河北省邯郸市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析

河北省邯郸市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若随机变量ξ服从正态分布(0,4)N ，则(2)P ξ>=（ ）
附：()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=． A ．1．3413 B ．1．2718
C ．1．1587
D ．1．1228
【答案】C 【解析】 【分析】
根据正态曲线的对称性，以及(22)0.6826P ξ-<<=，可得结果. 【详解】
10.6826
(2)0.15872
P ξ->=
=， 故选：C 【点睛】
本题考查正态分布，重点把握正态曲线的对称性，属基础题. 2．给定下列两个命题：
①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；
②“x R ∀∈，都有0x e x +>”的否定是“0x R ∃∈，使得000x
e x +≤”， 其中说法正确的是（） A ．①真②假 B ．①假②真
C ．①和②都为假
D ．①和②都为真
【答案】D 【解析】 【分析】
由充分条件和必要条件的定义对①进行判断，由全称命题的否定是特称命题对②进行判断，从而得到答案。

【详解】
对①，“p q ∧”为真，则命题p ，q 都真，“p q ∨”为真，则命题p ，q 至少一个为真，所以“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，①为真命题；
对②，全称命题的否定是特称命题，所以“x R ∀∈，都有0x e x +>”的否定是“0x R ∃∈，使得
000x e x +≤”， ②为真命题；
故答案选D 【点睛】
本题考查命题真假的判定，属于基础题。

3．设函数()()()
2
2
2
ln 2f x x a x a
=-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()04
5
f x ≤
成立，则实数a 的值为（） A ．
15B ．25C ．1
2
D ．1 【答案】A 【解析】
试题分析：函数f （x ）可以看作是动点M （x ，lnx 2
）与动点N （A ，2A ）之间距离的平方， 动点M 在函数y=2lnx 的图象上，N 在直线y=2x 的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y=2lnx 得，y'=
2
x
=2，解得x=1， ∴曲线上点M （1，0）到直线y=2x 的距离最小，最小距离D=
25
55
=， 则f （x ）≥
4
5
， 根据题意，要使f （0x ）≤45，则f （0x ）=4
5
，此时N 恰好为垂足， 由2021112MN
a a k a a -===---，解得15
a = 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
4．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：C ）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）
A ．最低气温低于0C 的月份有4个
B ．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温
C ．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份
D ．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关 【答案】A 【解析】
【分析】
由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个． 【详解】
由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A 中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A 错误．
在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确；
在C 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C 正确； 在D 中，最低气温与最高气温为正相关，故D 正确； 故选：A ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 5．集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为（ ）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】D 【解析】
因为{}0,1,2,4,16A B ⋃=，所以4a =，选D. 6．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 分析：求出
0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11
a b
+的范围，进而可得结果． 详解：.
0.30.3log0.2,2a b log ==
0.2211
log0.3,0.3log a b ∴== 0.311
0.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab
+<<
又
a 0,
b 0><
ab 0∴<即ab a b 0<+<
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题． 7．设点P 在曲线12
x
y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）
A ．1ln2-
B ln 2)-
C ．1ln2+
D ln 2)+
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意知函数y ＝12
e x
与y ＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离的2倍．设y ＝1
2e x 上点(x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行．则01=12
x e ，
∴x 0＝ln 2，y 0＝1，
∴点(x 0，y 0)到y ＝x 的距离为
＝
2
(1－ln 2)，
则|PQ|的最小值为
2
(1－ln 2)×2(1－ln 2)． 8．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆2
21x y m
+=的离心率为
A B ．2 C 或2 D 【答案】A 【解析】 【分析】
由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±1．当m=1时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣1时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率． 【详解】
∵1，m ，9构成一个等比数列， ∴m 2=1×9， 则m=±1．
当m=1时，圆锥曲线2x
m +y 2=13
；
当m=﹣1时，圆锥曲线2x m
+y 2
=1是双曲线，故舍去，
故选A ． 【点睛】
本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．
9．已知函数()sin f x a x =且()'2f π=，则a 的值为( )
A ．1
B ．2
C
D ．-2
【答案】D 【解析】
分析：首先对函数求导，然后结合题意求解实数a 的值即可. 详解：由题意可得：()'cos f x a x =，
则()'cos 2f a ππ==，据此可知：2,2a a -=∴=-. 本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查导数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．在ABC ∆中，若30A =︒，2a =，b = A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．不能确定
【答案】C 【解析】 【分析】
判断,sin ,a a A b ⋅的大小关系，即可得到三角形解的个数. 【详解】
1
sin 212
a A ⋅=⨯
=,
12<<即sin a A a b ⋅<<，
∴有两个三角形.
