2024年山东省济南市高新区中考数学一模试卷及答案解析

2024年山东省济南市高新区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（4分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg 左右，0.00003用科学记数法可表示为（）
A ．3×10
﹣5
B ．3×10
﹣4
C ．0.3×10
﹣4
D ．0.3×10
﹣5
3．（4分）如图，平行于主光轴MN 的光线AB 和CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE 、DF 的反向延长线交于主光轴MN 上一点P ．若∠ABE ＝160°，∠CDF ＝150°，则∠EPF 的度数是（
）
A ．20°
B ．30°
C ．50°
D ．70°
4．（4分）下列式子计算正确的是（）
A ．m +m ＝m 2
B ．（﹣3m ）2＝6m 2
C ．（m +2n ）2＝m 2+4n 2
D ．（m +3n ）（m ﹣3n ）＝m 2﹣9n 2
5．（4分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的图案（
）
A．B．C．D．
6．（4分）解分式方程1﹣＝，去分母后得到的方程正确的是（）
A．1﹣（2﹣x）＝﹣2x B．（2﹣x）+1＝2x
C．（x﹣2）﹣1＝2x D．（x﹣2）+1＝2x
7．（4分）若0＜m＜n，则直线y＝﹣5x+m与直线y＝﹣x+n的交点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（4分）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（）
A．3B．4C．1D．2
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，BE：EC＝2：1，依据尺规作图的痕迹，则平行四边形ABCD的面积为（）
A．12B．12C．12D．12
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x…﹣2﹣1012…
y＝ax2+bx+c…t m﹣2﹣2n…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④a＜．
其中，正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）计算（x+3）（x﹣2）＝．
12．（4分）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼条．
13．（4分）已知一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有一个根为2，则另一根为．14．（4分）如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为．
15．（4分）甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多m．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE 沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C，若F、G分别为A1C、BC的中点，则FG的最小值为．
三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：．
18．（6分）求不等式组，的正整数解．
19．（6分）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AD和BC上，且AE＝CF．求证：∠BAF＝∠DCE．
20．（8分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝6米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝127°．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
21．（8分）某校初三年级一共有1200名学生，某一次体育测试后，彭老师为了了解本校初三学生体考成绩的大致情况，随机抽取了男、女各40名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
数据分为A，B，C，D四个等级分别是：A：49≤x≤50，B：45≤x＜49，C：40≤x＜45，D：0≤x＜40．
40名男生成绩的条形统计图以及40名女生成绩的扇形统计图如图．
40名男生和40名女生成绩的平均数，中位数，众数如下：
性别平均数中位数众数
男生48a47
女生48.54847.5
男生成绩在B组的考生的分数为45，45，46，46，46.5，46.5，47，47，47，47，47，47，48，48，48.5；
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空a＝，女生成绩为B等对应的扇形的圆心角为，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由；
（3）请估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数．
22．（8分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
23．（10分）学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表：
甲种足球
购买费用：2000元
单价：x元/个
数量：个
乙种足球
购买费用：1400元
单价：（x+20）元/个
数量：
个
（1）在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；
（2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；
（3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10%，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量．
24．（10分）【综合与实践】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考．
＝1.5m2，AB＝【特例感知】：（1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，S
△ABC
1.5m，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形DEFG的边长
是．
【问题解决】：若木板是面积仍然为1.5m2的锐角三角形ABC，按照如图（乙）所示的方
式加工，记所得的正方形DEFG的面积为S，如何求S的最大值呢？某学习小组做了如下思考：
＝ah，∴h＝，由△BDE∽△BAC 设DE＝x，AC＝a，AC边上的高BH＝h，则S
△ABC
得：，从而可以求得x＝，若要内接正方形面积S最大，即就是求x的最大值．因为S＝1.5为定值，因此只需要分母最小即可．
（2）小组同学借鉴研究函数的经验，令y＝a+h＝a+（a＞0）．探索函数y＝a+的图象和性质：
①下表列出了y与a的几组对应值，其中m＝；
a…1234…
y…129m43344…
②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；
