非线性方程和非线性方程组的迭代解法
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则称序列（Ｘ。）至少Ｐ阶收敛．当ｐ＝ｌ，０＜Ｃ＜１时，称序列（ｘ“）至少线性收
敛：ｐ＝２，ｃ＞０称序列至少平方收敛；若ｋ≥ｋ．，时，有Ｘｋ＝ｘ４成立，或
ｌｉｍ堕：。二型 ＝０
“‘｜｜Ｘ“一Ｘ＋旷 则称事列（Ｘ）为超ｐ阶收敛
定义４［１３假定迭代序列（ｘ。｝收敛于ｘ＋，量
！抽婪∑梨，当ｘｔ≠ｘ·对ｋ≥ｋ。 。
（１）公式的建立
设ｘ＋是方程ｆ（ｘ）＝ｏ的解，ｆ（ｘ）在ｘ＋的某邻域Ａ＝｛ｘｊ ｘ—ｘ４≤６｝存在
二阶导数，且ＶＸ∈Ａ，ｆ’（Ｘ）≠０，设ｘ。∈△为ｆ的近似值，将ｆ（ｘ）在Ｘ。处 展为一次Ｔａｙｌｏｒ多项式ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｘｋ）＋ｆ ７（ｘ。）（ｘ—ｘ。），记ｐ（Ｘ）＝ｆ（ｘ．）十 ｆ’（Ｘ：）（Ｘ—Ｘ．），显然Ｐ（Ｘ）≈ｆ（ｘ）．令Ｐ（ｘ）＝Ｏ，解得
应用这个方法求解了非线性偏微分方程ｕ．＋“萎生等｝＜如Ｖ＞。Ｑ，ｓ（ｕ）＝。，其中
Ｑ“ｕ）２与竿导，万—ｉｉＦ数值计算中得到的非线性方程组，并通过迭代公
式（４－３）与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的比较，晚明了在相同精度要求卜Ｉ求解这 个问题时，ｆ＝｝｝式ｆ ４—３）优于＼ｅｎｔＯｔｌ法的几个方面．
第一章解非线性方程的常用迭代格式
在第三章写出了这几个迭代公式的相应算法设计，并将这些格式的数值实验 结果与Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法的数值实验结果进行了比较，说明了这 几个迭代格式的有效性．
在第四章中将预测式迭代法推广到了求解非线性方程组，分析了它的收敛 性、收敛阶，给出了其算法设计并进行了数值实验证明了方法的有效性．特别地，
兰州大学 硕士学位论文 非线性方程和非线性方程组的迭代解法及 姓名：尚秀丽 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：周宇斌
20041101
摘要（中文）
６６ｌ弘乒７
／
非线性方程和非线性方程组的求解问题一直是数学和物理学科中一类重要 的问题．在科技高速发展的今天以及未来都对解决实际问题有着一定的现实意义 求解这类问题常用的方法是迭代法，而迭代格式的好坏直接影响着这类问题算法 的效率．因此，研究求解这类问题的好的迭代法是非常重要和必要的．本文首先在 Ｎｅｗｔｏｎ法的基础之上，给出了求解非线性方程ｆ（ｘ）＝Ｏ的几个三阶收敛的预测一 一校正（预测式）迭代格式：利用Ｌａｇｒａｎｇｅ三点插值多项式结合牛顿公式的变形 得到一个公式，对这个公式通过应用Ｓｔｅｆｆｅｎｓｅ『ｌｉ３１速技巧获得了一个不带导数且 至少二阶收敛的单步迭代格式．分析了这几个迭代格式的收敛性、收敛阶，给出 了它们的算法．通过大量数值实验将这几个迭代方法与传统的Ｎｅｗｔｏｎ法、弦截法 及ｍｕｌｌｅｒ法进行了对比，说明了这几个迭代公式的有效性．然后将预测式方法推 广到非线性方程组Ｆ（ｘ）＝０的求解问题，对它的收敛性、收敛阶进行了分析并通 过几个数值实验说明了方法的有效性．最后把这种方法应用于～个非线性偏微分 方程的数值计算中得到的非线性方程组，通过其与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的 比较，说明在这个问题的求解中该方法的计算量少，精度、速度均优于Ｎｅｗｔｏｎ法． 关键词：非线性方程和非线性方程组； 迭代解法； 收敛阶； 插值； 行波解
Ｘ“Ｉ＝Ｇ。（ｘ。，…，Ｘ。。Ｐ＊Ｉ），ｋ＝０，１，… 则这个ｒｎ步过程是顺序的．一个顺序ｍ步过程，如果Ｇ。；Ｇ， Ｄ。＝Ｄ，ｋ＝０，１，…，则称关于迭代函数Ｇ是定常的．
定义３川设迭代序列（Ｘ‘｝，收敛于Ｘ＋，且存在ｐ≥ｌ及常数Ｃ＞０及正整数 ｋ。，使当ｋ≥ｋ０时
｜｜Ｘ…一ｘ＋ｌＩ≤ｃ｜Ｉ Ｘ‘一ｘ’∽
代法（１一１）按阶ｐ＝２收敛到Ｘ＋．
３） 弦截法
（１）公式的建立
、
设ｘｋ，Ｘ。是ｆ（ｘ）＝Ｏ的近似根，以ｘ。，ｘｋ＿；为节点构造一次插值多项式