故选C. 【点睛】
本题考查判断三角形解的个数问题，属于简单题型.
11．已知函数()ln f x x x =，则()f x 在x e =处的切线方程为（ ） A ．0x y -= B ．10x y --=
C ．20x y e --=
D ．(1)0e x ey e +--=
【答案】C 【解析】
分析：求导得到()f x 在x e =处的切线斜率，利用点斜式可得()f x 在x e =处的切线方程.
详解：已知函数()ln f x x x =，则()1ln ,f x x =+' 则()1ln 2,f e e =='+ 即()f x 在x e =处的切线斜率为2，又()ln ,f e e e e == 则()f x 在x e =处的切线方程为()2,y e x e -=- 即20x y e --=. 故选C.
点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题.
12．已知一列数按如下规律排列：1,3.?
2,5,7,12,?19,31,...---,则第9个数是( ) A ．-50 B ．50 C ．42 D ．—42
【答案】A 【解析】
分析：根据规律从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，确定第9个数.
详解：因为从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，所以第9个数是193150--=-， 选A.
点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法为：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. 二、填空题：本题共4小题
13．牛顿通过研究发现，形如()n
ax b +形式的可以展开成关于x 的多项式,即
()
2012...n
n n ax b a a x a x a x +=++++的形式其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算.例如:
在原式中令0x =可以求得0a ，第一次求导数之后再取0x =，可求得1a ，再次求导之后取0x =可求得
2a ,依次下去可以求得任意-项的系数，设2012...x n n e a a x a x a x =+++++⋯,则当5n =时，e =
_____ ．(用分数表示) 【答案】
163
60
【解析】 【分析】
由题意利用逐次求导的方法计算t 的值即可. 【详解】
当5n =时，2345
012345x e a a x a x a x a x a x =++++++
，令0x =可得：01a =，
第一次求导可得：234
123452345x e a a x a x a x a x =+++++，令0x =可得：11a =，
第二次求导可得：23
2345261220x e a a x a x a x =++++，令0x =可得：212
a =
， 第三次求导可得：2
34562460x e a a x a x =+++，令0x =可得：316
a =
， 第四次求导可得：4524120x
e a a x =++，令0x =可得：4124
a =
， 第五次求导可得：5120x
e a =+
，令0x =可得：51120
a =
， 2345012345x e a a x a x a x a x a x =++++++
中，
令1x =可得：012345e a a a a a a =++++++
，
则111116311262412060e =+++++=. 故答案为：163
60
．
【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
14．已知函数32
,2()(1),2
x f x x
x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，令()()1g x f x kx =-+，若函数()g x 有四个零点，则实数k 的取值范围为__________． 【答案】3
14
k << 【解析】 【分析】
可作出()f x 的图像，将问题转化为函数()f x 与直线1y kx =-的交点问题，观察图像可得到答案. 【详解】
当()0g x =时，(x)kx 1f =-，
可理解为函数()f x 与直线1y kx =-的交点问题（如图）
令3()(1)h x x =-，有2
'()3(1)h x x =-，设切点P 的坐标为00(,)x y ， 则过点P 的切线方程为()()
()3
2
000131y x x x x --=--，
将点(0,1)-坐标代入可得：()()3
2
0001131x x x ---=--， 整理为：(
)
3
2
2
00000033321x x x x x x -+-=--+，
解得：00x =或2
00230x x -=，得00x =或032
x =
， 故33'()24f =，而(0,1)-，(2,1)两点之间的斜率为
1(1)
120--=-， 故3
14
k <<. 【点睛】
本题主要考查零点及交点问题，过点的切线问题，意在考查学生的划归能力， 分析能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.
15．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3
)的最大值为______．
【答案】15 【解析】
如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x(x>0)，则1332OG x =
⨯3
6
x =. ∴356
FG SG x ==-，
22
22
33566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3553x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴三棱锥的体积21
133553
33ABC V S
h x x ⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
451535123x x =-. 设()4535n x x x =-
，x>0，则()34
5320n x x x '=-， 令()0n x '=，即4
3
403
x -=，得43x ，易知()n x 在43x 处取得最大值. ∴max 15
485441512
V =
⨯⨯-=.
