大学文科数学2 第二章 第二节 函数极限

A+ε A A−ε
y
y = f ( x)
o
x0
(δ −
x0
x0 + δ
)
x
明 lim 常 例1 证 x→x C = C (C为 数).
0
证明 任给ε > 0, 任取δ > 0, 当 0 < x − x 0 < δ 时 ,
lim f ( x ) − A = C − C = 0 < ε 成立, ∴ x → x C = C .
2
= lim( x + 1)
x →1
=2
有关函数极限的说明： 有关函数极限的说明：
★ 函数在某点的
极限与函数在这点 的函数值是否存在， 的函数值是否存在， 以及取值是多少并
没有关系. 没有关系.
★ 函数在该点
的极限只与函数在 该点附近的变化趋 势有关系. 势有关系.
定义
U 。 x0 , δ ) 内有定义，如果对于 内有定义， 设函数 f(x)在点 ( ( )
x → x0
lim f ( x ) = A 或
f ( x ) → A( x → x0 ).
对于任意的 存在
该定义称为“ε −δ”定义.
该 定 义 的 简 洁 表 示 方 法 ： ∀ε > 0, ∃ δ > 0, 使 当0 < x − x 0 < δ 时 , 恒 有 f ( x ) − A < ε .
x从x0右侧无限趋近x0 , f ( x )的极限称为右极限，
作 记 x → x0+；
x→0 x→0
y = x −1
o
−1
x
lim f ( x) = lim( x +1) = 1, + +
理 定 lim lim lim f ( x) = A ⇔x→x f ( x) = x→x f ( x) = A.
y
1 y= x
o
1 y= x
x
1 lim = 0 x→−∞ x 1 ∴ lim = 0. x →∞ x
1 lim = 0 x→+∞ x
定义
如果 x 无限增大时，函数f ( x )无限
趋近于常数a，则称f ( x )在x → ∞时，以a为 . 极限，记作 lim f ( x) = a
x→∞
y
1 y= x
0
即常数的极限就是该常数. 即常数的极限就是该常数. 例2 证明 lim x = x0 .
x→x0
证明 ∵ f ( x ) − A = x − x 0 ,
任给ε > 0, 取δ = ε ，
当0 < x − x0 < δ = ε 时 ,
f ( x ) − A = x − x0 < ε 成立， lim x = x 0 . ∴
证 lim− f ( x ) = lim− (1 − x ) = 1,
x→ 0 x→ 0
y = 1− x
y
1
y = x2 + 1
o
x
x→ 0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1,
2 x→ 0
x→0 x→0
∵lim f ( x) = lim f ( x) = 1, + −
∴lim f ( x) = 1.
1 lim = 0. x →∞ x
1 y= x
o
x
y
1 y= x
o
1 y= x
x
1 x → 0时 , → ∞ , x 1 称 是 x → 0过 程 中 的 无 穷 大 量 . x
还有一种极限不存在的情形:lim sin x不存
x →∞
1 在,这与 lim = ∞情况不同. x →0 x
i
在x→时，sinx并不向某个点逼近，所以 并不向某个点逼近， 并不向某个点逼近 无极限. 无极限
x − x0 < δ
不论它多么小), ),总存在正数 任意正数ε (不论它多么小),总存在正数δ,使得 满足 0 < 成立, 的一切 x ,能使 f ( x ) − A < ε 恒成立, 为极限, 则称函数 f(x)当 x → x 0 时以 A 为极限, 或称函数 ( ) 点有极限. f (x)在 x 0 点有极限.记作
x →+∞ x →−∞ x →∞
1 (2) f ( x) = x 2
f ( x) =
1 2x
1 1 lim x = 0 lim x = +∞ x→+∞ 2 →+∞ x→−∞ 2 →−∞ 1 1 x 称 xx 是x→−∞过程 的无 大量 程中 无穷 量. 称 是 →+∞过 中的 穷小 . 2 2
1 (3) f ( x) = x
x→x0
+ 0 − 0
题 由 f 上 中 于 ( x)的 、 极 不 等 左 右 限 相 ， 此 x 因 当 →0时 f ( x)无 限 ， 极 .
， 1− x, x < 0 3 例 设 f ( x) = 2 证 lim f ( x) = 1. 明 x→0 ， x +1, x ≥ 0
示 分 : 于 知 数 提 与 析由 已 函 分 函 ， 据 定 ， 是 段 数 根 前 理 虑 、 极 . 考 左 右 限
x→0
三、 →∞ 时（自变量的绝对值 x 无限增大时的情形）
(1) f ( x) = arctan x
• π 2
π lim arctan x = − x→−∞ 2
•
−
π 2
π lim arctan x = x →+∞ 2
x → +∞ , 表示x > 0, x 无限变大，即x沿x轴正方向 无限变远；x → −∞ , 表示x < 0, x 无限变大. 由于 lim arctan x ≠ lim arctan x， lim arctan x不存在. ∴
定理
若f ( x ) ≥ 0，且 lim f ( x ) = A，那么A ≥ 0.
要注意的是，若f ( x ) > 0， f ( x ) = A， lim
x → x0
x → x0
那么A≥ 0. ≥
比如，当x ≠ 1时,函数f ( x ) = ( x − 1) > 0，
2
但 lim( x − 1)2 = 0.
f (x)=x+1 1.9 1.98 1.99 1.999
当x从x0 = 1的左右近旁越来越接近于1时, 函数f ( x )越来越接近于2,并且要多接近就会 有多 接近.