Ｐｔ（ｘ）＝ｆ（）【ｋ）＋ｆ阻，）【ｋ．１】（ｘ—班），即
！垫！二！照ｔ！，Ｘ－Ｘｋ）
Ｘｋ－－Ｘｋ．１
…＝ｘｋ一揣（Ｘｋ－－Ｘｋ－Ｉ） 将Ｐ。（ｘ）＝０的解融＋．作为ｆ（ｘ）＝０的解ｘ＋的新的近似，于是有
将方程ｆ（ｘ）＝０化为一个同解的方程ｘ＝ｇ（ｘ），给定一个初值Ｘ。，代入右． 端可算得一个ｘＦｇ（ｘｏ），再将Ｘ．代入右端，又可得Ｘ２＝ｇ（ｘ．），…，如此继续 下去会得到一个序列（Ｘ。｝，其中ｋ。＝ｇ（ｘ。），ｋ＝０，ｌ，２，…．ｆＸ。｝称为迭代序 列，ｇ（ｘ）称为迭代函数．上面的公式称为迭代格式．实际计算时，当迭代到一定 程度时，就取Ｘ。作为原方程的近似值，这种求根的方法称为简单迭代法． ２） Ｎｅｗｔｏｎ迭代法
解Ｘ’，从而得到相应的迭代格式． 从理论上讲，对于收敛的迭代公式，不管精度要求多高，从一个初值开始，总
能在有限次的迭代后得到满足要求的解，但有时迭代过程过于缓慢或计算过于复 杂，因此有必要研究使迭代过程加速且计算相对简单的迭代格式．近年来做这方 面探讨的文献有一些，如［５］、［７］、［１０］、［１１］、［１２］、［１７］、［１９］等．
一 “‘
ｆｆｘｋ） ｆ’ｆｘｋ）
于是有牛顿迭代公式
ｍ】：＂；堕
ｘ。＋１２ ｘ。一—ｆ＇（ｘ—０
（。 １－－１）
（２） Ｎｅｗｔｏｎ迭代法的收敛性
定理２哪设ｆ（ｘ）在点ｘ＋的邻域△＝｛ｘ｛ｌｘ—ｘ＊ｌ≤５｝内具有二阶导数，ｆ（ｘ＋） ＝Ｏ，且ｖｘ∈△，有ｆ’（ｘ）≠Ｏ，又初值ｘ。∈Ａ，则当邻域△充分小时，牛顿迭
我们可以在现有的Ｎｅｗｔｏｎ法、微分的数值公式及动力系统的基础上对相应 的迭代公式进行预测——校正得到使迭代过程加速且形式相对简单的迭代格式．
本文在第一章简单介绍了迭代法及迭代序列的收敛性等基本概念和解非线 性方程的传统方法：简单法、Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法等．
在第二章中笔者通过多次的计算、论证，在Ｎｅｗｔｏｎ法的基础之上推导出了６ 个三阶收敛的求解非线性方程的预测式迭代格式，并且利用Ｌａｇｒａｎｇｅ三点插值 多项式结合牛顿公式的变形得到一个迭代公式，对这个迭代公式应用Ｓｔｅｆｆｅｎｓｅ 加速技巧获到了一个不带导数且至少二阶收敛的单步迭代格式，同时给出了它们 的收敛性、收敛阶定理并进行了证明．
前言
｛·…··…··………···…· ，
Ｆｃｘ，＝（主要］． ｘ＝［：：］． 。＝［；］
若存在ｘ＋∈Ｄ．使Ｆ（ｘ＋）＝Ｏ，则称ｘ。为方程组（０—１）的解．
速率直接影响着求解这类问题的算法的效率．传统的求解非线性方程（Ｏ－２）和非 线性方程组（０—１）的迭代法主要有简单迭代法，牛顿迭代法“：，弦截法“１，Ｍｕｌｌｅｒ 法．除简单迭代法外，这些方法都可以看成是对ｙ＝ｆ（ｘ）利用Ｔａｙｌｏｒ公式或插值 法将其线性化，得到函数ｙ＝ｆ（ｘ）的话似，通过求近似方程的根来得到相应的
１ 迭代法及迭代序列的收敛性等基本概念
求解非线性方程组（Ｏ—１）通常采用迭代法．即构造一个收敛到方程组（Ｏ—１） 的解的迭代序列：
ｘ０，ｘ１，…，ｘ‘，…． 其中群∈Ｄ［Ｒ“
定义ｌ“３一簇算子（Ｇ。）， Ｇｋ：Ｄｋｃ（Ｒ“）‘’＝Ｒ“ＸＲ“ｘ…×Ｒｏ—，Ｒ“，ｋ＝０。１，…
确定一个迭代过程Ｔ＝（（Ｇ。），Ｄ＋，Ｐ），它具有Ｐ个初始点并有域Ｄ＇ｃＤｏ，当Ｄ’不是 空集，且当对任意的点（ｘｏ，…，ｘ”１）ＥＤ‘，由下式产生的序列（ｘ。）存在：
¨＊Ｉ｜ｘ‘一Ｘ１
＋ｏＯ，
其它情况
称为序列｛Ｘ“）的Ｑ收敛因子。
定理１嗍对于收敛于ｘ＋的序列＜ｘ。），若存在常数ｐＥ（１，＋ｃ。），使０＜ＱＰ｛ｘｔ） ＜＋ｏｏ，则此序列的收敛阶为Ｐ．
２ 非线性方程的常用迭代法
对于非线性方程ｆ（ｘ）＝０，通常利用Ｔａｙｌｏｒ公式或插值多项式得到函数 ｆ（ｘ）的一次或二次近似多项式，通过求近似多项式的根得到相应的迭代公式． 下面分别介绍简单迭代法，Ｎｅｗｔｏｎ公式，弦截法，Ｍｕｌｌｅｒ法的建立及其收敛性． １）简单迭代法
