函数极值证明不等式

函数极值证明不等式
在高中数学学习中，不等式是一个非常重要的知识点，也是考试中常常出现的题型。

在不等式的证明中，常常需要运用到函数极值的知识。

本文将从函数极值的概念、求解方法和在不等式证明中的应用等方面进行探讨。

一、函数极值的概念
函数极值是指函数在自变量取某些特定值时，达到最大值或最小值的点。

其中，最大值称为函数的极大值，最小值称为函数的极小值。

函数极值是函数图像上的特殊点，具有重要的几何意义。

二、函数极值的求解方法
1. 导数法
对于一元函数，如果其在某一点处的导数为0，则该点可能是函数的极值点。

因此，可以通过求导数来求解函数的极值。

具体步骤如下：
（1）求出函数的导数；
（2）令导数等于0，解出所有满足条件的自变量；
（3）将解出的自变量代入原函数中，求出相应的函数值；
（4）比较这些函数值，得出函数的极值。

2. 二次函数法
对于二次函数，可以通过求其顶点来求解函数的极值。

具体步骤如下：
（1）将二次函数化为标准式；
（2）利用平移变换将函数图像平移到顶点处；
（3）根据函数图像的对称性，得出函数的极值。

三、函数极值在不等式证明中的应用
在不等式证明中，常常需要运用到函数极值的知识。

以下是几个典型的例子：
1. 求证当$x,y,z>0$时，有
$dfrac{x}{y+z}+dfrac{y}{z+x}+dfrac{z}{x+y}geqdfrac{3}{2}$。

解：将不等式左边的分式加起来，得到
$dfrac{x+y+z}{y+z}+dfrac{x+y+z}{z+x}+dfrac{x+y+z}{x+y}-3$。

将其化简为$dfrac{2x}{y+z}+dfrac{2y}{z+x}+dfrac{2z}{x+y}-3$，再将其化为
$dfrac{(x-y)^2}{(y+z)(z+x)}+dfrac{(y-z)^2}{(z+x)(x+y)}+dfra c{(z-x)^2}{(x+y)(y+z)}$。

由于分母都大于0，因此只需要证明分子之和大于等于0即可。

这是一个典型的平方求和型不等式，可以运用到函数极值的知识。

令$f(t)=(x-y)^2$，$g(t)=(y-z)^2$，
$h(t)=(z-x)^2$，则$f(t)+g(t)+h(t)geq0$。

由于$f(t)$，$g(t)$，$h(t)$都是二次函数，因此可以通过求其顶点来求解函数的极值。

不难得到$f(t)$，$g(t)$，$h(t)$的极小值均为0，因此函数极值为0，即$f(t)+g(t)+h(t)geq0$，证毕。

2. 求证当$a,b,c>0$时，有
$dfrac{a}{b+c}+dfrac{b}{c+a}+dfrac{c}{a+b}geqdfrac{3}{2}$。

解：将不等式左边的分式加起来，得到
$dfrac{a+b+c}{b+c}+dfrac{a+b+c}{c+a}+dfrac{a+b+c}{a+b}-3$。

将其化简为$dfrac{2a}{b+c}+dfrac{2b}{c+a}+dfrac{2c}{a+b}-3$，再将其化为
$dfrac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}+dfrac{(b-c)^2}{(c+a)(a+b)}+dfra c{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}$。

由于分母都大于0，因此只需要证明分子之和大于等于0即可。

这是一个典型的平方求和型不等式，可以运用到函数极值的知识。

令$f(t)=(a-b)^2$，$g(t)=(b-c)^2$，
$h(t)=(c-a)^2$，则$f(t)+g(t)+h(t)geq0$。

由于$f(t)$，$g(t)$，$h(t)$都是二次函数，因此可以通过求其顶点来求解函数的极值。

不难得到$f(t)$，$g(t)$，$h(t)$的极小值均为0，因此函数极值为0，即$f(t)+g(t)+h(t)geq0$，证毕。

四、结论
函数极值是一个重要的数学概念，在不等式证明中有着广泛的应用。

通过运用导数法和二次函数法，可以求解函数的极值。

在不等式证明中，常常需要将不等式化为平方求和型，再运用函数极值的知识进行证明。

通过对函数极值的深入理解和掌握，可以提高不等式证明的能力和技巧。