矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-多项式矩阵与史密斯标准形

D2(l ) , D1(l )
0
0
0
- l 2
l
c3 -1c1 0 0
0
l(l - 1)
0
1 0
- l 2
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
1 c1c3 0
0
l
l(l - 1) 0
- l 2
0
0
1 c3 -lc1 0
- l 2
0
l(l - 1)
0
0 0
l(l - 2)
1 0
r3 (l-2)r2 0 l
0
l(l - 2)
0 0 l(l - 1)(l - 2)
1 0
c3 -( l -2)c2 0 l
0
0
0 0 l(l - 1)(l - 2)
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-7 设多项式矩阵A(l)的秩 r≥1, 则A(l )
J(l)称为 A(l)的 Smith标准形.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
例2 求多项式矩阵 A(l) 的Smith标准形.
0 l(l - 1) 0
A(l ) l 0
l 1 .
0
0
- l 2
解
l 0
l 1
A(l ) r1r2 0 l (l - 1)
3º 初等矩阵及其性质与数字矩阵类似.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-6 若A(l)可经有限次初等变换化为B(l), 则称A(l)与B(l)等价. 记为A(l) ≌ B(l).
注： 1º多项式矩阵等价是一种等价关系.
2ºA(l) ≌ B(l)的充分必要条件是存在 单模矩阵P(l)和Q(l) , 使得
阶子式不是零多项式，而一切 r +1 阶子式
（若有的话）全是零多项式，则称A(l)的秩
为r .
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
注：(1) 零矩阵的秩规定为零.
(2) l E- A 的秩为n . 定义3 若n阶多项式矩阵的行列式|A (l)| ≠0, 则称 A(l) 是满秩的 (秩=n) 或非奇异的. 定义4 设A(l)是l- 矩阵，若存在l- 矩阵B(l ),
B(l ) P(l )A(l )Q(l ).
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
引理 若 A(l ) (aij (l ))mn 的左上角元素a11(l ) 0, 且A( l )中至少有一个元素不被 a11(l ) 整除，则必 定可以找到一个与 A(l)等价的矩阵 B(l ) ，其左上角 元素b11(l ) 0, 且 b11(l ) 的次数低于 a11(l ) 的次数.
第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定理3-10 任一非零的多项式矩阵 A(l ) (aij (l ))mn
都等价于一个如下的标准对角形
d1(l )
A(l ) J (l )
dr (l )
0
0
这里r =R(A(l)) , dk (l ) 是首一多项式, 且
dk-1(l ) | dk (l ) (k 2,3,, r ).
f (l ), g(l )为数域F上的多项式，若存在F上的 多项式q(l ),r(l ),使得
f (l ) q(l )g(l ) r(l ), deg r(l ) deg g(l )
则称f (l )为被除式，g(l )为除式，q(l )为商式，
r(l )为余式.
多项式的带余除法
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中的所有非零的 k (1≤k≤r)阶子式的首项(最高
次数) 系数为1的最大公因式 Dk(l) 称为 A(l) 的
k 阶行列式因子.
定理3-11 若 A(l) ≌B(l ), 则 A(l)与B(l )必有
相同的秩及相同的各阶行列式因子.
定义3-8 在A(l)的史密斯标准形 J(l)中， 多项式 d1(l ), d2 (l ),, dr (l ) 称为A(l)的不变因式（或不变因子）.
使得
A(l ) B(l )= B(l) A(l )=E , 则称 A(l) 是可逆的，或称A(l )是单模矩阵.
注： A(l)的逆矩阵唯一，记为 A-1(l ).
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定理3-9 n阶多项式矩阵 A(来自)可逆的充要条件是A(l)的行列式等于非零常数
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
注： 1º A(l)的行列式因子与不变因子的关系:
D1(l ) d1(l ), D2(l ) d1(l ) d2(l ), ,
Dr (l ) d1(l ) d2(l )dr (l ) .
d1(l ) D1(l ),
d2(l )
1 r3 (l-2)r1 0
0
0
l(l - 1)
0
0 0
l(l - 2)
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
1 r2 1r3 0
0
0
l(l - 1)
0
0
l(l - 2) l(l - 2)
1 c2 -1c3 0
0
0
l - l(l - 2)
0
l(l - 2) l(l - 2)
第三章 矩阵的标准形
第四节 多项式矩阵与 史密斯标准形
第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义1 若矩阵 A(l ) (aij (l ))mn 的元素 aij (l ) 均是l 的多项式（系数属于某数域P）, 则称 A(l)为l -矩阵或多项式矩阵.
定义2 若多项式矩阵A(l)至少有一个r (≥1)
A(l ) c 0.
注： l-矩阵中，可逆矩阵一定是满秩的，
满秩矩阵不一定可逆.
可逆
满秩
例1
多项式矩阵
A(l )
l 1
l2
3l
l3
l2
5l
, 4
B(l
)
l2
l
1
3l
2
l3
l2
5l
6
矩阵A(l)可逆，但B(l)不可逆.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-5 下列运算称为多项式矩阵A(l) 的初等变换
（1）互换A(l)的任意两行(列)； （2）以非零数k(k P) 乘A(l)的某一行(列)； （3）以多项式 j (l) 乘A(l)的某一行(列)，
并加到另一行(列)上.
注：1º 为什么(2)不相应改为以k(l)乘行(列)？
2º 初等变换的记号与数字矩阵时相同.