一次函数与反比例函数

一次函数与反比例函数

第一部分 知识梳理

一、一次函数和反比例函数的解析式

1．一次函数的定义：函数y= kx+b (k 、b 为常数，k ≠0，自变量x 的次数是1次)叫做一次函数。

2．一般地，函数x

k

y =

（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1

-=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

二、一次函数和反比例函数的图像

1．一次函数y=kx+b 的k 、b 的值对一次函数图象的影响。 y

① k ﹥0，b ﹥0， y ＝kx +b 的图象在一、二、三象限； ② k ﹥0， b ﹤0， y ＝kx +b 的图象在一、三、四象限； ③ k ﹤0，b ﹥0， y ＝kx +b 的 图象在一、二、四象限； ④ k ﹤0， b ﹤0， y ＝kx +b 的图象在二、三、四象限。 2．反比例函数的性质

3．反比例函数中反比例系数的几何意义 ①过双曲线x

k

y =

(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k 。 第二部分 例题与解题思路方法归纳

类型一 一次函数的图像与性质

【例题1】已知一次函数y=（6+3m ）x+n ﹣4． （1）当m 、n 为何值时，函数的图象过原点？

（2）当m 、n 满足什么条件时，函数的图象经过第一、二、三象限？

〖选题意图〗本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注

意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．

〖解题思路〗（1）将点（0，0）代入一次函数解析式y=（6+3m）x+n﹣4求得n值，利用一次函数的性质知系数6+3m≠0求得m值；

（2）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第一、二、三象限时，6+3m＞0，且n ﹣4＞0，据此求m、n的值．

〖参考答案〗解：（1）∵一次函数y=（6+3m）x+n﹣4的图象过原点，

∴6+3m≠0，且n﹣4=0，

解得，m≠﹣2，n=4；

（2）∵该函数的图象经过第一、二、三象限，

∴6+3m＞0，且n﹣4＞0，

解得m＞﹣2，n＞4．

【课堂训练题】

1．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x 轴交于点C，则△ABC的面积为．

〖参考答案〗解：因为直线y=﹣x+4中，b=4，故A点坐标为（0，4）；

令﹣x+4=0，则x=3，故D点坐标为（3，0）．

令x+=0，则，x=﹣1，故C点坐标为（﹣1，0），

因为B点为直线y=﹣x+4直线y=x+的交点，

故可列出方程组﹣

，解得，故B点坐标为（，2），

故S△ABC=S△ACD﹣S△BCD=CD•AO﹣CD•BE=×4﹣×4×2=4．

2．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为．

〖参考答案〗解：由题意可知当直线y=﹣2x+b经过A（1，1）时b的值最小，即﹣2×1+b=1，b=3；

当直线y=﹣2x+b过C（2，2）时，b最大即2=﹣2×2+b，b=6，故能够使黑色区域变白的b 的取值范围为3≤b≤6．

3．已知直线l n：y=﹣+（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l1：y=﹣2x+1与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1，（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S1；当n=2时，直线l2：y=﹣x+与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为S2；…依此类推，直线l n与x轴和y轴分别交于点A n和B n，设△A n OB n的面积为S n．则s1+s2+s3+s4+s5=；S n=．

〖参考答案〗解出l1、l2、l3、l4…l n的解析式为l1：y=﹣2x+1，l2：y=﹣x+，

l3：y=﹣x+，l4：y=﹣x+，l5：y=﹣x+…

l n：y=﹣+（n是不为零的自然数）．

于是S1=1××=；

S2=××=；

S3=××=；

S4=××=；

S5=××=…

．

S n=××=

（）

s1+s2+s3+s4+s5=++++=．

4．（2011•绍兴）在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．

（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；

（2）若和谐点P（a，3）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b 的值．

〖参考答案〗（1）解：∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），

∴点M不是和谐点，点N是和谐点．

（2）解：由题意得：当a＞0时，（a+3）×2=3a，∴a=6，

点P（a，3）在直线y=﹣x+b上，代入得：b=9

当a＜0时，（﹣a+3）×2=﹣3a，

∴a=﹣6，

点P（a，3）在直线y=﹣x+b上，代入得：b=﹣3，

∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3．