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｓｏｌｖｉｎｇ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｍｏｄｅｒｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｔｓ ａｎｄ ｐｈｙｓｉｃｓ，ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｉｎ Ｈｉ－Ｔｅｃｈ ｔｉｍｅｓ．Ｔｈｅ ｃｏｍｍｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｋｉｎｄ ｏｆ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｉｓ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ｓｐｅｅｄ ｏｆ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｆｆｅｃｔｓ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｄｉｒｅｃｔｌｙ．Ｓｏ ｉｔ ｉＳ ｖｅｒｙ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｈａｔ ｗｅ ｓｔｕｄｙ ｇｏｏｄ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｎ ｔｈｉＳ ｔｈｅｓｉｓ，Ｆｉｒｓｔ，ｗｅ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ ｏｆ ｐｒｅｄｉｃｔｏｒ ｗｉｔｈ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｂａｓｅ ｏｎ Ｎｅｗｔｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｏｎｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｒｅ—ｆｒｅｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｒｏｏｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｗｅ ａｎａｌｙｚｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ’ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｏｒｄｅｒ ａｎｄ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｔｈｅｉｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ａｎｄ ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｅｓｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ Ｎｅｗｔｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ，Ｓｅｃａｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ Ｍｕｌｌｅｒ Ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ，ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｅｎ，ｗｅ ｓｐｒｅａｄ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｒｅｄｉｃｔｏｒ ｔｏ ｔｈｅ ｓｏｌｖｉｎｇ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｉＳ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ １ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｏｒｄｅｒ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｓｏｍｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ， ｗｅ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ．