广东省东莞市第五高级中学2012届高三第二学期第一次月考数学(文)试卷

东莞市第五高级中学2012届高三第二学期第一次月考 （文科数学） 2012.2.9
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．复数2
)13(
i
i +-=（ ） A ．34i - B 。

34i -+ C 。

34i -- D 。

34i + 2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填入（ ）
A ． k ＞4?
B ．k ＞5?
C ． k ＞6?
D ．k ＞7? 3. 已知等差数列{a n }满足：35111380a a a a +++=，则a 8 =（ ）
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
4.函数0.5log (43)
y x =-的定义域为（ ）
A. (
3
4
,1)∪（1，+∞） B(
3
4
,∞) C （1，+∞） D.
( 3
4
,1) 5．设曲线2cos sin x y x -=
在点(,2)2
π
处的切线与直线10x ay ++=垂直，则a 等于( )
A ．2
B ．-2
C ．-1
D ．1
6．
5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ）
A 向左平移
3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标保持不变
B 向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标
伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变
C 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标
保持不变
D 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变
7．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中： ①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα⊥，α⊥l ,则β//l ③．若α//l ，α⊂m ,则m l //
④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m ， 其中真命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
8．与椭圆22
11216
x y +
=有共同焦点，且离心率互为倒数的双曲线方程是（ ） A ．2
2
13
x y -=
B 。

2233148y x -=
C ．2233148
x y -= D ．
2213y x -= 9. 已知平面上不重合的四点P ， A ，B ，C 满足0,PA PB PC AB AC mAP ++=+=且，那么实数m 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）
A ．y ＝[10x ]
B 。

y ＝[410x +]
C 。

y ＝[310x +]
D 。

y ＝[5
10
x +]
二．填空题（每小题5分，共20分）
11．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据
可知a ＝ 。

若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的
学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为
12. 已知π3(,π),sin ,25αα∈=则π
tan()4
α+=__ _．
13．已知向量→→b a ,满足2,1==→→b a ，222=-→→b a ，则→a 与→
b 的夹角为 选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分） 14.（坐标系与参数方程选做题）若P 是极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈的直线与参
数方程为2cos 1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，且R θ∈）的曲线的交点，则P 点的直角
坐标为 .
15.（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形ABCD 中，:1:2AE EB =, AEF ∆的面积为6,则ADF ∆的面积为 .
三．计算题（本大题共80分）
16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若tan 3A =
，
cos C =。

（1）求角B 的大小； （2）若4,c =求ABC ∆面积
17．（本小题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2．
表1:男生身高频数分布表
表2：:女生身高频数分布表
（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图； （2）估计该校学生身高在165180cm 的概率；
（3）从样本中身高在180190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm 之间的概率。

18．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 且
2
||55
a b -=
. （I ）求cos()αβ-的值；
（II ）若2
02
π<α<<β<π-,且5
sin 13
β=-,求sin α的值.
19．(本小题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：万元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，
60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点。

（1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ；
21．(本小题满分14分）已知,ln )(x x x f =a x x x g +-=
2
2
1)(． （1）当2=a 时，求]3,0[)(在函数x g y =上的值域；
(2) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； (3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有()12
ln x
g x x x e e
'+>
-成立 东莞市第五高级中学高三第二学期第一次月考参考答案
（文科数学）
一．选择题
题号 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D D A B A B C
二．填空题
11： 0.03 3人 12：
71 13： 2
π
14： （0，0） 15： 18 三．计算题： 16．（本小题满分12分）
解：（1）由cos sin tan 2C C C =
∴=∴= tan tan tan tan()11tan tan A C
B A
C A C
+=-+=-=-
又0B π<<，4B π
∴=
（2）由正弦定理sin sin b c B C =可得，sin sin c
b B C
=⨯=
由sin sin()sin()4
A B C C π
=+=+得，sin 10A =
所以∆ABC 面积1
sin 62
ABC S bc A ∆==
17.（本小题满分14分） 解：（1）样本中男生人数为40 ，
由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400． 频率分布直方图如右图示：
（2）由表1、表2知，样本中身高在165180cm 的学生人数为：
5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在165180cm 的
频率423705=
=f
故由f 估计该校学生身高在165180cm
的概率35
p ．
（3）样本中身高在180185cm 之间的男生 有4人，设其编号为①②③④ 样本中身高 在185190cm 之间的男生有2人，
设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：
故从样本中身高在180190cm 之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm 之间的可能结果数为9，因此，所求
概率93
155
p ==．
18．（本小题满分12分）
解：（I ）∵2
||55
a b -=,∴22425a a b b -+=，
又(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=,
∴2
2
1a b ==，
∴4
12(cos cos sin sin )15
αβαβ-++=
∴2
22cos()5αβ--=
∴3
cos()5
αβ-=
（II ）∵022
ππβα-<<<<,∴0αβπ<-<,又由（1）得3
cos()5αβ-=,
∴4
sin()5
αβ-= 又5sin 13β=-,02πβ-<< ∴12cos 13β=
∴sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=-+=-+-45=123533()135
13
65
⨯+⨯-=
19．（本小题满分14分）
解：（1）设商品降价x 万元，则多卖的商品数为2kx ， 若记商品在一个星期的获利为()f x ， 则依题意有2()(309)(432)f x x kx =--+
2(21)(432)x kx =-+，
又由已知条件，2242k =·，于是有6k =，
所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，
．
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：根据（1），我们有2()18252432f x x x '=-+-．
18(2)(12)x x =---
作出以下表格：
故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11264f =，则定价为
301218-=万元能使一个星期的商品销售利润最大．
20．（本小题满分14分） 解：（1）连BD ，四边形ABCD 菱形， ∵AD ⊥AB ， ∠BAD=60°
△ABD 为正三角形， Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ ∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，AD ⊥PQ
又BQ ∩PQ=Q ∴AD ⊥平面PQB ， AD ⊂平面PAD ∴平面PQB ⊥平面PAD
（2）当1
3
t =时，//PA 平面MQB
连AC 交BQ 于N
由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，1
2
AQ AN BC NC ∴
== //PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ， 平面PAC 平面MQB MN =，//PA MN
∴
13PM AN PC AC == 即：1
3
PM PC =
1
3
t ∴=
21．(本小题满分14分)
解：（1）∵)(x g =2
3
)1(212+-x , x ∈[0,3]
当1=x 时，23)1()(min ==g x g ；当3=x 时，2
7
)3()(max ==g x g
故)(x g 值域为]2
7
,23[
（2）'()ln 1f x x =+，当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e
∈+∞，
'()0f x >，()f x 单调递增．
① 102t t e
<<+<，t 无解； ② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e
==-；
③ 12t t e ≤<+，即1t e
≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；
所以min
1
10()1ln t e e
f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨
⎪≥
⎪⎩
， ，．
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