2018高考总复习数学(理科)课件：第二章 第9讲 幂函数

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2．幂函数的图象
五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x ，y＝x 象，如图 291．
1 2
－1
的图
图 2-9-1
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3．幂函数y＝xα的图象 在第一象限内，直线 x＝1 的右侧，图象由下至上，指数α 由小到大；y 轴和直线 x＝1 之间，图象由上至下，指数α由小到
2
m2 m1
，求当 m 为何值时，
(2)f(x)是正比例函数；
(3)f(x)是反比例函数；
(4)f(x)是二次函数.
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解：(1)若 f(x)为幂函数， 则 m2＋2m＝1．∴m＝－1± 2. (2)若
2 m ＋m－1＝1， f(x)为正比例函数，则 2 m ＋2m≠0
1 2
－1
解析：y＝x2 为偶函数，对应②；y＝x 定义域 x≥0，对应 ③；y＝x－1 为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3 与 y＝x 均为奇函数，但 y＝x3 比 y＝x 增长率大，故①对应 y ＝x3.
⇒m＝1．
(3)若
2 m ＋m－1＝－1， f(x)为反比例函数， 则 2 m ＋2m≠0
⇒m＝－1．
(4)若 f(x)为二次函数，
2 m ＋m－1＝2， 则 2 m ＋2m≠0
－1± 13 ⇒m＝ . 2
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考点2 幂函数的图象 例2：请把如图 2-9-3 所示的幂函数图象的代号填入下面的 表格内.
1 1 m> ，或m<－2， －2<m< ， 2 即 2 或 0<m<2， m>2，或m<0.
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1 ∴2<m<2，或－2<m<0. ∵m∈N*，∴m＝1．此时 f(x)＝x3，x∈R. ∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
B )
3 1 1 A． 3 B． 3 C．3 D．9 4．如图 2-9-2，曲线是幂函数 y＝xα在第一象限内的图象.
1 已知 α 分别取－ 1,1 ， 2 ， 2 四个值，则相应图象依次为： c4，c2，c3，c1 ． ________________
图 2-9-2
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考点1
A
B
C
D
E
F
图2-9-3
G
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H
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①y＝x ；②y＝x－2；③y＝x ；④y＝x－1； ⑤y＝x ；⑥y＝x ；⑦y＝x ；⑧y＝x .
函数代号 图象代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
1 3 4 3 1 2 5 3
2 3
1 2
答案：E C
A G B
D H
F
【规律方法】(1)探讨幂函数图象的分布规律，应先观察图 象是否过原点，过原点时α>0，否则α<0；若α>0，再观察图象 是上凸还是下凸，上凸时0<α<1，下凸时α>1；最后由x>1 时，
[0，＋∞) ________
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1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( C ) A．(0,0) C．(1,1) B．(0,1) D．(－1，－1)
1 3
2．函数 y＝x 的图象是(
B )
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3．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则
1 f3＝(
考纲要求
考情风向标 从多年的高考试题来 看，幂函数一般不单独 命题， 而常与指数函数、 对数函数交汇命题，重 点考查函数的单调性 (比较大小).命题形式一 般为选择题、填空题中 的一部分
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1．幂函数的定义
一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自 变量，α是常数.
*
幂函数的概念
2
2 m 2 3 m 2
x 例 1：已知 m∈N ，函数 f(x)＝(2m－m )·
在(0，
＋∞)上是增函数，判断函数 f(x)的奇偶性.
解：由函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
2 2 m ＋3m－2>0， 得 2 2 m － m >0， 2 2 m ＋3m－2<0， 或 2 2 m － m <0，
α的值按逆时针方向依次增大得出结论.
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(2)幂函数 y＝xα(α∈R)的图象如下表：
q α＝p p，q 都 是奇数 p 为奇数， q 为偶数 p 为偶数， q 为奇数
α<0
0<α<1
α>1
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【互动探究】 2．下面给出 4 个幂函数的图象(如图 2-9-4)，则图象与函数
大.
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4.五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x ，y＝x－1 的
性质
幂函数 y＝x y＝x
2 3
1 2
－1
1 2
y＝x
y＝ x
y＝x
(－∞，0)∪ R R R 定义域 (0，＋∞) ______________ (－∞，0)∪ R R 值域 [0，＋∞) [0，＋∞) (0，＋∞) ______________ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在(－∞，0)上， 在(－∞，0)上， 单调 单调递减； 单调 单调递减； 单调性 单调递增 递增 在(0，＋∞)上， 递增 在(0，＋∞)上， 单调递减 ____________ 单调递增 (1,1) 定点 (0,0)，(1,1)
【规律方法】(1)幂函数 y＝xα的特点： ①系数必须为 1；②指数必须为常数. (2)幂函数的单调性：①α>0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函 数；②α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课堂总结
【互动探究】
1．已知函数 f(x)＝(m ＋2m)· x
(1)f(x)是幂函数；
的大致对应是(
)
图2-9-4
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A．①y＝x ；②y＝x2；③y＝x ；④y＝x－1 B．①y＝x3；②y＝x2；③y＝x ；④y＝x
1 2 1 2
－1
1 3
1 2
C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝x ；④y＝x－1 D．①y＝x ；②y＝x ；③y＝x2；④y＝x
1 2
1 3
第9讲 幂函数
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考点分布 1． 了解幂函数的概 2014 年 新 课 标 卷 Ⅰ第 15 题以分段 念. 2．结合函数 y＝x，函数为背景，考查 y＝x2，y＝x3，y＝ 指数函数、幂函数 1 的单调性； －1 x ，y＝x 2 的图象，2016 年 新 课 标 卷 了解它们的变化情 Ⅲ第 7 题考查比较 况 大小