Ａｔ ｌａｓｔ．ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ． ｗｅ ｃａｎ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ｌｅｓｓ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｓ ｍｏｒｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ ｓｐｅｅｄ ｔｈａｎ Ｎｅｗｔｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｗｉｔｈ Ｎｅｗｔｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ’ｉｎ ｔｈｉＳ ｑｕｅｓｔｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｏｒｄｅｒ；ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ；ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ—ｗａｖｅ Ｓ０１ ＵＪｔｊｏｎ
ｘ…＝Ｇ。（Ｘｋ，…，Ｘ－Ｐ＋。Ｉ），ｋ＝０，ｌ，… 即对所有ｋ≥Ｏ，（ｘ。，…，Ｘ１”）ＥＤ’，序列（ｘ。）存在．
满足ｌｉｍ ｘｋ：ｘ＋的点ｘ＊ｎｑ做这个过程的极限，
ｋ—●”
定义２“１一个迭代过程Ｔ＝（（Ｇ。），Ｄ＋，Ｐ）中，如果ｐ＝ｍ，且映射Ｇｋ形如Ｇｋ： Ｄ。ｃ（时）“一Ｒ“，ｋ＝０，１，…。则该方法是ｍ步方法．一个ｍ步迭代过程如果按下式生 成：
敛：ｐ＝２，ｃ＞０称序列至少平方收敛；若ｋ≥ｋ．，时，有Ｘｋ＝ｘ４成立，或
ｌｉｍ堕：。二型 ＝０
“‘｜｜Ｘ“一Ｘ＋旷 则称事列（Ｘ）为超ｐ阶收敛
定义４［１３假定迭代序列（ｘ。｝收敛于ｘ＋，量
！抽婪∑梨，当ｘｔ≠ｘ·对ｋ≥ｋ。 。
（１）公式的建立
设ｘ＋是方程ｆ（ｘ）＝ｏ的解，ｆ（ｘ）在ｘ＋的某邻域Ａ＝｛ｘｊ ｘ—ｘ４≤６｝存在
二阶导数，且ＶＸ∈Ａ，ｆ’（Ｘ）≠０，设ｘ。∈△为ｆ的近似值，将ｆ（ｘ）在Ｘ。处 展为一次Ｔａｙｌｏｒ多项式ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｘｋ）＋ｆ ７（ｘ。）（ｘ—ｘ。），记ｐ（Ｘ）＝ｆ（ｘ．）十 ｆ’（Ｘ：）（Ｘ—Ｘ．），显然Ｐ（Ｘ）≈ｆ（ｘ）．令Ｐ（ｘ）＝Ｏ，解得
应用这个方法求解了非线性偏微分方程ｕ．＋“萎生等｝＜如Ｖ＞。Ｑ，ｓ（ｕ）＝。，其中
Ｑ“ｕ）２与竿导，万—ｉｉＦ数值计算中得到的非线性方程组，并通过迭代公
式（４－３）与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的比较，晚明了在相同精度要求卜Ｉ求解这 个问题时，ｆ＝｝｝式ｆ ４—３）优于＼ｅｎｔＯｔｌ法的几个方面．
第一章解非线性方程的常用迭代格式
在第三章写出了这几个迭代公式的相应算法设计，并将这些格式的数值实验 结果与Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法的数值实验结果进行了比较，说明了这 几个迭代格式的有效性．
在第四章中将预测式迭代法推广到了求解非线性方程组，分析了它的收敛 性、收敛阶，给出了其算法设计并进行了数值实验证明了方法的有效性．特别地，
兰州大学 硕士学位论文 非线性方程和非线性方程组的迭代解法及 姓名：尚秀丽 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：周宇斌
20041101
