两类带形状参数的混合Coons类曲面的构造与应用

中南大学
硕士学位论文
两类带形状参数的混合Coons类曲面的构造与应用
姓名：***
申请学位级别：硕士
专业：计算数学
指导教师：***
20091204
摘要
在自由曲线曲面造型中，Ｃｏｏｎｓ曲面片作为一种插值曲面的生成方法具有深远的意义．其中双三次Ｃｏｏｎｓ曲面片已经在工程上得到广泛的应用．本文针对Ｃｏｏｎｓ曲面片的应用进行拓展研究．
本文首先给出了由多项式函数与三角函数组成的两个混合空间，接着分别在给出的两个混合空间上构造了两组带形状参数的混合函数，并分析了这两组函数的性质及其优化问题．然后在此基础上分别构造了两类混合Ｃｏｏｎｓ类曲面片．所构造的曲面片兼具以多项式为基函数和以三角函数为基函数所构造的插值曲面的优点．此外，所构造的曲面片不仅具有双三次Ｃｏｏｎｓ曲面片的良好性质，而且带有自由参数，在边界条件固定的情况下，可通过调控自由参数实现曲面片内部形状的控制，更适合自由型曲面的设计．特别地，所构造的两类曲面片都能精确地表示圆环面、椭球面、球面等二次曲面，而传统的多项式曲面片只能对这些二次曲面作近似逼近．最后，本文以第一类混合Ｃｏｏｎｓ类曲面片为例研究了两片Ｃｏｏｎｓ曲面片的Ｇ１光滑拼接问题，给出了两片混合Ｃｏｏｎｓ类曲面片三种方向光滑拼接的几何条件，并给出了相关算法及实例．因此本文所构造的曲面片是一种比较实用的曲面造型方法．
关键词Ｃｏｏｎｓ曲面片，混合函数，形状参数，圆环面，Ｇ１光滑拼接
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
Ｉｎｔｈｅｍｏｄｅｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｏｆｆｌｅｅ
ｃｕｒｖｅｓａｎｄｓｕｒｆａｃｅｓ，ｃｏｏｎｓｓｕｒｆａｃｅｐａｔｃｈａｓａｍｅｔｈｏｄｏｆｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｆｏｒｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇｓｕｒｆａｃｅｈａｓｔｈｅｐｒｏｆｏｕｎｄｍｅａｎｉｎｇｓ．Ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ，ｂｉｃｕｂｉｃＣＯＯＮＳｓｕｒｆａｃｅｐａｔｃｈｈａｓｂｅｅｎａｐｐｌｉｅｄｏｎｔｈｅｐｒｏｊｅｃｔｗｉｄｅｌｙ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｓｔｈｅｅｘｐａｎｄｉｎｇｓｏｆｃｏｏｎｓｓｕｒｆａｃｅｐａｔｃｈｅｓｉｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．
Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｔｗｏｂｌｅｎｄｉｎｇｓｐａｃｅｓ
ｃｏｍｐｏｓｅｄｂｙｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｂａｓｉｓ
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ＫＥＹＷＯＲＤＳｃｏｏｎｓｓｕｒｆａｃｅｐａｔｃｈ，ｂｌｅｎｄｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｓｈａｐｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，
ｔｏｒｕｓ，Ｇ１ｓｍｏｏｔｈｓｐｌｉｃｅ
ＩＩ
原创性声明
本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。

与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。

作者签名：查塞日期：么蠼一年监月互日
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作者签名：擅导师签名盎垫塾ｆｔｔｉ：缁年堡月皇日
第一章绪论
１．１研究背景
ＣＡＧＤ是一门迅速发展的新兴学科，它的出现和发展既是现代工业发展的要求，又对现代工业的发展起了巨大的促进作用，自由曲线曲面造型【ｌ。

４】是ＣＡＧＤ的一项重要内容，其核心问题是计算机的表示，即要解决既适合计算机处理，能有效地满足形状表示与几何设计的要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述．基于这些要求，自由曲线曲面就成了描述形状信息的主要工具．它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等外形放样工艺．２０世纪６０年代Ｃｏｏｎｓ、Ｂ６ｚｉｅｒ等大师奠定了其理论基础．１９６３年Ｆｅｒｇｕｓｏｎ［５１首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参数三次曲线，构造了由四个角点的位置及两个方向切矢定义的Ｆｅｒｇｕｓｏｎ双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式．
ＣＡＧＤ中的曲面大致分为两大类：（１）以Ｂ６ｚｉｅｒ，Ｂ－ｓｐｌｉｎｅ曲面为代表的基于控制网格的曲面，曲面的形状逼近或插值与网格的控制顶点有关．这类曲面的变形主要依靠改变控制顶点的空间位置，如果曲面的形状比较复杂，控制顶点的数量就会很庞大，控制顶点的操控就比较困难．（２）以Ｆｅｒｇｕｓｏｎ，Ｃｏｏｎｓ，Ｇｏｒｄｏｎ曲面为代表的可以插值于边界曲线或角点，以及边界上若干阶跨界导矢的曲面。

