浅议高中数学教学中的概括

浅议高中数学教学中的概括

数学作为一门学科,它的本质特征之一是高度的抽象性和高度的概括性,数学本身就是客观世界的数量关系和空间形式的最抽象、最概括的反映。就数学教育而言,培养学生概括能力无疑是提高学生数学思维水平的一项重要内容。本文拟从中学数学教育的角度浅议数学概括,着重讨论中学数学教材涉及的数学通则通法的概括和数学迁移概括。

一、数学通则通法的概括

1、概括和再概括数学通则通法是数学教学研究的重要素材,包括定理、性质、公式和法则在内的数学教学内容是前人研究和总结出来的数学成果,是真知。数学教学的一个任务就是要把这些数学成果用科学的教学方法传授给学生,使之能理解、掌握和应用。是把知识总结概括的过程停留在课本内容(包括每章后面的“小结”)上,还是让学生继续参与概括的过程去发现所知?我们采取了后者的做法。如最简三角方程sinx=a(a∈R)的解,课本从实例出发最后概括为(1)|a|1三种情形分别给出了解的公式。能否在这一层次上再度概括?教师首先提出比较三种情形的重要程度,学生从它们的应用范围出发而认为第一种最重要。

2、建模和扩模不论是把实际问题转化为数学问题,还是单纯解数学题,都离不开把问题和解决问题的方法进行比较分类,抽象概括出一种数学结构形式,然后利用这种结构形式来熟练地解决同类型的实际问题和数学问题。这就是从狭义的角度来认识建构数学模型。从这个意义上讲,数学模型是数学抽象概括的结果。数学中每一个计算公式、每一类方程、每一种函数都可以看作一个数学模型。在建模用模的同时,不应把模型看成僵化的、一成不变的东西,而应考虑模型及其功能

的变化发展。如在学习了负数的平方根后,学生会解Δ1 x≥1”这一推理的正确性

持怀疑态度,认为结论中的”x=1”在前提中不存在,是无论如何推导不出的。再如充分条件、必要条件分别作为具有某种条件的元素构成的集合,那么命题的前提和结论的关系就是两个集合间的包含关系。可见把这一类问题提到集合思想观念的高度来认识处理,这实际上就是把子集概念的数学结构迁移概括到一些特殊数学事实的认识和处理上了。对中学数学教材结构体系,学生一般了解不深,但能粗浅地认识到数学教材总是从建立公理、定义概念开始,一步步演绎出一系列的数学知识和方法,有的同学还能注意到教材中定理、公式出现的逻辑顺序,并从自己的学习经验中意识到用前一个定理的结果去推证后一定理(或推论),比用定义、概念出发去推证更为简易。所有这些实质上是对数学公理化思想的点滴意会。高中代数“不等式”一章着重介绍了两个重要不等式:定理1和定理2。其中定理2的证明用到初中因式分解一个要求较高的题目:“a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)”。学生对此觉得突然,能不能另辟

蹊经?能不能把定理2作为定理1的推论来证明?同学们经过尝试后很快就得到新的证法:a3+b3+c3≥3abc。验证各式等号成立的条件综合为a=b=c。学生的思维活动实质上是把公理化这一数学思想迁移概括到教材定理的推理论证,从而获得了新知。

三、数学概括能力的培养

1、必须重视数学知识发展过程的教学数学具有逻辑严谨的特点,新概念(新知识)往往是在原有概念(旧知识)的基础上引进和建立的。合理组织教学活动,加强新旧知识的联系是把新知识纳入学生原有认知结构实现知识迁移的重要途经。重视新知识(包括概念、定理、公式、法则等)的发生、发展、巩固和系统化(小结)的教学,从教材中发掘培养学生概括能力的因素,并利用它来提高学生数学知识的概括水平,这是让学生学习数学的一个关键。

2、必须重视解题思路的概括解题是学习数学的必要途经。对解法典型概括内容较多的数学题,教师帮助学生建立题型模式,使学生能识模、用模,熟练同类题目的解法思路。在这过程中教师要自己暴露(或让学生经历)从直觉思维到理性思维的过程,进行有层次的数学概括。同时教师不能满足于这种题型归类的浅层次概括,还应当从数学思想方法的高度对解题思路进行较高层次的概括。高考第一轮复习,在回顾各章节内容之前,先系统介绍数学思想方法,实践证明是有益的。非毕业年级的数学教学,以知识内容为载体,有条件地逐步渗透各种数学思想方法,对学生各种思维能力(包括数学概括能力)的提高也同样是有益的。