数列的极限

数列的极限

浙江省上虞中学(312300) 石志烓

教学目标

1．从数列的变化趋势理解数列的极限概念，会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“ε-N ”定义。 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。 3．通过教学提高学生学习数学的兴趣和数学审美能力，培养学生的主动探索精神与创新意识。 重点、难点

数列极限的意义、数列极限的“ε-N ”定义。

教学方法

启发式讲授、讨论法。

教学工具

常规教学工具和计算机等。

教学过程

一、课题引入

无穷数列是定义在正整数集合上的函数，作为函数的整体性质，无非有两类需要研究的问题，我们已经对自变量n 发生变化的时候，a n 的变化情况，比如单调性、周期性、有界性等做了一些研究；从这节课开始，我们研究当自变量n 无限增大时，a n 的变化趋势，即数列的极限问题。 二、新课

1．观察与思考

n 无限增大时，a n 的变化趋势有什么特点？ （计算机演示）

（1） a n = n 1

；

（2） a n = n

n 1

-；

（3）a n =

n n

)1

(

；

（4）a n =（-1）n+1 n；

（5）a n =（-1）n+1。

通过观察引导学生发现：当n无限增大时，数列（1）、（2）、（3）在整体上有一个共同的特点，即当n无限增大时，通项a n无限趋向于某一个固定的常数值，比如数列（1）、（3）的通项a n无限趋向于常数0；数列（2）的通项a n无限趋向于常数1。数列（4）、（5）则没有这样的性质。

2．数列极限的描述性定义

对于无穷数列{a n}，如果当n无限增大时，a n无限趋向于某一个常数A，则称A是数列{ a n}的极限。

我们的先辈很早就有了极限的思想，在初中《几何》中，同学们一定还记得曾经用增加圆内接正多边形边数确定圆面积的方法，即当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积无限趋向于圆的面积，这就是我国魏晋时代著名的数学家刘徽的割圆术。刘徽在《九章算术注》中指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”①。每一个具体的正多边形的面积都是圆面积的近似值，而当边数无限增大时，这些正多边形的面积趋向于一个固定的常数，这个常数就是圆的面积的精确值。这一过程反映了由近似到精确，由有限到无限、由量变到质变的辩证关系。可以看出，刘徽对极限的理解是很深刻的，不仅如此，刘徽还给出了研究极限的方法，并且利用割圆术计算出圆周率为3.14，这开创了“中国数学发展中圆周率研究的新纪元”②。

（刘徽割圆术的计算机演示）

3．对数列极限描述性定义的进一步讨论

有了数列极限的描述性定义，我们再来研究以下几个问题：

问题1：数列a n = n有极限吗？如果有的话，极限等于多少？如果没有，说说你的理由。

问题2：数列

①钱宝宗主编，中国数学史，科学出版社，1992，第66页。

②同上。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-=是奇数

是偶数n n

n n n

a n ,1,

,1

有极限吗？如果有的话，极限等于多少？如果没有，说说你的理由。

问题3：数列

⎪⎩⎪⎨⎧=是奇数

是偶数n n

n a n ,1

,,0

有极限吗？如果有的话，极限等于多少？如果没有，说说你的理由。

问题4：有人认为，-0.001是无穷数列a n = n

1

的极限，这种观点是否正确？

说说你的见解。

通过这4个问题，一方面，纠正学生在数列极限描述性定义理解上出现的常见错误，逐步建立正确的数列极限概念；另一方面，也力图使学生意识到数列极限描述性定义自身存在的不足，要准确把握数列极限的概念，还需要对数列极限的定义进行更深入的分析。

在问题1上，学生可能会出现的错误是：忽视描述性定义中数列极限是一个常数的要求，只从数列的变化趋势看，认为数列a n = n 有极限，并且是+∞。

在问题2上，学生可能会出现的错误是：忽视描述性定义中数列极限必须是唯一的一个常数的要求，而认为数列

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-=是奇数

是偶数n n

n n n

a n ,1,

,1

有极限，并且极限是0和1。

在问题3上，学生可能会出现的错误是：认为数列的极限值是数列“无限趋向”的值，不能“达到”，从而认为数列

⎪⎩⎪⎨⎧=是奇数

是偶数n n

n a n ,1

,,

没有极限。

在问题4上，学生可能会出现的错误是：将“无限趋向于”理解为“越来

越近”，由于，当n 无限增大时，无穷数列a n = n

1

与-0.001“越来越近”，因而，

-0.001是这个数列的极限。

以上学生可能出现的错误当中，除在问题1上的错误外，其它3种错误实际上都可以归结为对数列极限的描述性定义的错误理解，这是由于描述性定义主要依赖于语言描述，在语义上不够严谨和准确，从而造成了理解的困难。

4．数列极限的“ε-N ”定义 关键问题是：“当n 无限增大时，a n 无限趋向于某一个常数A ”的含义到底是什么？ 重新观察数列（1）~（3），引导学生更准确地描述“当n 无限增大时，a n 无限趋向于某一个常数A ”的含义，特别是“a n 无限趋向于某一个常数A ”的意义，使学生意识到“a n 无限趋向于某一个常数A ”实际上也就是“a n 与A 的差的绝对值无限趋向于0”，即“| a n - A |无限趋向于0”。 用数列（2）来具体探讨这个问题。

通过讨论使学生意识到，“当n 无限增大时，a n = n

n 1

-无限趋向于1”也就

意味着“只要n 充分大，a n = n

n 1

-与1的距离可以充分小”，即无论预先给定

多么小的一个正数ε，只要n 充分大，总能保证|a n - 1|比这个数小．引导学生进行探索和验证：

比如，若给定ε =

101，则显然只要n > 10，就有|a n - 1| = 11--n

n = n 1<

10

1

= ε ； 若给定ε =

1001，则只要n > 100，就有|a n - 1| = 11--n n = n 1 <

1001= ε ； 若给定ε =

10001，则只要n > 1000，就有|a n - 1| = 11

--n

n = n 1 <

1000

1

= ε ； ……

一般地，对于任意预先给定的正数ε，则只要n > ε1，就有|a n - 1| = 11

--n

n =

n

1

< ε 恒成立。