2
2
2
()2a b a ab b ±=±+．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2
2
3
3
()()a b a ab b a b +-+=+；
（2）立方差公式 2233
()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222
()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；
（5）两数差立方公式 3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 二、典型例题
例1 计算：2
2
(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．
解法一：原式=2222
(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =2
4
2
(1)(1)x x x -++=6
1x -．
解法二：原式=22
(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =3
3
(1)(1)x x +- =6
1x -．
例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222
a b c ++的值．
解： 2
2
2
2
()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习A 1．填空：
（1）
221111
()9423
a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22
)164(m m =++ )；
(3 ) 2222
(2)4(a b c a b c +-=+++ )．
2．选择题：
（1）若2
1
2
x mx k +
+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2
m （B ）214m （C ）213m （D ）
2116m （2）不论a ，b 为何实数，22
248a b a b +--+的值 （ ）
（A ）总是正数 （B ）总是负数
（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
一、概念：一般地，形如
0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
32a b 212
x +
+，22x y ++ 必须记
住
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次
，+
一般地，，与b 与b 互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程
0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2． a ==,0,
,0.a a a a ≥⎧⎨
-<⎩
二、典型例题
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1 （20)a ≥； （30)x <．
解： （1= （20)a ==≥；
（3220)x
x x ==-<．
例2 (3-．
解法一：
(3-
393- ＝1)6＝12．
解法二：
(3-
．
例3 试比较下列各组数的大小：
（1 （2
和
解： （1
1===
，
=
==
，
>
（2）∵
=
== 又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
.
例4 化简：20042005+⋅．
解：20042005+⋅
＝20042004+⋅-⋅-
＝2004
⎡⎤+
⋅-⋅⎣⎦
＝2004
1
⋅
例 5 化简：（1； （21)x <<． 解：（1）原式=4545+-
222522)5(+⨯⨯-
=
2=
-2=．
（2）原式
1x x
=-
， ∵01x <<，∴
11x x >>， 所以，原式＝1
x x
-． 练 习A 1．填空：
（1
＝__ ___； （2
(x =-x 的取值范围是_ _ ___；
（3
）=__ ___；
（4
）若x =
=______ __．
（提示先简化后代入）
2．选择题：
=
（ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<
练习B
3
．若b =，求a b +的值．
4．比较大小：2
－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.4．分式
一、概念：1．分式的意义
形如
A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质：A A M B B M ⨯=⨯； A A M
B B M
÷=÷．
上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式
像a
b c d
+，2m n p
m n p
+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
二、典型例题：
例1 若
54(2)2x A B
x x x x +=+++，求常数,A B 的值．
解： ∵(2)()254
2(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，
∴5,
24,
A B A +=⎧⎨=⎩ 解得 2,3A B ==．
例2 （1）试证：111
(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；
（2）计算：1111223910
+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有
11112334(1)2
n n +++<⨯⨯+．
（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++， ∴111
(1)1
n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知
111
1223910
+++
⨯⨯⨯ 11111
(1)()()223910=-+-++-
1110=-＝9
10．
（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111
()()()23341n n -+-++-+
＝11
21
n -+，
又n ≥2，且n 是正整数，
∴1
n ＋1 一定为正数，
∴1112334
(1)n n +++
⨯⨯+＜1
2
．
例3 设c
e a
=
，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，
∴e ＝1
2 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．
练习A
1．填空题：
对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (11
2
n n -+)；
2．选择题：
若223x y x y -=+，则x
y
＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）6
5
3．正数,x y 满足xy y x 22
2=+，求x y x y
-+的值．
4．计算1111 (12233499100)
++++⨯⨯⨯⨯．
习题1．1
A 组
1．解不等式：13x ->
２．已知1x y +=，求33
3x y xy ++的值．
3．填空：
（1）1819
(2(2+-＝___________________；
（22=，则a 的取值范围是____________________；
（3
=____________________．
4．填空：12a =，1
3
b =，则22
23a ab -=____ ______________；
5．已知：11
,23x y ==的值．
B 组
1．选择题：
（1=
（ ）
（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<
（2）计算 （ ）
（A （B （C ） （D ）
2．计算：1111
132435911
++++
⨯⨯⨯⨯．
1．2 分解因式
一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）2
2
()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．
（3）由图1．2－4，得 2
2
()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：
（1）32
933x x x +++； （2）2
2
2456x xy y x y +--+-． 解： （1）32
933x x x +++=3
2
(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++
=2
(3)(3)x x ++．
或32
933x x x +++＝3
2
(331)8x x x ++++＝3
(1)8x ++＝3
3
(1)2x ++
＝22
[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+
＝2
(3)(3)x x ++． 二次项 一次项 常数项
（2）2
2
2456x xy y x y +--+-=2
2
(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．
3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解． 若关于x 的方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2
(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.