③结合表格观察函数y＝a+图象，以下说法正确的是．
A．当a＞1时，y随a的增大而增大B．该函数的图象可能与坐标轴相交．C．该函数图象关于直线y＝a对称．
D．当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在1～2之间．
25．（12分）问题发现
（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG，直接写出CF与DG之间的数量关系：．
拓展探究
（2）将正方形AEFG绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接DG，CF，试猜想CF 与DG之间的数量关系，并说明理由．
类比迁移
（3）如图3，已知菱形ABCD和菱形AEFG，∠DAB＝60°，将菱形AEFG绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），连接DG，CF，请在备用图中画出草图，判定CF与DG之间的数量关系是否随着α的变化而变化，并说明理由．
26．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为A′，判断点A′是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求PM+2BH的最大值；
（4）如果△PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值．
2024年山东省济南市高新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【分析】利用“在同一时刻同一地点路灯下的影子的方向应不一致”对各选项进行判断．【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点评】本题考查中心投影的特点是：
①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远
的物体它的影子长．
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，
影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．3．【分析】首先求出∠ABP和∠CDP，再根据平行线的性质求出∠BPN和∠DPN即可．【解答】解：∵∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，
∴∠ABP＝180°﹣∠ABE＝20°，∠CDP＝180°﹣∠CDF＝30°，
∵AB∥CD∥MN，
∴∠BPN＝∠ABP＝20°，∠DPN＝∠CDP＝30°，
∴∠EPF＝∠BPN+∠DPN＝20°+30°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．4．【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式逐一计算进行判断即可得到答案．
【解答】解：A，m+m＝2m≠m2，计算错误，不合题意；
B，（﹣3m）2＝（﹣3）2⋅m2＝9m2≠6m2，计算错误，不合题意；
C，（m+2n）2＝m2+4mn+4n2≠m2+4n2，计算错误，不合题意；
D，（m+3n）（m﹣3n）＝m2﹣9n2，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
5．【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【解答】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6．【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵1﹣＝，
∴x﹣2+1＝2x，
故选：D．
【点评】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
7．【分析】联立两直线解析式表示出交点坐标，根据0＜m＜n，判断交点坐标的象限，即可解题．
【解答】解：由题知，，
有﹣5x+m＝﹣x+n，整理得﹣4x＝n﹣m，
解得，
将代入y＝﹣x+n中，有，
∵0＜m＜n，
∴n﹣m＞0，
∴，，
∴直线y＝﹣5x+m与直线y＝﹣x+n的交点在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查两直线相交或平行问题问题，解题的关键是根据0＜m＜n，判断交点
坐标的象限．
8．【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．【解答】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知，
绿球与黑球的个数应相等，也为2x个，
列方程可得x+2x+2x＝10，
解得x＝2，
故选：D．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．【分析】过点A作AH⊥BC于H，证明△ABE是等边三角形，求出BC，AH即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
由作图可知，EF垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∵AH⊥BE，
∴BH＝EH＝2，
∴AH＝＝＝2，
∵BE：EC＝2：1，
∴EC＝2，BC＝BE+EC＝6，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AH＝12，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．【分析】①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，即可求解；
②x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，即可求解；
③函数的对称轴为：x＝，则b＝﹣a，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b﹣2＝t＝ax2+bx+c，则当x＝﹣2时，上式成立，即可求解；
④当x＝﹣时，y＝a b﹣2＞0，而b＝﹣a，解得：3a﹣8＞0，即可求解．
【解答】解：①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；
③函数的对称轴为：x＝，则b＝﹣a，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b﹣2＝t＝ax2+bx+c，则当x＝﹣2时，上式成立，故x＝﹣2是方程的根，根据函数对称性x＝3也是方程的根，故
③正确，符合题意；
④当x＝﹣时，y＝a b﹣2＞0，而b＝﹣a，解得：3a﹣8＞0，故④错误，不符合
题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+3x﹣6＝x2+x﹣6．
故答案为：x2+x﹣6
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．【分析】鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到＝5%，然后解方程即可．【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，
