立体几何综合练习题(附详解)[原创]

立体几何练习题

一、选择题

1．两条异面直线在同一平面内的射影不可能是( )

A.两条相交直线

B.两条平行直线

C.两条重合直线

D.一条直线和这条直线外一点

2.设命题甲：“直四棱拄1111D C B A ABCD -中，平面1ACB 与对角面D D BB 11垂直”；命题乙：“直四棱柱1111D C B A ABCD -是正方体”。那么，甲是乙的（ ）

A ．充分必要条件 B.充分非必要条件

C.必要非充分条件

D.既非充分又非必要条件

3.某电视台的颁奖礼盒用如下方法做成:先将一个奖品放入一个正方体内,再将正方体放在一个球内,使正方体内接于球;然后再将该球放入一个正方体内,球内切于该正方体,再将正方体放入一个球内,正方体内接于球,……如此下去,正方体与球交替出现.如果正方体与球共有13个,最大正方体的棱长为162cm ,奖品为羽毛球、篮球、乒乓球拍、手表、项链之一，则奖品只能是（构成礼品盒材料的厚度忽略不计）（ ）

A ．项链 B.项链或手表 C.项链或手表,或乒乓球拍 D.项链或手表,或乒乓球拍,或篮球

4.已知平面α//平面β,直线α⊂l ,点l P ∈,平面βα、间的距离为8,则在β内到点P 的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是( )

A.一个圆

B.两条直线

C.四个点

D.两个点

5．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知

1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，

若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ） A ．2923 B.2723 C.2719 D.55

31

（第5题）

二、填空题

6.一个十二面体共有8个顶点,其中两个顶点处各有6条棱,其他顶点处各有相同数目的棱,则其他顶点各有 条棱

7.AB 是异面直线b a 、的公垂线段,b a AB 、,2=成

30角,在a 上取P 点使4=AP ,则点p 到b 的距离等于

S

C B A

8．如图所示，二面角βα--CD 的大小为θ，点A 在平面α内，ACD ∆的面积为S ，且m CD =，过A 点的直线交平面于B ，CD AB ⊥，且AB 与平面β所成的角为 30，则当=θ 时，BCD ∆的面积取得最大值。

9.对于四面体ABCD 给出下列四个命题①若CD BD AC AB ==,,则AD BC ⊥②若,,BD AC CD AB ==则AD BC ⊥③若,,CD BD AC AB ⊥⊥则AD BC ⊥④若,,AC BD CD AB ⊥⊥则AD BC ⊥.其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号)

10．如图，长方形中，,32BC AB =把它折成正三棱柱的侧面，使AD 与BC 重合，长方形的对角线AC 与折痕线EF 、GH 分别交于M 、N ，则截面MNA 与棱柱的底面DFH 所成的角等于

（第8题） （第10题）

三、解答题 11.正四棱柱1AC 中,底面A B CD 是边长为4的正方形,11C A 与11D B 交于点M ,且BN AM ⊥

(1)求1AA 的长

(2)求异面直线BN 与1AD 所成的角

(3)对于n 个向量n a a a a ,,,,321 ,如果存在不全为零的n 个实数n λλλλ,,,,321 ,使得02211=+++n n a a a λλλ 成立,则n 个向量n a a a ,,,21 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫做线性无关,判断CD BN AM ,,是否线性相关,并说明理由

12．如图所示，在矩形ABCD 中，⊥==PA a BC AB ,,1平面1,=PA ABCD

（1）在BC 边上是否存在点Q ，使得QD PQ ⊥，说明理由

D C B A βα

N

M

H G F E D

C

B

A

（2）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使QD PQ ⊥，求AD 与平面PDQ 所成角的正弦值

（3）在（2）的条件下，能求出平面PDQ 与平面PAB 所成的角的大小吗？

（第12题） （第14题）

作业题： 13．已知斜三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3

π，且侧面11A ABB 垂直于底面ABC

（1）求证：点1B 在平面ABC 上的射影为AB 的中点

（2）求二面角B AB C --1的大小

（3）判断C B 1与A C 1是否垂直，并证明你的结论 14．已知ABCD 为直角梯形，BC AD //，PA BC AB AD BAD ,2,1,90====∠ ⊥平面ABCD

（1）若异面直线PC 与BD 所成的角为θ，且6

3cos =θ，求||PA （2）在（1）的条件下，设E 为PC 的中点，能否在BC 上找到一点F ，使?CD EF ⊥

（3）在（2）的条件下，求二面角D PC B --的大小

A B

C P

Q P D C

B A

15．点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点,1BB PM ⊥交1AA 于点M ,1BB PN ⊥交1CC 于点N

(1)求证:MN CC ⊥1

(2)在任意DEF ∆中有余弦定理:DEF EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 22

22,拓展到空间,类比三角形的余弦定理,求出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明

答案：CCBCB

6、4

7、22

8、 60

9、①④ 10、 30 11、解：（1）以D 为原点，1DD DC DA 、、所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。设1AA 的长为a ，则),2,2()22044a a N B --=∴，，（），，，（)0,0,4(A ，

)2,4,2(a M )2

,4,2(a -=∴由AM BN ⊥得028402=+-∴=⋅a AM BN 22=∴a 即1AA 的长为22

（2）可得)22,0,4(),22,2,2(1-=--=AD

3

6||||,cos 11

1=⋅>=<∴AD BN AD 36arccos ,1>=∴<AD （3）由)0,4,0(),22,2,2(),2,4,2(-=--=-=

00)0,4,0()22,2,2()2,4,2(321321===⇒=-+--+-λλλλλλ

线性无关

12．（1）假设BC 边上存在Q 点，使得QD PQ ⊥，则连结AQ ，必有

90=∠AQD ，故问题转化为：在边BC 上是否存在点Q ，使得 90=∠AQD A B C 1

C 1B 1

A