2019高考数学浙江精编冲刺练“10+7”满分限时练(七)

限时练(七)
(限时：45分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A ＝( ) A ．
B ．{1，3}
C ．{2，4，5}
D ．{1，2，3，4，5}
解析 因为U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，所以∁U A ＝{2，4，5}．故选C. 答案 C 2．已知复数z ＝2
1＋i ＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．1－I C ．1＋i
D ．－1＋i
解析 由已知z ＝
21＋i
＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z －
＝
1－i ，选B. 答案 B
3．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 1
3，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是( ) A ．y ＝－x 2＋1 B ．y ＝|x ＋1|
C ．y ＝e |x |
D ．y ＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0，
x 3＋1，x ＜0
解析 由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C
4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所
示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＝( )
A ．1
B.12
C ．－1
D ．－1
2
解析 由图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π
4，则周期T ＝π，所以ω＝2.
因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f
⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin 5π6＝1，选A. 答案 A
5．过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( )
A ．0
B. 5
C ．5
D.50
3
解析 由圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.
∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，∴
CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB
→＝CB →2＝5，所以选C. 另：本题可以数形结合运用向量投影的方法求得结果． 答案 C
6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ) A ．2 B ．1 C.2
3
D.223
解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中
三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×2＝
2
3.故选C. 答案 C
7．若实数x ，y
满足的约束条件⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，
x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，
将一颗骰子投掷两次得到的点数
分别为a ，b ，则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( ) A.56
B.25
C.15
D.16
解析 约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2a
b ≤－1
b ≤2a ，
将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝5
6.选A. 答案 A
8．如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互
相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体EABCD 的外接球的表面积为( ) A.16π3
B ．8π
C ．16π
D ．64π
解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD
为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，
∴R 2＝4，∴多面体EABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C. 答案 C
9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( ) A.148 B.124 C.112 D.1
6
解析 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为
依题意，E (X )＝3a ＋2b ＝2，
又a ，b ∈(0，1)，∴2＝3a ＋2b ≥26ab ，则ab ≤1
6， 当且仅当3a ＝2b ，即a ＝13，b ＝1
2时上式取等号． 答案 D
10．已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1
e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x
的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1，1e 2＋2
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1e 2＋2，e 2－2 C ．[1，e 2－2]
D ．[e 2－2，＋∞)
解析 由已知得方程－(a －x 2)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1e ，e 上有解，设h (x )
＝2ln x －x 2
，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为
1
e ≤x ≤e ，所以h (x )
在x ＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ＝－2
－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a ＝
2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，
e 2－2]，故选C. 答案 C
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．把答案填在题中的横线上)
11．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n
的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2
项的系数是________(请用数字作答)．
解析 因为二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x n
的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式
有9项，即n ＝8，展开式通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k (－1)k x －k ＝(－1)k C k 8x 8－2k
，令8－2k ＝2，得k ＝3；则展开式中含x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.
答案 －56
12．已知等差数列{a n }的公差为－3，且a 3是a 1和a 4的等比中项，则通项a n ＝________，数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．
解析 由题意得a 23＝a 1a 4，即(a 1－6)2＝a 1(a 1－9)，解得a 1＝12，所以a n ＝12＋(n
－1)×(－3)＝－3n ＋15；由－3n ＋15≥0得n ≤5，所以当n ＝4或5时S n 取得最大值，所以(S n )max ＝5×12＋5×42×(－3)＝30. 答案 －3n ＋15 30
13．将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有________种．
解析 先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1
或者3，1，1，所以有C 25C 23C 11A 22
＋C 35C 12C 1
1
A 22
＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北
大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)． 答案 100
14．已知双曲线x 2
－y 2
b 2＝1(b >0)的离心率为5，则b ＝________，又以(2，1)为圆
心，r 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r ＝________．
解析 因为e ＝c
a ＝c ＝5，所以
b ＝
c 2－a 2＝
（5）2－12＝2；因为以(2，1)
为圆心的圆与双曲线的渐近线组成的图形只有一个公共点，所以该圆必与双曲线渐近线2x －y ＝0相切，所以r ＝
|2×2－1|22＋1
2
＝35
5.
答案 2
355
15．设奇函数f (x )＝⎩⎨⎧a cos x －3sin x ＋c ，x ≥0，
cos x ＋b sin x －c ，x <0，则a ＋c 的值为________，不等式
f (x )>f (－x )在x ∈[－π，π]上的解集为________．
解析 因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，即a cos 0－3sin 0＋c ＝0，所以a ＋c ＝0；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2＝0得－3＋c －b －c ＝0，所以b ＝－3；由f (π)＋f (－π)＝0得
－a ＋c －1－c ＝0，所以a ＝－1，所以c ＝1，所以当0≤x ≤π时，由f (x )>f (－x )＝－f (x )得f (x )>0，即－cos x －3sin x ＋1>0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6<12，所以5π6<x ＋π6≤7π6，
即2π3<x ≤π.同理可求得－π≤x <0时，－2π
3<x <0，所以原不等式f (x )>f (－x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π. 答案 0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤2π3，π
16．已知实数x ，y
满足⎩⎨⎧x ≥0，
y ≤x ，2x ＋y －9≤0，
则
y －x 的最大值是________；
x －2
x 2＋y 2
－4x ＋4
的取值范围是________． 解析 作出不等式组满足的平面区域，如图所示，
由图知当目标函数z ＝y －x 经过原点时取得最大值0，即y －x 的最大值为0；当x ＝2时，
x －2x 2
＋y 2
－4x ＋4
＝0；当x >2时，
x －2x 2
＋y 2
－4x ＋4
＝
x －2（x －2）2
＋y
2
＝
11＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x －22
，又
y x －2
表示平面区域内的点与点A (2，0)连线的斜率，由图知，
k ∈[0，＋∞)，即y
x －2
∈[0，＋∞)，所以
1
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －22∈(0，1]，同理可求得当x <2时，
－11＋⎝
⎛⎭
⎪⎫y x －22
∈[－1，0)，所以x －2x 2
＋y 2
－4x ＋4
的取值范围是[－1，1]．
答案 0 [－1，1]
17．已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧－|x 3－2x 2
＋x |，x ＜1，
ln x ，x ≥1，若命题“存在t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”
是假命题，则实数k 的取值范围是________．
解析 当x ＜1时，f (x )＝－|x 3－2x 2＋x |＝－|x (x －1)2|＝⎩⎪⎨
⎪
⎧x （x －1）2，x ≤0，－x （x －1）2
，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－(x －1)(3x －1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，1上是增函数，作出函数y ＝f (x )在R 上 的图象，如图所示．
命题“存在t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx 与函数y ＝ln x (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x ，得k ＝1m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，k ＝1
e .设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，则k ＝1，
由图象可知，若f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤
1e ，1.
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤
1e ，1。