2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1节排列与组合教学案含解析

第一节排列与组合
[考纲传真] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
1．两个计数原理
A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
n！
n－m！C m n＝
A m n
A m m
＝
n n－n－n－m＋
m！
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．
( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．
( )
(4)k C k n＝n C k－1n－1. ( )
[答案](1)×(2)√(3)√(4)√
2．(教材改编)图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有( ) A．12 B．16
C．64 D．120
B[书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，故选B.]
3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( ) A．8 B．24
C．48 D．120
C[末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有A34C12＝4×3×2×2＝48个．故选C.]
4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56
C．49 D．28
C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C17C22种方法，
甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，
由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．
法二(间接法)：从9人中选3人有C39种方法，
其中甲、乙均不入选有C37种方法，
∴满足条件的选排方法有C39－C37＝84－35＝49种．]
5．将6名教师分到三所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
360 [将6名教师分组，分3步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．
根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60(种)取法．
将这三组教师分配到三所中学，有A33＝6(种)分法，
故共有60×6＝360(种)不同的分法．]
【例1】5个班车，从丙地到乙地每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有( )
A．12种B．19种
C．32种D．60种
(2)如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A．400种B．460种
C．480种D．496种
(1)B(2)C[(1)分两类：一类是直接从甲到乙，有n1＝4种方法；
另一类是从甲经丙再到乙，可分为两步，有n2＝5×3＝15种方法．
由分类计数原理可得：从甲到乙的不同乘车方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故选B.
(2)完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时，A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种)．]
在综合应用两个原理解决问题时，
分类加法计数原理
对于较复杂的两个原理综合应用的问题，
为直观.
(1)
种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．
(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)
(1)4554(2)420[(1)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，
每个学生有4种报名方法，共有45
种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．
图(1)
(2)①当末位数字是0时，如图(1)所示，共有A 36个不同的四位偶数；
图(2)
②当末位数字是2或4或6时，如图(2)所示，共有A 15A 25C 13个不同的四位偶数；即共有A 3
6＋A 1
5A 25C 13＝120＋5×5×4×3＝420个无重复数字的四位偶数．]
【例2】 3(1)若女生全排在一起，有多少种排法？
(2)若女生都不相邻，有多少种排法？
(3)若女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
[解] (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A 3
3种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320种不同排法．
(2)(插空法)先排5名男生，有A 55种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400种不同排法．
(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400种不同排法．
法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400种不同排法.
(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占12
，因此符合要求的排法种数为12
A 88＝20 160. (5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种，其余人全排列，共有A 16·A 16·A 66种不同排法．
由分类加法计数原理知，共有A77＋A16·A16·A66＝30 960种不同排法．
法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A17种排法，余下7个位置全排，有A77种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A16·A66种，因此共有A17·A77－A16·A66＝30 960种排法．法三(间接法)：8名学生全排列，共A88种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A77种排法，乙在最右边时，有A77种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A66种排法．因此共有A88－2A77＋A66＝30 960种排法．
[规律方法]求解排列应用问题的六种常用方法
A．144 B．120
C．72 D．24
(2)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A．24 B．18
C．16 D．10
(1)D(2)D[(1)先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A34＝24(种)方法．故选D.
(2)分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.故选D.]
【例3】
队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选．
[解](1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C15·C48＝350种．
(2)两队长当选，共有C22·C311＝165种．
(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．(或采用排除法：C513－C511＝825(种))．
(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．
含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取
至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接.
(1)
人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有( ) A．30种B．36种
C．42种D．48种
(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232 B．252
C．472 D．484
(1)C(2)C[(1)若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C14种选法，9日、10日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；
若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C14C13C22种安排方法，共有12种安排方法；
若甲、乙都在10日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．
所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．
(2)分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C14C212＝264(种)；
第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C312－3C34＝220－12＝208(种)．
由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．]
1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种 B．18种C．24种D．36种
D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式
为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32
×2＝36(种)． 故选D.]
2．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
B [从E 到G 需要分两步完成：先从E 到F ，再从F 到G .从F 到G 的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F 到G 的最短路径共有3条．如图，从E 到F 的最短路径有两类：先从E 到A ，再从A 到F ，或先从E 到B ，再从B 到F .因为从A 到F 或从B 到F 都与从F 到G 的路径形状相同，所以从A 到F ，从B 到F 最短路径的条数都是3，所以从E 到F 的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]
3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
16 [法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C 12C 24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C 22C 14＝4(种)．
根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．
法二：从6人中任选3人，不同的选法有C 36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C 34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．]。