(优辅资源)湖北省天门、仙桃、潜江三市高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

2016~2017学年度第二学期期末联考试题
高二数学(文科)
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．若复数z 满足(2i)|12i |z -=+，则z 的虚部为
A
B
C ．1
D ．i 2．已知集合2{|0}A x x x =+>，集合2{|,}21
x
B y y x ==
∈+R ，则()
U
A B =ð
A ．[0,2)
B ．[1,0]-
C ．[1,2)-
D ．(,2)-∞
3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则
“a b ⊥”是“αβ⊥”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知命题:,23x x p x ∀∈<R ；命题32:,1q x x x ∃∈=-R ，则下列命题中为真命题的是
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝ 5．与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线方程为
A ．3450x y +-=
B ．3450x y ++=
C ．3450x y -+=
D ．3450x y --=
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A
． B
．
C
D
7．若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=
至多有一个交点，则双曲线的离心率为
天门 仙桃 潜江
A
．(1, B
．(1, C ．(1,2] D ．(1,4]
8．设x ，y 满足约束条件70,
310,250,
x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪--≥⎩
则y z x =的最大值是
A ．52
B ．34
C ．43
D ．25
9．若抛物线22(0)y px p =>上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为
A ．24y x =
B ．236y x =
C ．24y x =或236y x =
D ．28y x =或232y x =
10．公元前300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示。

若输入m =98，n =63，则输出的m = A ．7
B ．28
C ．17
D ．35
11．在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，ABC ∆为等边三角形，PA AB =，E 是PC 的
中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为
A ．16
B ．14
C ．13
D ．12
12．已知函数3()3f x x x =-，则函数()[()]h x f f x =的零点个数是
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的
横线上）
13．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如
下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-．据此估计，该社区一
户年收入为15万元家庭的年支出为 ▲ ． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =-，则
8
6
a a = ▲ ． 15．设圆222x y +=的切线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最
小值时，切线l 的方程为 ▲ ．
16．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]3,[ 4.3]5π=-=-．给出下列命题：
①对任意实数x ，都有[]0x x -≤； ②若12x x ≤，则12[][]x x ≤； ③[lg1][lg 2][lg3][lg100]90++++=；
④若函数21
()2
12x x f x =
-+，则[()][()]y f x f x =+-的值域为{1,0}-．
其中所有真命题的序号是 ▲ ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）
已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和414S =，且137,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n T 为数列1
1{}n n a a +的前n 项和，若1n n T a λ+≤对n *∀∈N 恒成立，求实数λ的最小值．
18．（本小题满分12分）
在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行
学生互评。

某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1 男生 表2 女生
（Ⅰ）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中合格恰有1人测评等级
为合格的概率；
（Ⅱ）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结
果优秀与性别有关”．
参考数据与公式：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
临界值表：
19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF
是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，∠BAD =∠CDA =90o ， 122
AB AD DE CD ====，M 是线段AE 上的动点．
（Ⅰ）试确定点M 的位置，使AC//平面MDF ，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，求平面MDF 将几何体ADE BCF -分成两部分的体积之比．
20．（本小题满分12分）已知函数2()ln 4,()3f x a x x g x x =-=--． （Ⅰ）求函数()f x 在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）若存在20[e,e ]x ∈，使得00()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条
曲线上各取两个点，其坐标分别是(3,-，(2,0)-，(4,4)-，．
（Ⅰ）求1C ，2C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交于不同的两点M ，N 且满
足OM ON ⊥？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．
请考生在22，23两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。

做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）【选修4—4坐标系与参数方程选讲】
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合。