摘要（中文）
６６ｌ弘乒７
／
非线性方程和非线性方程组的求解问题一直是数学和物理学科中一类重要 的问题．在科技高速发展的今天以及未来都对解决实际问题有着一定的现实意义 求解这类问题常用的方法是迭代法，而迭代格式的好坏直接影响着这类问题算法 的效率．因此，研究求解这类问题的好的迭代法是非常重要和必要的．本文首先在 Ｎｅｗｔｏｎ法的基础之上，给出了求解非线性方程ｆ（ｘ）＝Ｏ的几个三阶收敛的预测一 一校正（预测式）迭代格式：利用Ｌａｇｒａｎｇｅ三点插值多项式结合牛顿公式的变形 得到一个公式，对这个公式通过应用Ｓｔｅｆｆｅｎｓｅ『ｌｉ３１速技巧获得了一个不带导数且 至少二阶收敛的单步迭代格式．分析了这几个迭代格式的收敛性、收敛阶，给出 了它们的算法．通过大量数值实验将这几个迭代方法与传统的Ｎｅｗｔｏｎ法、弦截法 及ｍｕｌｌｅｒ法进行了对比，说明了这几个迭代公式的有效性．然后将预测式方法推 广到非线性方程组Ｆ（ｘ）＝０的求解问题，对它的收敛性、收敛阶进行了分析并通 过几个数值实验说明了方法的有效性．最后把这种方法应用于～个非线性偏微分 方程的数值计算中得到的非线性方程组，通过其与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的 比较，说明在这个问题的求解中该方法的计算量少，精度、速度均优于Ｎｅｗｔｏｎ法． 关键词：非线性方程和非线性方程组； 迭代解法； 收敛阶； 插值； 行波解
Ｘ“Ｉ＝Ｇ。（ｘ。，…，Ｘ。。Ｐ＊Ｉ），ｋ＝０，１，… 则这个ｒｎ步过程是顺序的．一个顺序ｍ步过程，如果Ｇ。；Ｇ， Ｄ。＝Ｄ，ｋ＝０，１，…，则称关于迭代函数Ｇ是定常的．
定义３川设迭代序列（Ｘ‘｝，收敛于Ｘ＋，且存在ｐ≥ｌ及常数Ｃ＞０及正整数 ｋ。，使当ｋ≥ｋ０时
｜｜Ｘ…一ｘ＋ｌＩ≤ｃ｜Ｉ Ｘ‘一ｘ’∽
代法（１一１）按阶ｐ＝２收敛到Ｘ＋．
３） 弦截法
（１）公式的建立
、
设ｘｋ，Ｘ。是ｆ（ｘ）＝Ｏ的近似根，以ｘ。，ｘｋ＿；为节点构造一次插值多项式
Ｐｔ（ｘ）＝ｆ（）【ｋ）＋ｆ阻，）【ｋ．１】（ｘ—班），即
！垫！二！照ｔ！，Ｘ－Ｘｋ）
Ｘｋ－－Ｘｋ．１
…＝ｘｋ一揣（Ｘｋ－－Ｘｋ－Ｉ） 将Ｐ。（ｘ）＝０的解融＋．作为ｆ（ｘ）＝０的解ｘ＋的新的近似，于是有
将方程ｆ（ｘ）＝０化为一个同解的方程ｘ＝ｇ（ｘ），给定一个初值Ｘ。，代入右． 端可算得一个ｘＦｇ（ｘｏ），再将Ｘ．代入右端，又可得Ｘ２＝ｇ（ｘ．），…，如此继续 下去会得到一个序列（Ｘ。｝，其中ｋ。＝ｇ（ｘ。），ｋ＝０，ｌ，２，…．ｆＸ。｝称为迭代序 列，ｇ（ｘ）称为迭代函数．上面的公式称为迭代格式．实际计算时，当迭代到一定 程度时，就取Ｘ。作为原方程的近似值，这种求根的方法称为简单迭代法． ２） Ｎｅｗｔｏｎ迭代法
解Ｘ’，从而得到相应的迭代格式． 从理论上讲，对于收敛的迭代公式，不管精度要求多高，从一个初值开始，总
能在有限次的迭代后得到满足要求的解，但有时迭代过程过于缓慢或计算过于复 杂，因此有必要研究使迭代过程加速且计算相对简单的迭代格式．近年来做这方 面探讨的文献有一些，如［５］、［７］、［１０］、［１１］、［１２］、［１７］、［１９］等．
一 “‘
ｆｆｘｋ） ｆ’ｆｘｋ）
于是有牛顿迭代公式
ｍ】：＂；堕
ｘ。＋１２ ｘ。一—ｆ＇（ｘ—０
（。 １－－１）
（２） Ｎｅｗｔｏｎ迭代法的收敛性
定理２哪设ｆ（ｘ）在点ｘ＋的邻域△＝｛ｘ｛ｌｘ—ｘ＊ｌ≤５｝内具有二阶导数，ｆ（ｘ＋） ＝Ｏ，且ｖｘ∈△，有ｆ’（ｘ）≠Ｏ，又初值ｘ。∈Ａ，则当邻域△充分小时，牛顿迭
我们可以在现有的Ｎｅｗｔｏｎ法、微分的数值公式及动力系统的基础上对相应 的迭代公式进行预测——校正得到使迭代过程加速且形式相对简单的迭代格式．
本文在第一章简单介绍了迭代法及迭代序列的收敛性等基本概念和解非线 性方程的传统方法：简单法、Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法等．
在第二章中笔者通过多次的计算、论证，在Ｎｅｗｔｏｎ法的基础之上推导出了６ 个三阶收敛的求解非线性方程的预测式迭代格式，并且利用Ｌａｇｒａｎｇｅ三点插值 多项式结合牛顿公式的变形得到一个迭代公式，对这个迭代公式应用Ｓｔｅｆｆｅｎｓｅ 加速技巧获到了一个不带导数且至少二阶收敛的单步迭代格式，同时给出了它们 的收敛性、收敛阶定理并进行了证明．
