西安电子科技大学数学建模讲义PPT学习教案

B1
B2
/// 6+7= 12+3 7 = 9
C3
/// 5+ 8 = 13 7+ 8 = 15
B3
3+ 14 = 17
5+ 9 = 14 4+ 12 = 第18页1/6共56页
X4
E2 E1 E2
f3*(s3)
5 11 8
f2*(s2)
14 9 12
f1*(s1)
14
X3*
D 1D 2D
1 X2*
最优值函S数k递1 推uk方(S程k )为
fk (Sk )
max uk
{d
k
(uk
)
f k 1 ( S k 1 )}
第22页/共56页
进行各阶段的计算
B1 6 C1 3
4 A9
4
8 B2 7
5 6 C2 2
D1 4
E
5
6
3
D2
8 B3 9
13 C3
第一阶段
第二阶段 第三阶段
第4页/共56页
第四阶段
1、阶段(stage)k： 把所给问题的过程，恰当地分成 若干个相互联系的阶段。描述阶段的变量称为阶段 变量，常用k表示。k = 1、2、3、4。
2、状态(state)Sk：状态表示每个阶段开始所处的状 态,即是每一阶段的出发位置.阶段的起点.通常一个阶 段有多个状态.记为Sk. S1={A}，S2={B1,B2,B3}，S3={C1,C2,C3}, S4={D1,D2}。
确定各阶段的状态变量，并给出状态转移 方程，状态转移方程的形式应当与递推顺 序一致。
状态变量应当满足无后效性要求。 明确指标函数，给出最优函数递推方程，
递推方程的形式应当与递推顺序一致。
第10页/共56页
二、动态规划的求解步 骤
正确划分阶段。
确定状态变量和决策变量，并 给出状态变量和决策变量的可 行集合。
14
C
B2
14+4 5 = 9
13+6 11 =
5+ 8 = 13
9
1C
B3
///
11+4 11 =
7+ 8 = 15 12
1C
12
2
第16页/共56页
B
9
1
5
C1
1
5
D
1
4
3
2
E
A5
4
B
3
8
C
4
D6
1
1
2
5
2
6
29
F
4
2 E
1 B
3
7
C4 4
7 D
2
3
2
3
5
n=1
X1
f1(s1)=d1(s1,x1)+ f2*(s2)
西安电子科技大学数学建模讲义
会计学
1
动态规划
1 动态规划的基本概念和方法
基本概念与名词解释 最优化原理与动态规划的基本方法
2 动态规划模型的建立与求解步骤
建立动态规划模型的基本要求
动态规划的求解步骤
3 动态规划的应用举例
定价问题 资源分配问题 生产存储问题
第1页/共56页
第一节 动态规划的基本概念与方法
6、 状 态 转 移 方程： 前一阶 段的终 点(决 策)是后 前一阶 段的起 点 (状 态 ).Uk = Sk+1
7、 指 标 函 数 ：各个 阶段的 数量指 标,记 为Vk,n(sk,Uk).如 上 例中 , 用 dk(sk,Uk)表 示 距 离 . d2(B3,C2)=8,d3(C2,D2)=2 等 .