点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.
16．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ︒∠=，
60BAA DAA ︒''∠=∠=，则AC '的长为________
85【解析】 【分析】
可得AC AC CC AB AD AA '=+'=++'，由数量积的运算可得2||AC '，开方可得； 【详解】 如图所示：
AC AC CC AB AD AA '=+'=++'，
故2
2
2
22||||AC AB AD AA AB AD AA '=++'=++'2()AB AD AB AA AD AA ++'+'
22211
4352(4304535)8522
=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
故AC '的长等于||85AC '=. 故答案为：85 【点睛】
本题考查空间向量模的计算，选定,,AB AD AA '为基底是解决问题的关键，属中档题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 平均温度/x C ︒ 21 23 25 27 29 31 33 平均产卵数y /个
7 11 21 24 66 115 325 ln z y =
1.9
2.4
3.0
3.2
4.2
4.7
5.8
（1）根据散点图判断，y bx a =+与dx
y ce =（其中 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到0.01）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28C ︒以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28C ︒以上的概率为p .记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率0p .
附：回归方程y bx a =+中，()()()
1
12
2
21
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-.
【答案】（1）0.272 3.849x y e -=； （2）当35p =时，()max 3216
5625f p f ⎛⎫==
⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）根据散点图判断dx
y ce =更适宜作为y 关于x 的回归方程类型；对dx
y ce =两边取自然对数，求出回
归方程，再化为y 关于x 的回归方程；
（2）由()f p 对其求对数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应的p 值. 【详解】
解：（1）由散点图可以判断，dx
y ce =适宜作为卵数y 关于温度x 的回归方程类型.
对dx
y ce =两边取自然对数，得ln ln y c dx =+， 由数据得(
)
7
1740.180i i i x z xz =-=∑
，
(
)
7
7
2
2
21
1
7147.700i i i i x x
x x ==-=-=∑∑，
所以()
7
7
1
2
2
1
147.700
740.180
0.2772i i
i i i x z
x x
z x
b ==-=
-=
≈∑∑，ln 3.849c z d x =-=-，
所以z 关于x 的线性回归方程为0.272 3.849z x =-，
y 关于x 的回归方程为0.272 3.849x y e -=.
（2）由()()2
3
351f p C p p =⋅-得()()()325135f p C p p p '=⋅--，
因为01p <<，令()0f p '>得350p ->，解得305
p <<
； 所以()f p 在30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以()f p 有唯一的极大值为35f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，也是最大值； 所以当35p =时，()max 3216
5625f p f ⎛⎫==
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了概率的计算与应用问题，属于中档题. 18．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23
BCD π
∠=
，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.
（1）求证：EF ⊥平面BCF ； （2）求二面角A FB C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（27
【解析】 【分析】
（1）要证EF ⊥平面BCF ，可证AC ⊥平面BCF 即可，通过勾股定理可证明
BC AC ⊥，再利用线面垂直可证AC CF ⊥，于是得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面FAB 的一个法向量和平面FCB 的一个法向量，再利用数量积公式即得答案. 【详解】
（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，设1AD CD BC === 又∵23
BCD π
∠=
，∴2AB = ∴2222cos603AC AB BC AB BC ︒=+-⋅⋅= ∴222AB AC BC =+，则BC AC ⊥ ∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD
∴AC CF ⊥，而CF BC C =
∴AC ⊥平面BCF
∵//EF AC ，∴EF ⊥平面BCF
（2）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 设1AD CD BC CF ====
则(0,0,0)C
，A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)F ，
∴(AB =-，(0,1,1)BF =-， 设(,,)n x y z =为平面FAB 的一个法向量，
由00
n AB n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得0
0y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =
，则(1,3,n =
∵(1,0,0)m =是平面FCB 的一个法向量，
∴cos ,7||||7
n m n m n m
⋅<>=
== ∴二面角A FB C --的余弦值为7
. 【点睛】
本题主要考查线面垂直证明，二面角的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.
19．在平面直角坐标系
xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C
的极坐标
方程为2
sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为2,2
4x y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），两曲线相交于M ，N 两点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若(2,4)P --，求PM PN +的值.
【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为
2
4y x =；直线l 的普通方程为20x y --=.（2）【解析】 【分析】
(1)利用cos ,sin x y ρθρθ==可以把极坐标方程为直角坐标方程；对于参数方程，消去参数t 可得普通方程.
(2)把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求解.
【详解】
(1)由2
sin 4cos ρθθ=,可得()2
sin 4cos ρθρθ=，
则曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =.
由2,42
x y t ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）， 消去t ，得直线l 的普通方程为20x y --=.
(2)把直线l 的参数方程代入2
4y x =,
得到2480t -+=, 设点M ，N 对应的参数分别为12,t t ，
则1212+=480,t t t t >
所以120,0t t >>
，则12=+PM PN t t +. 【点睛】
本题考查极坐标与参数方程的综合问题，考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化.
20．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且12
2
1
,.n
i i
i n
i
i x y nxy
b a y bx x
nx ==-=
=--∑∑.
（Ⅰ）求A 的值；
（Ⅱ）
若b c -=ABC
a 的值. 【答案】 (1)60A =︒. (2)3a =. 【解析】
试题分析：（1
2sin cos 0A A A -=，由锐角三角形，得cos 0A ≠
，sin A =，所以60A =；（2）由1
sin 2
ABC S bc A ∆=，得4bc =，所以2213b c +=，由余弦定理解得3a =． 试题解析： (Ⅰ)
()3cos sin20A B C +
+=，
()sin2sin20A A A A π+
-=-=
2sin cos 0A A A -=,
又ABC ∆为锐角三角形，∴ cos 0A ≠，sin 2
A =
, ∴ 60A =.
(Ⅱ)由11sin 222
ABC S bc A bc ∆=
=⋅=4bc =, 2
2225b c b c bc -=+-=，2213b c ∴+=, 2221
2cos 132492
a b c bc A ∴=+-=-⨯⨯
=， 即3a =.
点睛：本题考查解三角形的应用．解三角形在高考中属于基本题型，学生必须掌握其基本解法．本题中涉及到三角形的转化，二倍角公式的应用，以及面积公式、余弦定理的应用．学生需充分掌握三角函数化简及解三角形的公式，才能把握解题． 21．已知函数()ln f x x a x =-.
（1）若()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，()f x m =有两个不同的零点12,x x ，求证：121x x m +>+. 【答案】（1）1；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求导得到()a
f x x x
'-=，讨论0a ≤和0a >两种情况，根据函数单调性得到()ln 1f a a a a =-=，解得答案.
（2）要证明121x x m +>+，只需要证明()111ln 1ln 0x x ---<，设()()()1ln 1ln 01h x x x x =---<<，求导得到单调性，得到()()10h x h <=，得到证明. 【详解】
（1）由已知得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1a x a f x x x
'
-=-
=， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增， 且当0x →时，()f x →-∞，不合题意； 当0a >时，由()0f x '=得x a =，
所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()f x 在x a =处取到极小值，也是最小值
()ln f a a a a =-，由题意，()ln 1f a a a a =-≥恒成立，
令()ln g x x x x =-，()ln g x x '=-，()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
所以()()ln 11g x x x x g =-≤=，所以()ln 1f a a a a =-=，即1a =. （2）()ln f x x x =-，且()f x 在1x =处取到极小值1，
又0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，故1m 且1201x x <<<， 要证明：121x x m +>+，只需证明211x m x >+-，又2111x m x >+->， 故只需证明：()()211f x f m x >+-，即证：()11m f m x >+-， 即证：()111ln 1m m x m x >+--+-，即证：()111ln 1ln 0x x ---<，
设()()()1ln 1ln 01h x x x x =---<<，则()()()1
1ln 11ln 1ln x x x
h x x x x x -+'=-+=--，
因为01x <<，所以()1ln 0x x ->，由（1）知ln 1x x ≤-恒成立， 所以11
ln
1,ln 1x x x x x
≤-∴-≤-，即1ln 0x x x -+≥， 所以()h x 在01x <<上为增函数，所以()()10h x h <=，即命题成立. 【点睛】
本题考查了不等式恒成立，零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.
22．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
【答案】 (1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【解析】 【分析】
（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于
，
，分别写出分布列，
再求期望值均为；
（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】
（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：，
∴
，，
，
∴X 的分布列为：
X 1 2 3
P
∴．
，
∴，，
，，
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
∴．
（2），
，
∵，
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
【点睛】
本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.。