前言
｛·…··…··………···…· ，
Ｆｃｘ，＝（主要］． ｘ＝［：：］． 。＝［；］
若存在ｘ＋∈Ｄ．使Ｆ（ｘ＋）＝Ｏ，则称ｘ。为方程组（０—１）的解．
速率直接影响着求解这类问题的算法的效率．传统的求解非线性方程（Ｏ－２）和非 线性方程组（０—１）的迭代法主要有简单迭代法，牛顿迭代法“：，弦截法“１，Ｍｕｌｌｅｒ 法．除简单迭代法外，这些方法都可以看成是对ｙ＝ｆ（ｘ）利用Ｔａｙｌｏｒ公式或插值 法将其线性化，得到函数ｙ＝ｆ（ｘ）的话似，通过求近似方程的根来得到相应的
１ 迭代法及迭代序列的收敛性等基本概念
求解非线性方程组（Ｏ—１）通常采用迭代法．即构造一个收敛到方程组（Ｏ—１） 的解的迭代序列：
ｘ０，ｘ１，…，ｘ‘，…． 其中群∈Ｄ［Ｒ“
定义ｌ“３一簇算子（Ｇ。）， Ｇｋ：Ｄｋｃ（Ｒ“）‘’＝Ｒ“ＸＲ“ｘ…×Ｒｏ—，Ｒ“，ｋ＝０。１，…
确定一个迭代过程Ｔ＝（（Ｇ。），Ｄ＋，Ｐ），它具有Ｐ个初始点并有域Ｄ＇ｃＤｏ，当Ｄ’不是 空集，且当对任意的点（ｘｏ，…，ｘ”１）ＥＤ‘，由下式产生的序列（ｘ。）存在：
¨＊Ｉ｜ｘ‘一Ｘ１
＋ｏＯ，
其它情况
称为序列｛Ｘ“）的Ｑ收敛因子。
定理１嗍对于收敛于ｘ＋的序列＜ｘ。），若存在常数ｐＥ（１，＋ｃ。），使０＜ＱＰ｛ｘｔ） ＜＋ｏｏ，则此序列的收敛阶为Ｐ．
２ 非线性方程的常用迭代法
对于非线性方程ｆ（ｘ）＝０，通常利用Ｔａｙｌｏｒ公式或插值多项式得到函数 ｆ（ｘ）的一次或二次近似多项式，通过求近似多项式的根得到相应的迭代公式． 下面分别介绍简单迭代法，Ｎｅｗｔｏｎ公式，弦截法，Ｍｕｌｌｅｒ法的建立及其收敛性． １）简单迭代法
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｓｏｌｖｉｎｇ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｍｏｄｅｒｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｔｓ ａｎｄ ｐｈｙｓｉｃｓ，ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｉｎ Ｈｉ－Ｔｅｃｈ ｔｉｍｅｓ．Ｔｈｅ ｃｏｍｍｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｋｉｎｄ ｏｆ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｉｓ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ｓｐｅｅｄ ｏｆ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｆｆｅｃｔｓ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｄｉｒｅｃｔｌｙ．Ｓｏ ｉｔ ｉＳ ｖｅｒｙ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｈａｔ ｗｅ ｓｔｕｄｙ ｇｏｏｄ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｎ ｔｈｉＳ ｔｈｅｓｉｓ，Ｆｉｒｓｔ，ｗｅ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ ｏｆ ｐｒｅｄｉｃｔｏｒ ｗｉｔｈ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｂａｓｅ ｏｎ Ｎｅｗｔｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｏｎｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｒｅ—ｆｒｅｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｒｏｏｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｗｅ ａｎａｌｙｚｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ’ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｏｒｄｅｒ ａｎｄ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｔｈｅｉｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ａｎｄ ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｅｓｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ Ｎｅｗｔｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ，Ｓｅｃａｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ Ｍｕｌｌｅｒ Ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ，ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｅｎ，ｗｅ ｓｐｒｅａｄ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｒｅｄｉｃｔｏｒ ｔｏ ｔｈｅ ｓｏｌｖｉｎｇ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｉＳ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ １ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｏｒｄｅｒ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｓｏｍｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ， ｗｅ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ．Ａｔ ｌａｓｔ．ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ． ｗｅ ｃａｎ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ｌｅｓｓ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｓ ｍｏｒｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ ｓｐｅｅｄ ｔｈａｎ Ｎｅｗｔｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｗｉｔｈ Ｎｅｗｔｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ’ｉｎ ｔｈｉＳ ｑｕｅｓｔｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｏｒｄｅｒ；ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ；ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇ—ｗａｖｅ Ｓ０１ ＵＪｔｊｏｎ
ｘ…＝Ｇ。（Ｘｋ，…，Ｘ－Ｐ＋。Ｉ），ｋ＝０，ｌ，… 即对所有ｋ≥Ｏ，（ｘ。，…，Ｘ１”）ＥＤ’，序列（ｘ。）存在．
满足ｌｉｍ ｘｋ：ｘ＋的点ｘ＊ｎｑ做这个过程的极限，
ｋ—●”
定义２“１一个迭代过程Ｔ＝（（Ｇ。），Ｄ＋，Ｐ）中，如果ｐ＝ｍ，且映射Ｇｋ形如Ｇｋ： Ｄ。ｃ（时）“一Ｒ“，ｋ＝０，１，…。则该方法是ｍ步方法．一个ｍ步迭代过程如果按下式生 成：