(北京卷)十年真题(2010-2019)高考数学真题分类汇编 专题10 平面解析几何选择填空题 文(含解析)

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十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解10解析几何部分

十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解10解析几何部分

十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解10解析几何部分一、选择题(共26小题;共130分)1. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A. (x−1)2+(y−1)2=1B. (x+1)2+(y+1)2=1C. (x+1)2+(y+1)2=2D. (x−1)2+(y−1)2=22. 双曲线x24−y29=1的渐近线方程是( )A. y=±32x B. y=±23x C. y=±94x D. y=±49x3. 若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3,则其渐近线方程为( )A. y=±2xB. y=±√2xC. y=±12x D. y=±√22x4. 双曲线x2−y2m=1的离心率大于√2的充分必要条件是( )A. m>12B. m≥1C. m>1D. m>25. 圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√26. 在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是( )A. B.C. D.7. 若点P到直线x=−1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线8. 设动点P在直线x=1上,O为坐标原点.以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ,则动点Q的轨迹是( )A. 圆B. 两条平行直线C. 抛物线D. 双曲线9. 双曲线x2b2−y2a2=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 310. 椭圆 {x =4+5cosφy =3sinφ(φ 为参数)的焦点坐标为 ( )A. (0,0),(0,−8)B. (0,0),(−8,0)C. (0,0),(0,8)D. (0,0),(8,0)11. " m =12 "是"直线 (m +2)x +3my +1=0 与直线 (m −2)x +(m +2)y −3=0 相互垂直"的( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件12. 从原点向圆 x 2+y 2−12y +27=0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π13. 椭圆短轴长是 2,长轴长是短轴的 2 倍,则椭圆中心到其准线距离是 ( )A. 85√5 B. 45√5 C. 83√3 D. 43√314. 已知 F 1 、 F 2 是椭圆x 216+y 29=1 的两焦点,过点 F 2 的直线交椭圆于点 A 、 B ,若 ∣AB ∣=5,则∣AF 1∣+∣BF 1∣= ( ) A. 11B. 10C. 9D. 1615. 如图,直线 l:x −2y +2=0 过椭圆的左焦点 F 1 和一个顶点 B ,该椭圆的离心率为 ( )A. 15B. 25C. √55D.2√5516. 在抛物线 y 2=2px 上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为 ( )A. 12B. 1C. 2D. 417. 椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的焦点为 F 1,F 2,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N ,若 ∣MN∣≤2∣∣F 1F 2∣,则该椭圆离心率的取值范围是 ( )A. (0,12]B. (0,√22] C. [12,1)D. [√22,1) 18. "双曲线的方程为x 29−y 216=1 "是"双曲线的准线方程为 x =±95"的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 直线 l 过抛物线 C:x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ( )4816√220. 已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 121. 已知圆C:(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90∘,则m的最大值为( )A. 7B. 6C. 5D. 422. 某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为( )A. 5B. 7C. 9D. 1123. 过直线y=x上的一点作圆(x−5)2+(y−1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们之间的夹角为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘24. 已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为∣a∣,∣b∣,∣c∣的三角形( )A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C. 是钝角三角形D. 不存在25. 如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是( )A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线26. 点P在直线l:y=x−1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且∣PA∣=∣AB∣,则称点P为" A点",那么下列结论中正确的是( )A. 直线l上的所有点都是" A点"B. 直线l上仅有有限个点是" A点"D. 直线l上有无穷多个点(但不是所有的点)是" A点"二、填空题(共29小题;共145分)27. 若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=;准线方程为.28. 直线y=x被圆x2+(y−2)2=4截得的弦长为.29. 若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a的值等于.30. 直线x−√3y+a=0(a为实常数)的倾斜角的大小是.31. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(√5,0),则a=;b=.32. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=.33. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.34. 设双曲线C的两个焦点为(−√2,0),(√2,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为.35. 设双曲线C经过点(2,2),且与y24−x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.36. 在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60∘,则△OAF的面积为.37. 若点P(m,3)到直线4x−3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=.38. 已知(2,0)是双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一个焦点,则b=.39. 已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的一条渐近线为√3x+y=0,则a=.40. 如图,F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为√3的正三角形,则b2的值是.41. 已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=.42. 圆 x 2+(y +1)2=1 的圆心坐标是 ,如果直线 x +y +a =0 与该圆有公共点,那么实数 a 的取值范围是 . 43. 以双曲线 x 216−y 29=1 右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是 .44. 若直线 mx +ny −3=0 与圆 x 2+y 2=3 没有公共点,则 m ,n 满足的关系式为 ;以(m,n ) 为点 P 的坐标,过点 P 的一条直线与椭圆x 27+y 23=1 的公共点有 个.45. 曲线 C :{x =cosθ,y =−1+sinθ(θ 为参数)的普通方程是 ,如果曲线 C 与直线 x +y +a =0有公共点,那么实数 a 的取值范围是 .46. 三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中 A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点 B i 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i =1,2,3. (1)记 Q i 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数,则 Q 1,Q 2,Q 3 中最大的是 .(2)记 p i 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则 p 1,p 2,p 3 中最大的是 .47. 若双曲线 x 2−y 2m =1 的离心率为 √3,则实数 m = .48. 已知点 P 在圆 x 2+y 2=1 上,点 A 的坐标为 (−2,0),O 为原点,则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .49. 已知 x ≥0,y ≥0,且 x +y =1,则 x 2+y 2 的取值范围是 .50. 椭圆 x 29+y 22=1 的焦点为 F 1,F 2,点 P 在椭圆上,若 ∣PF 1∣=4,则 ∣PF 2∣= ;∠F 1PF 2的大小为 .51. 在极坐标系中,直线 ρcosθ−√3ρsinθ−1=0 与圆 ρ=2cosθ 交于 A ,B 两点,则∣AB∣= .52. 椭圆 x 2+4y 2=4 长轴上一个顶点为 A ,以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是 .53. 曲线 C 是平面内与两个定点 F 1(−1,0) 和 F 2(1,0) 的距离的积等于常数 a 2(a >1) 的点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称;③若点 P 在曲线 C 上,则 △F 1PF 2 的面积不大于 12a 2.其中,所有正确结论的序号是.54. 设A(0,0),B(4,0),C(t+4,3),D(t,3)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则N(0)=;N(t)的所有可能取值为.55. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f(x),则f(x)的最小正周期为;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为.说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续,类似地,正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动.三、解答题(共28小题;共364分)56. 已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.57. 如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.58. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为√22,直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积为√103时,求k的值.59. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上的一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:∣AN∣⋅∣BM∣为定值.60. 已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积;(2)当∠ABC=90∘,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.61. 设A(−c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.62. 已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63,右焦点为(2√2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(−3,2).(1)求椭圆G的方程;(2)求△PAB的面积.63. 已知点A(2,8)、B(x1,y1)、C(x2,y2)均在抛物线y2=2px上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;(2)求线段BC中点M的坐标;(3)求BC所在直线的方程.64. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,右准线方程为x=√33.(1)求双曲线C的方程;(2)已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+ y2=5上,求m的值.65. 如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域;(2)求面积S的最大值.66. 已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若直线AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.67. 已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为√32.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4:5.68. 已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.69. 已知椭圆G:x24+y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将∣AB∣表示为m的函数,并求∣AB∣的最大值.70. 已知曲线C:(5−m)x2+(m−2)y2=8(m∈R).(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.71. 如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2y0的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.72. 已知椭圆:C:x2a2+y2b2=1过点A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.73. 已知椭圆G:x24+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将∣AB∣表示为m的函数,并求∣AB∣的最大值.74. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示).(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.75. 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(−√2,0),(√2,0),离心率是√63,直线y=t与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P.(1)求椭圆C的方程;(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;(3)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.76. 直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:x24+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.77. 如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB.求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.78. 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x−3y−6=0,点T(−1,1)在AD边所在直线上.(1)求AD边所在直线的方程;(2)求矩形ABCD外接圆的方程;(3)若动圆P过点N(−2,0),且与矩形ABCD的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.79. 在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(−1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于−13.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.80. 已知抛物线y2=2px(p>0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A,B.(1)若∣AB∣≤2p,求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交AB于点Q,交x轴于点N,试求Rt△MNQ的面积.81. 如图,A1,A2为椭圆的两个顶点,F1,F2为椭圆的两个焦点.(1)写出椭圆的方程及准线方程;(2)过线段OA2上异于O,A2的任一点K作OA2的垂线,交椭圆于P,P1两点,直线A1P与AP1交于点M.求证:点M在双曲线x225−y29=1上.82. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,右准线方程为x=√33.(1)求双曲线C的方程;(2)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.83. 已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=−1相切,点C在l上.(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;(2)设过点P,且斜率为−√3的直线与曲线M相交于A,B两点.(i)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由;(ii)当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.答案第一部分 1. D2. A3. B【解析】由离心率为 √3,可知 c =√3a ,所以 b =√2a .所以渐近线方程为 y =±ba x =±√2x . 4. C【解析】【解析】 ∵双曲线x^2-\dfrac{y^{2}}{m}=1的离心率e=\sqrt{1+m},又∵e>\sqrt{2},∴\sqrt{1+m}>\sqrt{2},∴m>1. 【答案】 C 5. C【解析】由于圆 (x +1)2+y 2=2 的圆心为 (−1,0),则圆心 (−1,0) 到直线 x −y +3=0 的距离为√2=√2.6. D 【解析】方程 a 2x 2+b 2y 2=1 可化为x 21a 2+y 21b 2=1,因为 a >b >0,所以方程 a 2x 2+b 2y 2=1 表示焦点在 y 轴的椭圆;方程 ax +by 2=0 可化为 y 2=−ab x ,表示焦点在 x 轴负半轴的抛物线. 7. D 【解析】若点 P 到直线 x =−1 的距离比它到点 (2,0) 的距离小 1,则点 P 到直线 x =−2 的距离等于它到点 (2,0) 的距离.8. B【解析】设点 P 、 Q 坐标分别为 P (1,t ),Q (x,y ),由 OP ⊥OQ ,得 x +ty =0. ⋯⋯①由 ∣OP ∣=∣OQ ∣,得 x 2+y 2=t 2+1. ⋯⋯② 由 ①② 消去 t ,得 (x 2+y 2)(1−1y 2)=0.因为 x 2+y 2≠0,所以 1−1y 2=0,即 y =±1.因此,动点 Q 的轨迹方程为 y =±1,它表示两条平行线. 9. C【解析】渐近线方程为 y =±axb ,由题得 −ab ⋅ab =−1,得 a 2=b 2,则 e =√b 2+a 2b 2=√2.10. D【解析】提示:因为椭圆的直角坐标方程为 (x−4)225+y 29=1,相当于椭圆x 225+y 29=1 的焦点 (−4,0) 、(4,0) 向右平移 4 个单位.11. B 12. B 13. D 14. A 【解析】由椭圆定义,可得 ∣AF 1∣+∣AF 2∣+∣BF 1∣+∣BF 2∣=4a ,∴ ∣AF 1∣+∣BF 1∣+∣AB ∣=16,∴ ∣AF 1∣+∣BF 1∣=11. 15. D【解析】提示:显然 c =2,b =1.16. C 17. D 【解析】∵ ∣MN∣≤2∣∣F 1F 2∣,∴ 2a 2c≤4c .18. A 19. C 【解析】由题意可知,l 的方程为 y =1.如图,B 点坐标为 (2,1),所以所求面积S=4−2∫02x 24dx=4−2(x312)∣ 02=83.20. A【解析】根据题意,S△ABC=12×∣AB∣×ℎ=12×2√2×ℎ=2,解得ℎ=√2,即点C到直线AB的距离为√2.问题转化为与直线AB距离为√2的直线与抛物线交点的个数.由两平行线间的距离公式,得与直线AB距离为√2的直线方程为y=−x或y=−x+4,分别将直线与抛物线方程联立,解得这两直线与抛物线分别有2个交点,因此,共有4个不同的C点满足条件.21. B 【解析】如图,当以AB为直径的圆和圆C内切时,m取最大值.22. C 【解析】各点都和原点分别连接,看哪个点连出的斜率最大即可.23. C 24. B 25. D【解析】因为P到直线C1D1的距离就是P到点C1的距离,所以点P到直线BC与到点C1的距离相等,故动点P的轨迹所在的曲线是以C1为焦点、以直线BC为准线的抛物线.26. A 【解析】设P(a,a−1),A(x0,x02),则由∣PA∣=∣AB∣且三点共线可得B点的坐标为(2x0−a,2x02−a+1),由B点在抛物线上知:2x02−a+1=(2x0−a)2=4x02−4ax0+a2,整理得:2x02−4ax0+a2+a−1=0.从而知x0为方程2x2−4ax+a2+a−1=0的解,当此方程有解时,对应的点P(a,a−1)为" A点".而此方程的判别式Δ=16a2−8(a2+a−1)=8(a2−a+1)>0恒成立.所以直线l上的所有点都是" A点".第二部分27. 2,x=−128. 2√229. 430. 30∘31. a=1,b=2【解析】y=±2x,所以ba =21,c2=5,所以a=1;b=2.32. 2【解析】因为两条渐近线是正方形OABC的相邻两边,所以夹角为90∘,可知渐近线的斜率为±1.所以±ba=±1,a=b.因为B为该双曲线的焦点,所以c=2√2,由a2+b2=c2=8,a=b可得a=2.33. (±4,0),y=±√3x34. x2−y2=135. x23−y212=1,y=±2x36. √3【解析】如图,过点A作准线的垂线段AM,设AF=t,则AM=t,FN=12t,因为AM=PN=PF+FN,所以t=2+12t,所以AF=t=4,所以AN=2√3,所以S△OAF=12OF⋅AN=√3.37. −338. √339. √3340. 2√3【解析】提示:正三角形面积为√3,故边长为2,从而c=2,P(1,√3),F1(−2,0).从而2a=∣PF1∣+∣PF2∣=2√3+2,故b2=(√3+1)2−4=2√3.41. 2【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为y=±bx,得b=2.42. (0,−1),1−√2≤a≤1+√243. y2=−36(x−4)44. 0<m2+n2<3,2【解析】由直线mx+ny−3=0与圆x2+y2=3没有公共点,得0<m2+n2<3;由0<m2+n2<3,得P点在以原点为圆心、√3为半径的圆面内运动(不含原点和圆周),无论如何运动,它总是在椭圆的内部,因此过点P的直线与椭圆x 27+y23=1一定有两个公共点.45. x2+(y+1)2=1,[1−√2,1+√2]46. Q1,p2【解析】(1)若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标;Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标,Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标,由已知中图象可得:Q1,Q2,Q3中最大的是Q1;(2)若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p i为A i B i中点与原点连线的斜率,故p1,p2,p3中最大的是p2.47. 248. 649. [12,1]50. 2;120∘【解析】因为a=3,b=√2,c=√a2−b2=√7,所以∣PF2∣=2a−∣PF1∣=2,由余弦定理,有cos∠F1PF2=∣PF1∣2+∣∣PF2∣2−∣∣F1F2∣22∣∣PF1∣∣PF2∣=42+22−(2√7)22×4×2=−12,又0∘<∠F1PF2<180∘,因此∠F1PF2=120∘.51. 2【解析】x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以ρcosθ−√3ρsinθ−1=0可以变形为x−√3y−1=0,ρ=2cosθ可以变形为(x−1)2+y2=1.因为直线x−√3y−1=0经过(1,0)点,圆(x−1)2+y2=1的圆心也是(1,0),所以交线AB为直径.又因为r=1,2r=2,所以∣AB∣=2.52. 1625【解析】原方程可化为x 24+y2=1,则a2=4,b2=1,从而a=2,b=1,c=√3.设等腰直角三角形另外两个顶点为(x,y)(y>0),(x,−y)(y>0),由等腰三角形性质可得2−x=y,代入椭圆方程解得y=45,因此该三角形的面积是S=1625.53. ②③【解析】对于①,若C过原点,则∣OF1∣∣OF2∣=a2,但a2>1,∣OF1∣∣OF2∣=1,矛盾,故①错误;对于②,对于C上任一点P,其关于原点的对称点设为Q,由于F1和F2也关于原点对称,故∣QF2∣=∣PF1∣,∣QF1∣=∣PF2∣,于是∣QF1∣⋅∣QF2∣=∣PF1∣⋅∣PF2∣=a2,故Q点也在C上,②正确.对于③,直接使用三角形面积公式有:SΔPF1F2=12∣PF1∣⋅∣PF2∣sin∠F1PF2≤a22,③正确.54. 6,6,7,8【解析】当t=0时,作图易知共有6个整点,即N(0)=6;如图分别确定直线AD,BC的方程,然后确定直线y=1,y=2与其交点的坐标依次为E(t3,1),G(t3+4,1),F(2t3,2),H(2t3+4,2),故当 t 3∈Z 时,则 2t3∈Z ,在线段 GE 上且在平行四边形内部的整点共有 3 个,在线段 FH 上且在平行四边形内部的整点共有 3 个,此时整点的个数共有 6 个;当 t3∉Z ,2t3∈Z 时,线段 GE 上满足条件的整点有 4 个,FH 上共有 3 个,故整点总数为 7 个; 当 t3∉Z ,2t3∉Z 时,线段 EG ,FH 上各有 4 个整点在平行四边形内部,故此时整点个数共有 8 个,综上可知 N (t ) 的所有取值为 6,7,8.55. 4,π+1【解析】当 0≤x ≤1 时,(x −1)2+y 2=1;当 1<x ≤3 时,(x −2)2+y 2=2;当 3<x ≤4 时,(x −3)2+y 2=1.故其在一个周期内的函数 y =f (x ) 的图象如图所示,所以 y =f (x ) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为S =14×π×1×2+14×π×(√2)2+12×1×1×2=π+1.第三部分56. (1) 因为 y 2=2px 过点 P (1,1), 所以 1=2p , 解得 p =12,所以抛物线方程为 y 2=x ,所以焦点坐标为 (14,0),准线为 x =−14.(2) 设过点 (0,12) 的直线方程为 y =kx +12,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 所以直线 OP 为 y =x ,直线 ON 为:y =y2x 2x ,由题意知 A (x 1,x 1),B (x 1,x 1y 2x 2),由 {y =kx +12,y 2=x 可得 k 2x 2+(k −1)x +14=0,所以 x 1+x 2=1−k k 2,x 1x 2=14k 2,所以 y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−k k 22×14k 2x1=2kx 1+(1−k )⋅2x 1=2x 1,所以 A 为线段 BM 的中点.57. (1) 由已知条件,可设抛物线的方程为 y 2=2px . 因为点 P (1,2) 在抛物线上, 所以 22=2p ⋅1,得 p =2.故所求抛物线的方程是 y 2=4x ,准线方程是 x =−1.(2) 设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB ,因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,所以k PA =−k PB .由 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 在抛物线上,得{y 12=4x 1,①y 22=4x 2,②所以y 1−214y 12−1=−y 2−214y 22−1,所以 y 1+2=−(y 2+2),所以 y 1+y 2=−4. 由① − ②得直线 AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4y1+y 2=−44=−1(x 1≠x 2).58. (1) 由题意得{a =2,c a =√22,a 2=b 2+c 2,解得b =√2.所以,椭圆 C 的方程为x 24+y 22=1.(2) 由{y =k (x −1),x 24+y 22=1,得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0.设点 M ,N 的坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1=k (x 1−1),y 2=k (x 2−1), x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−41+2k 2.所以∣MN ∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2.又因为点 A (2,0) 到直线 y =k (x −1) 的距离d =√1+k 2,所以 △AMN 的面积为S =12∣MN ∣⋅d =∣k ∣√4+6k 21+2k 2.由 ∣k∣√4+6k 21+2k 2=√103,解得 k =±1.59. (1) 由题意,得 ca =√32,12ab =1.又因为 a 2=b 2+c 2,解得 a =2,b =1,c =√3.故方程为 x 24+y 2=1.(2) 由题意得 P 不在顶点处,设 P (x 0,y 0)(x 0y 0≠0),x 024+y 02=1,即 x 02+4y 02=4.又因为 A (2,0),B (0,1),则直线 PA:y =y 0x0−2(x −2),令 x =0,得 M (0,−2y 0x 0−2).直线 PB:y =y 0−1x 0x +1,令 y =0,得 N (−x 0y 0−1,0).∣AN∣=∣∣∣2+x 0y 0−1∣∣∣=∣∣∣2y 0+x 0−2y 0−1∣∣∣,∣BM∣=∣∣∣1+2y 0x 0−2∣∣∣=∣∣∣2y 0+x 0−2x 0−2∣∣∣, ∣AN∣⋅∣BM∣=∣∣∣∣4y 0+x 02+4+4x 0y 0−4x 0−8y 0x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣∣=∣∣∣4+4+4x 0y 0−4x 0−8y 0x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣=4.60. (1) 因为 AB ∥l ,且 AB 边通过点 (0,0),所以 AB 所在直线的方程为y =x.设 A ,B 两点坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2).由{x 2+3y 2=4,y =x,得x =±1.所以∣AB∣=√2∣∣x 1−x 2∣=2√2. 又因为 AB 边上的高 ℎ 等于原点到直线 l 的距离. 所以 ℎ=√2,所以S △ABC =12∣AB∣⋅ℎ=2.(2) 设 AB 所在直线的方程为 y =x +m ,由{x 2+3y 2=4,y =x +m,得4x 2+6mx +3m 2−4=0.因为 A ,B 在椭圆上,所以Δ=−12m 2+64>0.设 A ,B 两点坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1+x 2=−3m2,x 1x 2=3m 2−44,所以∣AB∣=√2∣∣x 1−x 2∣=√32−6m 22. 又因为 BC 的长等于点 (0,m ) 到直线 l 的距离,即∣BC∣=−m∣√2.所以∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2=−m 2−2m +10=−(m +1)2+11.所以当 m =−1 时,AC 边最长(这时 Δ=−12+64>0),此时 AB 所在直线的方程为y =x −1.61. 设动点 P 的坐标为 (x,y ) . 由 ∣PA∣∣PB∣=a (a >0) ,得 √(x+c )2+y 2√(x−c )2+y 2=a .化简得(1−a 2)x 2+2c (1+a 2)x +c 2(1−a 2)+(1−a 2)y 2=0.当 a ≠1 时,得x 2+2c (1+a 2)1−a2x +c 2+y 2=0, 整理得(x −1+a 2a 2−1c)2+y 2=(2ac a 2−1)2.当 a =1 时,化简得 x =0 . 所以当 a ≠1 时, P 点的轨迹是以 (a 2+1a 2−1c,0) 为圆心, ∣∣2ac a 2−1∣∣为半径的圆;当 a =1 时, P 点的轨迹为 y 轴. 62. (1) 由已知得 c =2√2,ca =√63.解得 a =2√3.又 b 2=a 2−c 2=4.所以椭圆 G 的方程为x 212+y 24=1.(2) 设直线 l 的方程为 y =x +m .由{y =x +m,x 212+y 24=1,得4x 2+6mx +3m 2−12=0. ⋯⋯①设 A,B 的坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1<x 2),AB 中点为 E (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=−3m 4,y 0=x 0+m =m4.因为 AB 是等腰 △PAB 的底边,所以 PE ⊥AB . 所以 PE 的斜率k =2−m 4−3+3m 4=−1.解得 m =2.此时方程 ① 为 4x 2+12x =0.解得x 1=−3,x 2=0.所以y 1=−1,y 2=2.所以 ∣AB ∣=3√2.此时,点 P (−3,2) 到直线 AB:x −y +2=0 的距离d =√2=3√22, 所以 △PAB 的面积 S =12∣AB ∣⋅d =92.63. (1) 因为点 A (2,8) 在抛物线 y 2=2px 上,所以82=2p ⋅2,解得p =16.所以抛物线方程为 y 2=32x ,焦点 F 的坐标为 (8,0).(2) 如图,由 F (8,0) 是 △ABC 的重心,M (x 0,y 0) 是 BC 的中点,所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即(6,−8)=2(x 0−8,y 0),解得x 0=11,y 0=−4.所以点 M 的坐标为 (11,−4).(3) 由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,则 BC 所在的直线不垂直于 x 轴. 设直线 BC 的方程为y +4=k (x −11)(k ≠0),由{y +4=k (x −11),y 2=32x,消去 x 得ky 2−32y −32(11k +4)=0,所以y 1+y 2=32k,由(2)的结论得y 1+y 22=−4, 解得k =−4.因此,BC 的方程为 4x +y −40=0. 64. (1) 由题意得{a 2c =√33,ca=√3. 解得 a =1,c =√3. 所以 b 2=c 2−a 2=2. 所以双曲线 C 的方程为 x 2−y 22=1.(2) 设 A ,B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2),线段 AB 的中点为 M (x 0,y 0).由{x −y +m =0x 2−y 22=1得 x 2−2mx −m 2−2=0(判别式 Δ>0),所以x 0=x 1+x 22=m,y 0=x 0+m =2m. 因为点 M (x 0,y 0) 在圆 x 2+y 2=5 上,所以 m 2+(2m )2=5. 故 m =±1.65. (1) 依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O −xy (如图),则点 C 的横坐标为 x ,点 C 的纵坐标 y 满足方程x 2r 2+y 24r 2=1(y ≥0), 解得y =2√r 2−x 2(0<x <r ),所以S=12(2x +2r )⋅2√r 2−x 2=2(x +r )⋅√r 2−x 2,其定义域为 {x∣ 0<x <r }.(2) 记 f (x )=4(x +r )2(r 2−x 2),0<x <r ,则fʹ(x )=8(x +r )2(r −2x ).令 fʹ(x )=0,得x =12r.因为当 0<x <r 2时,fʹ(x )>0;当 r2<x <r 时,fʹ(x )<0,所以 f (12r) 是 f (x ) 的最大值.因此,当 x =12r 时,S 也取得最大值,最大值为√f (12r)=3√32r 2.即梯形面积 S 的最大值为3√32r 2. 66. (1) 椭圆 C 的标准方程为 x 23+y 2=1, 所以 a =√3,b =1,c =√2. 所以椭圆 C 的离心率 e =c a=√63. (2) 因为直线 AB 过点 D (1,0) 且垂直于 x 轴, 所以可设 A (1,y 1),B (1,−y 1),直线 AE 的方程为 y −1=(1−y 1)(x −2). 令 x =3 得 M (3,2−y 1). 所以直线 BM 的斜率 k BM =2−y 1+y 13−1=1.(3) 直线 BM 与直线 DE 平行.理由如下:当直线 AB 的斜率不存在时,由(2)可知 k BM =1. 又因为直线 DE 的斜率 k DE =1−02−1=1,所以 BM ∥DE . 当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y =k (x −1)(k ≠1). 设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则直线 AE 的方程为 y −1=y 1−1x 1−2(x −2).令 x =3,得点 M (3,y 1+x 1−3x 1−2).直线和椭圆方程联立得{x 23+y 2=1,y =k (x −1),消去 y 得(1+3k 2)x 2−6k 2x +3k 2−3=0,所以x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2−31+3k 2.直线 BM 的斜率 k BM =y 1+x 1−3x 1−2−y 23−x 2.因为k BM −1=k (x 1−1)+x 1−3−k (x 2−1)(x 1−2)−(3−x 2)(x 1−2)(3−x 2)(x 1−2)=(k−1)[−x 1x 2+2(x 1+x 2)−3](3−x 2)(x 1−2)=(k−1)(−3k 2+31+3k 2+12k 21+3k 3−3)(3−x 2)(x 1−2)=0.所以 k BM=1=k DE ,所以 BM ∥DE .综上可知,直线 BM 与直线 DE 平行.67. (1) 由椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆方程:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0),则 a =2,e =c a=√32,则 c =√3,b 2=a 2−c 2=1, 所以椭圆 C 的方程x 24+y 2=1;(2) 设 D (x 0,0)(−2<x 0<2),M (x 0,y 0),N (x 0,−y 0),y 0>0,由 M ,N 在椭圆上,则 x 024+y 02=1,则 x 02=4−4y 02,则直线 AM 的斜率 k AM =y 0−0x 0+2=y 0x+2,直线 DE 的斜率 k DE =−x 0+2y 0,直线DE 的方程:y =−x 0+2y 0(x −x 0),直线 BN 的斜率 k BN =−y 0x 0−2,直线 BN 的方程 y =−y 0x 0−2(x −2),{y =−x 0+2y 0(x −x 0),y =−y 0x 0−2(x −2), 解得:{x =4x 0+25,y =−45y 0, 过 E 做 EH ⊥x 轴,△BHE ∽△BDN ,则 ∣EH∣=4y 05,则 ∣EH∣∣ND∣=45,所以 △BDE 与 △BDN 的面积之比为 4:5. 68. (1) 由题意,椭圆 C 的标准方程为x 24+y 22=1, 所以 a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2−b 2=2,因此a =2,c =√2,故椭圆 C 的离心率e =c a =√22.(2) 设点 A ,B 的坐标分别为 (t,2),(x 0,y 0),其中 x 0≠0, 因为 OA ⊥OB ,所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 tx 0+2y 0=0,解得t =−2y 0x 0, 又 x 02+2y 02=4,所以∣AB ∣2=(x 0−t )2+(y 0−2)2=(x 0+2y 0x 0)2+(y 0−2)2=x 02+y 02+4y 02x 02+4=x 02+4−x 022+2(4−x 02)x 02+4=x 022+8x 02+4(0<x 02≤4), 因为x 022+8x 02≥4(0<x 02≤4), 且当 x 02=4 时等号成立,所以 ∣AB ∣2≥8,故线段 AB 长度的最小值为 2√2.69. (1) 由已知得a =2,b =1,所以c =√a 2−b 2=√3.所以椭圆 G 的焦点坐标为(−√3,0),(√3,0),离心率为e =c a =√32.(2) 由题意知,∣m ∣≥1.当 m =1 时,切线 l 的方程为 x =1,点 A,B 的坐标分别为 (1,√32),(1,−√32), 此时 ∣AB ∣=√3;当 m =−1 时,同理可得 ∣AB ∣=√3;当 ∣m ∣>1 时,设切线 l 的方程为 y =k (x −m ). 由{y =k (x −m ),x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0.设 A,B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1+x 2=8k 2m 1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2.又由 l 与圆 x 2+y 2=1 相切,得√k 2+1=1,即m 2k 2=k 2+1.所以∣AB ∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m ∣m 2+3.由于当 m =±1 时,∣AB ∣=√3,所以∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3,m ∈(−∞,−1]∪[1,+∞).因为∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3=4√3∣m ∣+3∣m ∣≤2,且当 m =±√3 时,∣AB ∣=2,所以 ∣AB ∣ 的最大值为 2. 70. (1) 原曲线方程可化简得x 285−m +y 28m −2=1. 由题意可得{ 85−m >8m −2,85−m >0,8m −2>0,解得72<m <5,所以 m 的取值范围是 (72,5).(2) 由已知直线方程代入椭圆方程化简得(2k 2+1)x 2+16kx +24=0,结合直线与椭圆交于不同两点知Δ=32(2k 2−3)>0,解得 k 2>32,设 N (x N ,kx N +4),M (x M ,kx M +4),G (x G ,1),由韦达定理得x M +x N=−16k2k 2+1, ⋯⋯①x M x N=242k 2+1, ⋯⋯② 可知 MB 方程为y =kx M +6x Mx −2, 则 G (3x MkxM +6,1),故AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3x Mx M k +6,−1),AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x N ,x N k +2).欲证 A,G,N 三点共线,只需证 AG⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,即 3x Mx M k +6(x N k +2)=−x N ,成立,化简得(3k +k )x M x N =−6(x M +x N ),将 ①② 代入易知等式成立,则 A,G,N 三点共线得证.71. (1) 当 y =p 2 时,x =p 8,又抛物线 y 2=2px (p >0) 的准线方程为 x =−p2.由抛物线定义得,所求距离为 p 8−(−p 2)=5p 8.(2) 设直线 PA 的斜率为 k PA ,由 y 12=2px 1,y 02=2px 0,两式相减得 (y 1−y 0)(y 1+y 0)=2p (x 1−x 0). 故 k PA =y 1−y 0x 1−x 0=2p y 1+y 0(x 1≠x 0).同理可得 k PB =2p y 2+y 0(x 2≠x 0).由 PA ,PB 倾斜角互补知 k PA =−k PB ,即2py 1+y 0=−2py2+y 0,所以 y 1+y 2=−2y 0,故y 1+y 2y 0=−2.设直线 AB 的斜率为 k AB ,由 y 22=2px 2,y 12=2px 1 相减得 (y 2−y 1)(y 2+y 1)=2p (x 2−x 1),所以 k AB =y 2−y1x 2−x 1=2py1+y 2(x 1≠x 2).将 y 1+y 2=−2y 0(y 0>0) 代入得 k AB =2p y 1+y 2=−py 0,所以 k AB 是非零常数.72. (1) 由题知 a =2,b =1,c =√3, 所以椭圆方程为 x 24+y 2=1,离心率 e =√32.(2) 设 P (x 0,y 0) 则 k PA =y 0x 0−2,l PA :y =y 0x0−2(x −2),令 x =0 得 y =−2y 0x 0−2,所以 M (0,−2y 0x 0−2),k PB =y 0−1x 0, l PB :y =y 0−1x 0x +1,令 y =0 得 x =−x 0y 0−1,所以 N (−x 0y 0−1,0),所以四边形 ABNM 的面积 S =12∣BM∣⋅∣AN∣,∣AN∣=∣∣∣2+x 0y 0−1∣∣∣=∣∣∣x 0+2y 0−2y 0−1∣∣∣, ∣BM∣=∣∣∣2y 0x 0−2+1∣∣∣=∣∣∣x 0+2y 0−2x 0−2∣∣∣,所以S =12∣BM∣⋅∣AN∣=12⋅∣∣∣x 0+2y 0−2x 0−2∣∣∣⋅∣∣∣x 0+2y 0−2y 0−1∣∣∣=∣∣∣(x 02+4y 02)+4x 0y 0−4x 0−8y 0+4x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣, 因为点 P 在椭圆上,所以x 024+y 02=1⇒x 02+4y 02=4,S =12⋅∣∣∣4x 0y 0−4x 0−8y 0+8x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣=2, 故四边形 ABNM 的面积为定值 2.73. (1) 由已知,得 a =2,b =1,则 c =√a 2−b 2=√3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为 (−√3,0),(√3,0),离心率为 √32. (2) 由题意,得 ∣m ∣≥1.① 当 m =1 时,切线 l 的方程为 x =1,则 A (1,√32),B (1,−√32),此时 ∣AB ∣=√3.② 当 m =−1 时,同理可得 ∣AB ∣=√3.③ 当 ∣m ∣>1 时,设切线 l 的方程为 y =k (x −m ),代入 x 2+4y 2=4,得(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0.设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=8k 2m1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2.又由 l 与圆 x 2+y 2=1 相切,得∣km ∣√k 2+1=1,化简,得m 2k 2=k 2+1.由两点间的距离公式,得∣AB ∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m ∣m 2+3.由于当 m =±1 时,∣AB ∣=√3 代入上式成立,所以∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3,m ∈(−∞,−1]∪[1,+∞).因为∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3=4√3∣m ∣+3∣m ∣≤2,所以 m =±√3 时,∣AB ∣ 的最大值为 2. 74. (1) 由题意得{b =1,c a=√22,a 2=b 2+c 2,解得a 2=2.故椭圆 C 的方程为x 22+y 2=1.设 M (x M ,0),因为 m ≠0,所以 −1<n <1. 直线 PA 的方程为 y −1=n−1mx ,所以 x M =m 1−n,即 M (m1−n,0).(2) 因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称,所以 B (m,−n ), 设 N (x N ,0),则 x N =m1+n .“存在点 Q(0,y Q ) 使得 ∠OQM =∠ONQ ”,等价于“存在点 Q(0,y Q ) 使得 ∣OM∣∣OQ∣=∣OQ∣∣ON∣”,即 y Q 满足 y Q 2=∣x M ∣∣x N ∣. 因为 x M =m 1−n,x N =m 1+n,m 22+n 2=1,所以 y Q 2=∣x M ∣∣x N ∣=m 21−n 2=2,所以y Q =√2 或 y Q =−√2.故在 y 轴上存在点 Q ,使得 ∠OQM =∠ONQ ,且点 Q 的坐标为 (0,√2) 或 (0,−√2). 75. (1) 因为 ca =√63,且 c =√2,所以 a =√3,b =√a 2−c 2=1, 所以椭圆 C 的方程为 x 23+y 2=1.(2) 由题意知 P (0,t )(−1<t <1),由 {y =t,x 23+y 2=1,得 x =±√3(1−t 2).所以圆 P 的半径为 √3(1−t 2).当圆 P 与 x 轴相切时,∣t ∣=√3(1−t 2),解得 t =±√32. 所以点 P 的坐标是 (0,±√32). (3) 由(2)知,圆 P 的方程为x 2+(y −t )2=3(1−t 2).因为点 Q (x,y ) 在圆 P 上,所以y =t ±√3(1−t 2)−x 2≤t +√3(1−t 2).设 t =cosθ,θ∈(0,π),则t +√3(1−t 2)=cosθ+√3sinθ=2sin (θ+π6).当 θ=π3,即 t =12,且 x =0 时,y 取最大值 2.76. (1) 因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 互相垂直平分. 所以可设 A (t,12),代入椭圆方程得t 24+14=1, 即t =±√3,所以∣AC ∣=2√3.(2) 假设四边形 OABC 为菱形.因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC ⊥OB ,所以 k ≠0. 由{x 2+4y 2=4,y =kx +m,消去 y 并整理得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0.设 A (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则Δ=(8km )2−4(1+4k 2)(4m 2−4)=64k 2−16m 2+16>0,x 1+x 22=−4km1+4k 2, y 1+y 22=k ⋅x 1+x 22+m =m1+4k 2, 所以 AC 的中点为 M (−4km 1+4k2,m 1+4k 2).因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m ≠0,k ≠0, 所以直线 OB 的斜率为 −14k.因为k ⋅(−14k)≠−1, 所以 AC 与 OB 不垂直,所以四边形 OABC 不是菱形,与假设矛盾, 所以当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.77. 如图,点 A,B 在抛物线 y 2=4px 上,设 A (y A24p ,y A ),B (y B 24p ,y B ),OA,OB 的斜率分别为 k OA ,k OB .所以k OA =y A y A 24p=4p y A , k OB =4p y B . 由 OA ⊥OB ,得k OA ⋅k OB=16p 2y A y B=−1 ⋯⋯① 依点 A 在 AB 上,得直线 AB 方程(y A +y B )(y −y A )=4p (x −y A24p) ⋯⋯②由 OM ⊥AB ,得直线 OM 方程y =y A +y B−4px ⋯⋯③ 设点 M (x,y ),则 x,y 满足②、③两式,将②式两边同时乘 −x4p ,并利用③式整理得x 4py A 2+yy A −(x 2+y 2)=0 ⋯⋯④ 由③、④两式得−x4py A y B −(x 2+y 2)=0. 由①式知,y A y B =−16p 2, ∴ x 2+y 2−4px =0. 因为 A,B 是原点以外的两点,所以 x ≠0.所以 M 的轨迹是以 (2p,0) 为圆心,以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点. 78. (1) 因为 AB 边所在直线的方程为 x −3y −6=0,且 AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为 −3.又因为点 T (−1,1) 在直线 AD 上,所以 AD 边所在直线的方程为y −1=−3(x +1),即3x +y +2=0.(2) 由{x −3y −6=0,3x +y +2=0,解得点 A 的坐标为 (0,−2).因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2,0). 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.又 ∣AM∣=2√2,从而矩形 ABCD 外接圆的方程为(x −2)2+y 2=8.(3) 因为动圆 P 过点 N ,所以 ∣PN∣ 是该圆的半径.。

