[k12精品]2018北师大版高中数学必修一学案：第二章 2.2 函数的表示法(一)

2.2函数的表示法(一)

学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图像上获取有用的信息．

知识点一解析法

思考一次函数如何表示？

梳理一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．

知识点二图像法

思考要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？

梳理用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法．

知识点三列表法

思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？

梳理用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．

函数三种表示法的优缺点：

类型一 解析式的求法

例1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数； (2)f (x ＋1x )＝x 2＋1

x 2；

(3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .

反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．

(2)如果已知f (g (x ))的表达式，想求f (x )的解析式，可以设 t ＝g (x )，然后把f (g (x ))中每一个x 都换成t 的表达式．

(3)如果条件是一个关于f (x )、f (－x )的方程，我们可以用x 的任意性进行赋值．如把每一个x 换成－x ，其目的是再得到一个关于f (x )、f (－x )的方程，然后消元消去f (－x )． 跟踪训练1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9； (2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1； (3)2f (1

x )＋f (x )＝x (x ≠0)．

类型二 图像的画法及应用 命题角度1 画函数图像

例2 试画出函数y ＝1－x 2的图像．

反思与感悟 描点法作函数图像的三个关注点

(1)画出函数图像时首先应关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．

(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．

跟踪训练2 作出下列函数的图像并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2

x ，x ∈[2，＋∞)；

(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．

命题角度2 函数图像的应用

例3 已知f (x )的图像如图所示，则f (x )的定义域为________，值域为________．

反思与感悟 函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解． 跟踪训练3 函数f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥0)的图像与y ＝m 有两个交点，求实数m 的取值范围．

类型三列表法及函数表示法的选择

例4下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.

(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；

(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．

反思与感悟函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．

跟踪训练4若函数f(x)如下表所示：

则f(f(1))＝________.

1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()

A.1 B．2 C．3 D．4

2．如果二次函数的图像开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是()

A．f(x)＝x2－1

B．f(x)＝－(x－1)2＋1

C．f(x)＝(x－1)2＋1

D．f(x)＝(x－1)2－1

3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为()

A．y＝

2

2x B．y＝

2

4x

C．y＝

2

8x D．y＝

2

16x

4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑步，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是()

5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图像，并求出y的最大值，最小值．

1．如何求函数的解析式

求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．

2．如何作函数的图像

一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再根据所列表中的点描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．

3．如何用函数图像

常借助函数图像研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图像交点问题．

答案精析

问题导学 知识点一

思考 y ＝kx ＋b (k ≠0)． 知识点二

思考 一张二寸照片． 知识点三

思考 对于任意一个人的序号x ，都有一个他写的数字y 与之对应，故x ，y 之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x 的值与y 的值之间的对应关系． 题型探究

例1 解 (1)由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，

由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2

＝2，

ab ＋b ＝－1，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－2，

b ＝1＋ 2.

∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－ 2 或f (x )＝－2x ＋1＋ 2. (2)∵f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2

＝(x ＋1

x )2－2，

∴f (x )＝x 2－2.

又x ≠0，∴x ＋1x ≥2或x ＋1

x

≤－2，

∴f (x )中的x 与f (x ＋1x )中的x ＋1

x

取值范围相同，