精选推荐2018年高考数学总复习第六章不等式第2讲二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时作业

第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
基础巩固题组 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
解析 法一 不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0或⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，画出对应的平面区域，可知C 正确.
法二 结合图形，由于点(0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点(0，0)和(0，4)必在区域内，故选C. 答案 C
2.不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0
所表示的平面区域的面积为( )
A.1
B.1
2
C.13
D.14
解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，
得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.
答案 D
3.(2017·湖州市统检)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，
b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最小值是( )
A.－4
B.－1
C.1
D.4
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
当a ＝－2，b ＝0，z ＝2a －3b 取得最小值－4. 答案 A
4.(2016·浙江卷)若平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条
平行直线间的距离的最小值是( ) A.35
5 B. 2 C.32
2
D. 5
解析 已知不等式组所表示的平面区域如图所示阴影部分，由
⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，解得A (1，2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0，
解得B (2，1).
由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小， 即|AB |＝（1－2）2
＋（2－1）2
＝ 2. 答案 B
5.x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值
为( ) A.1
2或－1 B.2或12
C.2或1
D.2或－1
解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当
a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.
答案 D
6.若函数y ＝2x
图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，
则实数m 的最大值为( )
A.1
2
B.1
C.32
D.2
解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x
的图象及⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，
x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图
阴影部分所示
.
由图可知，当m ≤1时，
函数y ＝2x
的图象上存在点(x ，y )满足约束条件， 故m 的最大值为1. 答案 B
7.(2017·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，
4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，
若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最
大值为1，则m 的值是( ) A.－20
9
B.1
C.2
D.5
解析 作出可行域，如图所示的阴影部分.
化目标函数z ＝y －mx (m ＞0)为y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线y ＝mx
＋z 过A 点时，直线在y 轴的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝2，
即A (1，2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B. 答案 B
8.(2017·杭州七校联考)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，
则(x －2)2＋y 2
的最小值为
( ) A.32
2
B.
5
C.92
D.5
解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示
.
设z ＝(x －2)2
＋y 2
，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小.
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2
＝4＋1＝5，故选D. 答案 D 二、填空题
9.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，
则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________.
解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示
).
由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋1
2z 在y 轴上的截距，要使z
最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋1
2z 过点A (1，1)时，z 最小，最小值为3.
答案 3
10.已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，
x ≥1
2，y ≥x
上的一个
动点，则OM →·ON →
的最大值是________.
解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，
其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，C (1，1). 设z ＝OM →·ON →
＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2
x
＋y 取得最大值3. 答案 3
11.(2017·绍兴质检)已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的最大值为________，最小值为________.
解析 法一 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，
a －
b ＝－3，解得
⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
2，b ＝52，
所以z ＝－12(x ＋y )＋5
2(x －y ). 又⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－12（x ＋y ）≤1
2，5≤52（x －y ）≤152，
所以两式相加可得z ∈[3，8]，即z max ＝8，z min ＝3.
法二 作出不等式组
⎩
⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示. 平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；
当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8. 答案 8 3
12.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________.
解析 作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线
l 0：x －2y ＝0，
∵y ＝x 2－b
2
，
∴当l 0平移至A 点处时b 有最小值，b min ＝－a ，又b min ＝－2， ∴a ＝2，当l 0平移至B (a ，－2a )时，b 有最大值b max ＝a －2×(－2a )＝5a ＝10. 答案 10
13.(2017·台州统检)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，
则y 的最小值为________；
当ax ＋y 的最大值为3
2
时，实数a 的值为________.
解析 不等式⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0
所表示的可行域如图阴影部分，由
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，
x －2y ＝0得可行域最低点M 的坐标为(2，1)， ∴y min ＝1，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，由题意知，当－a 大于直线x －y ＋2＝0的斜率1，即－a >1，a <－1时，z ＝ax ＋y 有最大值，且取得最大值3
2
的最优解为点N (如图)，由
⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －3＝0
得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，∴32＝12a ＋52，a ＝－2.
答案 1 －2
能力提升题组 (建议用时：15分钟)
14.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元
D.3 100元
解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，
y ≥0，y ∈N ，
x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.
设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图
.
画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值
.
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4，4)， ∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)，故选C. 答案 C
15.(2017·湖州监测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1
的最小值是( )
A.－5
B.－12
C.1
2
D.5
解析 作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w ＝
y －1
x －1
的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (1，1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，43时，直线AP 的斜率最小，此时w ＝y －1x －1的最小值为43－113－1＝－1
2
，故选B.
答案 B
16.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，
若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，
0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，
要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－
ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，
即－a <－12，∴a >1
2
.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 17.(2015·浙江卷)若实数x ，y 满足x 2
＋y 2
≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________.
解析 ∵x 2
＋y 2
≤1，∴2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y . 令z ＝10－3x －4y ，
如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直；∴直线OA 的方程为y ＝4
3x ，
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，
得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
5，－45，
∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值，
z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45
＝15.
答案 15
18.(2017·浙江名校联考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x －4y ＋8≥0，3x －y －9≤0，则z ＝x －y
x ＋y
的最大值为
________，z 取得最大值的最优解为________.
解析 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，当x ＝0，y ＝2，此时z ＝0－20＋2＝－1，当x ≠0时，令u ＝y
x
∈[0，＋∞)，则z
＝1－
y
x 1＋y x
＝1－u 1＋u ＝2－（1＋u ）1＋u ＝21＋u －1≥21－1＝1，即z 的最大值
为1，此时u ＝y x
＝0，故最优解为(3，0). 答案 1 (3，0)。