十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之平面向量

十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之平面向量

十年高考真题(2011-2020)(北京卷)专题06平面向量本专题考查的知识点为:平面向量,历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:平面向量的坐标表示,平面向量的数量积,平面向量基本定理,平面向量与充分必要条件综合问题等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以平面向量的数量积,平面向量基本定理为重点较佳.1.【2019年北京理科07】设点A ,B ,C 不共线,则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|>|BC →|”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2.【2018年北京理科06】设a →,b →均为单位向量,则“|a →−3b →|=|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件3.【2017年北京理科06】设m →,n →为非零向量,则“存在负数λ,使得m →=λn →”是“m →•n →<0”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.【2016年北京理科04】设a →,b →是向量,则“|a →|=|b →|”是“|a →+b →|=|a →−b →|”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.【2015年北京理科13】在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →,若MN →=x AB →+y AC →,则x = ,y = .6.【2014年北京理科10】已知向量a →,b →满足|a →|=1,b →=(2,1),且λa →+b →=0→(λ∈R ),则|λ|= . 7.【2013年北京理科13】向量a →,b →,c →在正方形网格中的位置如图所示,若c →=λa →+μb →(λ,μ∈R ),则λμ=.8.【2012年北京理科13】已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点.则DE →⋅CB →的值为 .9.【2011年北京理科10】已知向量a →=(√3,1),b →=(0,﹣1),c →=(k ,√3).若a →−2b →与c →共线,则k = .10.【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ),则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________;PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________.1.【2020届北京市丰台区高三一模】已知向量a ⃗=(x,2),b ⃑⃗=(−2,1),满足a ⃗//b ⃑⃗,则x =() A .1B .−1C .4D .−42.【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试(二)】已知向量a ⃗=(1,√3),b ⃑⃗=(−1,0),c ⃗=(√3,k).若a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线,则实数k =() A .0B .1C .√3D .33.【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】已知向量a ⃗=(−12,√32),b⃑⃗=(√32,−12),则下列关系正确的是( ) A .(a ⃗+b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗ B .(a ⃗+b ⃑⃗)⊥a ⃗ C .(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b⃑⃗) D .(a ⃗+b ⃑⃗)//(a ⃗−b⃑⃗) 4.【北京市通州区2020届高考一模】在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(cosα,sinα),B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=() A .1B .√3C .2D .与α有关5.【北京市人大附中2020届高三(6月份)高考数学考前热身】a ⃗,b ⃑⃗为非零向量,“a ⃑⃗|b ⃑⃗|=b ⃑⃗|a⃑⃗|”为“a ⃗,b ⃑⃗共线”的() A .充分必要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .即不充分也不必要条件6.【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知非零向量a ⃗,b ⃑⃗满足|a ⃗|=2|b ⃑⃗|,且(a ⃗–b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗,则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为 A .π6B .π3C .2π3D .5π67.【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试(二模)】设a ⃗,b ⃑⃗是向量,“|a ⃗|=|a ⃗+b ⃑⃗|”是“|b ⃑⃗|=0”的() A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】向量l 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa ⇀+b ⇀与c ⇀共线,则实数λ=()A .−2B .−1C .1D .29.【北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末】设向量a ⇀,b ⇀满足a ⇀+b ⇀=(3,1),a ⇀⋅b ⇀=1,则|a ⇀−b ⇀|=() A .2B .√6C .2√2D .√1010.【2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学】已知平面向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为60°,a ⃗=(√3,1),|b ⃑⃗|=1则|a ⃗+2b⃑⃗|=() A .2B .√7C .2√7D .2√311.【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考(二)】已知平面向量a ⇀=(1,−3),b ⇀=(−2,0),则|a ⇀+2b ⇀|=() A .3√2B .3C .2√2D .512.【北京市朝阳区2019届高三第二次(5月)综合练习(二模)】在同一平面内,已知A 为动点,B ,C 为定点,且∠BAC=π3,∠ACB ≠π2,BC=1,P 为BC 中点.过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ,则AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是( ) A .13B .12C .√33D .2313.【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习(二模)】对于非零向量a ⃗,b ⃑⃗,“(a ⃗+b ⃑⃗)⋅a ⃗=2a ⃗2”是“a ⃗=b ⃑⃗”的() A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件14.【北京市2020届高考数学预测卷】已知|a ⃗|=1,则“a ⃗⊥(a ⃗+b ⃑⃗)”是“a ⃗⋅b ⃑⃗=−1”的() A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件D .非充分非必要条件15.【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知向量a ⃗=(0,5),b ⃑⃗=(4,−3),c ⃗=(−2,−1),那么下列结论正确的是() A .a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗为共线向量 B .a ⃗−b⃑⃗与c ⃗垂直 C .a ⃗−b⃑⃗与a ⃗的夹角为钝角 D .a ⃗−b⃑⃗与b ⃑⃗的夹角为锐角 16.【2020届北京市顺义牛栏山第一中学高三3月高考适应性测试】已知正ΔABC 的边长为4,点D 为边BC 的中点,点E 满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,那么EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为( ) A .−83B .−1C .1D .317.【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】在平行四边形ABCD 中,AD =2,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3,则AB 的长为() A .12B .1C .2D .318.【2020届北京市朝阳区六校高三四月联考】已知向量a ⃗=(2,2√3),若a⃗⋅b ⃑⃗=−163,则b ⃑⃗在a ⃗上的投影是() A .34B .−34C .43D .−4319.【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】若两个非零向量a ⃗、b ⃑⃗满足(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0,且|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|,则a ⃗与b ⃑⃗夹角的余弦值为() A .35B .±35C .12D .±1220.【北京师范大学附属中学2019届高三(下)四月份月考】已知ΔABC 中,AB =10,AC =6,BC =8,M 为AB 边上的中点,则CM ⇀⋅CA ⇀+CM ⇀⋅CB ⇀=() A .0B .25C .50D .10021.【2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考】已知向量a ⇀=(2,1),a ⇀⋅b ⇀=10,|a ⇀+b ⇀|=5√2,则|b⇀|=________. 22.【北京师范大学附属实验中学2019届高三下学期第一次质量评估】已知向量a ⇀=(2,4),b ⇀=(−1,m).若a ⇀//b ⇀,则a ⇀⋅b ⇀=__________.23.【2020届北京市顺义区高三二模】已知向量a ⃗=(−1,2),b ⃑⃗=(x,1),若a ⃗⊥b ⃑⃗,则实数x =___________. 24.【2020届北京市高考适应性测试】已知向量a ⃗=(1,m),b ⃑⃗=(2,1),且a ⃗⊥b ⃑⃗,则m =________. 25.如图所示,平面内有三个向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,其中OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为120°,OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗与OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为30°,且|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=1,|OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=2√3.若OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+μOB⃑⃑⃑⃑⃑⃗(λ,μ∈R),则λ+μ的值为______.26.【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末】已知向量a ⇀=(−4,6),b ⇀=(2,x)满足a ⇀//b ⇀,其中x ∈R ,那么|b⇀|=_____________ 27.【北京市海淀区清华大学附属中学2019-2020学年高三上学期10月月考】在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60∘,点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=16DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AF⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为. 28.【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知向量BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(12,√32),BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(√32,12),则∠ABC =______. 29.【2020届北京市高三高考模拟】已知向量a ⃗=(1,1),b ⃑⃗=(−3,m),若向量2a ⃗−b ⃑⃗与向量b ⃑⃗共线,则实数m =__________.30.【2020届北京市第十一中学高三一模】平面向量a ⃗=(1,2),b ⃑⃗=(4,2),c ⃗=ma ⃗+b ⃑⃗(m ∈R ),且c ⃗与a ⃗的夹角等于c ⃗与b ⃑⃗的夹角,则m =.1.【2019年北京理科07】设点A ,B ,C 不共线,则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|>|BC →|”的( )C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】解:点A ,B ,C 不共线,“AB →与AC →的夹角为锐角”⇒“|AB →+AC →|>|BC →|”, “|AB →+AC →|>|BC →|”⇒“AB →与AC →的夹角为锐角”,∴设点A ,B ,C 不共线,则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|>|BC →|”的充分必要条件. 故选:C .2.【2018年北京理科06】设a →,b →均为单位向量,则“|a →−3b →|=|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】解:∵“|a →−3b →|=|3a →+b →|” ∴平方得|a →|2+9|b →|2﹣6a →•b →=9|a →|2+|b →|2+6a →•b →, 即1+9﹣6a →•b →=9+1+6a →•b →, 即12a →•b →=0, 则a →•b →=0,即a →⊥b →,则“|a →−3b →|=|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的充要条件, 故选:C .3.【2017年北京理科06】设m →,n →为非零向量,则“存在负数λ,使得m →=λn →”是“m →•n →<0”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】解:m →,n →为非零向量,存在负数λ,使得m →=λn →,则向量m →,n →共线且方向相反,可得m →•n →<0. 反之不成立,非零向量m →,n →的夹角为钝角,满足m →•n →<0,而m →=λn →不成立. ∴m →,n →为非零向量,则“存在负数λ,使得m →=λn →”是m →•n →<0”的充分不必要条件. 故选:A .4.【2016年北京理科04】设a →,b →是向量,则“|a →|=|b →|”是“|a →+b →|=|a →−b →|”的( )C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】解:若“|a →|=|b →|”,则以a →,b →为邻边的平行四边形是菱形; 若“|a →+b →|=|a →−b →|”,则以a →,b →为邻边的平行四边形是矩形; 故“|a →|=|b →|”是“|a →+b →|=|a →−b →|”的既不充分也不必要条件; 故选:D .5.【2015年北京理科13】在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →,若MN →=x AB →+y AC →,则x = ,y = .【答案】解:由已知得到MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →−AC →)=12AB →−16AC →; 由平面向量基本定理,得到x =12,y =−16;故答案为:12,−16.6.【2014年北京理科10】已知向量a →,b →满足|a →|=1,b →=(2,1),且λa →+b →=0→(λ∈R ),则|λ|= . 【答案】解:设a →=(x ,y ).∵向量a →,b →满足|a →|=1,b →=(2,1),且λa →+b →=0→(λ∈R ), ∴λa →+b →=λ(x ,y )+(2,1)=(λx +2,λy +1), ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0,化为λ2=5.解得|λ|=√5. 故答案为:√5.7.【2013年北京理科13】向量a →,b →,c →在正方形网格中的位置如图所示,若c →=λa →+μb →(λ,μ∈R ),则λμ= .【答案】解:以向量a →、b →的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系可得a →=(﹣1,1),b →=(6,2),c →=(﹣1,﹣3) ∵c →=λa →+μb →(λ,μ∈R)∴{−1=−λ+6μ−3=λ+2μ,解之得λ=﹣2且μ=−12因此,λμ=−2−12=4故答案为:48.【2012年北京理科13】已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点.则DE →⋅CB →的值为 . 【答案】解:因为DE →⋅CB →=DE →⋅DA →=|DE →|⋅|DA →|cos <DE →⋅DA →>=DA →2=1. 故答案为:19.【2011年北京理科10】已知向量a →=(√3,1),b →=(0,﹣1),c →=(k ,√3).若a →−2b →与c →共线,则k = .【答案】解:a →−2b →=(√3,3) ∵a →−2b →与c →共线, ∴√3×√3=3k 解得k =1. 故答案为1.10.【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ),则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________;PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________. 【答案】√5−1【解析】以点A 为坐标原点,AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点A (0,0)、B (2,0)、C (2,2)、D (0,2), AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12(2,0)+12(2,2)=(2,1), 则点P (2,1),∴PD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,1),PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1), 因此,|PD⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(−2)2+12=√5,PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×(−2)+1×(−1)=−1. 故答案为:√5;−1.1.【2020届北京市丰台区高三一模】已知向量a ⃗=(x,2),b ⃑⃗=(−2,1),满足a ⃗//b ⃑⃗,则x =() A .1 B .−1 C .4 D .−4【答案】D 【解析】向量a⃗=(x,2),b ⃑⃗=(−2,1), ∵a ⃗//b ⃑⃗,∴x =2×(−2)=−4 故选:D2.【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试(二)】已知向量a ⃗=(1,√3),b ⃑⃗=(−1,0),c ⃗=(√3,k).若a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线,则实数k =() A .0 B .1C .√3D .3【答案】B 【解析】a ⃗−2b⃑⃗=(3,√3)因为a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线,所以3k −√3×√3=0,解得:k =1 故选:B3.【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】已知向量a ⃗=(−12,√32),b⃑⃗=(√32,−12),则下列关系正确的是( ) A .(a ⃗+b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗ B .(a ⃗+b ⃑⃗)⊥a ⃗ C .(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b ⃑⃗) D .(a ⃗+b ⃑⃗)//(a ⃗−b⃑⃗) 【答案】C 【解析】解:a ⃗+b⃑⃗=(√3−12,√3−12); ∴(a ⃗+b⃑⃗)•b ⃑⃗=3−√34−√3−14=2−√32≠0;∴a ⃗+b ⃑⃗不与b ⃑⃗垂直; ∴A 错误;(a ⃗+b ⃑⃗)•a ⃗=1−√34+3−√34=2−√32≠C ;∴a ⃗+b ⃑⃗不与a ⃗垂直; ∴B 错误;又(a ⃗+b ⃑⃗)•(a ⃗−b ⃑⃗)=a ⃗2−b ⃑⃗2=1−1=0; ∴(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b ⃑⃗); ∴C 正确,D 错. 故选C .4.【北京市通州区2020届高考一模】在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(cosα,sinα),B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=() A .1 B .√3C .2D .与α有关【答案】B 【解析】根据题意,A(cosα,sinα),B(cos(α+π3),sin(α+π3)). 则OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cosα,sinα),OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cos(α+π3),sin(α+π3)), 则有OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cosα+cos(α+π3),sinα+sin(α+π3)),故|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=[cosα+cos(α+π3)]2+[sinα+sin(α+π3)]2 =2+2cosαcos(α+π3)+2sinαsin(α+π3)=2+2cos π3=3,则|OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=√3; 故选:B.5.【北京市人大附中2020届高三(6月份)高考数学考前热身】a ⃗,b⃑⃗为非零向量,“a⃑⃗|b ⃑⃗|=b ⃑⃗|a⃑⃗|”为“a ⃗,b⃑⃗共线”的() A .充分必要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】a⃑⃗|b ⃑⃗|,b ⃑⃗|a ⃑⃗|分别表示与a ⃗,b ⃑⃗同方向的单位向量, a⃑⃗|b⃑⃗|=b⃑⃗|a ⃑⃗|,则有a ⃗,b ⃑⃗共线, 而a ⃗,b ⃑⃗共线,则a ⃑⃗|b ⃑⃗|,b⃑⃗|a ⃑⃗|是相等向量或相反向量, “a ⃑⃗|b ⃑⃗|=b⃑⃗|a ⃑⃗|”为“a ⃗,b ⃑⃗共线”的充分不必要条件. 故选:B.6.【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知非零向量a ⃗,b ⃑⃗满足|a ⃗|=2|b ⃑⃗|,且(a ⃗–b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗,则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为 A .π6B .π3C .2π3D .5π6【答案】B 【解析】因为(a ⃗−b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗,所以(a ⃗−b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=a ⃗⋅b ⃑⃗−b ⃑⃗2=0,所以a ⃗⋅b ⃑⃗=b ⃑⃗2,所以cosθ=a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|⋅|b ⃑⃗|=|b ⃑⃗|22|b⃑⃗|2=12,所以a ⃗与b ⃑⃗的夹角为π3,故选B .7.【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试(二模)】设a ⃗,b ⃑⃗是向量,“|a ⃗|=|a ⃗+b ⃑⃗|”是“|b ⃑⃗|=0”的() A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a⃗=−12b⃑⃗时,|a⃗+b⃑⃗|=|−12b⃑⃗+b⃑⃗|=12|b⃑⃗|=|a⃗|,推不出|b⃑⃗|=0当|b⃑⃗|=0时,b⃑⃗=0⃑⃗,则|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗+0⃑⃗|=|a⃗|即“|a⃗|=|a⃗+b⃑⃗|”是“|b⃑⃗|=0”的必要不充分条件故选:B8.【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】向量l在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa⇀+b⇀与c⇀共线,则实数λ=()A.−2B.−1C.1D.2【答案】D【解析】由题中所给图像可得:2a⃗+b⃑⃗=c⃗,又c⃗=,所以λ=2.故选D9.【北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末】设向量a⇀,b⇀满足a⇀+b⇀=(3,1),a⇀⋅b⇀=1,则|a⇀−b⇀|=()A.2B.√6C.2√2D.√10【答案】B【解析】由题意结合向量的运算法则可知:|a⇀−b⇀|=√(a⇀+b⇀)2−4a⇀⋅b⇀=√32+12−4×1=√6.本题选择B选项.10.【2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学】已知平面向量a⃗,b⃑⃗的夹角为60°,a⃗=(√3,1),|b⃑⃗|=1则|a⃗+2b⃑⃗|=()A.2B.√7C.2√7D.2√3【答案】D【解析】|a⃗+2b⃑⃗|=√(a⃗+2b⃑⃗)2=√a⃗2+4a∙⃑⃑⃑⃑⃗b⃑⃗+4b⃑⃗2=√4+4×2×1×12+4=2√3,故选D. 11.【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考(二)】已知平面向量a⇀=(1,−3),b⇀=(−2,0),则|a ⇀+2b ⇀|=() A .3√2 B .3C .2√2D .5【答案】A 【解析】因为a ⃗=(1,−3),b ⃑⃗=(−2,0), 所以a ⃗+2b ⃑⃗=(−3,−3), 因此|a ⃗+2b ⃑⃗|=√9+9=3√2. 故选A12.【北京市朝阳区2019届高三第二次(5月)综合练习(二模)】在同一平面内,已知A 为动点,B ,C 为定点,且∠BAC=π3,∠ACB ≠π2,BC=1,P 为BC 中点.过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ,则AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是( ) A .13 B .12C .√33D .23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则B (-12,0),C (12,0),P (0,0),由∠BAC =π3可知,ABC 三点在一个定圆上,且弦BC 所对的圆周角为π3,所以圆心角为2π3.圆心在BC 的中垂线即y 轴上,且圆心到直线BC 的距离为12BC tanπ3=√36,即圆心为(0,√36),半径为√(12)2+(√36)2=√33. 所以点A 的轨迹方程为:x 2+(y −√36)2=13,则x 2≤13,则−√33≤x <0,由AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的几何意义可得:AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影为|DP|=|x|, 则AQ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是√33,故选C.13.【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习(二模)】对于非零向量a⃗,b⃑⃗,“(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2 a⃗2”是“a⃗=b⃑⃗”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2,则a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=2a⃗2,即a⃗⋅b⃑⃗=a⃗2,取|b⃑⃗|=2|a⃗|,〈a⃗,b⃑⃗〉=π,此时满足(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2,而a⃗≠b⃑⃗;3当a⃗=b⃑⃗时,(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2.故“(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2”是“a⃗=b⃑⃗”的必要而不充分条件.故选:B.14.【北京市2020届高考数学预测卷】已知|a⃗|=1,则“a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)”是“a⃗⋅b⃑⃗=−1”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】C【解析】由a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗),则a⃗⋅(a⃗+b⃑⃗)=0⇒a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=0又|a⃗|=1,所以a⃗⋅b⃑⃗=−1若a⃗⋅b⃑⃗=−1,且|a⃗|=1,所以a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=0,则a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)所以“a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)”是“a⃗⋅b⃑⃗=−1”的充要条件故选:C15.【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知向量a⃗=(0,5),b⃑⃗=(4,−3),c⃗=(−2,−1),那么下列结论正确的是()A.a⃗−b⃑⃗与c⃗为共线向量B.a⃗−b⃑⃗与c⃗垂直C.a⃗−b⃑⃗与a⃗的夹角为钝角D.a⃗−b⃑⃗与b⃑⃗的夹角为锐角【答案】B【解析】解:∵a⃗=(0,5),b⃑⃗=(4,−3),c⃗=(−2,−1),∴a ⃗−b⃑⃗=(−4,8), ∵−4×(−1)−(−2)×8≠0,则a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗不是共线向量, ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=−4×(−2)+8×(−1)=0,则a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗垂直, ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅a ⃗=−4×0+8×5=40>0,则a ⃗−b ⃑⃗与a ⃗的夹角为锐角, ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=−4×4+8×(−3)=−40<0,则a ⃗−b ⃑⃗与b ⃑⃗的夹角为钝角, 故选:B .16.【2020届北京市顺义牛栏山第一中学高三3月高考适应性测试】已知正ΔABC 的边长为4,点D 为边BC 的中点,点E 满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,那么EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为( ) A .−83B .−1C .1D .3【答案】B 【解析】由已知可得:EB=EC=√7, 又tan∠BED =BD ED=√3=2√33所以cos∠BEC =1−tan 2∠BED 1+tan 2∠BED=−17所以EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=|EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗‖EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cos∠BEC =√7×√7×(−17)=−1 故选B .17.【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】在平行四边形ABCD 中,AD =2,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3,则AB 的长为() A .12 B .1 C .2 D .3【答案】C 【解析】因为平行四边形ABCD 中,AD =2,∠BAD =60°,E 为CD 的中点, 设AB =x ,由AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3得,(AB⇀+BC ⇀)⋅(BC ⇀+12BA ⇀) =(AB⇀+AD ⇀)⋅(AD ⇀−12AB ⇀) =AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2=4+12|AB ⇀|×2×cos60∘−12AB ⇀2 =4−12x 2+12x =3即x 2−x −2=0解得x =2或x =−1(舍去); 故选:C.18.【2020届北京市朝阳区六校高三四月联考】已知向量a ⃗=(2,2√3),若a ⃗⋅b ⃑⃗=−163,则b ⃑⃗在a ⃗上的投影是() A .34B .−34C .43D .−43【答案】D 【解析】由题意b ⃑⃗在a ⃗上的投影为a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|=−163√22+(2√3)2=−43.故选:D.19.【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】若两个非零向量a ⃗、b ⃑⃗满足(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0,且|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|,则a ⃗与b ⃑⃗夹角的余弦值为() A .35B .±35C .12D .±12【答案】A 【解析】设平面向量a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ,∵(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=a ⃗2−b ⃑⃗2=|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0,可得|a ⃗|=|b ⃑⃗|, 在等式|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|两边平方得a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2=4a ⃗2−8a ⃗⋅b ⃑⃗+4b ⃑⃗2,化简得cosθ=35. 故选:A.20.【北京师范大学附属中学2019届高三(下)四月份月考】已知ΔABC 中,AB =10,AC =6,BC =8,M 为AB 边上的中点,则CM ⇀⋅CA ⇀+CM ⇀⋅CB ⇀=() A .0B .25C .50D .100【答案】C 【解析】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形,CM 为斜边上的中线,所以|CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=5, 原式=CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗·(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗·2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2×25=50. 故选C.21.【2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考】已知向量a ⇀=(2,1),a ⇀⋅b ⇀=10,|a ⇀+b ⇀|=5√2,则|b ⇀|=________. 【答案】5 【解析】因为a ⃗=(2,1),所以|a ⃗|2=5,因为|a ⃗+b ⃑⃗|=5√2,所以|a ⃗+b ⃑⃗|2=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=50, 即5+|b⃑⃗|2+20=50,|b ⃑⃗|=5。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题10 立体几何

