一维牛顿法

一维牛顿法也称为一维牛顿-拉夫逊方法，是一种迭代的优化算法，用于求解一维非线性函数的极值点。

这种方法通过利用函数的二阶导数信息来逼近极值点，并在每次迭代中更新搜索方向，以快速收敛到最优解。

一维牛顿法的具体步骤如下：
初始化：选择初始点x0，并设定迭代终止条件，如迭代次数或函数值的收敛阈值。

计算一阶和二阶导数：计算函数f(x)在当前点xk处的一阶导数f'(xk)和二阶导数f''(xk)。

更新搜索方向和步长：根据二阶导数的信息，计算搜索方向dk和步长αk。

更新当前点：计算新的点xk+1 = xk + αk * dk。

判断终止条件：检查是否满足终止条件，如果满足则停止迭代，否则返回步骤2。

例如，对于函数f ( x ) = x 3 −2 sin ⁡( x ) f(x) = x^3 - 2\sin(x)f(x)=x3−2sin(x)，在A AA点处对函数f ( x ) f(x)f(x)展开，得到近似的二次函数φ( x ) \varphi(x)φ(x)，φ( x ) \varphi(x)φ(x)的最小值在B BB点处取得，高斯牛顿法的下一步迭代点即为与B BB点横坐标相等的C CC点。

如此，只需数次，迭代能够达到很高的精度，可见牛顿法收敛速度快。