研究生一年级数理统计期末考试习题3-pt

20.1，20.0，19.0，19.9。设这批产品的直径服从
正态分布，试检验这批产品的直径的方差为
0.25(a = 0.05)。
解： H0 :s 2 = 0.25， H1 :s 2 ¹ 0.25
检验统计量为(n - 1)S 2 ，
s
2 0
H
0
的拒绝域为(0,
c2 1-a
(
n
-
1)]
U
[
c
2 a
(n
-
n =6，a =0.05，ta (n - 1) =2.5706，
2
算得检验统计量的观测值为 x - m0 = -0.909，由 s/ n
于检验统计量的观测值未落入 H 0 的拒绝域，故 接受 H 0 。 即认为这批元件符合标准。
4、从某种产品中任意取出 8 个，测量其直径（单
位：mm），数据如下：20.5，19.8，19.7，20.4，
H0的拒绝域为(-¥, -ua ]U [ua , +¥)，
2
2
由于u0.025 > u0.005，则
{(-¥, -u0.025 ] U [u0.025 , +¥)} ，
É {(-¥, -u0.005 ] U [u0.005 , +¥)}
{(-u0.025 , u0.025 )} Ì {(-u0.005 , u0.005 )}
粒子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 频数 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 10 4 2
试问以上数据是否在水平 0.05 下与泊松分布相 符？
解：H0 : X ~ P(l ) 先对参数l 求其最大似然估计值，
å lµ
=
x
=
1 n
由于检验统计量的观测值落入 H 0 的拒绝域，故
拒绝 H 0 。
即认为处理前后平均含脂率有显著差异。
6、确定某种矿石中铁的百分比可用方法 A 和方
法 B，从这种矿石中任意取出由 12 个样品构成
的样本，用方法 A 和方法 B 各对每个样品进行
一次测试，其结果如下：
方 法1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
代入s12 =11.211，s22 =8.722，
n1 =10，n2 =10，a =0.05，
F1-a 2
(n1
-
1, n2
- 1)
=
1 4.03
，Fa
2
(n1
-
1, n2
-
1)
=
4.03
算得检验统计量的观测值为 s12 s22
= 1.2854，检验统
计量的观测值未落入 H 0 的拒绝域，故接受 H 0 。
(10
)
=
18.307
由于c 2 =13.89147 未落入H0的拒绝域，故接受 H0，即认为数据在 0.05 水平下与泊松分布相符。
10、按照遗传学理论，有三个血型遗传因子：A、B 和 O，其中 A 和 B 是显性因子，O 是隐性因子。人能得到因子 A、B 和 O 的概率分别为 p、r 和 q，p+r+q=1。每人都有一对血型遗传因 子，如果这一对是（OO）的情况，则该人是“O” 血型；是（AA）、 （AO）、（OA）的情况，则该人是“A”血型；是（BB）、（BO）、 （OB）的情况，则该人是“B”血型；是（AB）、（BA）的情况， 则该人是“AB”血型。这四种血型的人比例应为：
n i =1
ni ki
=
3.8704
å 检验统计量为c 2 = k (ni - npi )2 ，
i =1
npi
H0的拒绝域为[ca2 (k - r - 1), +¥)
初始计算表为：
分组(粒子数) 实际频数ni
概率 pi
理论频数 npi
0
57
0.020858
54.39863
1
203
0.080722
210.5227
2
2
代入 x =0.233， y =0.133，s12 =0.00971，
s22 =0.00642，sw =0.0893，d =0，n1 =10，
n2 =11，a =0.05，ta (n1 + n2 - 2) =2.093，
2
算得检验统计量的观测值为 ( x - y) - d =2.569，
sw
1+ 1 n1 n2
1),
+¥
)
2
2
代入 s 2
=
0.2164，s
2 0
= 0.25， n
= 8，a
= 0.05，
c2 1-a
(
n
-
1)
=
1.69，
c
2 a
(n
-
1)
=
16.013
2
2
算得检验统计量的观测值为(n - 1)s2
s
2 0
=