十年高考真题分类汇编(2010-2019)  数学 专题10 立体几何

十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题10立体几何1.(2019·浙江·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A.158B.162C.182D.324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+62×3+4+62×3×6=162.2.(2019·全国1·理T12)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形,E,F 分别是PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球O 的体积为( ) A.8√6π B.4√6π C.2√6π D.√6π【答案】D【解析】设PA=PB=PC=2x. ∵E,F 分别为PA,AB 的中点, ∴EF ∥PB,且EF=12PB=x.∵△ABC 为边长为2的等边三角形, ∴CF=√3.又∠CEF=90°,∴CE=√3-x 2,AE=12PA=x. 在△AEC 中,由余弦定理可知cos ∠EAC=x 2+4-(3-x 2)2×2·x .作PD ⊥AC 于点D,∵PA=PC,∴D 为AC 的中点,cos ∠EAC=AD PA =12x . ∴x 2+4-3+x 24x=12x. ∴2x 2+1=2.∴x 2=12,即x=√22. ∴PA=PB=PC=√2. 又AB=BC=AC=2, ∴PA ⊥PB ⊥PC. ∴2R=√2+2+2=√6. ∴R=√62. ∴V=43πR 3=43π×6√68=√6π.故选D.3.(2019·全国2·理T7文T7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.4.(2019·全国3·理T8文T8)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD,M 是线段ED 的中点,则( ) A.BM=EN,且直线BM,EN 是相交直线B.BM ≠EN,且直线BM,EN 是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN 是异面直线D.BM ≠EN,且直线BM,EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图,连接BD,BE.在△BDE 中,N 为BD 的中点,M 为DE 的中点, ∴BM,EN 是相交直线,排除选项C 、D. 作EO ⊥CD 于点O,连接ON. 作MF ⊥OD 于点F,连接BF.∵平面CDE ⊥平面ABCD,平面CDE ∩平面ABCD=CD,EO ⊥ CD,EO ⊂平面CDE,∴EO ⊥平面ABCD. 同理,MF ⊥平面ABCD.∴△MFB 与△EON 均为直角三角形. 设正方形ABCD 的边长为2,易知 EO=√3,ON=1,MF=√32,BF=√22+94=52, 则EN=√3+1=2,BM=√34+254=√7,∴BM ≠EN.故选B.5.(2019·浙江·T8)设三棱锥V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α,直线PB 与平面ABC 所成的角为β,二面角P-AC-B 的平面角为γ,则( ) A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γ C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β 【答案】B【解析】如图G 为AC 中点,点V 在底面ABC 上的投影为点O,则点P 在底面ABC 上的投影点D 在线段AO 上,过点D 作DE 垂直AE,易得PE ∥VG,过点P 作PF ∥AC 交VG 于点F,过点D 作DH ∥AC,交BG 于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cos α=PFPB=EG PB=DH PB<BDPB=cos β,所以α>β,因为tan γ=PDED>PDBD=tan β,所以γ>β.故选B.6.(2018·全国3·理T10文T12)设A,B,C,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A.12√3 B.18√3C.24√3D.54√3【答案】B【解析】由△ABC 为等边三角形且面积为9√3,设△ABC 边长为a,则S=12a ·√32a=9√3.∴a=6,则△ABC 的外接圆半径r=√32×23a=2√3<4. 设球的半径为R,如图,OO 1=√R 2-r 2=√42-(2√3)2=2.当D 在O 的正上方时,V D-ABC =1S △ABC ·(R+|OO 1|)=1×9√3×6=18√3,最大.故选B.7.(2018·全国1·理T7文T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( ) A.2√17 B.2√5 C.3 D.2【答案】B【解析】如图所示,易知N 为CD⏜的中点,将圆柱的侧面沿母线MC 剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从M 到N 的路程中最短路径为MN.在Rt△MCN中,MN=√MC2+NC2=2√5.8.(2018·全国3·理T3文T3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应为A中图形.9.(2018·北京·理T5文T6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由该四棱锥的三视图,得其直观图如图.由正视图和侧视图都是等腰直角三角形,知PD⊥平面ABCD,所以侧面PAD和PDC都是直角三角形.由俯视图为直角梯形,易知DC⊥平面PAD.又AB∥DC,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,所以侧面PAB也是直角三角形.易知PC=2√2,BC=√5,PB=3,从而△PBC不是直角三角形.故选C.10.(2018·上海·T15)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】设正六棱柱为ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,以侧面AA1B1B,AA1F1F为底面矩形的阳马有E-AA 1B 1B,E 1-AA 1B 1B,D-AA 1B 1B,D 1-AA 1B 1B,C-AA 1F 1F,C 1-AA 1F 1F,D-AA 1F 1F,D 1-AA 1F 1F,共8个,以对角面AA 1C 1C,AA 1E 1E 为底面矩形的阳马有F-AA 1C 1C,F 1-AA 1C 1C,D-AA 1C 1C,D 1-AA 1C 1C,B-AA 1E 1E,B 1-AA 1E 1E,D-AA 1E 1E,D 1-AA 1E 1E,共8个,所以共有8+8=16(个),故选D.11.(2018·全国1·文T10)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为( ) A.8 B.6√2 C.8√2 D.8√3【答案】C【解析】在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB ⊥平面BCC 1B 1,连接BC 1,则∠AC 1B 为AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角,∠AC 1B=30°,所以在Rt △ABC 1中,BC 1=AB tan∠AC 1B =2√3,又BC=2,所以在Rt △BCC 1中,CC 1=√(2√3)2-22=2√2, 所以该长方体体积V=BC ×CC 1×AB=8√2.12.(2018·全国2·理T9)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=√3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B.√56C.√55D.√22【答案】C【解析】以DA,DC,DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图, 则D 1(0,0,√3),A(1,0,0),D(0,0,0),B 1(1,1,√3).∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√3),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3).设异面直线AD 1与DB 1所成的角为θ. ∴cos θ=|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|2×√5|=√55.∴异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为√55.13.(2018·全国2·文T9)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CC 1的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.√22 B.√32C.√52D.√72【答案】C【解析】如图,因为AB∥CD,所以AE与CD所成的角为∠EAB. 在Rt△ABE中,设AB=2,则BE=√5,则tan∠EAB=BEAB =√52,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为√52.14.(2018·全国1·文T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π【答案】B【解析】过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=2√2,r=√2,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.15.(2018·浙江·T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=12×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.16.(2017·全国2·理T4文T6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B【解析】由三视图知,该几何体是一个圆柱截去一部分所得,如图所示.其体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×12=63π.17.(2017·全国1·理T7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A.10B.12C.14D.16【答案】B【解析】由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S 梯=(2+4)×2÷2=6,所以这些梯形的面积之和为12.18.(2017·全国2·理T10)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.√32 B.√155C.√105D.√33【答案】C【解析】方法一:把三棱柱ABC-A 1B 1C 1补成四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,如图, 连接C 1D,BD,则AB 1与BC 1所成的角为∠BC 1D. 由题意可知BC 1=√2,BD=√22+12-2×2×1×cos60°=√3,C 1D=AB 1=√5.可知B C 12+BD 2=C 1D 2,所以cos ∠BC 1D=√2√5=√105,故选C.方法二:以B 1为坐标原点,B 1C 1所在的直线为x 轴,垂直于B 1C 1的直线为y 轴,BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 由已知条件知B 1(0,0,0),B(0,0,1),C 1(1,0,0),A(-1,√3,1),则BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-√3,-1).所以cos<AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5×√2=√105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为√105.19.(2017·北京·理T7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3√2B.2√3C.2√2D.2【答案】B【解析】由题意可知,直观图为四棱锥A-BCDE(如图所示),最长的棱为正方体的体对角线AE=√22+22+22=2√3.故选B.20.(2017·全国3·理T8文T9)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A .π B.3π4C.π2D.π4【答案】B【解析】由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,则AC=1,AB=12,底面圆的半径r=BC=√32,所以圆柱的体积是V=πr 2h=π×(√32)2×1=3π4,故选B.21.(2017·全国1·文T6)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )【答案】A【解析】易知选项B 中,AB ∥MQ,且MQ ⊂平面MNQ,AB ⊄平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;选项C 中,AB ∥MQ,且MQ ⊂平面MNQ,AB ⊄平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;选项D 中,AB ∥NQ,且NQ ⊂平面MNQ,AB ⊄平面MNQ,则AB ∥平面MNQ,故排除选项B,C,D;故选A.4.(2016·浙江·理T2文T2)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( ) A.m ∥l B.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 【答案】C【解析】对于选项A,∵α∩β=l ,∴l ⊂α,∵m ∥α,∴m 与l 可能平行,也可能异面,故选项A 不正确; 对于选项B,D,∵α⊥β,m ∥α,n ⊥β,∴m 与n 可能平行,可能相交,也可能异面,故选项B,D 不正确. 对于选项C,∵α∩β=l ,∴l ⊂β. ∵n ⊥β,∴n ⊥l.故选C.22.(2016·天津·文T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )【答案】B【解析】由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示.易知其左视图为B 项中图.故选B.23.(2016·全国3·理T10文T11)在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC,AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是( ) A.4π B.9π2C.6πD.32π3【答案】B【解析】先计算球与直三棱柱三个侧面相切的球的半径,再和与直三棱柱两底面相切的球的半径相比较,半径较小的球即为所求.设球的半径为R,∵AB ⊥BC,AB=6,BC=8,∴AC=10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时,有12(6+8+10)×R=12×6×8,此时R=2;当球与直三棱柱两底面相切时,有2R=3,此时R=32.所以在封闭的直三棱柱中,球的最大半径只能为32,故最大体积V=4π(3)3=9π.24.(2016·全国1·文T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB. πC.8πD.4π【答案】A【解析】设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,故2r=2则r=√3.所以该球的表面积为4π×(√3)2=12π,故选A.25.(2016·全国1·理T11文T11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A.√32B.√22C.√33D.13【答案】A【解析】∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为√32.26.(2016·全国1·理T6文T7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体,则78×4π3×R 3=28π3,解得R=2,故其表面积为78×4πR 2+34×πR 2=14π+3π=17π. 27.(2016·全国2·理T6文T7)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )A.20πB.24πC.28πD.32π 【答案】C【解析】因为原几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成,所以其表面积为S=π×(42)2+4π×4+12×4π×√(2√3)2+22=28π,故选C.28.(2016·全国3·理T9文T10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ) A.18+36√5 B.54+18√5 C.90D.81【答案】B【解析】由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为3的正方形,侧棱长为3√5,所以所求表面积为(3×3+3×6+3×3√5)×2=54+18√5,故选B.29.(2016·山东·理T5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( ) A.1+2πB.1+√2πC.1+√2πD.1+√2π【答案】C【解析】由三视图可知,上面是半径为√22的半球,体积为V 1=12×43π×(√22)3=√2π6,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V 2=13×1×1=13,故选C.30.(2016·北京·理T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D.1【答案】A【解析】由三视图可得,三棱锥的直观图如图,则该三棱锥的体积V=13×12×1×1×1=16,故选A.31.(2015·全国1·理T6文T6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛 【答案】B【解析】设底面圆弧半径为R,∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π. ∴体积V=14×13π×(16π)2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3).∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛). 32.(2015·全国2·理T6文T6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15【答案】D【解析】由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则V 正方体=a 3,V 截去部分=16a 3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3∶56a 3=1∶5.33.(2015·重庆·理T5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.13+π B.23+π C.13+2πD.23+2π【答案】A【解析】由题中三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V 1=13×12×2×1×1=13;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V 2=π·12·2·12=π,所以该几何体的体积V=V 1+V 2=13+π.34.(2015·浙江·理T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ) A.8 cm 3 B.12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3【答案】C【解析】由题中三视图知该几何体是一个正方体与正四棱锥的组合体,其中正方体与正四棱锥的底面边长为2 cm,正四棱锥的高为2 cm,则该几何体的体积V=2×2×2+13×2×2×2=323(cm 3),故选C.35.(2015·山东·理T7)在梯形ABCD 中,∠ABC=π2,AD ∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D.2π【答案】C【解析】由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥,如图所示. V 圆柱=π×12×2=2π,V 圆锥=13×π×12×1=π3. ∴V 几何体=V 圆柱-V 圆锥=2π-π3=5π3.36.(2015·湖南·文T10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.827πC.24(√2-1)3πD.8(√2-1)3π【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h=√l 2-r 2=2√2.故该圆锥的体积V=π3×12×2√2=2√2π3.由题意可知,加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体ABCD-EFGH 的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方体的棱长为x.在轴截面SMN 中,由O 1G ∥ON可得,O 1GON=SO 1SO ,即√22x 1=√2-2√2,解得x=2√23.所以正方体的体积为V 1=(2√23)3=16√227.所以该工件的利用率为V1V =16√22722π3=89π.故选A.37.(2015·全国1·理T11文T11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.4D.8【答案】B【解析】由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S 表=2r ×2r+2×12πr 2+πr ×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π, 解得r=2.38.(2015·北京·理T5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( ) A.2+√5B.4+√5C.2+2√5D.5【答案】C【解析】作出三棱锥的直观图如图,在△ABC 中,作AB 边上的高CD,连接SD.在三棱锥S-ABC 中,SC ⊥底面ABC,SC=1,底面三角形ABC 是等腰三角形,AC=BC=√5,AB 边上的高CD=2,AD=BD=1,斜高SD=√5.所以S 表=S △ABC +S △SAC +S △SBC +S △SAB =12×2×2+12×1×√5+12×1×√5+12×2×√5=2+2√5. 39.(2015·陕西·理T5文T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S 1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S 2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S 1+2S 2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.40.(2015·浙江·理T8)如图,已知△ABC,D 是AB 的中点,沿直线CD 将△ACD 翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B 的平面角为α,则( ) A.∠A'DB ≤α B.∠A'DB ≥α C.∠A'CB ≤α D.∠A'CB ≥α【答案】B【解析】设∠ADC=θ,设AB=2,则由题意AD=BD=1. 在空间图形中,设A'B=t.在△A'BD 中, cos ∠A'DB=A 'D 2+DB 2-AB 22A 'D×DB =12+12-t 22×1×1=2-t 22. 在空间图形中,过A'作A'N ⊥DC,过B 作BM ⊥DC,垂足分别为N,M.过N 作NP MB,连接A'P,所以NP ⊥DC. 则∠A'NP 就是二面角A'-CD-B 的平面角, 所以∠A'NP=α.在Rt △A'ND 中,DN=A'Dcos ∠A'DC=cos θ,A'N=A'Dsin ∠A'DC=sin θ. 同理,BM=PN=sin θ,DM=cos θ.故BP=MN=2cos θ. 显然BP ⊥面A'NP,故BP ⊥A'P.在Rt △A'BP 中,A'P 2=A'B 2-BP 2=t 2-(2cos θ)2=t 2-4cos 2θ.在△A'NP 中,cos α=cos ∠A'NP=A 'N 2+NP 2-A 'P 22A 'N×NP=sin 2θ+sin 2θ-(t 2-4cos 2θ)=2+2cos 2θ-t 22=2-t 22+cos 2θ2=12cos ∠A'DB+cos 2θ2. 因为1sin 2θ≥1,cos 2θsin 2θ≥0,所以cos α≥cos∠A'DB (当θ=π2时取等号),因为α,∠A'DB ∈[0,π],而y=cos x 在[0,π]上为递减函数,所以α≤∠A'DB.故选B.41.(2015·全国2·理T9文T10)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为 ( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【解析】因为∠AOB=90°,所以S △AOB =12R 2. 因为V O-ABC =V C-AOB ,而△AOB 面积为定值,所以三棱锥底面OAB 上的高最大时,其体积最大.因为高最大为半径R,所以V C-AOB =13×12R 2×R=36,解得R=6,故S 球=4πR 2=144π.42.(2015·安徽·理T5)已知m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行...与β平行的直线...,则在α内不存在D.若m,n不平行...垂直于同一平面...,则m与n不可能【答案】D【解析】A选项α,β可能相交;B选项m,n可能相交,也可能异面;C选项若α与β相交,则在α内平行于它们交线的直线一定平行于β;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知D选项正确.43.(2015·浙江·文T4)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.( )A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m【答案】A【解析】若l⊥β,又l⊂α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β,故选项A正确;选项B,l⊥m或l∥m或l与m 相交或异面都有可能;选项C,α∥β或α与β相交都有可能;选项D,l∥m或l与m异面都有可能.44.(2015·广东·文T6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交【答案】D【解析】l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.45.(2014·浙江·理T3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2【答案】D【解析】由题干中的三视图可得原几何体如图所示.故该几何体的表面积S=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2××3×4=138(cm2).故选D.46.(2014·陕西·文T5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π【答案】C【解析】依题意,知所得几何体是一个圆柱,且其底面半径为1,母线长也为1,因此其侧面积为2π×1×1=2π,故选C.47.(2014·辽宁·理T4文T4)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【答案】B【解析】对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面α内,故C不正确.对D:n还可能在α内,故D不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.48.(2014·广东·理T7)在空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【答案】D【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1⊥l2,l2⊥l3.若取l4为A1D1,则有l1∥l4;若取l4为DD1,则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.49.(2014·浙江·文T6)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.( )A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α【答案】C【解析】当m⊥n,n∥α时,可能有m⊥α,但也有可能m∥α或m⊂α,故A选项错误;当m∥β,β⊥α时,可能有m⊥α,但也有可能m∥α或m⊂α,故选项B错误;当m⊥β,n⊥β,n⊥α时,必有α∥β,从而m⊥α,故选项C正确;在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取m为B1C1,n为CC1,β为平面ABCD,α为平面ADD1A1,这时满足m⊥n,n ⊥β,β⊥α,但m⊥α不成立,故选项D错误.50.(2014·陕西·理T5)已知底面边长为1,侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A.32π3B.4π C.2π D.4π3【答案】D【解析】依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径R,则2R=√12+12+(√2)2=2,解得R=1,所以V=4π3R 3=4π3.51.(2014·大纲全国·理T8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ) A.81π4B.16πC.9πD.27π4【答案】A【解析】由图知,R 2=(4-R)2+2, ∴R 2=16-8R+R 2+2,∴R=94, ∴S 表=4πR 2=4π×8116=814π,选A.52.(2014·湖南·理T7文T8)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A 1B 1C 1-ABC,且AB=8,BC=6,BB 1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A 1B 1BA,BCC 1B 1,ACC 1A 1相切,故此时球的半径与△ABC 内切圆的半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B. 53.(2014·全国1·理T12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6√2B.6C.4√2D.4【答案】B【解析】如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G=√(4√2)2+22=6.54.(2014·全国1·文T8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】B【解析】由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).55.(2014·北京·理T7)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, √2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1【答案】D【解析】三棱锥的各顶点在xOy 坐标平面上的正投影分别为A 1(2,0,0),B 1(2,2,0),C 1(0,2,0),D 1(1,1,0).显然D 1点为A 1C 1的中点,如图(1),正投影为Rt △A 1B 1C 1,其面积S 1=12×2×2=2.三棱锥的各顶点在yOz 坐标平面上的正投影分别为A 2(0,0,0),B 2(0,2,0),C 2(0,2,0),D 2(0,1,√2).显然B 2,C 2重合,如图(2),正投影为△A 2B 2D 2,其面积S 2=12×2×√2=√2.三棱锥的各顶点在zOx 坐标平面上的正投影分别为A 3(2,0,0),B 3(2,0,0),C 3(0,0,0),D 3(1,0,√2),由图(3)可知,正投影为△A 3D 3C 3,其面积S 3=12×2×√2=√2. 综上,S 2=S 3,S 3≠S 1.故选D.56.(2014·大纲全国·理T11)已知二面角α-l-β为60°,AB ⊂α,AB ⊥l,A 为垂足,CD ⊂β,C ∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( ) A.14B.√24C.√34D.12【答案】B【解析】如图,在平面α内过C 作CE ∥AB,则∠ECD 为异面直线AB 与CD 所成的角或其补角,不妨取CE=1,过E 作EO ⊥β于O. 在平面β内过O 作OH ⊥CD 于H, 连EH,则EH ⊥CD.因为AB ∥CE,AB ⊥l,所以CE ⊥l. 又因为EO ⊥平面β,所以CO ⊥l.故∠ECO 为二面角α-l-β的平面角,所以∠ECO=60°. 而∠ACD=135°,CO ⊥l,所以∠OCH=45°.在Rt △ECO 中,CO=CE ·cos ∠ECO=1·cos 60°=12.在Rt △COH 中,CH=CO ·cos ∠OCH=12·sin 45°=√24. 在Rt △ECH 中,cos ∠ECH=CHCE=√241=√24.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为√24.故选B.57.(2014·大纲全国·文T4)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16B.√36C.13D.√33【答案】B【解析】如图所示,取AD 的中点F,连EF,CF,则EF ∥BD,∴异面直线CE 与BD 所成的角即为CE 与EF 所成的角∠CEF.由题知,△ABC,△ADC 为正三角形,设AB=2,则 CE=CF=√3,EF=12BD=1.∴在△CEF 中,由余弦定理, 得cos ∠CEF=CE 2+EF 2-CF 22CE ·EF=√3)22√3)22×√3×1=√36.故选B.58.(2014·全国2·理T6文T6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727 B.59C.1027D.13【答案】C【解析】由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示. 切削掉部分的体积V 1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm 3), 原来毛坯体积V 2=π×32×6=54π(cm 3). 故所求比值为V1V 2=20π54π=1027.59.(2014·全国2·文T7)正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为√3,D 为BC 中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为( )A.3B.32C.1D.√32【答案】C【解析】∵D 是等边△ABC 的边BC 的中点,∴AD ⊥BC. 又ABC-A 1B 1C 1为正三棱柱, ∴AD ⊥平面BB 1C 1C. 又四边形BB 1C 1C 为矩形,∴S △DB 1C 1=12S 四边形BB 1C 1C =12×2×√3=√3. 又AD=2×√32=√3,∴V A -B 1DC 1=13S △B 1DC 1·AD=13×√3×√3=1.60.(2013·全国1·理T8文T11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【答案】A【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. V 半圆柱= π×22×4=8π,V 长方体=4×2×2=16. 所以所求体积为16+8π.故选A.61.(2013·浙江·文T5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( ) A.108 cm 3B.100 cm 3C.92 cm 3D.84 cm 3【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥,故几何体的体积是6×3×6-13×12×3×42=100(cm 3).故选B.62.(2013·山东·理T4)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为9,底面是边长为√3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6【答案】B【解析】如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为√3,可求得棱柱的高为√3.设P 在平面ABC 上射影为O,则可求得AO 长为1,故AP 长为√12+(√3)2=2.故∠PAO=π3,即PA 与平面ABC 所成的角为π3.63.(2013·全国2·理T7文T9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ( )【答案】A【解析】该四面体在空间直角坐标系O-xyz 中的图象如图所示.则它在平面zOx 上的投影,即正视图为.64.(2013·湖南·理T7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A.1 B.√2 C.√2-12 D.√2+12【答案】C【解析】当俯视图是面积为1的正方形时,其正视图的最小面积等于一个面的面积1,最大面积等于对角面的面积√2.故正视图面积S 的取值范围为1≤S≤√2. 因为√2-12<1,故选C.65.(2013·全国1·理T6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1372π3 cm 3D.2048π3cm 3【答案】A【解析】设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长的一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如图. BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R, 由R 2=(R-2)2+42,得R=5,所以球的体积为4π3×53=5003π(cm 3),故选A.66.(2013·辽宁·理T10)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上.若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( ) A.3√172 B.2√10C.132D.3√10【答案】C。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题12 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题12 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