根据题意得＝5%，
解得x＝1000，
经检验x＝1000为原方程的解，
所以估计鱼塘中有鱼1000条．
故答案为：1000．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2＝5，
解得α＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
14．【分析】利用平移的性质求出阴影部分矩形的长与宽，即可解决问题．【解答】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长B'C＝6﹣2＝4，宽A'B'＝4﹣1＝3，∴阴影部分的面积＝4×3＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
15．【分析】求出甲每天挖掘的长度为3m，乙每天挖掘的长度为4m，再列式60×3﹣30×4，即可算得答案．
【解答】解：由图象可知，甲每天挖掘的长度为（300﹣210）÷（60﹣30）＝3（m），∴乙每天挖掘的长度为210÷30﹣3＝4（m），
∵60×3﹣30×4＝60（m），
∴甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多60m；
故答案为：60．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息．
16．【分析】连接A1B，由F、G分别为A1C、BC的中点可得FG＝A1B，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，由勾股定理可得BD，由折叠性质和矩形性质可得A1D＝AD＝BC，即可
求解．
【解答】解：如图，连接A1B，BD，
∵F、G分别为A1C、BC的中点，
∴FG＝A1B，
当FG的最小时，即A1B最小，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝3，
∴AD＝BC＝3，∠A＝90°，
∴BD＝＝5，
∵△ADE沿DE折叠，
∴A1D＝AD＝3，
在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，
∴A1B≥BD﹣A1D，
即A1B≥2，
∴FG＝A1B≥1，
∴FG的最小值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是利用三角形中位线将所求的FG转化为A1B．
三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝1+2﹣4×+5
＝1+2﹣2+5
＝6．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．【分析】先求出不等式组的解集，再求出正整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
∴不等式组的正整数解是1．
【点评】本题考查了解不等式组及不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键．
19．【分析】由“SAS”可证△ABF≌△CDE，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠BAF＝∠DCE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．【分析】（1）作出如图的辅助线，在Rt△AOG中，利用正弦函数求解即可；
（2）作出如图的辅助线，在Rt△OBC中和在Rt△OB1D中，分别利用三角函数求出BC 和B1D的长即可．
【解答】解：（1）过O作EF⊥OM于O，过A作AG⊥EF于G，
∵AB＝6米，OA：OB＝2：1，
∴OA＝4米，OB＝2米，
∵∠AOM＝127°，∠EOM＝90°，
∴∠AOE＝127°﹣90°＝37°，
在Rt△AOG中，AG＝AO×sin37°≈4×0.6＝2.4（米），
点A位于最高点时到地面的距离为2.4+3＝5.4（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4米；
（2）过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D，
∵∠AOE＝37°，
∴∠BOC＝∠AOE＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝17.5°，
∵OB1＝OB＝2（米），
在Rt△OBC中，BC＝sin∠OCB×OB＝sin37°×OB≈0.6×2＝1.2（米），
在Rt△OB1D中，B1D＝sin17.5°×OB1≈0.3×2＝0.6（米），
∴BC+B1D＝1.2+0.6＝1.8（米），
∴此时水桶B上升的高度为1.8米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．
21．【分析】（1）计算出男生A类的人数，即可补全条形图，计算出男生体考成绩从大到小排列后处在第20、21位两个数的平均数，即为男生的成绩的中位数，确定a的值；根据扇形统计图计算出女生B类所占的百分比，可得圆心角；
（2）从平均数、众数上的分析得出结论．
（3）男生40人A等有16人，女生40人A等有40×40%＝16（人），因此A等占总人数的（16+16）÷（40+40）＝40%，估计总体中，有40%的人为A等，1200×40%即可求解．
【解答】解：（1）男生A组有400﹣15﹣6﹣3＝16（人），
男生成绩处在第20、21位的两个数的平均数为（47+47）÷2＝47，
因此a＝47，
360°×（1﹣40%﹣10%﹣5%）＝162°，
补全条形统计图如图：
故答案为：47，162°；
（2）女生的成绩较好，理由：女生的平均数、众数都比男生好；
（3）×100%＝40%，
1200×40%＝480（人），
答：估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数为480人．
【点评】本题考查了中位数的意义和求法，条形统计图和扇形统计图的意义和制作方法，掌握各个统计量的意义是解决问题的前提，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
22．【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数；
，再利用阴影部分的（2）∠A＝30°，可得，，即得S
△ABC
即可解题．
面积等于半圆减去S
△ABC
【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（2）由（1）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是，
答：阴影部分的面积是．
【点评】本题考查圆的切线性质，直角三角形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．【分析】（1）利用数量＝总价÷单价，即可用含x的代数式表示出购买甲、乙两种足球的数量；
（2）根据本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲种足球在此商场的销售单价，再将其代入（x+20）中，即可求出乙种足球在此商场的销售单价；
（3）设这所学校可以购买m个乙种足球，则购买（50﹣m）个甲种足球，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2950元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：购买甲种足球的数量为个；