曲线
11:
x C y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为cos 28cos ρρθθ=+． （Ⅰ）将曲线1C ，2C 分别化为普通方程、直角坐标方程，并说明表示什么曲线； （Ⅱ）设F （1，0），曲线1C 与曲线2C 相交于不同的两点A ，B ，求||||AF BF +的值．
23．（本小题满分10分）【选修4—5不等式选讲】
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）已知a b
≥a．
天门、仙桃、潜江2016~2017学年度第二学期期末联
考
高二数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分） CABBB BCBCA BD
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．11.8万元 14．4 15．20x y +-= 16．①②④
三、解答题（70分）
17．解：（Ⅰ）设公差为,(0)d d ≠
由已知得12
111
4614
(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩………………………………3分
解得1d =或0d =（舍去），则12a =，故1n a n =+………………………6分
（Ⅱ）因为11111(1)(2)12
n n a a n n n n +==-++++ 所以1111112334
122(2)
n n T n n n =-+-+
+
-=+++…………………9分 因为1n n T a λ+≤对n *∀∈N 恒成立， 即(2)2(2)
n n n λ≤++对于n *∀∈N 恒成立
又
211142(44)16
2(2)2(4)n n n n
=≤=⨯++++
所以λ的最小值为116
…………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）设从高一年级男生中抽出m 人， 则45500500400
m =+，25m =
所以25205x =-=，20182y =-=…………………………………………2分
表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a ，b ，c ，尚待改进的人为A ，B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为（a ，b ），（a ，c ），（a ，A ），（a ，B ），（b ，c ），（b ，A ），（b ，B ），（c ，A ），（c ，B ），（A ，B ），共10种………4分
设事件C 表示“从表2的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等
级为合格”，则C 的结果为（a ，A ），（a ，B ），（b ，A ），（b ，B ），（c ，A ），（c ，B ），共6种………………………………………………………………………………… 6分
所以63()105P C ==，故所求的概率为35 (8)
分
（Ⅱ）
∵10.90.1-=，2( 2.706)0.10P K ≥=，
222
2
45(1551510)451559 1.125 2.70630152520301525208
K ⨯⨯-⨯⨯⨯=
===<⨯⨯⨯⨯⨯⨯…………11分
∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”……………………12分
19．解：（Ⅰ）当M 是线段AE 的中点时，AC //平面MDF ，证明如下： 连接CE ，交DF 于点N ，连接MN ，
由于M ，N 分别是AE ，CE 的中点， 所以MN//AC ，
由于MN ⊂平面MDF ，
又AC ⊄平面MDF ，
所以AC//平面MDF ………………………………………………4分
（Ⅱ）如图，将几何体ADE BCF -补成三棱柱ADE B CF '-，
三棱柱ADE B CF '-的体积为 122482
ADE V S CD ∆==⨯⨯⨯=
则几何体ADE BCF -的体积
ADE BCF ADE B CF F BB C V V V ''---=-几何体棱柱三棱锥
………
…10分
11208(22)2323=-⨯⨯⨯⨯=
故两部分的体积之比为42041:()3334
-=（答1:4，4，4:1均可）……12分
20．解：（Ⅰ）()4a f x x '=-…………………………………………………………1分
(1)4,(1)4f a f '=-=- ………………………………………………2分
故切线方程为(4)y a x a =-- ………………………………………4分
（Ⅱ）设2()()()ln 43,(0,)h x f x g x a x x x x =-=+-+∈+∞ 则2
24()24a x x a h x x x x
-+'=+-=……………………………………5分
①若1680a ∆=-≤，即2a ≥，则()0h x '≥， 则()h x 在(0,)+∞上单调递增
又(1)0h =，即对2[e,e ]x ∈，()()f x g x >恒成立，不符舍去………7分 ②若0∆>，即2a <，
则令()0h x '>得1x >，
令()0h x '<得01x <<+
则()h x 在(0,1上单调递减，在(1)
+∞上单调递增 (9)
分
又(1)0h =，则要使存在20[e,e ]x ∈，使得00()()f x g x <成立，
必有(e)0h < (10)
分
即22e 4e 30,e 4e 3a a +-+<<-+-
综上所述，a 的取值范围为（2,e 4e 3-∞-+-）…………………………12分
21．解：（Ⅰ）设抛物线2
2:2(0)C y px p =≠，则有2
2(0)y p x x
=≠，
据此验证四个点知(3,-，(4,4)-在抛物线上，
易得，抛物线2C 的标准方程为22:4C y x =………………………………2分
设椭圆22
221:1(0)y x
C a b a b
+=>>，
把点(2,0)-，代入可得224,1a b ==
所以椭圆1C 的标准方程为2
214
x y +=……………………………………5分
（Ⅱ）由椭圆的对称性可设2C 的焦点为F （1，0） 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =
直线l 交椭圆1C 于点(1,M N
0OM ON ≠，不满足题意…………………………………………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，
并设1122(,),(,)M x y N x y
由22
(1)
44y k x x y =-⎧⎨+=⎩
，消去y 得 2222(1)84(1)0k x k x k +-+-=，
于是22
22
12124(1)8,1414k k x x x x k k -+==++
2
2
12314k
y y k -=+ ①
由OM ON ⊥得12120x x y y += ②
将①代入②式，得222
222
4(1)340141414k k k k k k ----==+++ 解得2k =±
所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为220x y --=或220x y +-=…12分
22．解：（Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程得1y x =-+，表示一条直线．
曲线2C 的方程可变形为22sin 4cos ρθρθ=， 化为直角坐标方程可得24y x =
曲线2C 表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线……………………5分 （Ⅱ）由21
4y x y x
=-+⎧⎨=⎩，消去y ，可得2610x x -+=
设1122(,),(,)A x y B x y ，则126x x +=
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易知F （1，0）为曲线2C 的焦点
所以||||AF BF +=1212(1)(1)28x x x x +++=++= (10)
分 23．解：（Ⅰ） 所以min ()(1)1b f x f ==-=………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1b =，设1(0)a m m =+≥，则
=
=
1m a ≥+=…………10分
s。