专题12平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 抛物线2019年新课标1理科19解答题2018 椭圆2018年新课标1理科19解答题2017 椭圆2017年新课标1理科20解答题2016 圆的方程2016年新课标1理科20解答题2015 抛物线2015年新课标1理科20解答题2014 椭圆2014年新课标1理科20解答题2013 圆的方程2013年新课标1理科20解答题2012 抛物线2012年新课标1理科20解答题2011 抛物线2011年新课标1理科20解答题2011 圆的方程2011年新课标1理科22解答题2010 椭圆2010年新课标1理科20历年高考真题汇编1.【2019年新课标1理科19】已知抛物线C:y2=3的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若3,求|AB|.2.【2018年新课标1理科19】设椭圆C:y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.3.【2017年新课标1理科20】已知椭圆C:1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,证明:l 过定点.4.【2016年新课标1理科20】设圆2+y2+2﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.5.【2015年新课标1理科20】在直角坐标系Oy中,曲线C:y与直线l:y=+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)6.【2014年新课标1理科20】已知点A(0,﹣2),椭圆E:1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.7.【2013年新课标1理科20】已知圆M:(+1)2+y2=1,圆N:(﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.8.【2012年新课标1理科20】设抛物线C:2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,F A为半径的圆F交l于B,D两点;(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.9.【2011年新课标1理科20】在平面直角坐标系Oy中,已知点A(0,﹣1),B点在直线y=﹣3上,M点满足∥,•,M点的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处的切线,求O点到l距离的最小值.10.【2011年新课标1理科22】如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于的方程2﹣14+mn=0的两个根.(Ⅰ)证明:C,B,D,E四点共圆;(Ⅱ)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.11.【2010年新课标1理科20】设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率;(2)设点P(0,﹣1)满足|P A|=|PB|,求E的方程.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:直线方程、圆的方程,直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线,曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为:直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为6,椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. (1)求椭圆1C 的标准方程;(2)设点M 是椭圆1C 上的任意一点,射线MO 与椭圆2C 交于点N ,过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点,直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点,证明:NAB △面积为定值.2.如图,在平面直角坐标系Oy 中,椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)经过点(0,3-),点F 是椭圆的右焦点,点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等.过点F 的直线l 交椭圆于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当MF =2FN 时,求直线l 的方程;(3)若直线l 上存在点P 满足PM·PN=PF 2,且点P 在椭圆外,证明:点P 在定直线上.3.已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,O 是坐标原点.(1)若直线l 过点F 且8AB =,求直线l 的方程;(2)已知点(2,0)E -,若直线l 不与坐标轴垂直,且AEO BEO ∠=∠,证明:直线l 过定点.4.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,()2,0A 是长轴的一个端点,弦BC 过椭圆的中心O ,点C 在第一象限,且0AC BC ⋅=u u u r u u u r ,||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r.(1)求椭圆的标准方程;(2)设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ,若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴,问是否存在实数λ,使得PQ AB =λu u u r u u u r ?若不存在,请说明理由;若存在,求λ取得最大值时的PQ 的长.5.已知抛物线216y x =,过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B (自上而下顺次)四点.(1)求证:||||AC BD ⋅为定值;(2)求||||AB AF ⋅的最小值.6.已知O 为坐标原点,点()()2,02,0A B -,,()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r ,过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ.(Ⅰ)求曲线τ的方程;(Ⅱ)已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ,且与曲线τ相交于P ,Q 两点,PQ 的中点为N ,求三角形MON 面积的最大值.7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 是椭圆C 的一个焦点.点(02)M ,,直线MF 的. (1)求椭圆C 的方程;(2)若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ,两点,线段AB 的中点为N ,且AB MN =.求l 的方程.8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(,右焦点F 是抛物线28y x =的焦点. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知动直线l 过右焦点F ,且与椭圆C 分别交于M ,N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ,使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标若不存在,说明理由.9.关于椭圆的切线由下列结论:若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点,则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=. (1)利用上述结论,求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程;(2)若M 是直线4x =上任一点,过点M 作椭圆C 的两条切线MA ,MB (A ,B 为切点),设椭圆的右焦点为F ,求证:MF AB ⊥.10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ,,离心率为12,P 为椭圆上一动点(异于左右顶点),若12AF F △(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点,问在x 轴上是否存在一点Q ,使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.11.已知点()1,0F ,直线:1l x =-,P 为平面上的动点,过点P 作直线的垂线,垂足为Q ,且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点,()11,A x y 、()22,B x y ,且12y y a -= (0a >,且a 为常数),过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ,连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由12.已知点P 在抛物线()220C x py p =:>上,且点P 的横坐标为2,以P 为圆心,PO 为半径的圆(O 为原点),与抛物线C 的准线交于M ,N 两点,且2MN =.(1)求抛物线C 的方程;(2)若抛物线的准线与y 轴的交点为H .过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B ,且AB HB ⊥,求AF BF -的值.13.已知抛物线方程24y x =,F 为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段PF 与抛物线的交点,定义()PF d P FQ=. (1)当8(1)3P --,时,求()d P ; (2)证明存在常数a ,使得2()d P PF a =+.(3)123,,P P P 为抛物线准线上三点,且1223PP P P =,判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 14.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2.(1)若点(1,1)E ,且点P 在抛物线C 上,求||||PE PF +的最小值;(2)若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切,且与抛物线C 有两个不同交点,A B ,求AOB ∆的面积.15.已知曲线C 上的任意一点到直线l :=12的距离与到点F (102,)的距离相等. (1)求曲线C 的方程;(2)若过P (1,0)的直线与曲线C 相交于A ,B 两点,Q (1,0)为定点,设直线AQ 的斜率为1,直线BQ 的斜率为2,直线AB 的斜率为,证明:22212112k k k +-为定值.。

(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题01集合文(含解析)

(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题01集合文(含解析)

专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2019年北京文科01】已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=()A.(﹣1,1)B.(1,2)C.(﹣1,+∞)D.(1,+∞)【解答】解:∵A={x|﹣1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B={x|﹣1<x<2}∪{x|x>1}=(﹣1,+∞).故选:C.2.【2018年北京文科01】已知集合A={x||x|<2},B={﹣2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{﹣2,0,1,2} D.{﹣1,0,1,2}【解答】解:A={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},B={﹣2,0,1,2},则A∩B={0,1},故选:A.3.【2018年北京文科08】设集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a时,(2,1)∉A【解答】解:当a=﹣1时,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,﹣x+y>4,x+y≤2},显然(2,1)不满足,﹣x+y>4,x+y≤2,所以A不正确;当a=4,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,4x+y>4,x﹣4y≤2},显然(2,1)在可行域内,满足不等式,所以B不正确;当a=1,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,x+y>4,x﹣y≤2},显然(2,1)∉A,所以当且仅当a<0错误,所以C不正确;故选:D.4.【2017年北京文科01】已知全集U=R,集合A={x|x<﹣2或x>2},则∁U A=()A.(﹣2,2)B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)C.[﹣2,2] D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)【解答】解:∵集合A={x|x<﹣2或x>2}=(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),全集U=R,∴∁U A=[﹣2,2],故选:C.5.【2016年北京文科01】已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=()A.{x|2<x<5} B.{x|x<4或x>5} C.{x|2<x<3} D.{x|x<2或x>5}【解答】解:∵集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},∴A∩B={x|2<x<3}.故选:C.6.【2015年北京文科01】若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B=()A.{x|﹣3<x<2} B.{x|﹣5<x<2} C.{x|﹣3<x<3} D.{x|﹣5<x<3}【解答】解:集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B={x|﹣3<x<2}.故选:A.7.【2014年北京文科01】若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A∩B=()A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3}【解答】解:∵A={0,1,2,4},B={1,2,3},∴A∩B={0,1,2,4}∩{1,2,3}={1,2}.故选:C.8.【2013年北京文科01】已知集合A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x<1},则A∩B=()A.{0} B.{﹣1,0} C.{0,1} D.{﹣1,0,1}【解答】解:∵A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x<1},∴A∩B={﹣1,0}.故选:B.9.【2012年北京文科01】已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0},则A∩B=()A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,)C.(,3)D.(3,+∞)【解答】解:因为B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0}={x|x<﹣1或x>3},又集合A={x∈R|3x+2>0}={x|x},所以A∩B={x|x}∩{x|x<﹣1或x>3}={x|x>3},故选:D.10.【2011年北京文科01】已知全集U=R,集合P={x|x2≤1},那么∁U P=()A.(﹣∞,﹣1] B.[1,+∞)C.[﹣1,1] D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)【解答】解:由集合P中的不等式x2≤1,解得﹣1≤x≤1,所以集合P=[﹣1,1],由全集U=R,得到∁U P=(﹣∞,1)∪(1,+∞).故选:D.11.【2010年北京文科01】集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2<9},则P∩M=()A.{1,2} B.{0,1,2} C.{x|0≤x<3} D.{x|0≤x≤3}【解答】解:∵集合P={x∈Z|0≤x<3},∴P={0,1,2},∵M={x∈Z|x2<9},。

2010-2019北京高考数学(文)真题分类汇编 坐标系与参数方程

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2010-2019北京高考数学(文)真题分类汇编 坐标系与参数方程2019年1.(2019全国1文22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x tt y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.2.(2019全国II 文22)在极坐标系中,O 为极点,点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上,直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直,垂足为P .(1)当0=3θπ时,求0ρ及l 的极坐标方程; (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程.3.(2019全国III 文22)如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A,)4B π,)4C 3π,(2,)D π,弧AB ,BC ,CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2π,(1,)π,曲线1M 是弧AB ,曲线2M 是弧BC ,曲线3M 是弧CD .(1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M上,且||OP =P 的极坐标.2010-2018年1.(2018北京)在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切,则a =___.2.(2017北京)在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为(1,0)),则||AP 的最小值为___________.2cos sin 110ρθθ+=3.(2017天津)在极坐标系中,直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____.4.(2016北京)在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点,则||AB =____.5.(2015广东)已知直线l的极坐标方程为2sin()4πρθ-=Α的极坐标为7)4πA (,则点Α到直线l 的距离为. 6.(2015安徽)在极坐标系中,圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是7.(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. (1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程. 8.(2018全国卷Ⅱ)[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α(t 为参数). (1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 9.(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.10.(2018江苏)C .[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长.11.(2017新课标Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(1)若1a =-,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l,求a .12.(2017新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3π,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值.13.(2017新课标Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数),直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数).设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l :(cos sin )ρθθ+-0=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.14.(2017江苏)在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.15.(2016年全国I )在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C :4cos ρθ=. (I )说明1C 是哪种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程;(II )直线3C 的极坐标方程为0=a θ,其中0a 满足0tan =2a ,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a . 16.(2016年全国II )在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为()22625x y ++=.(I )以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(II )直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数),l 与C 交于A 、B两点,AB =l 的斜率.17.(2016年全国III )在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=(Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.18.(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数,椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,求线段AB 的长.19.(2015新课标Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,直线1C :2x =-,圆2C :22(1)(2)1x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求1C ,2C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.20.(2015新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,曲线1C :cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数,t ≠0)其中0απ<≤,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C :2sin ρθ=,3C:ρθ=.(Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标;(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求||AB 的最大值. 21.(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径.22.(2015陕西)在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρθ=. (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程;(Ⅱ)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.23.(2014新课标Ⅰ)已知曲线C :22149x y +=,直线l :222x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与最小值.24.(2014新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(Ⅰ)求C 的参数方程;(Ⅱ)设点D 在C 上,C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.25.(2013新课标Ⅰ)已知曲线1C 的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为。

(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题11平面解析几何解答题文(含解析)

(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题11平面解析几何解答题文(含解析)