设第kk月的生产量月的生产量uukk存储量为存储量为sskk则总成本则总成本以月划分阶段以月划分阶段k1234各阶段决策变量为该阶段生产量各阶段决策变量为该阶段生产量uukk状态变状态变量为该阶段存储量量为该阶段存储量sskk采用逆序算法则状态转移方程为采用逆序算法则状态转移方程为最低成本递推公式是最低成本递推公式是时dd44因第四阶段因第四阶段末无存货因此末无存货因此ss44生产存储当当k3k3时由于时由于且第三且第三阶段需求量阶段需求量dd33ss33生产存储121251313511第44页共56页生产存储05050505054555657585115120125130105第45页共56页生产存储115120125100第46页共56页333434生产存储151515151555657511512095335656生产存储25252565时dd223由于最大生由于最大生产能力为产能力为66而而dd112因此因此ss22生产存储1101058080171751617第49页共56页生产存储0505050505556575859511010580808016517155165175第50页共56页生产存储11010580808080160165150160170180第51页共56页生产存储151515151515151555657585951051101058080808050125160145155165175155第52页共56页生产存储10580808080501251415161715第53页共56页时dd112ss11生产存储1601551501251252121522205215第54页共56页从第一阶段向后反推最优路线从第一阶段向后反推最优路线总结可得总结可得时期期初存货期末存货最优生产量该期成本总成本20512511
确定求解的递推顺序，给出状 态转移方程。
确定阶段、子过程(子策略)的 指标函数，确定最优值函数的 递推方程和第边11页界/共56页条件。
递推求解。
例2：求下列图中A到F的最短路线及最短路线值。
B
9
1
5
C1
1
5
D
1
4
3
A
5
4
B
3
8
C
4
2 D6
E 1
1
2
5
2
6
29
F
4
2
E
1
B
3
7
44
7
2
C
D
3
2
第21页/共56页
建立数学模型
按年划分阶段，k=1,2,...,5 每阶段的状态变量为本年(上一年已确定)的价
格，状态变量的可行集合Sk=(5,6,7,8)。 决策变量为每年依据当年价格为下一年度决定
价格，根据题意决策变量的可行集合是：
uk (Sk 1, Sk , Sk 1)
采用逆序算法，因此状态转移方程是
D2
D3
C1
1+4=
C2
58+ 4 =
5+7= 14 2+ 7 =
/// 6+7=
5
D
11
1D
C3
14+2 4 = 8
141+ 7 =
12+3 7 = 9
8
2D
11
1
n=2
X2
f2(s2)=d2(s2,x2)+ f3*(s3)
f2*(s2) X2*
S2
C1
C2
C3
B1
9+ 5 =
5+ 11 =
///
3
5
第12页/共56页
3
A5
4
1 、 阶 段 (st age)n： n = 1 、 2、 3、4、 5。 2 、 状 态 (st ate)Sn ： S1 ={A}， S2={B1 ,B2,B3} ，S3={ C1,C2,C 3}，
S 4 = { D1, D2,D3}， S5={E 1,E2}。 3 、 决 策 (de cision )Xn：决 策集D n(Sn)。
5
D
1
4
3
2
E
A5
4
B
3
8
C
4
D6
1
1
2
5
2
6
29
F
4
2 E
n=5
1 B
3
7
C4 4
7 D
2
3
2
3
5
X5 f5(s5)=d5(s5,x5) f5*(s5)
X5
S5
F
E1
1
1
F
E2
2
2
F
n=4
X4 f4(s4)=d4(s4,x4)+ f5*(s5)
f4*(s4) X4
S4
E1
E2
D1
4+1=
D2
56 + 1 =
B1 B2 B3
n=1
X1 S1
A
f5(s5)=d5(s5,x5)
f5*(s5)
X5
F
1
1
F
2
2
F
f4(s4)=d4(s4,x4)+ f5*(s5)
E1
E2
f4*(s4)
4+1=
2+2=
56 + 1 =
49 + 2 = 11
7+1=
5+2=
8
7
f3(s3)=d3(s3,x3)+ f4*(s4)
D1
D2
= { D 1 ,D2;D 1,D2,D3 ; D 1,D 2,D3}={ D1,D2, D3}=S4， D 4 ( S 4)={X4 (D1),X4 (D2),X 4(D3)}= {E1,E2 ;E1,E2; E1,E2} ={E1,E 2}=S5，
D 5 ( S 5)={X 5(E1),X (E2)}= {F;F}= {F}。
B
9
1
5
4
B
3
2
5
1 B
3
7
C1
1
5
8
C
4
2
6
C4 4
3
2
D
1
4
2
D6 29
7 D
3
5
E
1
1
2 E
2
F
第13页/共56页
B
9
1
5
C1
1
5
D
1
4
3
2
E
A5
4
B
3
8
C
4
D6
1
1
2
5
2
6
29
F
4
2 E
1 B
3
7
C4 4
7 D
2
3
2
3
5
4、状态转移方程：Xn = Sn+1 5、指标函数(距离)：dn(sn,xn).
