7-伯川德垄断竞争模型

7-伯川德垄断竞争模型
博弈论教学/伯川德垄断竞争模型
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■1 背景
■2 伯川德(Bertrand)垄断竞争⼀般模型
■3 具有不变单位成本和线性需求函数的双寡头垄断模型
■4 讨论
■5 伯川德悖论
■6 练习题
■7 See Also
1 背景
1.古诺模型：每个⼚商选择⼀个产量，价格由市场的需求确定的。

2.伯川德模型(Bertrand competition)：每个⼚商选择⼀个价格，并且在所有⼚商选择的价格给定的情况下，每家⼚商⽣产⾜够的产品以迎合她所⾯临的需求。

2 伯川德(Bertrand)垄断竞争⼀般模型
1.背景：
1.⼚商：家⼚商⽣产同⼀件产品，每家⼚商⽣产件产品的成本为.
2.市场：如果商品的价格为是有效的，那么总需求量为. （称为“需求函
数”）
如果各⼚商设定不⼀样的价格，那么所有的消费者都是从价格最低的⼚商那⾥
购买商品，⽽该⼚商⽣产⾜够的产品以满⾜这些需求。

(⾮常关键)
如果有不⽌⼀家⼚商设定最低价格，那么所有这样做的⼚商平分这些需求。

如果价格⾼于最低价格，就不会有顾客提出需求，⼚商也就不会⽣产商品。

注意：即使最低价格低于单位⽣产成本，假设⼚商仍然根据她所⾯临的需求⽣
产。

（简化模型的需要）。

2.博弈模型：
1.局中⼈：⼚商
2.⾏动：每家⼚商的⾏动集合是可能的价格（⾮负）集合
3.偏好：⼚商的偏好由她的获利来表⽰。

如果⼚商是设定最低价格的家⼚商之
⼀，那么其偏好等于；如果某些⼚商的价格低于
，那么⼚商的获利为零。

3 具有不变单位成本和线性需求函数的双寡头垄断模型
1.参数分析：
⼚商，单位⽣产成本为,则
需求函数为，
⼚商的获利(利润=单位利润*需求)（单位利润=⼀件商品售价-成本）为：
；
；。

是另外⼀家⼚商。

最优反应分析：如果⼚商选择价格,那么⼚商的最优价格是多少？
如果⼚商选择价格，那么它和⼚商平分市场。

如果⼚商的价格略低于,那么它将得到整个市场。

如果，使得⼚商能够以稍低于的价格得到正利润，并以此价格独享全部
市场。

如果，那么⼚商就会选择⽐⾼的价格，以保证没有顾客。

求解最优反应函数：考虑⼀般利润函数，以表⽰取最⼤值时的价格。

（⼆次函数图像），对于各种不同的，分析⼚商的盈利函数：
如果，⼚商的最优反映函数为
如果，⼚商的最优反映函数为
如果，⼚商的最优反应是⼀个低于且越接近的价格越好，对于连
续价格来说，不存在最优价格，所以
1.思考，如果价格作为离散变量的话，其最优反应如何？
如果，那么⼚商的最优反应函数是
汇总写出⼚商的最优反应函数。

纳什均衡：从两个⼚商的最优反应函数出发，寻找它们相交的部分，即同时满⾜两个最优反应函数，也即是纳什均衡点
离散价格时的最优反应函数图象为
伯川德博弈中的均衡价格等于不变单位成本
，⼤于
在古诺博弈中，随着⼚商数量的增加，均衡价格逐渐下降并趋向
离散价格下的伯川德双寡头垄断博弈：假设每个⼚家只能选择分币的整数倍作为价格。

是⼀个整数，且.请问，
具有固定成本的伯川德双寡头垄断博弈：当时，每家⼚商的成本函数定义为和，这⾥的，且⼩于关于的最⼤值。

⽤表⽰满⾜等式时的价格，且⼩于使达到最⼤时的值点，如图所⽰。

证明，如果当两个⼚商定价相同时，⼚商1得到所有的市场需求，那么时纳什均衡。