专题11平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 椭圆2019年北京文科19解答题2018 椭圆2018年北京文科20解答题2017 椭圆2017年北京文科19解答题2016 椭圆2016年北京文科19解答题2015 椭圆2015年北京文科20解答题2014 椭圆2014年北京文科19解答题2013 椭圆2013年北京文科19解答题2012 椭圆2012年北京文科19解答题2011 椭圆2011年北京文科19解答题2010 椭圆2010年北京文科19历年高考真题汇编1.【2019年北京文科19】已知椭圆C:1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P、Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|•|ON|=2,求证:直线l经过定点.【解答】解:(Ⅰ)椭圆C:1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).可得b=c=1,a,则椭圆方程为y2=1;(Ⅱ)证明:y=kx+t与椭圆方程x2+2y2=2联立,可得(1+2k2)x2+4ktx+2t2﹣2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),△=16k2t2﹣4(1+2k2)(2t2﹣2)>0,x1+x2,x1x2,AP的方程为y x+1,令y=0,可得y,即M(,0);AQ的方程为y x+1,令y=0,可得y.即N(,0).(1﹣y1)(1﹣y2)=1+y1y2﹣(y1+y2)=1+(kx1+t)(kx2+t)﹣(kx1+kx2+2t)=(1+t2﹣2t)+k2•(kt﹣k)•(),|OM|•|ON|=2,即为|•|=2,即有|t2﹣1|=(t﹣1)2,由t≠±1,解得t=0,满足△>0,即有直线l方程为y=kx,恒过原点(0,0).2.【2018年北京文科20】已知椭圆M:1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)若k=1,求|AB|的最大值;(Ⅲ)设P(﹣2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D 和点Q(,)共线,求k.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知:2c=2,则c,椭圆的离心率e,则a,b2=a2﹣c2=1,∴椭圆的标准方程:;(Ⅱ)设直线AB的方程为:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理得:4x2+6mx+3m2﹣3=0,△=(6m)2﹣4×4×3(m2﹣1)>0,整理得:m2<4,x1+x2,x1x2,∴|AB|,∴当m=0时,|AB|取最大值,最大值为;(Ⅲ)设直线PA的斜率k PA,直线PA的方程为:y(x+2),联立,消去y整理得:(x12+4x1+4+3y12)x2+12y12x+(12y12﹣3x12﹣12x1﹣12)=0,由代入上式得,整理得:(4x1+7)x2+(12﹣4x12)x﹣(7x12+12x1)=0,x1•x C,x C,则y C(2),则C(,),同理可得:D(,),由Q(,),则(,),(,),由与共线,则,整理得:y2﹣x2=y1﹣x1,则直线AB的斜率k1,∴k的值为1.3.【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(﹣2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4:5.【解答】解:(Ⅰ)由椭圆的焦点在x轴上,设椭圆方程:(a>b>0),则a=2,e,则c,b2=a2﹣c2=1,∴椭圆C的方程;(Ⅱ)证明:设D(x0,0),(﹣2<x0<2),M(x0,y0),N(x0,﹣y0),y0>0,则直线AM的斜率k AM,直线DE的斜率k DE,直线DE的方程:y(x﹣x0),直线BN的斜率k BN,直线BN的方程y(x﹣2),,解得:,过E做EH⊥x轴,△BHE∽△BDN,则|EH|,则,∴:△BDE与△BDN的面积之比为4:5.4.【2016年北京文科19】已知椭圆C:1过点A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.【解答】(1)解:∵椭圆C:1过点A(2,0),B(0,1)两点,∴a=2,b=1,则,∴椭圆C的方程为,离心率为e;(2)证明:如图,设P(x0,y0),则,PA所在直线方程为y,取x=0,得;,PB所在直线方程为,取y=0,得.∴|AN|,|BM|=1.∴.∴四边形ABNM的面积为定值2.5.【2015年北京文科20】已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.【解答】解:(1)∵椭圆C:x2+3y2=3,∴椭圆C的标准方程为:y2=1,∴a,b=1,c,∴椭圆C的离心率e;(2)∵AB过点D(1,0)且垂直于x轴,∴可设A(1,y1),B(1,﹣y1),∵E(2,1),∴直线AE的方程为:y﹣1=(1﹣y1)(x﹣2),令x=3,得M(3,2﹣y1),∴直线BM的斜率k BM1;(3)结论:直线BM与直线DE平行.证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)知k BM=1,又∵直线DE的斜率k DE1,∴BM∥DE;当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x﹣1)(k≠1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y﹣1(x﹣2),令x=3,则点M(3,),∴直线BM的斜率k BM,联立,得(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0,由韦达定理,得x1+x2,x1x2,∵k BM﹣1=0,∴k BM=1=k DE,即BM∥DE;综上所述,直线BM与直线DE平行.6.【2014年北京文科19】已知椭圆C:x2+2y2=4.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.【解答】解:(Ⅰ)椭圆C:x2+2y2=4化为标准方程为,∴a=2,b,c,∴椭圆C的离心率e;(Ⅱ)设A(t,2),B(x0,y0),x0≠0,则∵OA⊥OB,∴0,∴tx0+2y0=0,∴t,∵,∴|AB|2=(x0﹣t)2+(y0﹣2)2=(x0)2+(y0﹣2)2=x02+y024=x0244(0<x02≤4),因为4(0<x02≤4),当且仅当,即x02=4时等号成立,所以|AB|2≥8.∴线段AB长度的最小值为2.7.【2013年北京文科19】直线y=kx+m(m≠0)与椭圆相交于A,C两点,O是坐标原点.(Ⅰ)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(Ⅱ)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.【解答】解:(I)∵点B的坐标为(0,1),当四边形OABC为菱形时,AC⊥OB,而B(0,1),O(0,0),∴线段OB的垂直平分线为y,将y代入椭圆方程得x=±,因此A、C的坐标为(,),如图,于是AC=2.(II)欲证明四边形OABC不可能为菱形,利用反证法,假设四边形OABC为菱形,则有OA=OC,设OA=OC=r,则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆的交点,故,x2(r2﹣1),则A、C两点的横坐标相等或互为相反数.从而得到点B是W的顶点.这与题设矛盾.于是结论得证.8.【2012年北京文科19】已知椭圆C:1(a>b>0)的一个长轴顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x﹣1)与椭圆C交于不同的两点M,N,(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)当△AMN的面积为时,求k的值.【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆一个顶点为A(2,0),离心率为,∴∴b∴椭圆C的方程为;(Ⅱ)直线y=k(x﹣1)与椭圆C联立,消元可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2,∴|MN|∵A(2,0)到直线y=k(x﹣1)的距离为∴△AMN的面积S∵△AMN的面积为,∴∴k=±1.9.【2011年北京文科19】已知椭圆G:1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(﹣3,2).(Ⅰ)求椭圆G的方程;(Ⅱ)求△PAB的面积.【解答】解:(Ⅰ)由已知得,c,,解得a,又b2=a2﹣c2=4,所以椭圆G的方程为.(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,由得4x2+6mx+3m2﹣12=0.①设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中点为E(x0,y0),则x0,y0=x0+m,因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB,所以PE的斜率k,解得m=2.此时方程①为4x2+12x=0.解得x1=﹣3,x2=0,所以y1=﹣1,y2=2,所以|AB|=3,此时,点P(﹣3,2).到直线AB:y=x+2距离d,所以△PAB的面积s|AB|d.10.【2010年北京文科19】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是,,离心率是,直线y =t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;(Ⅲ)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.【解答】解:(Ⅰ)因为,且,所以所以椭圆C的方程为(Ⅱ)由题意知p(0,t)(﹣1<t<1)由得所以圆P的半径为,则有t2=3(1﹣t2),解得所以点P的坐标是(0,)(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆P的方程x2+(y﹣t)2=3(1﹣t2).因为点Q(x,y)在圆P上.所以设t=cosθ,θ∈(0,π),则当,即,且x=0,y取最大值2.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:直线方程、圆的方程,直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线,曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为:直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3,椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭. (1)求椭圆1C 的标准方程;(2)设点M 是椭圆1C 上的任意一点,射线MO 与椭圆2C 交于点N ,过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点,直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点,证明:NAB △面积为定值.【答案】(1)22113y x +=; (2)见解析. 【解析】(1)解:因为1C, 所以22619b a=-,解得223a b =.①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=,整理得2211144a b +=.② 联立①②,得21a =,213b =,故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. (2)证明:①当直线l 的斜率不存在时,点M 为()1,0或()1,0-,由对称性不妨取()1,0M ,由(1)知椭圆2C 的方程为2213x y +=,所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =,所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. ②当直线l 的斜率存在时,设其方程为y kx m =+, 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程 得()222136310kxkmx m +++-=,由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=,整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程, 得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ,()22,B x y ,则122613km x x k +=-+,21223313m x x k-=+, 所以AB ===. 设()00,M x y ,()33,N x y ,ON MO λ=u u u vu u u u v,则可得30x x λ=-,30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩,解得3λ=(3λ=-舍去), 所以3ON MO =u u u vu u u u v,从而()31NM OM =+.又因为点O 到直线l 的距离为21m d k=+,所以点N 到直线l 的距离为()(231311m d k+⋅+=+,所以()()221126131312231NABmk S d AB m k∆+=+⋅=+⋅⋅+ 62=+,综上,NAB ∆的面积为定值62+. 2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)经过点(0,3-),点F 是椭圆的右焦点,点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等.过点F 的直线l 交椭圆于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当MF =2FN 时,求直线l 的方程;(3)若直线l 上存在点P 满足PM·PN=PF 2,且点P 在椭圆外,证明:点P 在定直线上.【答案】(1)22143x y +=;(25250x y ±=;(3)见解析. 【解析】(1)设椭圆的截距为2c ,由题意,b 3,由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等,得a+c =2a c c-,又a 2=b 2+c 2,联立解得a =2,c =1.∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=;(2)当直线l 与x 轴重合时,M (﹣2,0),N (2,0),此时MF =3NF ,不合题意; 当直线l 与x 轴不重合时,设直线l 的方程为x =my+1,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得(3m 2+4)y 2+6my ﹣9=0.△=36m 2+36(m 2+4)>0.122634m y y m +=-+ ①,1229y y 3m 4=-+②,由MF =2FN ,得y 1=﹣2y 2③, 联立①③得,1222126,3434m my y m m =-=++, 代入②得,()22227293434m m m-=-++,解得m =20y ±=;(3)当直线l 的斜率为0时,则M (2,0),N (﹣2,0),设P (x 0,y 0), 则PM•PN=|(x 0﹣2)(x 0+2)|,∵点P 在椭圆外,∴x 0﹣2,x 0+2同号, 又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-,解得052x =. 当直线l 的斜率不为0时,由(2)知,1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++,10200PM y ,PN y ,PF =-=-=.∵点P 在椭圆外,∴y 1﹣y 0,y 2﹣y 0同号,∴PM•PN=(1+m 2)(y 1﹣y 0)(y 2﹣y 0)=()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭,整理得032y m =,代入直线方程得052x =.∴点P 在定直线52x =上. 3.已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,O 是坐标原点. (1)若直线l 过点F 且8AB =,求直线l 的方程;(2)已知点(2,0)E -,若直线l 不与坐标轴垂直,且AEO BEO ∠=∠,证明:直线l 过定点. 【答案】(1)1y x =-或1y x =-+;(2)(2,0). 【解析】解:(1)法一:焦点(1,0)F ,当直线l 斜率不存在时,方程为1x =,与抛物线的交点坐标分别为(1,2),(1,2)-, 此时4AB =,不符合题意,故直线的斜率存在.设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=,当0k =时,方程只有一根,不符合题意,故0k ≠.()212222k x x k++=,抛物线的准线方程为1x =-,由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=,解得1k =±,所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二:焦点(1,0)F ,显然直线l 不垂直于x 轴,设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,124y y m +=,124y y =.||AB ==()241m ==+,由8AB =,解得1m =±, 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. (2)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得:2440y my b --=,可得124y y m +=,124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =,即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=,即121122()2()20y my b y my b y y +++++=, 整理得12122(2)()0my y b y y +++=, 即84(2)0bm b m -++=,即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,()2,0A 是长轴的一个端点,弦BC 过椭圆的中心O ,点C 在第一象限,且0AC BC ⋅=u u u r u u u r ,||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r. (1)求椭圆的标准方程;(2)设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ,若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴,问是否存在实数λ,使得PQ AB =λu u u r u u u r?若不存在,请说明理由;若存在,求λ取得最大值时的PQ 的长.【答案】(1) 223144x y += (2)3【解析】(1)∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r,∴90ACB ∠=︒,∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r.即||2||BC AC =u u u r u u u r ,∴AOC △是等腰直角三角形, ∵()2,0A ,∴()1,1C , 而点C 在椭圆上,∴22111a b +=,2a =,∴243b =, ∴所求椭圆方程为223144x y +=.(2)对于椭圆上两点P ,Q , ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴, ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称,PC k k =,则CQ k k =-,∵()1,1C ,∴PC 的直线方程为()11y k x =-+,①QC 的直线方程为()11y k x =--+,②将①代入223144x y +=,得()()22213613610k x k k x k k +--+--=,③∵()1,1C 在椭圆上,∴1x =是方程③的一个根,∴2236113P k k x k--=+, 以k -替换k ,得到2236131Q k k x k +-=+. ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-, ∵90ACB ∠=o ,()2,0A ,()1,1C ,弦BC 过椭圆的中心O , ∴()2,0A ,()1,1B --,∴13AB k =, ∴PQ AB k k =,∴PQ AB ∥,∴存在实数λ,使得PQ AB =λu u u r u u u r,||PQ =u u ur 3=≤, 当2219k k =时,即k =时取等号,max ||3PQ =u u u r ,又||AB =u u u r,maxλ==,∴λ取得最大值时的PQ的长为3. 5.已知抛物线216y x =,过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B (自上而下顺次)四点.(1)求证:||||AC BD ⋅为定值; (2)求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明;(2)108 【解析】(1)有题意可知,(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+,1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩,消x 可得216640y my --=,所以1216y y m +=,1264y y =-, 由抛物线的定义可知,112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+, 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-,所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==,所以||||AC BD ⋅为定值16.(2)由(1)可知,12||||||8AB AF BF x x =+=++,1||4AF x =+,212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++,由1216x x =,可得2116x x =, 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++(其中1>0x ), 令264()1248f x x x x =+++,222642(2)(4)()212x x f x x x x -+'=+-=, 当(0,2)x ∈时,()0f x '<,函数单调递减,当(2,)x ∈+∞时,()0f x '>,函数单调递增, 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6.已知O 为坐标原点,点()()2,02,0A B -,,()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r,过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. (Ⅰ)求曲线τ的方程;(Ⅱ)已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ,且与曲线τ相交于P ,Q 两点,PQ 的中点为N ,求三角形MON 面积的最大值.【答案】(Ⅰ)()22105x y y +=≠;.【解析】(Ⅰ)因为,AD AC EB AC =∥, 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠, 所以EB ED =,故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=,,,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:()22105x y y +=≠.(Ⅱ)由题意,直线l 的斜率存在且不为0, 设直线l 的方程为y kx m =+, 因为直线l 与圆O 相切,1=,∴221m k =+,由221,5,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2221510550k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,P x y Q x y ,由韦达定理知:()1212122210221515km mx x y y k x x m k k +=-+=++=++,. 所以PQ 中点N 的坐标为225,1515kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 所以弦PQ 的垂直平分线方程为22151515m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭,即 24015kmx ky k++=+.所以MN =.将m =MN =得2441155||||kMNk kk====++…(当且仅当k=,即m=取等号).所以三角形MON的面积为11122S OM MN=⨯⨯⨯≤,综上所述,三角形MON.7.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2,F是椭圆C的一个焦点.点(02)M,,直线MF的.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A B,两点,线段AB的中点为N,且AB MN=.求l的方程.【答案】(1)22182x y+=;(2)2y x=+【解析】(1)由题意,可得23cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得ac⎧=⎪⎨=⎪⎩,则222=2b a c=-,故椭圆C的方程为22182x y+=.(2)当l 的斜率不存在时,=2AB MN AB MN≠=,,,不合题意,故l的斜率存在.设l的方程为2y kx=+,联立221822x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得22(14)1680k x kx+++=,设1122(()A x yB x y,),,,则12122216k8,14k14kx x x x+=-=++,()222(16)3214128320k k k∆=-+=->即214k>,设00()N x y ,,则12028214x x kx k+==-+,120||||,0AB MN x =-=-Q0x =,即28||14k k =+整理得21124k =>.故k =,l 的方程为2y x =+.8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(,右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知动直线l 过右焦点F ,且与椭圆C 分别交于M ,N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ,使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标:若不存在,说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】(1)因为椭圆C 过点,所以221231a b +=, 又抛物线的焦点为()2,0,所以2c =. 所以2212314a a +=-,解得23a =(舍去)或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.(2)假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ,使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r .①当直线l 的斜率不存在时,则(2,3)M ,(2,3)N -,(2,3)QM m =-u u u u r ,(2,3)QN m =--u u u r, 由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ,解得54m =或114m =;②当直线l 的斜率为0时,则(4,0)M -,(4,0)N ,(4,0)QM m =--u u u u r ,(4,0)QN m =-u u u r, 由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ,解得114m =-或114m =.由①②可得114m =,即点Q 的坐标为11,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时,13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时,由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时,设其方程为(2)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=,直线经过椭圆内一点,一定与椭圆有两个交点,且21221643k x x k +=+,()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++,所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立 综上所述,在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭,使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.9.关于椭圆的切线由下列结论:若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点,则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论,求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程;(2)若M 是直线4x =上任一点,过点M 作椭圆C 的两条切线MA ,MB (A ,B 为切点),设椭圆的右焦点为F ,求证:MF AB ⊥.【答案】(1)240x y +-=(2)见证明 【解析】(1)由题意,将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=,得32y =,所以3(1,)2P ,所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=,即240x y +-=.(2)设(4,)M t ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,则过A ,B 两点的椭圆C 的切线MA ,MB 的方程分别为11143x x y y +=,22143x x y y+=, 因为(4,)M t 在两条切线上,114143x y t ⨯∴+=,224143x y t⨯+=, 所以A ,B 两点均在直线4143x yt +=上,即直线AB 的方程为13tyx +=, 当0t ≠时,3AB k t=-,又(1,0)F ,0413MF t t k -==-,313AB MF tk k t ⋅=-⨯=-,所以MF AB ⊥, 若0t =,点(4,0)M 在x 轴上,A ,B 两点关于x 轴对称,显然MF AB ⊥.10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ,,离心率为12,P 为椭圆上一动点(异于左右顶点),若12AF F △. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点,问在x 轴上是否存在一点Q ,使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)见解析【解析】(1)由题意,当P 在上或下顶点时,12PF F ∆的面积取值最大值,即最大值为bc = 又12c a =,且222a c b =+,解得24a =,23b =, 故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)易知()11,0F -,设直线l 的方程为1x my =-,()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ,联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,整理得22(34)690m y my +--=, 则122634my y m +=+,122934y y m =-+, ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++,∵111x my =-,221x my =-,∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+, ()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+, ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 2202281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+, 要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值,则2200031248534x x x -+-=,解得0118x =-, 所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭,使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 11.已知点()1,0F ,直线:1l x =-,P 为平面上的动点,过点P 作直线的垂线,垂足为Q ,且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点,()11,A x y 、()22,B x y ,且12y y a -= (0a >,且a 为常数),过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ,连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由 【答案】(1) 24y x = (2)见解析 【解析】(1)设(,)P x y ,则(1,)Q y -,QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ,(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-,即22(1)2(1)x x y +=--+,即24y x =, 所以动点P 的轨迹的方程24y x =.(2)联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ,得2440ky y b -+=, 依题意,0k ≠,且124y y k+=,124b y y k =,由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=, 即221616ba k k-=, 整理得:221616kb a k -=,所以2216(1)a k kb =-,① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭,所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭,依题意, 122111||22BD bkS DM y y a k∆∆-=-=, 由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->,得10kb ->,所以2112ABD bkS a k∆-=••, 由①知22116a k kb -=,所以23121632MBDa a S a ∆=••=,又a 为常数,故ABD S ∆的面积为定值. 12.已知点P 在抛物线()220C x py p =:>上,且点P 的横坐标为2,以P 为圆心,PO 为半径的圆(O 为原点),与抛物线C 的准线交于M ,N 两点,且2MN =. (1)求抛物线C 的方程;(2)若抛物线的准线与y 轴的交点为H .过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B ,且AB HB ⊥,求AF BF -的值.【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】(1)将点P 横坐标2P x =代入22x py =中,求得2P y p=, ∴P (2,2p),2244OP p =+,点P 到准线的距离为22p d p =+, ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得24p =,∴2p =,∴抛物线C 的方程为:24x y =;(2)抛物线24x y =的焦点为F (0,1),准线方程为1y =-,()01H -,; 设()()1122A x y B x y ,,,, 直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线方程可得2440x kx --=,∴121244x x k x x +==-,,…① 由AB HB ⊥,可得1AB HB k k ⋅=-, 又111AB AF y k k x -==,221HB y k x +=, ∴1212111y y x x -+⋅=-, ∴()()1212110y y x x -++=,即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,∴()22221212121110164x x x x x x +--+=,…② 把①代入②得,221216x x -=,则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=. 13.已知抛物线方程24y x =,F 为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段PF 与抛物线的交点,定义:()PFd P FQ=. (1)当8(1)3P --,时,求()d P ; (2)证明:存在常数a ,使得2()d P PF a =+.(3)123,,P P P 为抛物线准线上三点,且1223PP P P =,判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】(1)83;(2)证明见解析;(3)()()()1322d P d P d P +>. 【解析】 (1)因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Qy x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩, 则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. (2)当()1,0P -,易得2()2a d P PF =-=, 不妨设()1,P P y -,0P y >, 直线:1PF x my =+,则2P my =-,联立214x my y x=+⎧⎨=⎩,2440y my --=,2Q y m ==+()222212()||212221P P Q y m d P PF m y y m m m +-=-+=+++ 2212122m m m m m+-+=-+=.(3)设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---,则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-,又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->,所以()()()1322d P d P d P +>.14.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. (1)若点(1,1)E ,且点P 在抛物线C 上,求||||PE PF +的最小值;(2)若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切,且与抛物线C 有两个不同交点,A B ,求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解:(1)根据题意可知2p =所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ,准线为1y =-;记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ,故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=,等号成立当且仅当PE 垂直于准线,故||||PE PF +的最小值为2(2)设()11,A x y ,()22,B x y由题意知,直线l 斜率存在,设直线l 的方程为:y kx b =+将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=,由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-,由()0,2M 到直线l 的距离为12d ==得:2244b b k -=,又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15.已知曲线C 上的任意一点到直线l :x=-12的距离与到点F (102,)的距离相等. (1)求曲线C 的方程; (2)若过P (1,0)的直线与曲线C 相交于A ,B 两点,Q (-1,0)为定点,设直线AQ 的斜率为k 1,直线BQ 的斜率为k 2,直线AB 的斜率为k ,证明:22212112k k k+-为定值.【答案】(1)y 2=2x ;(2)见解析【解析】(1)由条件可知,此曲线是焦点为F 的抛物线,p122=,p=1.∴抛物线的方程为y 2=2x ;(2)根据已知,设直线AB 的方程为y=k (x -1)(k ≠0), 由()2y k x 1y 2x ⎧=-⎨=⎩,可得ky 2-2y -2k=0.设A (211y y 2,),B (222y y 2,),则122y y k +=,y 1y 2=-2. ∵1112211y2y k y y 212==++,2222222y 2y k y y 212==++. ∴22221222221212(y 2)(y 2)11k k 4y 4y +++=+=22222212212212(y 2)y (y 2)y 4y y +++ =()42422222122112122212y y y y 8y y 4y y 4y y ++++=()2221212128y y 32(y y )2y y 4162+++-+= =22482k 42k +=+.∴222121124k k k +-=.。

十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版):常用逻辑用

十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版):常用逻辑用

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
28.(2014•陕西•理 T8)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真
假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真
C.真,真,假 D.假,假,假
的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3
18.(2016•山东•理 T6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面
α 和平面 β 相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
13.(2017•天津•理 T4)设 θ∈R,则“
π
- 12
<
π
12”是“sin
1
θ<2”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.(2017•浙江•理 T6)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的 ( )
+ ≥ 6, 1.(2019•全国 3•文 T11)记不等式组 2 - ≥ 0 表示的平面区域为 D.命题 p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题 q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题 ①p∨q ②¬p∨q ③p∧¬q ④¬p∧¬q 这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.③④

(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题03函数概念与基本初等函数文(含解析)

(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题03函数概念与基本初等函数文(含解析)

专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2019年北京文科03】下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=x B.y=2﹣x C.y=log x D.y【解答】解:在(0,+∞)上单调递增,和在(0,+∞)上都是减函数.故选:A.2.【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.f B.f C.f D.f【解答】解:从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为:.故选:D.3.【2017年北京文科05】已知函数f(x)=3x﹣()x,则f(x)()A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数【解答】解:f(x)=3x﹣()x=3x﹣3﹣x,∴f(﹣x)=3﹣x﹣3x=﹣f(x),即函数f(x)为奇函数,又由函数y=3x为增函数,y=()x为减函数,故函数f(x)=3x﹣()x为增函数,故选:B.4.【2017年北京文科08】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093【解答】解:由题意:M≈3361,N≈1080,根据对数性质有:3=10lg3≈100.48,∴M≈3361≈(100.48)361≈10173,∴1093,故选:D.5.【2016年北京文科04】下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是()A.y B.y=cos x C.y=ln(x+1)D.y=2﹣x【解答】解:A.x增大时,﹣x减小,1﹣x 减小,∴增大;∴函数在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误;B.y=cos x在(﹣1,1)上没有单调性,∴该选项错误;C.x增大时,x+1增大,ln(x+1)增大,∴y=ln(x+1)在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误;D.;∴根据指数函数单调性知,该函数在(﹣1,1)上为减函数,∴该选项正确.故选:D.6.【2016年北京文科08】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,表中为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛【解答】解:∵这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,故编号为1,2,3,4,5,6,7,8的学生进入立定跳远决赛,又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则3,6,7号同学必进入30秒跳绳决赛,剩下1,2,4,5,8号同学的成绩分别为:63,a,60,63,a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛,故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛,故选:B.7.【2015年北京文科03】下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|lnx| D.y=2﹣x【解答】解:对于A,(﹣x)2sin(﹣x)=﹣x2sin x;是奇函数;对于B,(﹣x)2cos(﹣x)=x2cos x;是偶函数;对于C,定义域为(0,+∞),是非奇非偶的函数;对于D,定义域为R,但是2﹣(﹣x)=2x≠2﹣x,2x≠﹣2﹣x;是非奇非偶的函数;故选:B.8.【2015年北京文科08】某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升【解答】解:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8;故选:B.9.【2014年北京文科02】下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=e﹣x B.y=x C.y=lnx D.y=|x|【解答】解:A.函数的定义域为R,但函数为减函数,不满足条件.B.函数的定义域为R,函数增函数,满足条件.C.函数的定义域为(0,+∞),函数为增函数,不满足条件.D.函数的定义域为R,在(0,+∞)上函数是增函数,在(﹣∞,0)上是减函数,不满足条件.故选:B.10.【2014年北京文科06】已知函数f(x)log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)【解答】解:∵f(x)log2x,∴f(2)=2>0,f(4)0,满足f(2)f(4)<0,∴f(x)在区间(2,4)内必有零点,故选:C.11.【2014年北京文科08】加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【解答】解:将(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入p=at2+bt+c,可得,解得a=﹣0.2,b=1.5,c=﹣2,∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2,对称轴为t 3.75.故选:B.12.【2013年北京文科03】下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.B.y=e﹣x C.y=lg|x| D.y=﹣x2+1【解答】解:A中,y为奇函数,故排除A;B中,y=e﹣x为非奇非偶函数,故排除B;C中,y=lg|x|为偶函数,在x∈(0,1)时,单调递减,在x∈(1,+∞)时,单调递增,所以y=lg|x|在(0,+∞)上不单调,故排除C;D中,y=﹣x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故选:D.13.【2012年北京文科05】函数f(x)()x的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解:函数f(x)的定义域为[0,+∞)∵y在定义域上为增函数,y在定义域上为增函数∴函数f(x)在定义域上为增函数而f(0)=﹣1<0,f(1)0故函数f(x)的零点个数为1个故选:B.14.【2012年北京文科08】某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,则m的值为()A.5 B.7 C.9 D.11【解答】解:若果树前n年的总产量S与n在图中对应P(S,n)点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时,直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高,故选:C.15.【2011年北京文科03】如果x y<0,那么()A.y<x<1 B.x<y<1 C.1<x<y D.1<y<x【解答】解:不等式可化为:又∵函数的底数0 1故函数为减函数∴x>y>1故选:D.16.【2010年北京文科06】给定函数①,②,③y=|x﹣1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A.①②B.②③C.③④D.①④【解答】解:①是幂函数,其在(0,+∞)上即第一象限内为增函数,故此项不符合要求;②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的,因为原函数在(0,+∞)内为减函数,故此项符合要求;③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方,下方图象翻折到x轴上方而得到的,故由其图象可知该项符合要求;④中的函数图象为指数函数,因其底数大于1,故其在R上单调递增,不合题意.故选:B.17.【2017年北京文科11】已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.【解答】解:x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2=x2+(1﹣x)2=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],则令f(x)=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],函数的对称轴为:x,开口向上,所以函数的最小值为:f().最大值为:f(1)=2﹣2+1=1.则x2+y2的取值范围是:[,1].故答案为:[,1].18.【2016年北京文科10】函数f(x)(x≥2)的最大值为.【解答】解:;∴f(x)在[2,+∞)上单调递减;∴x=2时,f(x)取最大值2.故答案为:2.19.【2016年北京文科14】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种;②这三天售出的商品最少有种.【解答】解:①设第一天售出商品的种类集为A,第二天售出商品的种类集为B,第三天售出商品的种类集为C,如图,则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3=16种;②由①知,前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种,第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4=14种,当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时,即第三天没有售出前两天的商品时,这三天售出的商品种类最少为29种.故答案为:①16;②29.20.【2015年北京文科10】2﹣3,,log25三个数中最大数的是.【解答】解:由于0<2﹣3<1,12,log25>log24=2,则三个数中最大的数为log25.故答案为:log25.21.【2014年北京文科14】顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由师傅进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:则最短交货期为个工作日.【解答】解:由题意,徒弟利用6天完成原料B的加工,由师傅利用21天完成精加工,与此同时,徒弟利用9天完成原料A的加工,最后由师傅利用15天完成精加工,故最短交货期为6+21+15=42 个工作日.故答案为:42.22.【2013年北京文科13】函数f(x)的值域为.【解答】解:当x≥1时,f(x);当x<1时,0<f(x)=2x<21=2.所以函数的值域为(﹣∞,2).故答案为(﹣∞,2).23.【2012年北京文科12】已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=.【解答】解:∵函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=lg(ab)2=2lg(ab)=2.故答案为:2.24.【2012年北京文科14】已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2.若∀x∈R,f(x)<0或g (x)<0,则m的取值范围是.【解答】解:∵g(x)=2x﹣2,当x≥1时,g(x)≥0,又∵∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0∴此时f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面则∴﹣4<m<0故答案为:(﹣4,0)25.【2011年北京文科13】已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则数k的取值范围是.【解答】解:函数的图象如下图所示:由函数图象可得当k∈(0,1)时方程f(x)=k有两个不同的实根,故答案为:(0,1)26.【2011年北京文科14】设A(0,0),B(4,0),C(t+4,3),D(t,3)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则N(0)=,N(t)的所有可能取值为.【解答】解:当t=0时,平行四边形ABCD内部的整点有(1,1);(1,2);(2,1);(2,2);(3,1);(3,2)共6个点,所以N(0)=6作出平行四边形ABCD将边OD,BC变动起来,结合图象得到N(t)的所有可能取值为6,7,8故答案为:6;6,7,827.【2010年北京文科09】已知函数y,如图表示的是给定x的值,求其对应的函数值y 的程序框图,①处应填写;②处应填写.【解答】解:由题目可知:该程序的作用是计算分段函数y的值,由于分段函数的分类标准是x是否大于2,而满足条件时执行的语句为y=2﹣x,易得条件语句中的条件为x<2不满足条件时②中的语句为y=log2x故答案为:x<2,y=log2x.28.【2010年北京文科14】(北京卷理14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则f(x)的最小正周期为;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为说明:“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.【解答】解:不难想象,从某一个顶点(比如A)落在x轴上的时候开始计算,到下一次A点落在x轴上,这个过程中四个顶点依次落在了x轴上,而每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为4.下面考察P点的运动轨迹,不妨考察正方形向右滚动,P点从x轴上开始运动的时候,首先是围绕A点运动个圆,该圆半径为1,然后以B点为中心,滚动到C点落地,其间是以BP为半径,旋转90°,然后以C为圆心,再旋转90°,这时候以CP为半径,因此最终构成图象如下:故其与x轴所围成的图形面积为.故答案为:4,π+1.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:函数,函数的单调性与最值,函数的奇偶性与周期性,幂函数与二次函数,指数函数,对数函数,分段函数,函数的图象,函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:函数的单调性与最值,函数的奇偶性与周期性,指数函数,对数函数,分段函数,函数的图象,函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点函数的单调性与最值,函数的奇偶性与周期性,指数函数,对数函数,分段函数,函数的图象,函数与方程等为重点较佳.最新高考模拟试题1.已知是定义域为[a ,a +1]的偶函数,则2b a a -=( )A .0B .34CD .4 【答案】B【解析】∵f (x )在[a ,a +1]上是偶函数,∴﹣a =a +1⇒a 12=-, 所以f (x )的定义域为[12-,12], 故:f (x )12=-x 2﹣bx +1, ∵f (x )在区间[12-,12]上是偶函数, 有f (12-)=f (12),代入解析式可解得:b =0; ∴2b a a -13144=-=. 故选:B .2.已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足.若(3)1f =,则不等式的解集为( ) A .1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B .)8,1(C .D .【答案】A【解析】因为对121x x ∀<≤,满足,所以()y f x =当1≤x 时,是单调递减函数,又因为)1(+x f 为偶函数,所以()y f x =关于1x =对称,所以函数()y f x =当1>x 时,是增函数,又因为(3)1f =,所以有1)1(=-f ,当2log 1x ≤时,即当02x <≤时,当2log 1x >时,即当2x >时,,综上所述:不等式的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭,故本题选A.3.函数的单调减区间为( ) A .(,1)-∞-B .3(,)2-∞-C .3(,)2+∞D .(4,)+∞ 【答案】A【解析】 函数,所以或1x <-,所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-,当3(,)2-∞时,函数是单调递减,而1x <-,所以函数的单调减区间为(),1-∞-,故本题选A 。

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编:平面向量(含解析)

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编:平面向量(含解析)

