高中数学必修一课时作业22

课时作业22 函数的奇偶性
时间：45分钟
一、选择题
1．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( C ) A ．(a ，f (－a )) B ．(－a ，f (a )) C ．(－a ，－f (a ))
D ．(a ，f (1
a
))
解析：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－a )＝－f (a )．∴选C.
2．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定是( A )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
解析：∵F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )，定义域为R ，∴函数F (x )在R 上是奇函数．
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( D ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1
x
D ．y ＝x |x |
解析：y ＝x ＋1不是奇函数；y ＝－x 2是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数；y ＝1
x
在(0，＋∞)上是减函数，故A ，B ，C 都错．对于D ，实际
上，y ＝x |x |＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x2，x≥0，
－x2，x<0，
画出图象(图略)，由图象可知，该函数既是
奇函数又是增函数．
4．已知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x<0时，有(B)
A．f(x)≤2 B．f(x)≥2
C．f(x)≤－2 D．f(x)∈R
解析：可画出满足题意的一个f(x)的大致图象如图所示，由图易知当x<0时，有f(x)≥2.故选B.
5．已知函数f(x)满足f(x)·f(－x)＝1，且f(x)>0恒成立，则函数g(x)＝错误!是(A)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：∵f(x)·f(－x)＝1，f(x)>0恒成立，
∴f(－x)＝错误!>0，
∴g(－x)＝错误!＝错误!＝错误!＝－g(x)，∴g(x)是奇函数．
6．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(C)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.
7．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( C )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
解析：f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )·g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.
8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)
的x 的取值范围是( A )
A ．(13，23)
B ．[13，23)
C ．(12，23
)
D ．[12，23
)
解析：∵函数f (x )为偶函数，∴f (2x －1)＝f (|2x －1|)，由题意得|2x －1|<13，即－13<2x －1<13
， 解得13<x <23.
二、填空题
9．对于函数y ＝f (x )，定义域为D ∈[－2,2]，以下命题正确的是②③④.(填序号)
①若f (－1)＝f (1)，f (－2)＝f (2)，则y ＝f (x )是D 上的偶函数； ②若对于任意x ∈[－2,2]，都有f (－x )＋f (x )＝0，则y ＝f (x )是D 上的奇函数；
③若f (2)≠f (－2)，则f (x )不是偶函数； ④若f (－2)＝f (2)，则该函数可能是奇函数．
解析：①中不满足偶函数定义中的任意性，因此①错误；②中由f(x)＋f(－x)＝0可知f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是D上的奇函数，②正确；当f(－2)≠f(2)时，函数f(x)一定不是偶函数，故③正确；④中若满足f(－2)＝f(2)＝0，此时函数可能是奇函数，因此④正确．
10．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于1.
解析：∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴1－a＝0，即a ＝1.
三、解答题
11．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋1
x2
；
(2)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；
(3)f(x)＝错误!
解：(1)偶函数．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又因为f(－x)＝(－x)2＋错误!＝x2＋错误!＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(2)奇函数．定义域为R.
又因为f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|
＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(3)奇函数．画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数．
12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋
2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴及y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)写出函数f(x)的值域．
解：(1)由f(x)为偶函数可知，其图象关于y轴对称，如图，作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象．
由图可知，函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在[0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)的单调递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)．
(2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函数的性质可得f(x)≥－1，即函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．
13．(多选题)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是(AD)
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
解析：方法一：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．令y＝g(x)．
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)
＝－x－f(x)＝－g(x)，
∴y＝x＋f(x)是奇函数．
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，
∴y＝xf(x)是偶函数．
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，∴y＝x2＋f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，
∴y＝x2f(x)是奇函数．
方法二：根据奇、偶函数的运算性质可得A项和D项是奇函数，B项是偶函数，利用定义判断C项既不是奇函数也不是偶函数．
14．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式错误!>0的解集为(A)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：因为f(x)为奇函数，f(3)＝0，
所以f(－3)＝0.
又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增．
由错误!＝f(x)>0，
①当x>0时，得f(x)>f(3)＝0，所以x>3；
②当x <0时，得f (x )>f (－3)＝0，所以－3<x <0， 综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．
15．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x2＋x ，x≤0，
ax2＋bx ，x>0为奇函数，则a ＝－1，b ＝1.
解析：方法一：当x >0时，－x <0， f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x .
因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以当x >0时，f (x )＝－x 2＋x ，
即ax 2＋bx ＝－x 2＋x ，所以a ＝－1，b ＝1. 方法二：由题意知错误!
则⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＋2b ＝－2，
a ＋
b ＝0，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1.
当a ＝－1，b ＝1时，经检验
知，f (x )为奇函数．
16．函数f (x )＝ax －b 4－x2是定义在(－2,2)上的奇函数，且f (1)＝1
3.
(1)求f (x )的解析式； (2)判断并证明f (x )的单调性； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.
解：(1)根据题意，得函数f (x )＝ax －b
4－x2是定义在(－2,2)上的奇函数，则
f (0)＝－b
4
＝0，解得b ＝0.
又由f (1)＝13，则有f (1)＝a 3＝13，解得a ＝1.所以f (x )＝x
4－x2.
(2)f (x )在区间(－2,2)上为增函数．证明如下：
∀x 1，x 2∈(－2,2)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝错误!，
又由－2<x 1<x 2<2，得4＋x 1x 2>0，x 1－x 2<0， 4－x 21>0,4－x 2>0，
所以f (x 1)－f (x 2)<0，所以函数f (x )在(－2,2)上为增函数． (3)根据题意f (t －1)＋f (t )<0⇒f (t －1)< －f (t )⇒f (t －1)<f (－t )⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
－2<t －1<2，－2<－t<2，
t －1<－t ，
解得－1<t <1
2
，
所以不等式的解集为⎝
⎛⎭⎪⎫
－1，12.。