浙师大《初等数论》模拟试卷(F)

浙江师范大学《初等数论》考试卷（F 卷）
（2001——2002学年第一学期）
考试类别 使用学生数理学院数学专业98本科 考试时间120分钟表 出卷时间2000年月日12月28日
说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。

一、 填空（36分）
1、d （1000）= 。

σ（1000）= 。

φ（1000）= 。

2、n 1〉， 若)(mod 01)!1(n n ≡+-则n 为 。

3、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。

4、7在2003！中的最高幂指数是 。

5、（1515 ，600）= 。

6、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是 。

7、威尔逊定理是 。

8、写出6的一个简化系，要求每项都是5的倍数 。

9、2
3.0 化为分数是 。

10、20032的末位数是 。

11、[-2.3]= 。

12、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n P ）= 。

13、1>x 且能被4、5、7整除，则最小的x 是 。

14、
50
506666688888⨯被7除后的余数为 。

15、两个素数的和为31，则这两个素数是 。

16、带余除法定理是 。

二、 解同余方程组（12分）
⎪⎩
⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 1)8(mod 3)
5(mod 2x x x
三、
叙述并且证明费尔马小定理。

（12分） 四、 如果整系数的二次三项式1,0)(2=++=x c bx x x p 当 时的值都是奇数，证明 0)(=x p 没有整数根（6分）
五、 设Ｐ为奇素数，则有（8分）
（1）)(mod 1)1(21111p p p p p -≡-+++---
（2）)(mod 0)1(21p p p p p ≡-+++
六、 证明：对任何正整数ｋ，ｍ，ｎ
有１１|354525345+++++n m k （6分） 七、证明：3是无理数。

（8分）
八、试证：对任何的正整数2,2+n n 不能被4整除。

（6分）
九、解不定方程1054=+y x （6分）
《初等数论》模拟试卷（F ）答案
一、
1、16，2340，9360
1、素数
2、7
3、331
4、15
5、b |),(m a
6、)(mod 01)!1(p p ≡+-
7、5，25
8、9029
9、8
10、 -3
11、 n p
12、 140
13、 5
14、 2，29
15、 a ，b 是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q ，
r 使得b r r bq a <≤+=0,
二、由孙子定理)280(mod 267≡x
三、费尔马定理：对任意的素数p 有)(mod p a a p ≡
证明：设p|a ，则有p a p |，有)(mod p a a p ≡，
若（a ，p ）=1，由欧拉定理有)(mod 11p a p ≡-两边同乘a 即有)(mod p a a p ≡
四、由条件可得c 为奇数，b 为偶数
如果p （x ）=0有根q ，若q 为偶数，则有c bq q ++2为奇数，而p （q ）=0为偶数，不可能，若q 为奇数，则有c bq q ++2为奇数，而p （q ）=0为偶数，也不可能，所以0)(=x p 没有整数根
五、：由欧拉定理
)(mod 11111)1(21111p p p p p p -≡-≡++≡-+++---
由费尔马定理
)(mod 0121)1(21111p p p p p p ≡-++≡-+++---
六、（5，11）=1，（4，11）=1，（3，11）=1由欧拉定理得
)11(mod 1510≡，)11(mod 1310≡，)11(mod 14
10≡，进一步有 )11(mod 155≡，)11(mod 135
≡，)11(mod 145≡ 对任何正整数ｋ，ｍ，ｎ有
)11(mod 03453453
42354525≡++≡+++++n m k 即有 １１|354525345+++++n m k 七、证：假设3是有理数，则存在自数数a,b 使得满足223y x =即223b a =，容
易知道a 是3的倍数，设a =3a 1，代入得2123a b =,又得到b 为3的倍数，a b a <<1，
设13b b =，则21213b a =,这里12a b <
这样可以进一步求得a 2，b 2…且有a>b>a 1>b 1> a 2>b 2>… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴3为无理数。

八、n=2k 时有22+n =242+k ，不能被4整除
当n=2k+1时有22+n =3442++k k ，不能被4整除，所以有 对任何的正整数2,2+n n 不能被4整除
九、为（4，5）=1，所以不定方程有解，由观察得有特解x=0，y=5
所以不定方程的解为⎩⎨⎧+=-=t y t
x 4250 t 为整数。