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编:平面向量(含解析)1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( ) A.√2 B.2 C.5√2 D.50【答案】A【解析】由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=√(-1)2+12=√2,故选A.2.(2019·全国·1理T7文T8)已知非零向量a ,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b ,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】因为(a-b)⊥b , 所以(a-b )·b=a ·b-b 2=0, 所以a ·b=b 2.所以cos<a ,b>=a ·b|a |·|b |=|b |22|b |2=12,所以a 与b 的夹角为π3,故选B.3.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】如图,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BE⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3 4AB⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ .4.(2018·全国2·T4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.5.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a,b均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.6.(2018·浙江·T9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√3【答案】A【解析】∵b2-4e·b+3=0,∴(b-2e)2=1,∴|b-2e|=1.如图所示,平移a,b,e,使它们有相同的起点O,以O为原点,向量e所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则b的终点在以点(2,0)为圆心,半径为1的圆上,|a-b|就是线段AB的长度.要求|AB|的最小值,就是求圆上动点到定直线的距离的最小值,也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长,因此|a-b|的最小值为-1.7.(2018·天津·理T8)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则 A.2116 B.32C.2516D.3【答案】A【解析】如图,以D 为坐标原点建立直角坐标系.连接AC ,由题意知∠CAD=∠CAB =60°,∠ACD=∠ACB =30°,则D(0,0),A(1,0),B (32,√32),C(0,√3).设E(0,y)(0≤y≤√3),则AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,y),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-32,y-√32),∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+y 2-√32y=(y-√34)2+2116,∴当y=√34时,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值2116.8.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6D.0【答案】C【解析】连接MN ,∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴MN ∥BC ,且MN BC =13,∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=3[2×1×(-12)-1]=-6.9.(2017·全国2·理T12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A.-2 B.-32 C.-43 D.-1【答案】B【解析】以BC 所在的直线为x 轴,BC 的垂直平分线AD 为y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,√3),B(-1,0),C(1,0).设P(x ,y),则PA ⃗⃗⃗⃗ =(-x ,√3-y),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x ,-y),PC ⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,-y).所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =(-2x ,-2y).所以PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )=2x 2-2y(√3-y)=2x 2+2(y -√32)2−32≥-32. 当点P 的坐标为(0,√32)时,PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )取得最小值为-32,故选10.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ) A.3 B.2√2C.√5D.2【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x ,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r ,得r=|BC |·|CD ||BD |=5=2√55,即圆的方程是(x-2)2+y 2=45. 易知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0).由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得{x =2μ,y -1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y ,所以λ+μ=12x-y+1. 设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0. 因为点P(x ,y)在圆(x-2)2+y 2=45上, 所以圆心C 到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r,即√14+1≤2√55,解得1≤z≤3,11.(2017·全国2·文T4)设非零向量a ,b 满足|a+b|=|a-b|,则( ) A.a ⊥b B.|a|=|b| C.a ∥b D.|a|>|b| 【答案】A【解析】由|a+b|=|a-b|,平方得a 2+2a ·b+b 2=a 2-2a ·b+b 2,即a ·b=0.又a ,b 为非零向量,故a ⊥b ,故选A.12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC 的边长为2√3,平面ABC 内的动点P ,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37+6√34 D.37+2√334【答案】B【解析】设△ABC 的外心为D ,则|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 以D 为原点,直线DA 为x 轴,过D 点的DA 的垂线 为y 轴,建立平面直角坐标系, 则A(2,0),B(-1,-√3),C(-1,√3). 设P(x ,y),由已知|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,得(x-2)2+y 2=1,∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M (x -12,y+√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+12,y+3√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x+1)2+(y+3√3)24,它表示圆(x-2)2+y 2=1上点(x ,y)与点(-1,-3√3)距离平方的14,∴(|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)max =14[√32+(0+3√3)22=494, 故选B.13.(2016·天津·文T7)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF ,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.18C.14D.118【答案】B【解析】方法1(基向量法):如图所示,选取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )+12×12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 故AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =34−14×1×1×12−12=18.14.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b ,则m=( ) A.-8B.-6C.6D.8【答案】D【解析】由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b ,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8.故选D.15.(2015·全国2·文T4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b )·a=( ) A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】由已知2a+b=(1,0), 所以(2a+b )·a=1×1+0×(-1)=1.故选C.16.(2015·福建·文T7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c ,则实数k 的值等于( )A.-32 B.-53C.53D.32【答案】A【解析】∵a=(1,2),b=(1,1),∴c=(1+k ,2+k). ∵b ⊥c ,∴b ·c=1+k+2+k=0.∴k=-3217.(2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A【解析】AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-1),所以AD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5. 18.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC =60°,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2 B.-34a 2 C.34a 2 D.32a 2【答案】D【解析】如图,设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b. 则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b)·a=a 2+a ·b=a 2+a ·a ·c os 60°=a 2+12a 2=32a 2.19.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M ,N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20B.15C.9D.6【答案】C【解析】如图所示,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-316|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗=13×36-316×16=9.20.(2015·福建·理T9)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t ,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21【答案】A【解析】以点A 为原点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,如图. 则A(0,0),B (1t ,0),C(0,t), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(0,1). ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1,0)+4(0,1)=(1,4). ∴点P 的坐标为(1,4),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t-1,-4),PC ⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-4). ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ =1-1t -4t+16=-(1t +4t)+17≤-4+17=13,当且仅当1t =4t ,即t=12时取“=”. ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13.21.(2015·全国1·文T2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 【答案】A【解析】∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3), ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 22.(2015·重庆·理T6)若非零向量a ,b 满足|a|=2√23|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a 与b 的夹角为 ( )A.π4B.π2C.3π4D .π【答案】A【解析】由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a ·b-2|b|2=0.设a 与b 的夹角为θ,则3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0,即3·(2√23|b |)2−2√23|b|2cos θ-2|b|2=0,整理,得cos θ=√22.故θ=π4.23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a ,b 满足|b|=4|a|,且a ⊥(2a+b),则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2C.2π3D.5π6【答案】C【解析】因为a ⊥(2a+b),所以a ·(2a+b)=0, 即2|a|2+a ·b=0.设a 与b 的夹角为θ,则有2|a|2+|a||b|cos θ=0. 又|b|=4|a|,所以2|a|2+4|a|2cos θ=0, 则cos θ=-12,从而θ=2π3.24.(2015·全国1·理T7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A 【解析】如图,∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 25.(2014·全国1·文T6)设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A.26.(2014·山东·文T7)已知向量a=(1,√3),b=(3,m),若向量a ,b 的夹角为π6,则实数m=( ) A.2√3 B.√3 C.0 D.-√3【答案】B【解析】∵cos<a ,b>=a ·b|a ||b |, ∴cos π6=√3m 2×√32+m 2,解得m=√3.27.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 【答案】A【解析】2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故选A.28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 【答案】B【解析】由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选B.29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 【答案】B【解析】对于A ,C ,D ,都有e 1∥e 2,故选B.30.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a ,b 满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】A【解析】∵|a+b|=√10,∴(a+b)2=10.∴|a|2+|b|2+2a·b=10,①∵|a-b|=√6,∴(a-b)2=6,∴|a|2+|b|2-2a·b=6,②由①-②得a·b=1,故选A.31.(2014·大纲全国·文T6)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( )A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】由已知得|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos<a,b>-|b|2=2×1×1×c os 60°-12=0,故选B.32.(2014·大纲全国·理T4)若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )A.2B.√2C.1D.√22【答案】B【解析】∵(a+b)⊥a,|a|=1,∴(a+b)·a=0.∴|a|2+a·b=0.∴a·b=-1.又(2a+b)⊥b,∴(2a+b)·b=0.∴2a·b+|b|2=0.∴|b|2=2.∴|b|=√2.故选B.33.(2014·重庆·理T4)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( )A.-92B.0 C.3 D.152【答案】C【解析】由已知(2a-3b)⊥c,可得(2a-3b)·c=0,即(2k-3,-6)·(2,1)=0,展开化简,得4k-12=0,所以k=3.故选C.34.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( )A.√22B.12C.0D.-1【答案】C【解析】∵a ⊥b ,∴a ·b=0, ∴-1+2cos 2θ=0,即cos 2θ=0.35.(2012·重庆·理T6)设x ,y ∈R ,向量a=(x ,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a+b|= ( ) A.√5 B.√10 C.2√5 D.10【答案】B【解析】由a ⊥c ,得a ·c=2x-4=0,解得x=2.由b ∥c 得12=y-4,解得y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),|a+b|=√10.故选B.36.(2010·全国·文T2)a ,b 为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a ,b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B.-865C.1665D.-1665【答案】C【解析】b=(2a+b)-2a=(3,18)-(8,6)=(-5,12), 因此cos<a ,b>=a ·b |a ||b |=165×13=1665.37.(2019·全国3·文T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a ,b>= . 【答案】−√210【解析】cos<a ,b>=a ·b|a ||b |=√22+22×√(-8)+62=2√2×10=-√210. 38.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a ⊥b ,则m= . 【答案】8【解析】∵a=(-4,3),b=(6,m),a ⊥b , ∴a ·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8.39.(2019·天津·T14)在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE ,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【答案】-1【解析】∵AD ∥BC ,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°. ∵EA=EB ,∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB 中,EA=EB=2, BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ =-12+2√3×2×c os 30°+5×2√3×c os 30°+5×2×c os 180°=-22+6+15=-1.40.(2019·全国3·理T13)已知a ,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b ,则cos<a ,c>= . 【答案】23【解析】∵a ,b 为单位向量, ∴|a|=|b|=1.又a ·b=0,c=2a-√5b ,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4√5a ·b=9,∴|c|=3. 又a ·c=2|a|2-√5a ·b=2, ∴cos<a ,c>=a ·c|a |·|c |=21×3=23.41.(2019·浙江·T17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 【答案】0 2√5 【解析】(基向量处理)λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4+λ5+λ6)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0,此时只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,λ5=1,λ6=1,此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =0,由于λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =±2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 或±2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,取其中的一种λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB⃗⃗⃗⃗⃗ 讨论(其他三种类同),此时λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大,只需要使|λ1-λ3+2|,|λ2-λ4|最大,取λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,综合几种情况可得|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2√42.(2019·江苏·T12)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE=2EA ,AD 与CE 交于点O.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ,则ABAC 的值是 .【答案】√3【解析】如图,过点D 作DF ∥CE ,交AB 于点F , 由BE=2EA ,D 为BC 中点,知BF=FE=EA ,AO=OD.又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2, 得12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,故AB AC=√3. 43.(2018·北京·文T9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a ⊥(ma-b),则m= . 【答案】-1【解析】由题意,得ma-b=(m+1,-m). ∵a ⊥(ma-b),∴a ·(ma-b)=0,即m+1=0, ∴m=-1.44.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E ,F 是y 轴上的两个动点,且|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 【答案】-3【解析】依题意,设E(0,a),F(0,b),不妨设a>b ,则 a-b=2,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,a),BF ⃗⃗⃗⃗ =(-2,b),a=b+2,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ =(1,a)·(-2,b)=-2+ab=-2+(b+2)b=b 2+2b-2=(b+1)2-3, 故所求最小值为-3.45.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 【答案】3【解析】设A(a ,2a)(a>0),则由圆心C 为AB 的中点得C (a+52,a),☉C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与y=2x 联立解得x D =1,D(1,2).因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ,-2a),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-a+52,2-a),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(5-a)·(1-a+52)+(-2a)(2-a)=0,即a 2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.因为a>0,所以a=3.46.(2018·全国3·T13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c ∥(2a+b),则λ= . 【答案】12【解析】2a+b=(4,2),c=(1,λ), 由c ∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12.47.(2017·全国1·文T13)已知向量a=(-1,2),b=(m ,1),若向量a+b 与a 垂直,则m= . 【答案】7【解析】因为a=(-1,2),b=(m ,1), 所以a+b=(m-1,3).因为a+b 与a 垂直,所以(a+b )·a=0,即-(m-1)+2×3=0,解得m=7.48.(2017·山东·文T11)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a ∥b ,则λ= . 【答案】-3【解析】∵a ∥b ,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.49.(2017·全国1·理T13)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 【答案】2【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·c os 60°+4|b|2=22+4×2×1×12+4×1=12, 所以|a+2b|=√12=2√3.50.(2017·天津,理13文14)在△ABC 中,∠A =60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 . 【答案】311【解析】由题意,知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×c os 60°=3, AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4,解得λ=311.51.(2017·江苏·T12)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R),则m+n= . 【答案】3【解析】由tan α=7可得cos α=5√2,sin α=5√2,则5√2=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √2,由cos ∠BOC=√22可得√22=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √2,因为cos ∠AOB=cos (α+45°)=cos αc os 45°-sin αsin45°=5√2×√22−5√2×√22=-35,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =-35,所以m-35n=15,-35m+n=1, 所以25m+25n=65,所以m+n=3.52.(2017·山东·理T12)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量,若√3 e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 . 【答案】√33【解析】∵e 1,e 2是互相垂直的单位向量, ∴可设a=√3e 1-e 2=(√3,-1),b=e 1+λe 2=(1,λ). 则<a ,b >=60°.∴cos<a ,b>=c os 60°=a ·b|a ||b |=√3-2=12,即√3-λ=2+1,解得λ=√33.53.(2017·江苏·理T13)在平面直角坐标系xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 . 【答案】[-5√2,1]【解析】设P(x ,y),由PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,易得x 2+y 2+12x-6y≤20.把x 2+y 2=50代入x 2+y 2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0. 由{2x -y +5=0,x 2+y 2=50,可得{x =-5,y =-5或{x =1,y =7.由2x-y+5≤0表示的平面区域及P 点在圆上,可得点P 在圆弧EPF 上,所以点P 横坐标的取值范围为[-5√2,1].54.(2017·北京·文T12)已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .【答案】6【解析】方法1:设P(cos α,sin α),α∈R ,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α+2,sin α),AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2cos α+4.当α=2k π,k ∈Z 时,2cos α+4取得最大值,最大值为6. 故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6. 方法2:设P(x ,y),x 2+y 2=1,-1≤x≤1,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+2,y),AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+4,故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6.55.(2016·北京·文T9)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a 与b 夹角的大小为 . 【答案】π6【解析】设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b|a ||b |=2√32×2=√32,且两个向量夹角范围是[0,π],∴所求的夹角为π6.56.(2016·全国1·文T13)设向量a=(x ,x+1),b=(1,2),且a ⊥b ,则x= . 【答案】−23【解析】∵a ⊥b ,∴a ·b=x+2(x+1)=0, 解得x=-23.57.(2016·山东·文T13)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a ⊥(ta+b),则实数t 的值为 . 【答案】-5【解析】由a ⊥(ta+b)可得a ·(ta+b)=0, 所以ta 2+a ·b=0,而a 2=12+(-1)2=2,a ·b=1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t×2+10=0,解得t=-5. 58.(2016·全国2·文T13)已知向量a=(m ,4),b=(3,-2),且a ∥b ,则m= . 【答案】-6【解析】因为a ∥b ,所以-2m-4×3=0,解得m=-6.59.(2016·全国1·理T13)设向量a=(m ,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= . 【答案】-2【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2, ∴(m+1)2+32=m 2+1+5,解得m=-2.60.(2015·浙江·文T13)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则|b|= . 【答案】2√33【解析】因为b ·e 1=b ·e 2=1,|e 1|=|e 2|=1,由数量积的几何意义,知b 在e 1,e 2方向上的投影相等,且都为1,所以b 与e 1,e 2所成的角相等.由e 1·e 2=12知e 1与e 2的夹角为60°,所以b 与e 1,e 2所成的角均为30°,即|b|c os 30°=1,所以|b|=1cos30°=2√33. 61.(2015·全国2·理T13)设向量a ,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 【答案】12【解析】由题意知存在实数t ∈R ,使λa+b=t(a+2b),得{λ=t ,1=2t ,解得λ=12.62.(2015·北京·理T13)在△ABC 中,点M ,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= . 【答案】12−16【解析】如图,∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x=12,y=-16.63.(2014·湖北·理T11)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a +λb)⊥(a-λb),则实数λ= . 【答案】±3【解析】由题意得(a+λb)·(a-λb)=0,即a 2-λ2b 2=0,则a 2=λ2b 2, λ2=a 2b 2=(√32+32)2[√12+(-1)]=182=9.故λ=±3.64.(2014·陕西·理T3)设0<θ<π2,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ= .【答案】12【解析】由a ∥b ,得sin 2θ=cos 2θ,即2sin θcos θ=cos 2θ, 因为0<θ<π2,所以cos θ≠0,所以2sin θ=cos θ. 所以tan θ=12.65.(2014·重庆·文T12)已知向量a 与b 的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=√10,则a ·b= . 【答案】10【解析】由题意得|a|=2√10,所以a ·b=|a||b|cos<a ,b>=2√10×√10×12=10.66.(2014·全国1·理T15)已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 【答案】90°【解析】由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),可得O 为BC 的中点,则BC 为圆O 的直径,即∠BAC =90°.故AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为90°. 67.(2014·湖北·文T12)若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 【答案】2√5【解析】设B(x ,y),由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,可得√10=√x 2+y 2, ① OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-3y=0, ② 由①②得x=3,y=1或x=-3,y=-1, 所以B(3,1)或B(-3,-1),故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)或AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2),|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5, 68.(2013·江苏·T10)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD=12AB ,BE=23BC.若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 【答案】12【解析】由题意作图如图.∵在△ABC 中,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23.故λ1+λ2=12.69.(2013·北京·理T13)向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c =λa +μb(λ,μ∈R),则λμ= .【答案】4【解析】可设a=-i+j ,i ,j 为单位向量且i ⊥j ,则b=6i+2j ,c=-i-3j.∵c =λa +μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j ,∴{6μ-λ=-1,λ+2μ=-3,解得{λ=-2,μ=-12.∴λμ=4. 70.(2013·全国1·T13)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b ·c=0,则t= .【答案】2【解析】b ·c=ta ·b+(1-t)|b|2.又|a|=|b|=1,且a 与b 的夹角为60°,b ·c=0,∴0=t|a||b|c os 60°+(1-t),0=12t+1-t.∴t=2.71.(2013·全国2·理T13文T14)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗ = .【答案】2【解析】以{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-12×22+22=2.72.(2013·天津·理T12)在平行四边形ABCD 中,AD=1,∠BA D=60°,E 为CD 的中点.若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则AB 的长为 .【答案】12【解析】如图所示,在平行四边形ABCD 中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1=1,解方程得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12(舍去|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0).所以线段AB 的长为12.73.(2013·北京·文T14)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D 由所有满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成,则D 的面积为 . 【答案】3【解析】AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2). 设P(x ,y),则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y+1). ∴{x -1=2λ+μ,y +1=λ+2μ,得{λ=2x -y -33,μ=2y -x+33,∵1≤λ≤2,0≤μ≤1,可得{6≤2x -y ≤9,0≤x -2y ≤3,如图.可得A 1(3,0),B 1(4,2),C 1(6,3),|A1B1|=√(4-3)2+22=√5,两直线间距离d=√22+1=√5,∴D的面积S=|A1B1|·d=3.74.(2012·全国·理T13文T15)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=√10,则|b|= .【答案】3√2【解析】∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a|×|b|c os 45°=√22|b|,|2a-b|2=4-4×√22|b|+|b|2=10,∴|b|=3√2.75.(2012·安徽·文T11)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|= . 【答案】√2【解析】由题意,可得a+c=(3,3m).由(a+c)⊥b,得(a+c)·b=0,即(3,3m)·(m+1,1)=3(m+1)+3m=0,解之,得m=-12.∴a=(1,-1),|a|=√2.76.(2011·全国·文T13)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k= .【答案】1【解析】由已知可得|a|=|b|=1,且a与b不共线,所以a·b≠1,a·b≠-1.由已知向量a+b与向量ka-b垂直,所以(a+b)·(ka-b)=0,即ka2-b2+(k-1)a·b=0,即k-1+(k-1)a·b=0,所以(k-1)(1+a·b)=0.因为a·b≠-1,即a·b+1≠0,所以k-1=0,即k=1.(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编:平面向量(含解析)。

(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题10平面解析几何选择填空题文(含解析)

(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题10平面解析几何选择填空题文(含解析)

专题10平面解析几何选择填空题历年考题细目表历年高考真题汇编1.【2019年北京文科05】已知双曲线y2=1(a>0)的离心率是,则a=()A.B.4 C.2 D.【解答】解:由双曲线y2=1(a>0),得b2=1,又e,得,即,解得,a.故选:D.2.【2016年北京文科05】圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1 B.2 C.D.2【解答】解:∵圆(x+1)2+y2=2的圆心为(﹣1,0),∴圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为:d.故选:C.3.【2015年北京文科02】圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2【解答】解:由题意知圆半径r,∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.故选:D.4.【2014年北京文科07】已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4【解答】解:圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径为1,∵圆心C到O(0,0)的距离为5,∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由∠APB=90°可得,以AB为直径的圆和圆C有交点,可得PO AB=m,故有m≤6,故选:B.5.【2013年北京文科07】双曲线的离心率大于的充分必要条件是()A.B.m≥1 C.m>1 D.m>2【解答】解:双曲线,说明m>0,∴a=1,b,可得c,∵离心率e等价于⇔m>1,∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m>1.故选:C.6.【2011年北京文科08】已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A.4 B.3 C.2 D.1【解答】解:设C(a,a2),由已知得直线AB的方程为,即:x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为:d,有三角形ABC的面积为2可得:|a+a2﹣2|=2。

十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题10平面解析几何选择填空题文(含解析)

十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题10平面解析几何选择填空题文(含解析)

∪[4,+∞) 【解答】解:假设椭圆的焦点在 x 轴上,则 0<m<3 时,
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0, ]
设椭圆的方程为:
(a>b>0),设 A(﹣a,0),B(a,0),M(x,y),y>0,
则 a2﹣x2

∠MAB=α,∠MBA=β,∠AMB=γ,tanα
,tanβ

则 tanγ = tan[π ﹣ ( α+β ) ] = ﹣ tan ( α+β )

∴e

故选:D. 2.【2019 年新课标 1 文科 12】已知椭圆 C 的焦点为 F1(﹣1,0),F2(1,0),过 F2 的直线与 C 交于 A,B 两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则 C 的方程为( )
A. y2=1
B.
1
C.
1
D.
1
【解答】解:∵|AF2|=2|BF2|,∴|AB|=3|BF2|, 又|AB|=|BF1|,∴|BF1|=3|BF2|,
∴△APF 的面积 S 丨 AP 丨×丨 PF 丨 ,
3
同理当 y<0 时,则△APF 的面积 S , 故选:D.
5.【2017 年新课标 1 文科 12】设 A,B 是椭圆 C:
1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足∠AMB
=120°,则 m 的取值范围是(

A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0, ]∪[9,+∞)
1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,
点 A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为(

A.
B.
C.
D.
【解答】解:由双曲线 C:x2

十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版):三角函数

十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版):三角函数

A.sinα>0 B.cosα>0
C.sin 2α>0 D.cos 2α>0
43.(2014·大纲全国·文 T2)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cosα=( )
4
3
3
4
A.5
B.5
C.-5
D.-5
44.(2014·全国 1·理 T8)设 α∈
0,
π 2
,β∈
0,
π 2
,且 tan
1+sin2
段上,角 α 以 Ox 为始边,OP 为终边.若 tan α<cosα<sin α,则 P 所在的圆弧是( )
A.
B. C. D.
8.(2018·全国 1·文 T11)已知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有两点
2
A(1,a),B(2,b),且 cos 2α=3,则|a-b|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1
1
37.(2015·重庆·文 T6)若 tan α=3,tan(α+β)=2,则 tan β=( )
1
1
5
5
A.7
B.6
C.7
D.6

38.(2015·安徽·理 T10)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常数)的最小正周期为 π,当 x= 3

11π
18.(2017·天津·T7)设函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,|φ|<π,若 f 8 =2,f 8 =0,且 f(x)
的最小正周期大于 2π,则( )
2
π
2

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 复数部分 理数(附参考答案)

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 复数部分  理数(附参考答案)

17.(2016 年全国 I)设 (1 i)x 1 yi ,其中 x, y 是实数,则 x yi =
A.1
B. 2
C. 3
D.2
【答案】B. 18.(2016 年全国 II)已知 z (m 3) (m 1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m
的取值范围是
A. 3,1
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】B.
23.(2015
山东)若复数
z
z
满足
1i

i
,其中 i
为虚数单位,则
z
=
A.1 i
B.1 i
C. 1 i
D. 1 i
【答案】A.
24.(2015 四川)设 i 是虚数单位,则复数 i3 2 = i
A. i
B. 3i
C. i
D. 3i
57.(2011 山东)复数 z = 2 i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 2i
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D.
58.(2011 安徽)设 i 是虚数单位,复数 ai 为纯虚数,则实数 a 为 i
A.2
B. 2
C.


