课件13：§3.1导数的概念及运算

的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程
是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求过某点的切线方程时需
设出切点坐标，进而求出切线方程．
考点三 利用曲线的切线方程求参数
例3
设函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))
处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b值．
解：f′(x)＝aex＋ex(ax＋b)－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
∴f′(0)＝a＋b－4＝4，又f(0)＝b＝4，
∴a＝4.
师说点拨
已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数
的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键
是这个点不仅在曲线上也在切线上．
方法与技巧
1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数
D．f(x)＋g(x)为常数函数
【解析】由f ′(x)＝g′(x)，得f ′(x)－g′(x)＝0，
即[f(x)－g(x)]′＝0，
所以f(x)－g(x)＝c(c为常数)．
x
y＝2x＋1
4．曲线 y＝
在点(－1，－1)处的切线方程为__________．
§3.1 导数的概念及运算
考纲导学
1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．
2.能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)；y＝x，y＝x2，

3
y＝x ，y＝ ，y＝

的导数．
3.能利用导数的几何意义求曲线切线的斜率．
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4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四
则运算法则求简单函数的导数．
且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施
化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要
的运算失误．
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解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，
又f(2)＝－2，
∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点
P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
(1)C′＝⑦______(C为常数)．
(2)(xn)′＝⑧__________(n∈Q*)．
(3)(sinx)′＝⑨______，(cosx)′＝⑩______.
(4)(ex)′＝⑪______，(ax)′＝⑫______.
(5)(lnx)′＝⑬______，(logax)′＝⑭______.
5．导数运算法则
简称导数，即 y′＝f′(x)＝④__________________.
3．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是⑤_________________，
即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，
切线方程为⑥________________.
4．基本初等函数的导数公式
(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而
言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，
是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一
个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了
一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混
淆的情况下，导函数也简称导数．
导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对
u的导数与u对x的导数的乘积．
fx2－fx1
【答案】①
x2－x1
③瞬时变化率
fx0＋Δx－fx0
②lim
Δx
Δx→0
fx＋Δx－fx
④ lim
Δx
Δx→0
⑤曲线 y＝f(x)在点 P(x0，
f(x0))处的切线的斜率
x＋2
x′x＋2－xx＋2′
2
【解析】∵y′＝
＝
2
2，
x＋2
x＋2
2
∴k＝y′|x＝－1＝
2＝2，
－1＋2
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1.
5．曲线 y＝xsinx

π π

在点－2，2处的切线与


2
x 轴，直线 x
π
2
＝π 所围成的三角形的面积为__________．
5．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函
数)的导数.
1．下列求导运算正确的是( B )
1
1
A．(x＋x)′＝1＋ 2
x
1
B．(log2x)′＝
xln 2
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
【解析】由导数的运算法则以及常用函数的导数
公式易得．
2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵
则运算法则，切忌记错记混．
(2)求导前应用代数、三角恒等变形将函数先化简，
然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，
减少差错．
考点二 利用导数的几何意义求曲线的切线方程
例2
已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
⑥y－y0＝f′(x0)(x－x0)
⑨cosx
x
⑩－sinx
⑪e
⑯f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
x
⑫a lna
1
⑬x
⑦0 ⑧nxn－1
1
⑭
xlna
⑮f′(x)±g′(x)
1. 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、
“导数”的区别与联系
(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；
(1)[f(x)±g(x)]′＝⑮__________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝⑯____________________.


f′xgx－fxg′x
fx


(3)
(g(x)≠0)．
′＝
2
gx
[gx]


6．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的
坐标是( C )
A．－9
B．－3
C．9
D．15
【解析】y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率
是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.
3．已知f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若
f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( C )
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为
x－y－4＝0，或y＋2＝0.
师说点拨：利用导数的几何意义求曲线的切线方程
时，注意区分是曲线在某点处的切线，还是过某点
f′(x0)与[f(x0)]′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)
在x＝x0处的导数值，不一定为0；而f[(x0)]′是
函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，
其导数一定为0，即[f(x0)]′＝0.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基
本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而
线可能有多条．
考点一
导数的计算
例 1(1)求下列函数的导数：
lnx
①y＝x sinx；②y＝ x .
e
2
(2)已知 f(x)＝x(2 012＋lnx)，f′(x0)＝2 013，则 x0＝(
A．e2
B．1
C．ln2
D．e
)
【解析】
(1)①y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
【解析】曲线 y＝xsinx

π π

在点－2，2处的切线为


π2
故所围成的三角形的面积为 .
2
y＝－x，
1．平均变化率及瞬时变化率
∆
(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是： ＝①______________.
∆
Δy
(2)f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是： lim
＝②________.
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)
的切线”的区别与联系
(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切
线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P
点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直
1 x
x
x
x
·
e
－e
lnx
lnx′e －e ′lnx x
②y′＝
＝
x 2
e
ex2
1
x－lnx 1－xlnx
＝
＝
.
ex
xex
(2)f′(x)＝2

012＋lnx＋x·＝2

013＋lnx，
由f′(x0)＝2 013，得lnx0＝0，解得x0＝1.
师说点拨：
(1)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四
Δx→0 Δx
2．导数的概念
(1)f(x)在 x＝x0 处的导数就是 f(x)在 x＝x0 处的③_______，
fx0＋Δx－fx0
记作 y′| x＝x0 或 f′(x0)，即 f′(x0)＝ lim
.
Δx
Δx→0
(2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时，f′(x)即为 f(x)的导函数，