6.06，由
于检验统计量的观测值未落入 H 0 的拒绝域，故
接受 H 0 。
即认为这批产品的直径的方差为 0.25。
1.093846
5
408 0.150888 393.5152
0.533167
6
273 0.097323 253.8173
1.449766
7
139 0.053805 140.3247
0.012506
8
45 0.026028 67.88208
7.713222
9
27 0.011192 29.18929
0.164204
A 38.25 31.6826.2441.2944.8146.3735.4238.4142.6846.7129.2030.76
B 38.27 31.7126.2241.3344.8046.3935.4638.3942.7246.7629.1830.79
假定di = xi - yi (i = 1, 2,…,12)来自正态总体。试 在水平a = 0.05下检验这两种方法测定的结果
有无显著的差异。
解：此问题为配对样本 t 检验问题，
H0 : m = 0，H1 : m ¹ 0 检验统计量为 d - d0 ，
S/ n
H0的拒绝域为(-¥, -ta (n - 1)]U [ta (n - 1), +¥)
2
2
算得d i 分别为：
-0.02，-0.03，0.02，-0.04，0.01，-0.02
8、从一大批某种杂交的几内亚猪后代中任取 64
只，发现其中 34 只红的，10 只黑的，20 只白
的。根据遗传学模型，它们之间的比例应为 9:3:4，
试问以上数据是否在 0.05 水平下与模型相符。
解：用 pi (i = 1, 2, 3)分别代表红、黑、白的概率，
则H0
:
p1
=
9 16
,
p2
=
3 16
35.4，36.1，33.1，34.9，36.3。试问这批元件是
否符合标准(a = 0.05)？
解：H0 : m = 36， H1 : m ¹ 36 正态总体方差未知，检验统计量为 X - m0 ，
S/ n
H0的拒绝域为(-¥, -ta (n - 1)]U [ta (n - 1), +¥)
2
2
代入 x =35.483，s =1.392，m0 =36，
-0.04，0.02，-0.04，-0.05，0.02，-0.03
代入d = -0.01667，s =0.02674，d0 =0， n =12，a =0.05，ta (n - 1) =2.2010，
2
算得检验统计量的观测值为 d - m0 = -2.159，由 s/ n
于检验统计量的观测值未落入 H 0 的拒绝域，故 接受 H 0 。 即认为两种方法测定的结果无显著差异。
概率 pi
理论频数 npi
ni - nµpi 2
n µpi
0
57 0.020858 54.39863
0.124399
1
203 0.080722 210.5227
0.268811
2
383 0.156197 407.3614
1.456883
3
525 0.201494 525.4962
0.000469
4
532 0.194945 508.4176
29.18929
10
10
0.004331
ý
需合并
2ïý 需合并
³ 13ïþ
0ïþ
0.001524ü
3.974229ü
0.000491ïý
需合并
1.281689
ï ý
需合并
0.0002 ïþ
0.522715ïþ
合并后的计算表：
( ) ( ) 分组
(粒子数)
实际频数 ni
,
p3
=
4 16
å 检验统计量为c 2 = k (ni - npi )2 ，
i =1
npi
H0的拒绝域为[ca2 (k - r - 1), +¥)
列计算表：
分组（颜 色）
红 黑 白
å
实际频数
ni
34 10 20
64
理论频数
npi
36 12 16
64
( ni - npi )2 ( npi )
0.111 0.333
2
383
0.156197
407.3614
3
525
0.201494
525.4962
4
532
0.194945
508.4176
5
408
0.150888
393.5152
6
273
0.097323
253.8173
7
139
0.053805
140.3247
8
45
0.026028
67.88208
9
27
0.011192
7、A、B 两厂生产同类蓄电池。从两厂生产的
蓄电池中各取出 10 个，其电容量（单位：
A·h）分别为