D.
B. 1,3
C. 1 , +
D. - , 3
【答案】A.
19.(2016 年全国 III)若 z 1 2i ,则 4i zz 1
A.1
B. 1
C.i
D. i
【答案】C.
20.(2015
新课标
1)设复数
z
1
满足

十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之平面解析几何

十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之平面解析几何

十年高考真题(2011-2020)(北京卷)专题10平面解析几何本专题考查的知识点为:平面解析几何,历年考题主要以选择填空或解答题题型出现,重点考查的知识点为:椭圆及其性质,双曲线及其性质,抛物线及其性质,直线与圆的位置关系,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以椭圆及其性质,抛物线及其性质为重点较佳.1.【2020年北京卷05】已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为().A.4B.5C.6D.72.【2020年北京卷07】设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l 于Q,则线段FQ的垂直平分线().A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP3.【2019年北京理科04】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2b D.3a=4b4.【2013年北京理科06】若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3,则其渐近线方程为()A.y=±2x B.y=±√2x C.y=±12x D.y=±√22x5.【2013年北京理科07】直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()A.43B.2C.83D.16√236.【2020年北京卷13】为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为W=f(t),用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是____________________.7.【2018年北京理科14】已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2−y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.8.【2017年北京理科09】若双曲线x2−y2m=1的离心率为√3,则实数m=.9.【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是.(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.10.【2016年北京理科13】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a = .11.【2015年北京理科10】已知双曲线x 2a 2−y 2=1(a >0)的一条渐近线为√3x +y =0,则a = . 12.【2014年北京理科11】设双曲线C 经过点(2,2),且与y 24−x 2=1具有相同渐近线,则C 的方程为;渐近线方程为 .13.【2012年北京理科12】在直角坐标系xOy 中.直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F .且与该抛物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60°.则△OAF 的面积为 .14.【2011年北京理科14】曲线C 是平面内与两个定点F 1(﹣1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中,所有正确结论的序号是 . 15.【2020年北京卷14】已知双曲线C:x 26−y 23=1,则C 的右焦点的坐标为_________;C 的焦点到其渐近线的距离是_________.16.【2020年北京卷20】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1过点A(−2,−1),且a =2b .(Ⅰ)求椭圆C 的方程:(Ⅱ)过点B(−4,0)的直线l 交椭圆C 于点M,N ,直线MA,NA 分别交直线x =−4于点P,Q .求|PB||BQ|的值. 17.【2019年北京理科18】已知抛物线C :x 2=﹣2py 经过点(2,﹣1). (Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =﹣1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.18.【2018年北京理科19】已知抛物线C :y 2=2px 经过点P (1,2),过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线P A 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O 为原点,QM →=λQO →,QN →=μQO →,求证:1λ+1μ为定值.19.【2017年北京理科18】已知抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.20.【2016年北京理科19】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P是椭圆C上一点,直线P A与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|•|BM|为定值.21.【2015年北京理科19】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线P A交x轴于点M.(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标,若不存在,说明理由.22.【2014年北京理科19】已知椭圆C:x2+2y2=4,(1)求椭圆C的离心率(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.23.【2013年北京理科19】已知A,B,C是椭圆W:x24+y2=1上的三个点,O是坐标原点.(Ⅰ)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(Ⅱ)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.24.【2012年北京理科19】已知曲线C:(5﹣m)x2+(m﹣2)y2=8(m∈R)(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.25.【2011年北京理科19】已知椭圆G:x24+y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线I交椭圆G于A,B两点.(Ⅰ)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(Ⅱ)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.1.【2020届北京市陈经纶学校高三上学期数学10月份月考】古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3,动点M 满足|MA|=2|MB|,则M 点的轨迹围成区域的面积为(). A .πB .2πC .3πD .4π2.【北京市人大附中2020届高三(6月份)高考数学考前热身】已知不过坐标原点O 的直线交抛物线y 2=2px 于A ,B 两点,若直线OA ,AB 的斜率分别为2和6,则直线OB 的斜率为() A .3B .2C .-2D .-33.【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试(二模)】若抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p 的取值范围是() A .p <1B .p >1C .p <2D .p >24.【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】设F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,过F 2的直线交双曲线的右支于点P ,N ,直线PO 交双曲线C 于另一点M ,若|MF 2|=3|PF 2|,且∠MF 2N =60°,则双曲线C 的离心率为() A .3B .2C .√52D .√725.【北京五中2020届高三(4月份)高考数学模拟】已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是1,点P 在该正方体的棱上.若|P A |+|PC 1|=√5,则点P 的个数为() A .6B .12C .8D .186.【2020届北京市高考适应性测试】已知点A(2,0)、B(0,−2).若点P 在函数y =√x 的图象上,则使得△PAB 的面积为2的点P 的个数为() A .1B .2C .3D .47.【北京一零一中学2019-2020学年度第二学期高三数学统练】已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e ,过点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ,B 两点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且∠F 1AF 2=150∘,则e 2=()A .7−2√3B .7−√3C .7+√3D .7+2√38.【北京市东城区2020届高三第二学期二模】双曲线C :x 2−y 2b 2=1的渐近线与直线x =1交于A ,B 两点,且|AB |=4,那么双曲线C 的离心率为() A .√2B .√3C .2D .√59.【2020届北京市海淀区高三一模】已知双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的离心率为√5,则b 的值为()A .1B .2C .3D .410.【2020届北京市第十一中学高三一模】已知双曲线x 2a+y 2=1的一条渐近线倾斜角为5π6,则a =()A .3B .−√3C .−√33D .−311.【2020届北京市八一中学高三数学四月份统练】已知抛物线x 2=4y 上一点A 的纵坐标为4,则点A 到抛物线焦点的距离为() A .2B .3C .4D .512.【北京市海淀区2019届高三上学期期末】双曲线x 22−y 22=1的左焦点的坐标为()A .(-2,0)B .(−√2,0)C .(−1,0)D .(−4,0)13.【北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习】已知圆C:(x −2)2+y 2=2,直线l:y =kx −2,若直线l 上存在点P ,过点P 引圆的两条切线l 1,l 2,使得l 1⊥l 2,则实数k 的取值范围是() A .[0,2−√3)∪(2+√3,+∞) B .[2−√3,2+√3] C .(−∞,0)D .[0,+∞)14.【北京市第四十四中学2019-2020学年高二下学期诊断性测试】已知椭圆x 25+y 2m =1(m >0)的离心率e=√105,则m 的值为() A .3B .253或3C .√5D .5√153或√1515.【2020届北京四中高三第二学期开学考试】已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2离心率为√33,过F 2的直线l 交C 与A,B 两点,若△AF 1B 的周长为4√3,则C 的方程为()A .x 23+y 22=1 B .x 23+y 2=1C .x 212+y 28=1 D .x 212+y 24=116.【北京市一零一中学2018届高三3月月考】阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k >0,k ≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P 满足|PA||PB|=√2,当P 、A 、B 不共线时,三角形PAB 面积的最大值是() A .2√2B .√2C .2√23D .√2317.【2020届北京市西城区高三诊断性考试(二模)】若圆x 2+y 2−4x +2y +a =0与x 轴,y 轴均有公共点,则实数a 的取值范围是() A .(−∞,1]B .(−∞,0]C .[0,+∞)D .[5,+∞)18.【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习(二模)】若抛物线y 2=12x 的焦点为F ,点P 在此抛物线上且横坐标为3,则|PF|等于() A .4B .6C .8D .1019.【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)】已知抛物线M :x 2=2py(p >0)的焦点与双曲线N :y 23−x 2=1的一个焦点重合,则p =()A .√2B .2C .2√2D .420.【北京市2020届高考数学预测卷】已知点A(−2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为() A .−43B .−1C .−34D .−1221.【北京市人大附中2020届高三(6月份)高考数学考前热身】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,过C 的左焦点做x 轴的垂线交椭圆于P 、Q 两点,且|PQ|=1.(1)求椭圆C 的标准方程及长轴长;(2)椭圆C 的短轴的上下端点分别为A ,B ,点M(m,12),满足m ≠0,且m ≠±√3,若直线AM ,BM 分别与椭圆C 交于E ,F 两点,且ΔBME 面积是ΔAMF 面积的5倍,求m 的值.22.【北京五中2020届高三(4月份)高考数学模拟】已知点M (x 0,y 0)为椭圆C :x 22+y 2=1上任意一点,直线l :x 0x +2y 0y =2与圆(x ﹣1)2+y 2=6交于A ,B 两点,记线段AB 中点为N ,点F 为椭圆C 的左焦点.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标; (Ⅱ)证明:|FN |=|AN |.23.【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)】已知椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)经过A(1,0),B(0,b)两点.O 为坐标原点,且△AOB 的面积为√24.过点P(0,1)且斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ,N ,且直线AM ,AN 分别与y 轴交于点S ,T . (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求直线l 的斜率k 的取值范围;(Ⅲ)设PS⃗⃗⃗⃗ =λPO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ+μ的取值范围. 24.【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练】设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 22+y 2=1上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NP⇀=√2NM ⇀.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x =−3上,且OP⇀⋅PQ ⇀=1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 25.如图,已知圆O :x 2+y 2=8交x 轴于A ,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为√22的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点作直线PF 的垂线交直线x =﹣4于点Q .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当点P 在圆O 上运动时(不与A ,B 重合),判断直线PQ 与圆O 位置关系? 26.【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1,√32),P 4(1,√32)中恰有三点在椭圆C 上.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.27.【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点,A,B 分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线MB 与x 轴交于点C ,直线MA 与轴交于点D ,求证:四边形ABCD 的面积为定值.28.【2020届北京市西城区第十五中学高三模拟(一)】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,右焦点为F(c,0),左顶点为A ,右顶点B 在直线l:x =2上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设点P 是椭圆C 上异于A ,B 的点,直线AP 交直线l 于点D ,当点P 运动时,判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系,并加以证明.29.【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)经过点(√3,1),离心率为√63.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点M(4,0)的直线交椭圆于A 、B 两点,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,在线段AB 上取点D ,使AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:点D 在定直线上.30.【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点坐标为A (0,﹣1),离心率为√32.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若直线y =k (x ﹣1)(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点P ,Q ,线段PQ 的中点为M ,点B (1,0),求证:点M 不在以AB 为直径的圆上1.【2020年北京卷05】已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为().A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】设圆心C(x,y),则√(x−3)2+(y−4)2=1,化简得(x−3)2+(y−4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5,所以|OC|≥5−1=4,当且仅当C在线段OM上时取得等号,故选:A.2.【2020年北京卷07】设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l 于Q,则线段FQ的垂直平分线().A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示:.因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F,Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据定义可知,|PQ |=|PF |,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选:B.3.【2019年北京理科04】已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,则( )A .a 2=2b 2B .3a 2=4b 2C .a =2bD .3a =4b【答案】解:由题意,ca =12,得c 2a 2=14,则a 2−b 2a 2=14,∴4a 2﹣4b 2=a 2,即3a 2=4b 2. 故选:B .4.【2013年北京理科06】若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3,则其渐近线方程为( ) A .y =±2x B .y =±√2xC .y =±12x D .y =±√22x 【答案】解:由双曲线的离心率√3,可知c =√3a , 又a 2+b 2=c 2,所以b =√2a ,所以双曲线的渐近线方程为:y =±ba x =±√2x . 故选:B .5.【2013年北京理科07】直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A .43B .2C .83D .16√23【答案】解:抛物线x 2=4y 的焦点坐标为(0,1), ∵直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直, ∴直线l 的方程为y =1,由{y =1x 2=4y,可得交点的横坐标分别为﹣2,2.∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为∫2−2(1−x24)dx=(x−112x3)|−22=83.故选:C.6.【2020年北京卷13】为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为W=f(t),用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是____________________.【答案】①②③【解析】−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数,在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强;①正确;甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中,甲企业在[t 1,t 2]这段时间内,甲的斜率最小,其相反数最大,即在[t 1,t 2]的污水治理能力最强.④错误;在t 2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②正确;在t 3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下,所以都已达标;③正确; 故答案为:①②③7.【2018年北京理科14】已知椭圆M :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线N :x 2m2−y 2n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为 ;双曲线N 的离心率为 . 【答案】解:椭圆M :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线N :x 2m2−y 2n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点, 可得椭圆的焦点坐标(c ,0),正六边形的一个顶点(c2,√3c2),可得:c 24a2+3c 24b 2=1,可得14e 2+34(1e2−1)=1,可得e 4﹣8e 2+4=0,e ∈(0,1), 解得e =√3−1.同时,双曲线的渐近线的斜率为√3,即nm =√3,可得:n 2m2=3,即m 2+n 2m 2=4,可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m 2=2.故答案为:√3−1;2.8.【2017年北京理科09】若双曲线x 2−y 2m=1的离心率为√3,则实数m = .【答案】解:双曲线x 2−y 2m=1(m >0)的离心率为√3,可得:√1+m1=√3,解得m =2. 故答案为:2.9.【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i =1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则Q 1,Q 2,Q 3中最大的是 .(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.【答案】解:(1)若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标;Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标,Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标,由已知中图象可得:Q1,Q2,Q3中最大的是Q1,(2)若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p i为A i B i中点与原点连线的斜率,故p1,p2,p3中最大的是p2故答案为:Q1,p210.【2016年北京理科13】双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.【答案】解:∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,∴渐近线互相垂直,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为y=±x,即a=b,∵正方形OABC的边长为2,∴OB=2√2,即c=2√2,则a2+b2=c2=8,即2a2=8,则a2=4,a=2,故答案为:211.【2015年北京理科10】已知双曲线x 2a 2−y 2=1(a >0)的一条渐近线为√3x +y =0,则a = .【答案】解:双曲线x 2a−y 2=1的渐近线方程为y =±xa,由题意可得1a=√3,解得a =√33. 故答案为:√33.12.【2014年北京理科11】设双曲线C 经过点(2,2),且与y 24−x 2=1具有相同渐近线,则C 的方程为 ;渐近线方程为 .【答案】解:与y 24−x 2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y 24−x 2=m ,(m ≠0), ∵双曲线C 经过点(2,2), ∴m =224−22=1−4=−3,即双曲线方程为y 24−x 2=﹣3,即x 23−y 212=1,对应的渐近线方程为y =±2x , 故答案为:x 23−y 212=1,y =±2x .13.【2012年北京理科12】在直角坐标系xOy 中.直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F .且与该抛物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60°.则△OAF 的面积为 . 【答案】解:抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1,0) ∵直线l 过F ,倾斜角为60°∴直线l 的方程为:y =√3(x −1),即x =√33y +1代入抛物线方程,化简可得y2−4√33y−4=0∴y=2√3,或y=−23√3∵A在x轴上方∴△OAF的面积为12×1×2√3=√3故答案为:√314.【2011年北京理科14】曲线C是平面内与两个定点F1(﹣1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于12a2.其中,所有正确结论的序号是.【答案】解:对于①,由题意设动点坐标为(x,y),则利用题意及两点间的距离公式的得:√(x+1)2+y2⋅√(x−1)2+y2=a2⇔[(x+1)2+y2]•[(x﹣1)2+y2]=a4(1)将原点代入验证,此方程不过原点,所以①错;对于②,把方程中的x被﹣x代换,y被﹣y代换,方程不变,故此曲线关于原点对称.②正确;对于③,由题意知点P在曲线C上,则△F1PF2的面积S△F1PF2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=12a2sin∠F1PF2,≤12a2,所以③正确.故答案为:②③.15.【2020年北京卷14】已知双曲线C:x26−y23=1,则C的右焦点的坐标为_________;C的焦点到其渐近线的距离是_________.【答案】(3,0)√3【解析】在双曲线C中,a=√6,b=√3,则c=√a2+b2=3,则双曲线C的右焦点坐标为(3,0),双曲线C的渐近线方程为y=±√22x,即x±√2y=0,所以,双曲线C的焦点到其渐近线的距离为√12+2=√3.故答案为:(3,0);√3.16.【2020年北京卷20】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点A(−2,−1),且a=2b.(Ⅰ)求椭圆C的方程:(Ⅱ)过点B(−4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=−4于点P,Q.求|PB||BQ|的值.【答案】(Ⅰ)x 28+y22=1;(Ⅱ)1.【解析】(1)设椭圆方程为:x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题意可得:{4a2+1b2=1a=2b,解得:{a2=8b2=2,故椭圆方程为:x 28+y22=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为:y=k(x+4),与椭圆方程x 28+y22=1联立可得:x2+4k2(x+4)2=8,即:(4k2+1)x2+32k2x+(64k2−8)=0,则:x1+x2=−32k24k+1,x1x2=64k2−84k+1.直线MA的方程为:y+1=y1+1x1+2(x+2),令x=−4可得:y P=−2×y1+1x1+2−1=−2×k(x1+4)+1x1+2−x1+2x1+2=−(2k+1)(x1+4)x1+2,同理可得:y Q=−(2k+1)(x2+4)x2+2.很明显y P y Q<0,且:|PB||PQ|=|y Py Q|,注意到:y P+y Q=−(2k+1)(x1+4x1+2+x2+4x2+2)=−(2k+1)×(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)(x1+2)(x2+2),而:(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)=2[x1x2+3(x1+x2)+8]=2[64k2−84k2+1+3×(−32k24k2+1)+8]=2×(64k2−8)+3×(−32k2)+8(4k2+1)4k2+1=0,故y P+y Q=0,y P=−y Q.从而|PB||PQ|=|y Py Q|=1.17.【2019年北京理科18】已知抛物线C:x2=﹣2py经过点(2,﹣1).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=﹣1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C :x 2=﹣2py 经过点(2,﹣1).可得4=2p ,即p =2, 可得抛物线C 的方程为x 2=﹣4y ,准线方程为y =1; (Ⅱ)证明:抛物线x 2=﹣4y 的焦点为F (0,﹣1),设直线方程为y =kx ﹣1,联立抛物线方程,可得x 2+4kx ﹣4=0, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 可得x 1+x 2=﹣4k ,x 1x 2=﹣4, 直线OM 的方程为y =y 1x 1x ,即y =−x14x ,直线ON 的方程为y =y2x 2x ,即y =−x24x ,可得A (4x 1,﹣1),B (4x 2,﹣1),可得AB 的中点的横坐标为2(1x 1+1x 2)=2•−4k−4=2k ,即有AB 为直径的圆心为(2k ,﹣1), 半径为|AB|2=12|4x 1−4x 2|=2•√16k 2+164=2√1+k 2,可得圆的方程为(x ﹣2k )2+(y +1)2=4(1+k 2), 化为x 2﹣4kx +(y +1)2=4, 由x =0,可得y =1或﹣3.则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1),(0,﹣3).18.【2018年北京理科19】已知抛物线C :y 2=2px 经过点P (1,2),过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线P A 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O 为原点,QM →=λQO →,QN →=μQO →,求证:1λ+1μ为定值. 【答案】解:(Ⅰ)∵抛物线C :y 2=2px 经过点 P (1,2),∴4=2p ,解得p =2, 设过点(0,1)的直线方程为y =kx +1, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 联立方程组可得{y 2=4x y =kx +1,消y 可得k 2x 2+(2k ﹣4)x +1=0,∴△=(2k ﹣4)2﹣4k 2>0,且k ≠0解得k <1,且k ≠0,x 1+x 2=−2k−4k 2,x 1x 2=1k 2,又∵P A 、PB 要与y 轴相交,∴直线l 不能经过点(1,﹣2),即k ≠﹣3, 故直线l 的斜率的取值范围(﹣∞,﹣3)∪(﹣3,0)∪(0,1); (Ⅱ)证明:设点M (0,y M ),N (0,y N ), 则QM →=(0,y M ﹣1),QO →=(0,﹣1)因为QM →=λQO →,所以y M ﹣1=﹣y M ﹣1,故λ=1﹣y M ,同理μ=1﹣y N , 直线P A 的方程为y ﹣2=2−y 11−x 1(x ﹣1)=2−y 11−y 124(x ﹣1)=42+y 1(x ﹣1),令x =0,得y M =2y12+y 1,同理可得y N =2y22+y 2,因为1λ+1μ=11−y M+11−y N=2+y 12−y 1+2+y22−y2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x1+x 2)+k2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2kk +1)1−4−2k k+1=4−2×4−2k k 2−4−2k k=2,∴1λ+1μ=2,∴1λ+1μ为定值.19.【2017年北京理科18】已知抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ,其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段BM 的中点.【答案】解:(1)∵y 2=2px 过点P (1,1), ∴1=2p ,解得p =12,∴y 2=x ,∴焦点坐标为(14,0),准线为x =−14,(2)证明:设过点(0,12)的直线方程为 y =kx +12,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),∴直线OP 为y =x ,直线ON 为:y =y2x 2x ,由题意知A (x 1,x 1),B (x 1,x 1y 2x 2),由{y =kx +12y 2=x ,可得k 2x 2+(k ﹣1)x +14=0, ∴x 1+x 2=1−k k ,x 1x 2=14k∴y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−k k 22×14k 2x1=2kx 1+(1﹣k )•2x 1=2x 1,∴A 为线段BM 的中点.20.【2016年北京理科19】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,A (a ,0),B (0,b ),O (0,0),△OAB 的面积为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设P 是椭圆C 上一点,直线P A 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N .求证:|AN |•|BM |为定值. 【答案】解:(Ⅰ)由题意可得e =ca =√32, 又△OAB 的面积为1,可得12ab =1, 且a 2﹣b 2=c 2,解得a =2,b =1,c =√3,可得椭圆C 的方程为x 24+y 2=1; (Ⅱ)证法一:设椭圆上点P (x 0,y 0), 可得x 02+4y 02=4,若P (0,﹣1),可得P A 与y 轴交于点M (0,﹣1),直线PB 与x 轴交于点N (0,0), 可得|AN |•|BM |=4; 直线P A :y =y 0x 0−2(x ﹣2),令x =0,可得y =−2y 0x 0−2,则|BM |=|1+2y 0x 0−2|;直线PB :y =y 0−1x 0x +1,令y =0,可得x =−x 0y 0−1,则|AN |=|2+x 0y 0−1|.可得|AN |•|BM |=|2+x 0y 0−1|•|1+2y 0x 0−2|=|(x 0+2y 0−2)2(x 0−2)(y 0−1)|=|x 02+4y 02+4+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0|=|8+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0|=4,即有|AN |•|BM |为定值4.证法二:设P (2cos θ,sin θ),(0≤θ<2π),直线P A :y =sinθ2cosθ−2(x ﹣2),令x =0,可得y =−sinθcosθ−1, 则|BM |=|sinθ+cosθ−11−cosθ|;直线PB :y =sinθ−12cosθx +1,令y =0,可得x =−2cosθsinθ−1, 则|AN |=|2sinθ+2cosθ−21−sinθ|.即有|AN |•|BM |=|2sinθ+2cosθ−21−sinθ|•|sinθ+cosθ−11−cosθ|=2|sin 2θ+cos 2θ+1+2sinθcosθ−2sinθ−2cosθ1+sinθcosθ−sinθ−cosθ|=2|2+2sinθcosθ−2sinθ−2cosθ1+sinθcosθ−sinθ−cosθ|=4.则|AN |•|BM |为定值4.21.【2015年北京理科19】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22,点P (0,1)和点A (m ,n )(m ≠0)都在椭圆C 上,直线P A 交x 轴于点M .(Ⅰ)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m ,n 表示);(Ⅱ)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N ,问:y 轴上是否存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ ?若存在,求点Q 的坐标,若不存在,说明理由.【答案】解:(Ⅰ)由题意得出{b =1ca =√22a 2=b 2+c 2解得:a =√2,b =1,c =1 ∴x 22+y 2=1,∵P (0,1)和点A (m ,n ),﹣1<n <1 ∴P A 的方程为:y ﹣1=n−1mx ,y =0时,x M =m 1−n∴M (m1−n ,0)(II )∵点B 与点A 关于x 轴对称,点A (m ,n )(m ≠0) ∴点B (m ,﹣n )(m ≠0) ∵直线PB 交x 轴于点N , ∴N (m 1+n ,0),∵存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ ,Q (0,y Q ), ∴tan ∠OQM =tan ∠ONQ , ∴y Q x M=x N y Q,即y Q 2=x M •x N ,m22+n 2=1y Q2=m21−n 2=2,∴y Q =±√2,故y 轴上存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ ,Q (0,√2)或Q (0,−√2)22.【2014年北京理科19】已知椭圆C :x 2+2y 2=4, (1)求椭圆C 的离心率(2)设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线y =2上,且OA ⊥OB ,求直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系,并证明你的结论. 【答案】解:(1)由x 2+2y 2=4,得椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.∴a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2﹣b 2=2. 因此a =2,c =√2. 故椭圆C 的离心率e =c a=√22; (2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切. 证明如下:设点A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(t ,2),其中x 0≠0. ∵OA ⊥OB ,∴OA →⋅OB →=0,即tx 0+2y 0=0,解得t =−2y 0x 0.当x 0=t 时,y 0=−t 22,代入椭圆C 的方程,得t =±√2. 故直线AB 的方程为x =±√2,圆心O 到直线AB 的距离d =√2. 此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切. 当x 0≠t 时,直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t(x −t),即(y 0﹣2)x ﹣(x 0﹣t )y +2x 0﹣ty 0=0. 圆心O 到直线AB 的距离d =000202.又x 02+2y 02=4,t =−2y 0x 0.故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 02x 02+4=|4+x 02x 0|√x 04+8x 02+162x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.23.【2013年北京理科19】已知A ,B ,C 是椭圆W :x 24+y 2=1上的三个点,O 是坐标原点. (Ⅰ)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 【答案】解:(I )∵四边形OABC 为菱形,B 是椭圆的右顶点(2,0)∴直线AC 是BO 的垂直平分线,可得AC 方程为x =1 设A (1,t ),得124+t 2=1,解之得t =√32(舍负) ∴A 的坐标为(1,√32),同理可得C 的坐标为(1,−√32) 因此,|AC |=√3,可得菱形OABC 的面积为S =12|AC |•|BO |=√3; (II )∵四边形OABC 为菱形,∴|OA |=|OC |, 设|OA |=|OC |=r (r >1),得A 、C 两点是圆x 2+y 2=r 2 与椭圆W :x 24+y 2=1的公共点,解之得3x 24=r 2﹣1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2,可得A 、C 两点的横坐标满足 x 1=x 2=2√33•√r 2−1,或x 1=2√33•√r 2−1且x 2=−2√33•√r 2−1,①当x 1=x 2=2√33•√r 2−1时,可得若四边形OABC 为菱形,则B 点必定是右顶点(2,0);②若x 1=2√33•2−1且x 2=−2√33•2−1,则x 1+x 2=0,可得AC 的中点必定是原点O ,因此A 、O 、C 共线,可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述,可得当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能为菱形.24.【2012年北京理科19】已知曲线C :(5﹣m )x 2+(m ﹣2)y 2=8(m ∈R ) (1)若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆,求m 的取值范围;(2)设m =4,曲线c 与y 轴的交点为A ,B (点A 位于点B 的上方),直线y =kx +4与曲线c 交于不同的两点M 、N ,直线y =1与直线BM 交于点G .求证:A ,G ,N 三点共线. 【答案】(1)解:原曲线方程可化简得:x 285−m+y 28m−2=1由题意,曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得:{ 85−m >8m−285−m >08m−2>0,解得:72<m <5(2)证明:由已知直线代入椭圆方程化简得:(2k 2+1)x 2+16kx +24=0,△=32(2k 2﹣3)>0,解得:k 2>32由韦达定理得:x M +x N =−16k2k 2+1①,x M x N =242k 2+1,②设N (x N ,kx N +4),M (x M ,kx M +4),G (x G ,1),MB 方程为:y =kx M +6x Mx −2,则G(3x M kx M +6,1),∴AG →=(3x MkxM+6,−1),AN →=(x N ,kx N +2), 欲证A ,G ,N 三点共线,只需证AG →,AN →共线 即3x MxM k+6(x N k +2)=−x N 成立,化简得:(3k +k )x M x N =﹣6(x M +x N )将①②代入可得等式成立,则A ,G ,N 三点共线得证. 25.【2011年北京理科19】已知椭圆G :x 24+y 2=1.过点(m ,0)作圆x 2+y 2=1的切线I 交椭圆G 于A ,B 两点.(Ⅰ)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;(Ⅱ)将|AB |表示为m 的函数,并求|AB |的最大值. 【答案】解:(I )由题意得a =2,b =1,所以c =√3 ∴椭圆G 的焦点坐标(−√3,0)(√3,0)离心率e =c a=√32. (II )由题意知:|m |≥1,当m =1时,切线l 的方程为x =1,点A (1,√32)点B (1,−√32)此时|AB |=√3;当m =﹣1时,同理可得|AB |=√3;当|m |>1时,设切线l 的方程为:y =k (x ﹣m ),由{y =k(x −m)x 24+y 2=1⇒(1+4k 2)x 2﹣8k 2mx +4k 2m 2﹣4=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则x 1+x 2=8k 2m1+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2m 2−41+4k 2又由l 与圆x 2+y 2=1相切∴圆心到直线l 的距离等于圆的半径即√1+k2=1⇒m 2=1+k 2k 2,所以|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2] =√(1+k 2)⋅[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3|m|m 2+3,由于当m =±1时,|AB |=√3,当m ≠±1时,|AB |=4√3|m|m 2+3,此时m ∈(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)又|AB |=4√3|m|m 2+3=4√3|m|+3|m|≤2(当且仅当m =±√3时,|AB |=2),所以,|AB |的最大值为2. 故|AB |的最大值为2.1.【2020届北京市陈经纶学校高三上学期数学10月份月考】古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3,动点M 满足|MA|=2|MB|,则M 点的轨迹围成区域的面积为(). A .π B .2π C .3π D .4π【答案】D 【解析】以A 为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,则B(3,0).设M(x,y), 依题意有,√x 2+y 222=2,化简整理得,x 2+y 2−8x +12=0, 即(x −4)2+y 2=4, 则圆的面积为4π. 故选D .2.【北京市人大附中2020届高三(6月份)高考数学考前热身】已知不过坐标原点O 的直线交抛物线y 2=2px 于A ,B 两点,若直线OA ,AB 的斜率分别为2和6,则直线OB 的斜率为() A .3 B .2 C .-2 D .-3【答案】D 【解析】设A(y A22p ,y A ),B(y B22p ,y B ),那么k AB =y A −y By A 2−y B 22p=2py A +y B =6,所以y A +y B=p 3,而k OA =y Ay A22p=2p y A=2,故y A=p ,y B =−23p ,所以x B =29p ,k OB =−3,选D .3.【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试(二模)】若抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p 的取值范围是() A .p <1 B .p >1 C .p <2 D .p >2【答案】D 【解析】。