8、 目 标 函 数 : 策略 的数量 指标值 ,记为 Z=opt[v1(s1,u1)*…* vn(sn,un)].
其 中 ： opt为 max或 min， *为 运 算符 号.如上 例中， Z=min[d1(s1,u1)+ …+dn(sn,un)]=min[d1+d2+…+ dn]
第7页/共56页
4 7 7
D3
1+4=
5+7=
58+ 4 =
14 2+ 7 =
14+2 4 = 8
141+ 7 =
11
f2(s2)=d2(s2,x2)+ f3*(s3)
C1
C2
9+ 5 =
5+ 11 =
14+4 5 = 9
13+6 11 =
///
1+4 11 =
12
f1(s1)=d1(s1,x1)+ f2*(s2)
f1*(s1) X1*
S1
B1
B2
B3
A
3+ 14 = 17 5+ 9 = 14 4+ 12 = 16 14
B2
最短路线值为：f1*(s1) = 14 最短路线求解如下：
第17页/共56页
n=5
X5 S5
E1 E2 n=4
X4 S4
D1 D2 D3 n=3
X3 S3
C1 C2 C3
n=2
X2 S2
、1 xn∈Dn(Sn)
f4*(S4) = min [v4(s4,u4)] x4∈D4(S4)
三、求解过程： 用反向嵌套递推法：从最后一个阶段开始，
依次对各子过程寻优，直至获得全过程的最优， 形成最优策略，获得最优策略指标值。
第9页/共56页
一、建立动态规划模型的基本要求
将问题划分成若干阶段。有的问题的阶段 性很明显，有的则不明显，需要分析后人 为假设。
最优化原理
一、R.Bellman最优化原理： 作为整个过程的最优策略，无论过去的状
态和决策如何，对前面的决策形成状态而言， 余下的诸决策必构成最优策略。
即：若M是从A到B最优路线上的任一点， 则从M到B的路线也是最优路线。
•M
B
A•
•
第8页/共56页
二、指标递推方程： fn*(Sn) = opt [vn(sn,un) * vn(sn,un)], xn∈Dn(Sn) 如上例： fn*(Sn) = min [vn(sn,un)+ fn+1*(Sn+1) ], n=3、2
C 1C 1C
2
X1*
B
2
B
9
1
5
ห้องสมุดไป่ตู้
C1
1
5
D
1
4
3
2
E
A5
4
B
3
8
C
4
D6
1
1
2
5
2
6
29
F
4
2 E
1 B
3
7
C4 4
7 D
2
3
2
3
5
即： A B2 C1 D1 E2 F
第19页/共56页
第三节 动态规划的应 用举例
定价问题 资源分配问题 生产存储问题
第20页/共56页
一、定价问题
D 1 ( S 1)={X 1(A)}= {B1,B2, B3}= S 2 ， D 2 ( S 2)={X 2(B1),X 2(B2), X2(B3)} ={C1,C 2;C1,C 2,C3 ;C 2,C3 }
= { C 1 ,C2,C 3}=S3， D 3 ( S 3)={X 3(C1),X 3(C2), X3(C3)}
第5页/共56页
3、 决 策 (decision) uk(sk) ： 从 一 个 阶段 某状态 演变到 下一个 阶段某 状态的 选择.常 用uk(sk) 表 示 第k阶 段当状 态处于 sk时的 决策变 量.决策 集用Dn(Sk)表 示.就是 阶段的 终点. D1(S1)={u1(A)}={B1,B2,B3}= S2， D2(S2)={U2(B1),U2(B2),U2(B3)}={C1,C2;C1, C2,C3 ;C2,C3 } ={C1,C2,C3}=S3，
D3(S3)={U3(C1),U3(C2),U3(C3)}={D1, D2;D1, D2,D3; D1,D2,D 3} ={D1,D2,D3}=S4，
D4(S4)={U4(D1),U4(D2),U4(D3)}={E1, E2;E1,E2;E1,E2} ={E1,E2}=S5，
D5(S5)={X5(E1),X5(E2)}={F;F}={F}。