例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1）2
21x x +-； （2）2
2
44x xy y +-．
解： （1）令2
21x x +-=0
，则解得11x =-
21x =-，
∴2
21x x +-
=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣
⎦
=(11x x +-++．
（2）令2
2
44x xy y +-=0
，则解得1(2x y =-+
，1(2x y =--，
∴22
44x xy y +-
=[2(1][2(1]x y x y +-++．
二、练习A 1．选择题：
多项式22
215x xy y --的一个因式为 （ ）
（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：
（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；
（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．
练习B 组
1．分解因式：
（1） 3
1a +； （2）42
4139x x -+；
－1 －2 x
x 图1．2－1 －1 －2
1 1
图1．2－2
－2 6
1 1
图1．2－3
－ay －by
x x
图1．2－4 －1 1
x y
图1．2－5
x+y 2x-y 2 -3
（3）22
222b c ab ac bc ++++；
2．在实数范围内因式分解：
（1）2
53x x -+ ； （2）2
3x --；
（3）2
2
34x xy y +-；
3．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式
一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为
2224()24b b ac
x a a
-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是
（1）当
b 2－4a
c ＞0
时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x 1，2
（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－
2b a
； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2
()2b x a
+
一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2＝2b a -±；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b
a
；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 二、典型例题：
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
12
a x =
，
22
a x =
（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2， 所以，
①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；
②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1． （4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，
所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根
11x = 21x =
②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
一、概念：1、若一元二次方程
ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根
1b x -=，2b x -=， 则有
1222b b b b
x x a a
---+=
+==-；
22122
2(4)42244b b b b ac ac c
x x a a a a a
----=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a
-
，x 1·x 2＝c
a ．这一关系也被称为韦达定理．
2、特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，
所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是
一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0的两根，因此有
以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 二、典型例题：
例2 已知方程2
560x
kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．
所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35
． 所以，方程的另一个根为－
3
5
，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－
65，∴x 1＝－35
． 由 （－
35）＋2＝－5
k
，得 k ＝－7． 所以，方程的另一个根为－3
5
，k 的值为－7．
例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．
∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，
即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．
当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝-1． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．
（★）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解． 解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①
xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12， 即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．
∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或22
6,2.x y =⎧⎨=-⎩
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根． 解这个方程，得 x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求
2212
11
x x +的值； （3）x 13＋x 23． 解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， ∴1252x x +=-，123
2
x x =-．
（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝2
5
3()4()2
2
--⨯-
＝
254
＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72．
（2）2222
12121222222
21212125325()2()3()2113722439()9()24
x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．
（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]
＝(－
52)×[(－52)2－3×(32
-)]＝－215
8． 注意：．．．
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出
其一般规律：
设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则
1
x
=
2x =， ∴| x 1－x 2|
=
||||
a a ==
． 于是有下面的结论：
若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝
||
a （其中Δ＝
b 2－4a
c ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则 x 1x 2＝a －4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4，
由②得 a ＜17
4
．
∴a 的取值范围是a ＜4．
练习A
1．选择题：
（1
）方程2
2
30x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根
（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜
14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－1
4
，且m ≠0 （3）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （4）下列四个说法：
①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73
-
； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是 （ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（5）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－1
2．填空:
（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则
12
11
x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ． （4）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ． （5）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（6）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （7）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．
3
|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．
5．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
6．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．
练习B 组 1．选择题:
若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两实根互为相反数，则k 的值为 （ ） （A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:
（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．
（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．
4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和
12
2
x x +；（2）x 13＋x 23．
5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质
一、复习引申：问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12
x 2
，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．
再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝
12
x 2
，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 1、二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2
，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
2、二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”
；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：
由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2
＋b x a
＋224b a )＋c －24b a
224()24b b ac a x a a
-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，
图2.2-1
于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：
3、（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a
-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b
a
-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．
（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为2
4(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a
-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b
a
-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函
数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
二、典型例题：
例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当
x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋
4， ∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；
当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；
当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 和C (，与y 轴的交点为D (0，1)，过这四点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选
点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx +b
将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,
50150,k b k b =+⎧⎨
=+⎩
解得 k ＝－1，b ＝200．∴ y ＝－x ＋200．
设每天的利润为z （元），则
z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000
＝－(x －160)2＋1600， ∴当x ＝160时，z 取最大值1600． 答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．
解法一：y ＝x 2
＋bx ＋c ＝(x +2
b )224b
c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的
图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，
图2.2-3 图2.2-4 图2.2－5
2
40,220,4b
b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题． 三、练习A 1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x
（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）
（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题
（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．
（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；
当m ＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值
y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象． （1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．
2.2.2 二次函数的三种表示方式
一、复习引申：通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点个数．
当抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有
ax 2＋bx ＋c ＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)
与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以 x 1＋x 2＝b a
-
，x 1x 2＝c
a ，
即 b a ＝－(x 1＋x 2)， c
a
＝x 1x 2．。