2010-2019年十年高考数学真题分类汇编.docx

2010-2019年十年高考数学真题分类汇编.docx

A.1
B.2
C.3
D.4
31(. 2017Ⅲ理 1)已知集合 A = (x, y) x2 + y2 = 1 ,B = (x, y) y = x ,则 A I B 中元素的个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
32.(2018Ⅰ文 1)已知集合 A = 0,2 , B = -2,-1,0,1,2 ,则 A I B = ( )
A.(-14,16)
B.(-14,20)
C.(-12,18)
D.(-12,20)
x-3 2.(2010Ⅱ文 2)不等式 0 的解集为( )
x+2
A.{x|-2< x<3} B.{ x|x<-2}
C.{ x|x<-2,或 x>3} D.{ x∣x>3}
x -1
3.(2010Ⅱ文
5

3)若变量
x,y
1.集合
1.(2010Ⅰ文理 1)已知集合 A = x | x 2,x R,B = x | x 4,x Z ,则 A I B =( )
A.(0,2)
B.[0,2]
C.{0,2}
D.{0,1,2}
2.(2010Ⅱ文 1)设全集 U= x N * | x 6 ,集合 A={1,3},B={3,5},则 CU A U B =( )
A.{-1,0}
B.{0,1}
C.{-1,0,1}
D.{0,1,2}
20.(2016Ⅰ文 1)设集合 A={1,3,5,7},B={x| 2 x 5},则 A∩B=( )
A.{1,3}
B.{3,5}
C.{5,7}
D.{1,7}
21.(2016Ⅰ理 1)设集合 A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则 A I B = ( )

十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题10 平面解析几何选择填空题(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题10 平面解析几何选择填空题(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

专题10平面解析几何选择填空题历年考题细目表6填空题2015 双曲线2015年新课标1文科16填空题2010 圆的方程2010年新课标1文科13解答题2019 双曲线2019年新课标1文科21历年高考真题汇编1.【2019年新课标1文科10】双曲线C:1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为()A.2sin40°B.2cos40°C.D.2.【2019年新课标1文科12】已知椭圆C的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.y2=1 B. 1C. 1 D. 13.【2018年新课标1文科04】已知椭圆C:1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.4.【2017年新课标1文科05】已知F是双曲线C:21的右焦点,P是C上一点,且PF与轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.5.【2017年新课标1文科12】设A,B是椭圆C:1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)6.【2016年新课标1文科05】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.7.【2015年新课标1文科05】已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3 B.6 C.9 D.128.【2014年新课标1文科04】已知双曲线1(a>0)的离心率为2,则实数a=()A.2 B.C.D.19.【2014年新课标1文科10】已知抛物线C:y2=的焦点为F,A(0,y0)是C上一点,AF=|0|,则0=()A.1 B.2 C.4 D.810.【2013年新课标1文科04】已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y B.y C.y=±D.y11.【2013年新课标1文科08】O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()A.2 B.2C.2D.412.【2012年新课标1文科04】设F1、F2是椭圆E:1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.13.【2012年新课标1文科10】等轴双曲线C的中心在原点,焦点在轴上,C与抛物线y2=16的准线交于点A和点B,|AB|=4,则C的实轴长为()A.B.C.4 D.814.【2011年新课标1文科09】已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直.l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为()A.18 B.24 C.36 D.4815.【2011年新课标1文科04】椭圆1的离心率为()A.B.C.D.16.【2010年新课标1文科05】中心在原点,焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()A.B.C.D.17.【2018年新课标1文科15】直线y=+1与圆2+y2+2y﹣3=0交于A,B两点,则|AB|=.18.【2016年新课标1文科15】设直线y=+2a与圆C:2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.19.【2015年新课标1文科16】已知F是双曲线C:21的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为.20.【2010年新课标1文科13】圆心在原点上与直线+y﹣2=0相切的圆的方程为.21.【2019年新课标1文科21】已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,⊙M过点A,B且与直线+2=0相切.(1)若A 在直线+y =0上,求⊙M 的半径;(2)是否存在定点P ,使得当A 运动时,|MA |﹣|MP |为定值?并说明理由. 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:直线方程、圆的方程,直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线,曲线与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直,直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ,B ,若3AF FB =u u u r u u u r,则该双曲线的离心率为( )AB C D2.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(, 0)F c ,若a 、b 、c 成等比数列,则该双曲线的离率e =( )A B C D 13.已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点,以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ,且面积为2π,若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ,垂足为D ,则||CD 的最大值为( )A .2B C .2D .124.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ,以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ,两点,若四边形AOBF 的面积为()2212a b +,则双曲线C 的渐近线方程为( )A .2y x =±B .y =C .y x =±D .2y x =±5.已知12F F 、分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ,若点P 在以线段12F F 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( )A .(B .)+∞C .()1,2D .()2,+∞6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点,若|AF|=3,则|BF|=( )A .2B .32C .1D .127.已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点,抛物线C 上动点A ,B 满足4AF FB =u u u ru u u r,若A ,B 的准线上的射影分别为M ,N 且MFN ∆的面积为5,则AB =( )A .94B .134C .214D .2548.已知直线1y kx =-与抛物线28x y =相切,则双曲线2221x k y -=的离心率为( )A B CD 9.过点(2,1)P 作直线l 与圆22:240C x y x y a +--+=交于A ,B 两点,若P 为A ,B 中点,则直线l 的方程为( ) A .3y x =-+ B .23y x =- C .23y x =-+D .1y x =-10.设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,若1290F PF ︒∠=,c=2,213PF F S ∆=,则双曲线的两条渐近线的夹角为( ) A .5π B .4π C .6π D .3π 11.直线:2l x ay +=被圆224x y +=所截得的弦长为23,则直线l 的斜率为( ) A .3B .3-C .3 D .3±12.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点A ,抛物线2:12C y ax =的焦点为F ,若在E 的渐近线上存在点P ,使得PA FP ⊥,则E 的离心率的取值范围是( ) A .()1,2B .231,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C .()2,+∞D .23,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭13.已知椭圆C :2214x y +=上的三点A ,B ,C ,斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ,若原点O 是ABC ∆的重心,且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32,则直线BC 的斜率为( )A .24-B .14-C .3D .314.如图,AB 是平面α的斜线段,A 为斜足,点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>,且在平面α内运动,则( )A .当1λ=时,点C 的轨迹是抛物线B .当1λ=时,点C 的轨迹是一条直线 C .当2λ=时,点C 的轨迹是椭圆D .当2λ=时,点C 的轨迹是双曲线抛物线15.已知抛物线2:4C y x =的焦点F 和准线l ,过点F 的直线交l 于点A ,与抛物线的一个交点为B ,且3FA FB =-u u u v u u u v,则||AB =( )A .23B .43C .323D .16316.已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,以F 为圆心,FA 为半径的圆交C的左支于M ,N 两点,且线段AM 的垂直平分线经过点N ,则C 的离心率为( ) A 2B 3C .43D .5317.已知抛物线C :22(0)x py p =>的焦点为F ,抛物线C 的准线与y 轴交于点A ,点()01,M y 在抛物线C 上,05||4y MF =,则tan FAM ∠=( ) A .25 B .52C .54D .4518.已知圆C :22430x y x +-+=,则圆C 关于直线4y x =--的对称圆的方程是( ) A .22(4)(6)1x y +++= B .22(6)(4)1x y +++= C .22(5)(7)1x y +++=D .22(7)(5)1x y +++=19.已知椭圆C :22221x y a b+=,()0a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,M 为椭圆上异于长轴端点的一点,12MF F ∆的内心为I ,直线MI 交x 轴于点E ,若2MI IE=,则椭圆C 的离心率是( )A .2 B .12C .3 D .1320.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( ) A .32-B .31-C .2 D .3 21.已知椭圆C :2212x y +=,直线l :1y x =-与椭圆C 交于A ,B 两点,则过点A ,B 且与直线m :43x =相切的圆的方程为______. 22.已知点(3,3)P -,过点(3,0)M 作直线,与抛物线24y x =相交于A ,B 两点,设直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k ,则12k k +=____.23.已知圆C :22(1)()16x y a -+-=,若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ,B 两点,且CA CB ⊥,则实数a 的值为_______.24.如图是数学家Germinal Dandelin 用证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”);在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,设图中球1O ,球2O 的半径分别为3和1,球心距离128OO =,截面分别与球1O ,球2O 切于点E ,F ,(E ,F 是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于______.25.已知点()2,0A -、()02,B ,若点C 是圆222210x ax y a -++-=上的动点,ABC ∆面积的最小值为3,则a 的值为__________.26.椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,过2F 的直线交椭圆于A ,B两点,1ABF ∆的周长为8,则该椭圆的短轴长为__________.27.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A ,F 分别为椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点、右焦点,过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,线段AP 的中点为M ,若Q ,F ,M 三点共线,则椭圆C 的离心率为______.28.已知点()0,1A ,抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ,连接FA ,与抛物线C 相交于点M ,延长FA ,,与抛物线C 的准线相交于点N ,若:1:2FM MN =,则实数a 的值为______.29.已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,左顶点为A ,以F 为圆心,FA 为半径的圆交C的右支于M ,N 两点,且线段AM 的垂直平分线经过点N ,则C 的离心率为_________.30.椭圆T :22221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点(,0)A a ,(0,)B b ,过A ,B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ,C (不同于顶点),若3BC AD =,则椭圆T 的离心率为_____.。

(北京卷)十年真题(2010-2019)高考数学真题分类汇编 专题02 复数 文(含解析)

(北京卷)十年真题(2010-2019)高考数学真题分类汇编 专题02 复数 文(含解析)

专题02复数历年高考真题汇编1.【2019年北京文科02】已知复数z=2+i,则z•()A.B.C.3 D.5【解答】解:∵z=2+i,∴z•.故选:D.2.【2018年北京文科02】在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:复数,共轭复数对应点的坐标(,)在第四象限.故选:D.3.【2017年北京文科02】若复数(1﹣i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,1)B.(﹣∞,﹣1)C.(1,+∞)D.(﹣1,+∞)【解答】解:复数(1﹣i)(a+i)=a+1+(1﹣a)i在复平面内对应的点在第二象限,∴,解得a<﹣1.则实数a的取值范围是(﹣∞,﹣1).故选:B.4.【2016年北京文科02】复数()A.i B.1+i C.﹣i D.1﹣i【解答】解:i,故选:A.5.【2013年北京文科04】在复平面内,复数i(2﹣i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:∵复数z=i(2﹣i)=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是(1,2)这个点在第一象限,故选:A.6.【2012年北京文科02】在复平面内,复数对应的点的坐标为()A.(1,3)B.(3,1)C.(﹣1,3)D.(3,﹣1)【解答】解:∵1+3i,∴在复平面内,复数对应的点的坐标为(1,3),故选:A.7.【2011年北京文科02】复数()A.i B.﹣i C.D.【解答】解:i故选:A.8.【2010年北京文科02】在复平面内,复数6+5i,﹣2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i【解答】解:两个复数对应的点的坐标分别为A(6,5),B(﹣2,3),则其中点的坐标为C(2,4),故其对应的复数为2+4i.故选:C.9.【2015年北京文科09】复数i(1+i)的实部为.【解答】解:复数i(1+i)=﹣1+i,所求复数的实部为:﹣1.故答案为:﹣1.10.【2014年北京文科09】若(x +i )i =﹣1+2i (x ∈R ),则x = . 【解答】解:∵(x +i )i =﹣1+2i , ∴﹣1+xi =﹣1+2i , 由复数相等可得x =2 故答案为:2考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算,与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义等,历年考题主要以选择填空题题型出现,重点考查的知识点为复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算为重点较佳.最新高考模拟试题1.复数52iz =-在复平面上的对应点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A 【解析】()()()52i 52i 2i 2i 2i z +===+--+,在复平面上的对应点为()2,1,位于第一象限. 故选A. 2.设i z a b =+(a ,b ∈R ,i 是虚数单位),且22i z =-,则有( ) A .1a b +=- B .1a b -=- C .0a b -= D .0a b +=【答案】D 【解析】因为2222()()22z a bi a b abi i =+=-+=-,所以220a b -=,22ab =-,解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩,所以0a b +=,故选D.3.若复数1i1ia z +=+为纯虚数,则实数a 的值为( ) A .1 B .1-C .0D .2【答案】B 【解析】()()()()()11111i 1i 112ai i a a i a z i i +-++-+===++-故10,10a a +=-≠ ,解1a =- 故选:B4.复数i (1+i )的虚部为( )A B .1C .0D .1-【答案】B 【解析】∵i (1+i )=-1+i , ∴i (1+i )的虚部为1. 故选:B .5.已知复数11z i =-+,复数2z 满足122z z =-,则2z = ( )A .2 BCD .10【答案】B 【解析】 由题得222(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i -------====+-+-+--,所以2z 故选:B6.已知复数312i z i=+,则复数z 的实部为( )A .25-B .25i -C .15-D .15i -【答案】A 【解析】解:∵3(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i --===--++-, ∴复数z 的实部为25-. 故选A . 7.复数122ii-=+( ) A .1i - B .i -C .iD .1i +【答案】B 【解析】12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i ------===-++-. 故选B8.已知i 为虚数单位,复数z 满足:()z 12i i +=-,则在复平面上复数z 对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】D 【解析】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+, 所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-,位于第四象限,故选D .9.设复数z a i =+,z 是其共轭复数,若3455z i z =+,则实数a =( ) A .4 B .3C .2D .1【答案】C 【解析】 解:z a i =+z a i ∴=-343443++2555555z a a i a i i a z ⎛⎫∴=+⇒+=-⇒= ⎪⎝⎭10.已知i 是虚数单位,复数z 满足2(1)1i i z-=+,则z =( )A B .2 C .1D 【答案】A 【解析】22(1)(1)22(1)1(1)111(1)(1)i i i i i i z i i i z i i i i ----⋅-=+⇒====--=--+++⋅-,所以1z i =--==A.11.复数()()21z i i =+-,其中i 为虚数单位,则z 的实部是( ) A .-1 B .1C .2D .3【答案】D 【解析】解:∴()()212213z i i i i i =+-=-++=-, ∴z 的实部是3 故选:D .12.已知复数(1)1z i i -=+,则复数z =( ) A .2i + B .2i -C .iD .i -【答案】C 【解析】由题意,复数(1)1z i i -=+,则()()()()11121112i i i iz i i i i +++====--+,故选C. 13.已知i 为虚数单位,若1(,)1a bi a b R i=+∈-,则b a =( )A .1 BC D .2【答案】C 【解析】i 为虚数单位,若1(,)1a bi a b R i =+∈-,1112i a bi i +==+- 根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.121()22b a ==故答案为:C.14.已知复数z 满足2(1i)(3i)z +=+,则||z =( ) ABC.D .8【答案】C 【解析】∵2(1)(3)z i i +=+,∴2(3)86(86)(1)(43)(1)711(1)(1)i i i i z i i i i i i i +++-====+-=-+++-,∴||z === 故选C .15.已知i 是虚数单位,则复数11i i -+在复平面上所对应的点的坐标为( ) A .()0,1 B .()1,0-C .()1,0D .()0,1-【答案】A 【解析】 ∵()()()()111111i i i i i i i ---==++-,∴该复数在复平面上对应的点的坐标为()0,1. 故选A.16.若复数z满足(1i)|1|z +=+,则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【答案】A【解析】 由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-, 所以1z i =+,所以在复平面内z 的共轭复数对应的点为(1,1),在第一象限. 故选:A17.已知复数z 满足12iz i =+,则z 的虚部是( ) A .1- B .i -C .2D .2i【答案】A 【解析】 因为12iz i =+所以221222i i i z i i i++===-所以虚部为1- 所以选A 18.已知31iz i-=-(其中i 为虚数单位),则z 的虚部为( ) A .i - B .1-C .1D .2【答案】B 【解析】 因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i --++====+--+, 所以2z i =-,故z 的虚部为1-,故选B.19.复数2(1)41i z i -+=+的虚部为( )A .1-B .3-C .1D .2【答案】B 【解析】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++所以z 的虚部为3- 故选B 项.20.已知复数()11z ai a R =+∈,212z i =+(i 为虚数单位),若12z z 为纯虚数,则a =( ) A .2- B .2C .12-D .12【答案】C 【解析】∵()12112z ai a R z i =+∈=+,,∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-, ∵12z z 为纯虚数, ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩,解得12a =-.故选:C . 21.设复数z 满足2ii z+=,则z =( ) A .1 BC .3D .5【答案】B 【解析】2ii z+=, 221i z i i +∴==+22112ii i =+=-, z ∴== B.22.已知复数1i z i=-,则z 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A【解析】∵ ()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+,∴ 11222z i +=+,∴z 在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,位于第一象限. 故选:A .23.复数z 满足(1)2z i i -=,则复数z =( ) A .1i - B .12i C .1i + D .1i --【答案】D 【解析】 由题意得:()()()2121111i i iz i i i i +===-+--+ 1z i ∴=-- 本题正确选项:D24.若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数,其中m 是实数,则1z=( ) A .i B .i - C .2iD .2i -【答案】B 【解析】复数z =m (m +1)+(m +1)i 是纯虚数,故m (m +1)=0且(m +1)≠0, 解得m =0,故z =i ,故111i z i i i⋅===-⋅i . 故选:B .25.设i 为虚数单位,则复数22iz i-=+的共扼复数z =( ) A .3455i + B .3455i -C .3455i -+D .3455i --【答案】A 【解析】解:22i (2i)34i 2i (2i)(2i)55z --===-++-,3455z i ∴=+故选:A .26.已知复数1z 、2z在复平面内对应的点关于虚轴对称,11z =,则12z z =( )A .2 BCD .1【答案】D【解析】由题意,复数1z 、2z在复平面内对应的点关于虚轴对称,11z =,则21z =-,所以12212z z ====,故选D.27.已知复数z 1=1+2i ,z 2=l ﹣i ,则12z z =( )A .13i 22-- B .13i 22-+ C .13i 22- D .13i 22+【答案】B【解析】∵1212,1z i z i =+=-, ∴1212(12)(1)131(1)(1)22z i i i i z i i i +++===-+--+.故选:B .28.在复平面内,复数(2i)z -对应的点位于第二象限,则复数z 可取( )A .2B .-1C .iD .2i +【答案】B【解析】不妨设(),z a bi a b R =+∈,则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-,结合题意可知:20,20a b b a +<->,逐一考查所给的选项:对于选项A :24,22a b b a +=-=-,不合题意;对于选项B :22,21a b b a +=--=,符合题意;对于选项C :21,22a b b a +=-=,不合题意;对于选项D :25,20a b b a +=-=,不合题意;故选:B .29.已知i 为虚数单位,则复数3(1)i z i i +=-的虚部为( ) A .1B .2C .1-D .2- 【答案】C【解析】 因为3(3)(1)122(1)2i i i i i i i i i++++===--,所以z 的虚部为1-. 30.已知复数(i)(1i)z a =+-(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线2y x =上,则实数a 的值为( )A .0B .1-C .1D .13- 【答案】D【解析】因为(i)(1i)1(1)z a a a i =+-=++-,对应的点为(1,1)a a +-,因为点在直线2y x =上,所以12(1)a a -=+,解得13a =-. 故选D.。

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专题10平面解析几何选择填空题历年高考真题汇编1.【2019年北京文科05】已知双曲线y2=1(a>0)的离心率是,则a=()A.B.4 C.2 D.【解答】解:由双曲线y2=1(a>0),得b2=1,又e,得,即,解得,a.故选:D.2.【2016年北京文科05】圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1 B.2 C.D.2【解答】解:∵圆(x+1)2+y2=2的圆心为(﹣1,0),∴圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为:d.故选:C.3.【2015年北京文科02】圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2【解答】解:由题意知圆半径r,∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.故选:D.4.【2014年北京文科07】已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4【解答】解:圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径为1,∵圆心C到O(0,0)的距离为5,∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由∠APB=90°可得,以AB为直径的圆和圆C有交点,可得PO AB=m,故有m≤6,故选:B.5.【2013年北京文科07】双曲线的离心率大于的充分必要条件是()A.B.m≥1 C.m>1 D.m>2【解答】解:双曲线,说明m>0,∴a=1,b,可得c,∵离心率e等价于⇔m>1,∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m>1.故选:C.6.【2011年北京文科08】已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A.4 B.3 C.2 D.1【解答】解:设C(a,a2),由已知得直线AB的方程为,即:x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为:d,有三角形ABC的面积为2可得:|a+a2﹣2|=2得:a2+a=0或a2+a﹣4=0,显然方程共有四个根,可知函数y=x2的图象上存在四个点(如上面图中四个点C1,C2,C3,C4)使得△ABC的面积为2(即图中的三角形△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4).故选:A.7.【2019年北京文科11】设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为.【解答】解:如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),∵所求圆的圆心F,且与准线x=﹣1相切,∴圆的半径为2.则所求圆的方程为(x﹣1)2+y2=4.故答案为:(x﹣1)2+y2=4.8.【2018年北京文科10】已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.【解答】解:∵直线l过点(1,0)且垂直于x轴,∴x=1,代入到y2=4ax,可得y2=4a,显然a>0,∴y=±2,∵l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,∴44,解得a=1,∴y2=4x,∴抛物线的焦点坐标为(1,0),故答案为:(1,0)9.【2018年北京文科12】若双曲线1(a>0)的离心率为,则a=.【解答】解:双曲线1(a>0)的离心率为,可得:,解得a=4.故答案为:4.10.【2017年北京文科10】若双曲线x21的离心率为,则实数m=.【解答】解:双曲线x21(m>0)的离心率为,可得:,解得m=2.故答案为:2.11.【2016年北京文科12】已知双曲线1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=,b=.【解答】解:∵双曲线1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),∴,解得a=1,b=2.故答案为:1,2.12.【2015年北京文科12】已知(2,0)是双曲线x21(b>0)的一个焦点,则b=.【解答】解:双曲线x21(b>0)的焦点为(,0),(,0),由题意可得2,解得b.故答案为:.13.【2014年北京文科10】设双曲线C的两个焦点为(,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为.【解答】解:∵双曲线C的两个焦点为(,0),(,0),一个顶点是(1,0),∴c,a=1,∴b=1,∴C的方程为x2﹣y2=1.故答案为:x2﹣y2=1.14.【2013年北京文科09】若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=;准线方程为.【解答】解:∵抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),∴1,p=2,抛物线的方程为y2=4x,∴其标准方程为:x=﹣1,故答案为:2,x=﹣1.15.【2012年北京文科09】直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为.【解答】解:圆x2+(y﹣2)2=4的圆心坐标为(0,2),半径为2∵圆心到直线y=x的距离为∴直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为2故答案为:16.【2011年北京文科10】已知双曲线x21(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=.【解答】解:该双曲线的渐近线方程为,即y=±bx,由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y=2x,又b>0,可以得出b=2.故答案为:2.17.【2010年北京文科13】已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.【解答】解:∵椭圆的焦点为(4,0)(﹣4,0),故双曲线中的c=4,且满足2,故a =2,b ,所以双曲线的渐近线方程为y =±±x故答案为:(4,0),(﹣4,0);yx考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:直线方程、圆的方程,直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线,曲线与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直,直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ,B ,若3AF FB =,则该双曲线的离心率为( )A 5B .62C .233D 3【答案】A【解析】由题意得直线l 的方程为b x y c a=+,不妨取1a =,则x by c =+,且221b c =-. 将x by c =+代入2221y x b -=,得()4234120b y b cy b -++=. 设()11,A x y ,()22,B x y ,则312421b c y y b +=--,41241b y y b =-.由3AF FB =,得123y y =-,所以324422422131b c y b by b ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩,得22431b c b =-,解得214b =,所以2c ===2c e a ==,故选A 。

2.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(, 0)F c ,若a 、b 、c 成等比数列,则该双曲线的离率e = ( )A.12 B.12+ C.12 D1【答案】B【解析】因为,,a b c 成等比数列,所以222b ac c a ac =⇒-=,21e e -= ,所以210e e --=,因为1()e ∈+∞,,所以12e =. 故选B .3.已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点,以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ,且面积为2π,若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ,垂足为D ,则||CD 的最大值为( ) A .2BC.2 D .12【答案】A【解析】 根据题意,222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴AB =设||||AF a BF b ==,,过点A 作AQ l ⊥于Q ,过点B 作BP l ⊥于P , 由抛物线定义,得AF AQ BF BP ==,,在梯形ABPQ 中, ∴2CD AQ BP a b =+=+,由勾股定理得,228a b =+, ∵222282244a b a b ab b CD a ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=, 所以2CD ≤(当且仅当a b =时,等号成立). 4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ,以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ,两点,若四边形AOBF 的面积为()2212a b +,则双曲线C 的渐近线方程为( )A .2y x =±B .y =C .y x =±D .2y x =± 【答案】C【解析】根据题意,OA AF ⊥,双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线b y xa =±b =,则||AF b =,所以||OA a =,所以()2212ab a b =+,所以1b a=,所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±. 5.已知12F F 、分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ,若点P 在以线段12F F 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( )A .(B .)+∞C .()1,2D .()2,+∞ 【答案】D【解析】不妨设过点2(,0)F c 与双曲线的一条渐近线平行的直线为()b y x c a =-,与双曲线另一条渐近线b y x a =-交点为(,)22c bc P a -,因为点P 在以线段12F F 为直径的圆外,所以120PF PF ⋅>,即22222233(,)(,)0,0,30,222244c bc c bc c b c a b a a a-⋅>-+>-+>222230,4a c a e -+->>, 2e ∴>,选D.6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点,若|AF|=3,则|BF|=( )A .2B .32C .1D .12 【答案】B【解析】如图所示,设,(0,)AFx θθπ∠=∈,及BF m =,则点A 到准线:1l x =-的距离为3,得到323cos θ=+,即1cos 3θ=, 又由2cos()m m πθ=+-,整理得231cos 2m θ==+, 故选B.7.已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点,抛物线C 上动点A ,B 满足4AF FB =,若A ,B 的准线上的射影分别为M ,N 且MFN ∆的面积为5,则AB =( )A .94B .134C .214D .254【答案】D【解析】过点A 作x 轴的垂线垂足于C ,交NB 的延长线于点D 。

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