当 x −1 无 变 时 f ( x) − 2 也 限 小 限 小 , 无 变 .
f ( x) = x + 1
4 3 2 1
x →1
4 3 2 1
•
x2−1 g( x) = x −1
-3
-2
-1 -1 -2
• 1
x→ 1
•
2
x→ 1
3
lim f ( x) = lim( x +1) = 2
lim f ( x) = lim( x + 1) = 2
x→ 1 x→1
x → 1⇒ x −1 ≠ 0
x −1 lim g ( x ) = lim x →1 x →1 x − 1 ( x − 1)( x + 1) = lim x →1 x −1
, 证明 ∵ lim f ( x ) = A > 0,由“ε − δ 定义”
x → x0
若取任意正数ε = A 则存在相应δ , ,
当0 于 在− ∈0U< (δx时δ ), 恒 有 f <xA( =0(或 f ( x ) < ， 由 < x x x 。 0 , , f ( x ) − A ( ) > ε )恒成立 0), 因而0 = A 局 部 保 ( x ) 定 理 ∴ 称 该 定 理 为− A < f号 性< A +. A成立， 0 < f ( x ).
注意： 注意： .函数极限与 f ( x )在点 x 0是否有定义无关 ; 1
2.δ 与 任 意给 定 的 正 数 ε 有 关 .
几何解释: 几何解释
当 在 。x0 ,δ )时 x U( , y = f ( x)图 完 形 全 在 直 y 落 以 线 =A 为 心 , 为 中 线 宽 2ε的 带 区 内 形 域 .
即A ≤ B.
第二节
函数极限
主要内容： 一、函数极限的概念 二、无穷大量与无穷小量 三、极限的四则运算及两个 重要极限
x 一、 → x0 时（自变量趋于有限数）
(1) f ( x) = x + 1 x →1 ，
把 x0 = 1附 近 的 自 变 量 x与 它 对 应 的 函 数 值 f ( x )列 表 :
x
0.9 0.98 0.99 0.999 1 2 1.001 1.01 2.001 2.01 1.02 2.02 1.1 2.1
下面仅对x → x0的变化过程讨论函数极限 的性质 ，对x → ∞ 的情形有 类似结论 .
理 A A 定 若lim f ( x) = A,且 > 0(或 < 0),则 存
x→x0
x 某 域 ( ( 在 0点 邻 U。x0 ,δ ), 对 切 ∈U。x0 ,δ )， 一 x 有 f 恒 f ( x) > 0(或 ( x) < 0).
x从 x0左 侧 无 限 趋 近 x0 , f ( x )的 极 限 称 为 左 极 限 ，
作 记 x → x0− ; lim f ( x) = lim( x −1) = −1, − −
x→0 x→0
x→0
lim f ( x) = lim( x −1) = −1, − −
x→0
y
y = x +1
1
•
-3
-2
-1 -1 -2
• 1
2
3
x
0.9
0.98 0.99
0.999
1 2
1.001 1.01 2.001 2.01
1.02 2.02
1.1 2.1
f (x)=x+1 1.9 1.98 1.99 1.999
lim f ( x) = lim( x + 1) = 2.
x→ 1 x→1
x2−1 g( x) = x −1
x → x0
二、单侧极限—左右极限
x −1, 设 数 ( x) = 0 , 函 f x +1, x<0 ， x=0 ，
y
y = x +1
1
x > 0 . y = x −1
o
−1
பைடு நூலகம்
x
讨 当 →0时 ( x)的 限 论 x f 极 ：
由 于 f ( x )在 x = 0点 断 开 ， 是 分 段 函 数 分 x > 0和 x < 0两 种 情 况 分 别 讨 论 ：
•
x 2 −1 g( x) = x 在 0 = 1处 定 ,当 ≠ 1 无 义 x x −1 x 2 −1 g x 时 ( x) = =x + 1.当 →1 , g( x) →2. 时 x −1 这 表 明, x → x0时 , g ( x )的 极 限 与 g ( x )在 x0
点是否有定义并无关系.
x→ x →1
论 f 推 若 ( x) ≤ g( x)， lim f ( x) = A lim g( x) = B 且 ， ，
x→x0 x→x0
么 那 A ≤ B.
只 需 令 F ( x ) = g ( x ) − f ( x ) ≥ 0， 由 上 定 理 知 lim F ( x ) ≥ 0，
x → x0
极限分类表
极限的形式
lim f ( x ) = A
极限的含义
当x→x0时， f（x）趋向于 （ ）趋向于A 当x→x0时， f（x）趋向于 （ ）趋向于∞ 当x→∞时， 时 f（x）趋向于 （ ）趋向于A 当x→∞时， 时 f（x）趋向于 （ ）趋向于∞
举例
x2 − 9 lim = lim( x + 3) = 6 x →3 x − 3 x →3
x → x0
x → x0
lim f ( x ) = ∞
x →0
lim
1 2x
2
=∞
3 2− 1 x4 3 2
x →∞
lim f ( x ) = A
3 x4 lim 4 = lim x→∞ 2 x − 1 x→∞
3x4 x
2
=
x →∞
lim f ( x ) = ∞
x→ ∞
lim
−1
=∞
四、函数极限的性质