A 厂：146，141，135，142，140，143，138，137，142，137
B 厂：141，143，139，135，140，141，146，140，142，138
假定 A 厂和 B 厂生产的蓄电池其电容量都服从
2
算得检验统计量的观测值为 x - m0 = -3.333，由 s/ n
于检验统计量的观测值落入 H 0 的拒绝域，故拒 绝H0。 即认为新工艺对零件的电阻有显著影响。
3、某种元件的厚度服从正态分布，其标准厚度
为 36 丝。检验员从某批该种元件任取 6 个，测
得其厚度为（单位：丝）（1 丝=0.1mm）：37.1，
（B）如果在检验水平a = 0.05下拒绝 H0，
那么在检验水平a = 0.01下必接受 H0
（C）如果在检验水平a = 0.05下接受 H0，
那么在检验水平a = 0.01下必拒绝 H0
（D）如果在检验水平a = 0.05下接受 H0，
那么在检验水平a = 0.01下必接受 H0
解：选 D
当s 2已知时，检验统计量为u = X - m0 ， s/ n
正态分布，两总体的方差分别记为s
2 1
（A
厂）
和s
2 2
（B
厂）。试在水平a
=
0.05下检验
H0
:
s
2 1
=
s
2 2
，
H
1
:
s
2 1
¹
s
2。
2
解：检验统计量为
S12 S22
，
H
0
的拒绝域为
(0, F1-a (n1 - 1, n2 - 1)] U [Fa (n1 - 1, n2 - 1), +¥)
2
10
10 0.004331 11.29626
0.148747
³ 11
6
0.002216 5.778632
0.925453
å
2608
1
2608
c¶2 = 13.89147
合并后的分组数为 k=12，估计参数的个数为
r=1 ， 对 于 显 著 水 平 a = 0.05 ， 得 临 界 值
c
2 0.05
(a = 0.01)？
解：H0 : m = 2.64， H1 : m ¹ 2.64 正态总体方差已知，检验统计量为 X - m0 ，
s/ n
H0的拒绝域为(-¥, -ua ]U [ua , +¥)
2
2
代入 x =2.62，s =0.06，m0 =2.64，
n =100，a =0.01，ua =2.58，
XUST 研究生数理统计 习题三
1、设总体 X 服从正态分布 N (m,s 2 )，s 2 已知，
X
1
,
X
2
,
...,
X
为来自总体
n
X
的简单随机样本，据此样
本检验假设： H0 : m = m0 , H1 : m ¹ m0，则（ ）
（A）如果在检验水平a = 0.05下拒绝 H0，
那么在检验水平a = 0.01下必拒绝 H0
所以若u Î (-u0.025 , u0.025 )，
则必有u Î (-u0.005 , u0.005 )，故应选 D
2、某电器零件的平均电阻一直保持在2.64W，改
变加工工艺后，测得 100 个零件的平均电阻为
2.62W。如改变工艺后电阻的标准差仍保持在
0.06W ， 问 新 工 艺 对 零 件 的 电 阻 有 无 显 著 影 响
的方差相同。试问处理前后平均含脂率有无显
著差异(a = 0.05)？ 解： H0 : m1 - m2 = 0， H1 : m1 - m2 ¹ 0 两个正态总体方差未知且相等的情况下，检验
统计量为 ( X - Y ) - d ，
Sw
1+1 n1 n2
H 0 的拒绝域为 (-¥, -ta (n1 + n2 - 2)]U [ta (n1 + n2 - 2), +¥)
5、某种物品在处理前与处理后取样分析，其含 脂率（%）如下：
处理前：0.19，0.18，0.21，0.30，0.26，0.42， 0.08，0.12，0.30，0.27
处理后：0.15，0.13，0.00，0.07，0.24，0.24， 0.19，0.04，0.08，0.20，0.12
假定处理前后含脂率都服从正态分布，且它们
1
c 2 =1.444
对于显著水平a = 0.05，以及有 k=3，r=0，得临
界值
c
2 0.05
(
2
)
=
5.991
由于 c
2
= 1.444
未落入 H 0 的拒绝域，故接受
H
，
0
即认为数据在 0.05 水平下与模型相符。
9、卢瑟福（Rutherford）和盖格（Geiger）曾 经做过一个著名的实验，观察每 1/8min 内一片 放射性物质钋所放射出的a 粒子数。共观察了 2608 次，结果如下：