购买乙种足球的数量为个．
故答案为：，；
（2）根据题意得：＝×2，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20＝50+2＝70．
答：甲种足球在此商场的销售单价为50元/个，乙种足球在此商场的销售单价为70元/个；
（3）设这所学校可以购买m个乙种足球，则购买（50﹣m）个甲种足球，
根据题意得：50×（1+10%）（50﹣m）+70×（1﹣10%）m≤2950，
解得：m≤25，
∴m的最大值为25．
答：这所学校最多可以购买25个乙种足球．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出购买甲、乙两种足球的数量；
（2）找准等量关系，正确列出分式方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．【分析】（1）过点B作BN⊥AC于点N，交DE于点M，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）将a值代入运算即可；
（3）画出函数的图象，结合函数的图象回答即可．
【解答】解：（1）过点B作BN⊥AC于点N，交DE于点M，如图，
设DE＝x，则DG＝MN＝x．
＝1.5m2，AB＝1.5m，
∵S
△ABC
∴×1.5×BC＝1.5，
∴BC＝2m．
∴AC＝＝2.5m．
∴AC×BN＝1.5，
∴BN＝1.2m．
∴BM＝BN﹣MN＝（1.2﹣x）m，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
∴，
∴x＝．
故答案为：；
（2）①当a＝时，
y＝＝6＝6．
故答案为：6；
②在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象：
②由图象知：当a＞1时，y随a的增大而增大，
∴A选项的结论不正确；
由图象知：该函数的图象不可能与坐标轴相交，
∴B选项的结论不正确；
由图象知：该函数的图象不是轴对称图形，
∴C选项的结论不正确；
由图象知：当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在1～2之间，∴D选项的结论正确．
故答案为：D．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数的图象，描点法化出函数的图象，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．【分析】（1）由正方形的性质可得AC＝AD，AF＝AG，从而得出答案；
（2）连接AF，AC，利用△CAF∽△DAG，可得CF：DG＝AC：AD＝，故CF＝DG；
（3）把△ADG绕着点D逆时针旋转120°得到△DCH，根据菱形和平行四边形的性质，可得答案．
【解答】解：（1）∵四边形AEFG、四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AD，AF＝AG，
∴AC﹣AF＝（AD﹣AG），即CF＝DG，
故答案为：CF＝DG；
（2）CF＝DG，理由如下：
连接AF，AC，如图：
∵四边形AEFG、四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝∠FAG＝45°，AC：AD＝AF：AG＝，
∴∠CAF＝∠DAG，
∴△CAF∽△DAG，
∴CF：DG＝AC：AD＝，
∴CF＝DG；
（3）画出图形如下：
随着α的变化，CF与DG之间的数量关系不变化，理由如下：
把△ADG绕着点D逆时针旋转120°得到△DCH，连接GH，作DN⊥GH于N，如图：由旋转可得AG＝CH，∠AGD＝∠CHD，
∵四边形AEFG是菱形，∠DAB＝60°＝∠GAE，
∴AG＝FG，∠AGF＝120°，
∴CH＝GF，
∵∠GDH＝120°，DG＝DH，DN⊥HG，
∴∠DGH＝∠DHG＝30°，GN＝NH，
∴DG＝2DN，GN＝DN，GH＝2GN，
∴HG＝DG，
∵∠CHG＝∠CHD﹣∠DHG＝∠CHD﹣30°，
∠HGF＝360°﹣∠AGF﹣∠AGD﹣∠DGH＝360°﹣120°﹣∠AGD﹣30°＝210°﹣∠AGD，
∴∠CHG+∠HGF＝∠CHD﹣30°+210°﹣∠AGD，
∵∠CHD＝∠AGD，
∴∠CHG+∠HGF＝180°，
∴CH∥GF，
∴四边形CHGF是平行四边形，
∴CF＝HG，
∴CF＝DG，
∴随着α的变化，CF与DG之间的数量关系不变化．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及旋转的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是添加恰当辅助线，构造相似三角形，等腰三角形解决问题．
26．【分析】（1）两点式设出解析式，将点C代入求出解析式即可；
（2）根据旋转的性质，求出A′的坐标，进行判断即可；
（3）设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0），将PM+2BH转化为二次函数求最值即可；
（4）分CP＝CM，CM＝PM，CP＝PM，三种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3），代入，得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）A′不在抛物线上；理由如下：
过点A′作A′D⊥y轴，∠AOC＝∠CDA′＝90°，
∵旋转，
∴AC＝A′C，∠ACA′＝90°，
∴∠ACO＝∠CA′D＝90°﹣∠A′CD，
∴△ACO≌△CA′D，
∴OA＝CD，OC＝A′D，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝CD＝1，OC＝A′D＝3，
∴OD＝2，
∴A′（3，﹣2），
∵y＝x2﹣2x﹣3，当x＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
∴A′（3，﹣2）不在抛物线上；
（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC：y＝kx﹣3，将B（3，0）代入，得：k＝1，
∴y＝x﹣3；
设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0）．∴PM＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BH＝3﹣m．，BH＝3﹣m．
∴．
当时，PM+2BH取最大值，最大值为．
（4）∵P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），C（0，﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m，CM2＝2m2，CP2＝m2+（m2﹣2m）2，
当△PMC是等腰三角形时，分三种情况，
①PM＝CM时，则：（﹣m2+3m）2＝2m2，
解得：（舍），m＝0（舍），；
②PM＝CP时，则：（﹣m2+3m）2＝m2+（m2﹣2m）2，
解得：m＝0（舍），m＝2；
③CM＝CP时，则：2m2＝m2+（m2﹣2m）2，
解得：m＝0（舍），m＝3（舍），m＝1；
综上：m＝1，m＝2，．
【点评】本题考查待定系数法求解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，二次函数的综合应用．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键。