第07讲 集合间的基本关系 (解析版)

第7讲集合间的基本关系

一、新知学习

“相等”关系：A=B

“元素相同则两集合相等”

如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B

不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

例1.下列集合与集合A＝{2，3}相等的是（）

A．{（2，3）}B．{（x，y）|x＝2，y＝3}

C．{x|x2﹣5x+6＝0}D．{x∈N|x2﹣9≤0}

【分析】可看出集合A的元素是实数，从而排除选项A，B，可求出{x∈N|x2﹣9≤0}＝{0，1，2，3}，从而排除选项D，只能选C．

【解答】解：集合A的元素是实数，不是有序数对，从而排除选项A，B；

{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}，故C正确；

{x∈N|x2﹣9≤0}＝{x∈N|﹣3≤x≤3}＝{0，1，2，3}，故D错误．

故选：C．

例2.下列集合中为空集的是（）

A．{x∈N|x2≤0}B．{x∈R|x2﹣1＝0}

C．{x∈R|x2+x+1＝0}D．{0}

【分析】求解不等式或方程，判断空集即可．

【解答】解：{x∈N|x2≤0}＝{0}，不是空集；

{x∈R|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，不是空集；

{x∈R|x2+x+1＝0}，因为方程x2+x+1＝0无实数解，所以集合是空集；

{0}显然不是空集．

故选：C．

变式训练1.下列集合与集合A＝{1，3}相等的是（）

A．（1，3）B．{（1，3）}

C．{x|x2﹣4x+3＝0}D．{（x，y）|x＝1，y＝3}

【分析】利用集合相等的定义直接求解．

【解答】解：∵{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，

∴与集合A＝{1，3}相等的是{x|x2﹣4x+3＝0}．

故选：C．

变式训练2.下列集合中不是空集的是（）

A．{0}B．{x|x＞6且x＜5}

C．{x|x2﹣2x+3＝0}D．{x|2＜x＜﹣a2+2a+1，a∈R}

【分析】根据选项求出不等式的解集，判断即可

【解答】解：A有一个元素0，

B空集，

C，x2﹣2x+3＝0，△＜0，无解，空集

D，﹣a2+2a+1＝﹣（a﹣1）2+2≤2，故空集，

故选：A．

“包含”关系（1）—子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

A⊆（或B⊇Ａ）

记作：B

A⊆有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

注意：B

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A

“包含”关系（2）—真子集

A⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集

如果集合B

如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B

集合的性质

① 任何一个集合是它本身的子集。A⊆A

②如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C

③如果A B且B C，那么A C

④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

例3. 在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（）A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B

【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．

【解答】解：解方程x2+2x＝0，得x＝0或x＝﹣2，所以B＝{﹣2，0}，

又A＝{1﹣2，0，2}，

所以A⊋B．

故选：C．

例4.已知集合M＝{﹣1，0，1}，则集合M的子集的个数为8，集合M真子集的个数为7．【分析】集合中元素数为n，则集合有2n个子集，真子集有2n﹣1个．

【解答】解：集合M＝{0，1，﹣1}的子集有23＝8个，真子集的个数为23﹣1＝7．

故答案为：8，7．

例5.集合{1，3，5}的非空真子集的个数为6．

【分析】利用真子集的定义直接求解．

【解答】解：集合{1，3，5}的非空真子集有：

{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共6个．

故答案为：6．

变式训练3.已知集合满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3}，则集合A可以是（）

A．{3}B．{1，3}C．{2，3}D．{1，2}

【分析】由子集的定义知A＝{1，2}或A＝{1，2，3}，从而解得．

【解答】解：∵{1，2}⊆A⊆{1，2，3}，

∴A＝{1，2}或A＝{1，2，3}，

故选：D．

变式训练4.已知集合A＝{1，2，3}，则集合A的子集的个数为8．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集．

【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，

∴集合A的子集的个数为23＝8．

故答案为：8．

变式训练5.集合M＝{x∈Z|﹣2≤x≤0}的真子集个数为7．

【分析】由题意，集合M＝{﹣2，﹣1，0}，即有三个元素，故有7个真子集．【解答】解：集合M＝{x∈Z|﹣2≤x≤0}＝{﹣2，﹣1，0}，

∴集合M的真子集的个数为23﹣1＝7．

故答案为：7．

变式训练6.已知集合A＝{﹣1，0，1，7}，则集合A的非空真子集的个数为14．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣2个非空真子集．

【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，7}，

∴集合A的非空真子集的个数为：24﹣2＝14．

故答案为：14．

二、课堂检测

1．下列集合与集合A＝{2，3}相等的是（）

A．{（2，3）}B．{（x，y}）|x＝2，y＝3}

C．{x|x2﹣5x+6＝0}D．{x＝2，y＝3}

【分析】求出{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}，由此能求出结果．