这类曲面通过改变这些边界条件来实现变形，相对于控制网格的曲面而言，基于边界条件的曲面变形操作起来更为简单易行而且意义直观，曲面的数据量也比较小，由于可以直接指定边界和跨界导矢，容易实现曲面之间的拼接．第（２）类曲面的变形自由度要比第（１）类小，无法直接构造出形状比较复杂的曲面．但在工业领域中，由于许多曲面的形状都比较简单，所以他仍是一种重要的造型手段．在设计和加工飞机、汽车、船舶和其它产品的自由曲面时首先遇到的问题是以何种数学模型表示这些曲面．在造船业，人们试图用数学函数表达船体的整张曲面，虽经百年努力未果．因为船体表面除规则曲面外，尚包含更为复杂的自由曲面，欲应用单一的数学函数表达如此复杂的曲面几乎是不可能的．若将整张曲面分解为若干曲面片，每张曲面片由满足给定边界约束的方程表示，则可简化自由曲面的构造．理论上，采用这种分片技术，任何复杂曲面都可以由完善定义的曲面
拼合而成【ｌ】．
Ｃｏｏｎｓ曲面方法是２０世纪６０年代由美国麻省理工学院的Ｃｏｏｎｓ提出的自由型曲面设计方法，他在他的著名“小红书＂（指技术报告ＡＤ６６３５０４）里【６】详细介绍了他的这一独特的曲面构造方法．Ｃｏｏｎｓ是采用了参数方法和分片技术，其方法理论严密、描述能力强，对自由曲面造型技术的发展具有深远的意义．Ｃｏｏｎｓ曲面的主要想法是在被逼近的曲面上通过网格截取一块块曲面片上的边界曲线，然后用简单的参数曲面片（即Ｃｏｏｎｓ曲面）来拟合，代替被逼近的曲面，并达到适当的光滑连接．这样做简化了计算机上的曲面设计工作，通过人和计算机的对话，不断修改和增加控制曲面形状的边界曲线以达到设计所要求的曲面．与其它曲面构造方法不同的是，Ｃｏｏｎｓ直接采用可以是任意类型参数曲线的四条边界曲线来构造曲面．即Ｃｏｏｎｓ曲面不是插值边界曲线上有限数据信息，而是插值两组边界上无限多个点，戈登（Ｇｏｒｄｏｎ）称这种方法为超限插值（ｔｒａｎｓｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｏｉｎ）【７】．Ｃｏｏｎｓ曲面从而成为曲面造型的主要工具．
１．２ＣＡＧＤ中参数曲线曲面造型的研究现状
长期以来，自由曲线曲面是整个ＣＡＧＤ的基础．１９６４年，Ｓｃｈｏｅｎｂｅｒｇ提出了样的概念【８ｌ，用来形状描述的样条方法是样条函数的参数形式，参数样条方法可以处理斜率为无穷大的情况，具有几何不变性，便于坐标变换和易于处理多值曲线用其构造插值曲线或插值曲面具有良好的效果．样条方法在构造整体达到某种参数连续阶的曲线曲面非常方便，但是它没有局部形状调整的自由度，其形状难以预测．１９７１年法国雷诺（Ｒｅｎａｕｌｔ）汽车公司的Ｂ６ｚｉｅｒ提出了一种由控制多边形定义曲线的新方法【９Ｉ．只要移动控制顶点就可以方便地修改曲线的形状，而且形状的变化完全在预料之中．Ｂ６ｚｉｅｒ方法简单易行，出色地解决了整体形状控制问题．Ｂ６ｚｉｅｒ方法在ＣＡＧＤ学科中占有重要的地位，它把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础，但Ｂ６ｚｉｅｒ方法仍存在连接问题，还有局部修改问题，而且当特征多边形边数较多时，多边形对曲线的控制减弱．１９７２年，ｄｅＢｏｏｒ给出了关于Ｂ样条的一套标准算法【ｌｏｌ，１９７４年Ｇｏｒｄｏｎ和Ｒｉｅｓｅｎｆｅｌｄ又把Ｂ样条理论应用于形状描述，最终提出了Ｂ样条方法．它几乎继承了Ｂ６ｚｉｅｒ方法的一切优点，克服了Ｂ６ｚｉｅｒ方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面问题形状的描述问题得到较好的解决．然而在飞机外形设计与绝大多数机械零件加工中经常遇到许多由二次曲线表示的形状，机械零件、塑料制品中圆柱面、圆锥面、圆环面等二次曲面及平面构成的形状比比皆是．Ｂ样条方法在表示与设计自由曲线曲面形状时显示了强大
２
的威力，然而在表示和设计这些由二次曲线曲面构成的形状时却遇到了麻烦．１９７５年，年美国Ｓｙｒａｃｕｓｅ大学的Ｖｅｒｓｐｒｉｌｌｅ在他的博士论文中【ｌｌ】首次提出ＮＵＲＢＳ方法．后来主要由Ｔｉｌｌｅｒｔｌ２】、Ｐｉｅｇｌｔｌ３－１９１、Ｃ办Ｄ一２０１、Ｇｒａｂｏｗｓｋｉ［２１Ｉ和Ｆａｒｉｎ等人的工作，使ＮＵＲＢＳ方法成为用于益线曲面描述的最广为流传的数学方法．ＮＵＲＢＳ方法不仅具有Ｂ样条曲线形状局部可调及连续阶数可调的优点，而且具有有理Ｂ６ｚｉｅｒ曲线可精确表示二次规则曲线曲面的优点，它可以用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其他非有理方法无法做到这一点；它还具有可影响曲线曲面局部或整体形状的形状控制参数，即权因子，使形状更适宜于控制和表现；在权因子或节点向量取某些特殊值时，可退化为Ｂ６ｚｉｅｒ曲线曲面、有理ＢＳｚｉｅｒ曲线曲面和Ｂ样条曲线曲面。

由于ＮＵＲＢＳ方法具有这些突出优点，１９９１年国际标准化组织（ＩＳＯ）颁布了工业产品数据交换的ＳＴＥＰ国际标准，将ＮＵＲＢＳ方法作为工业产品几何形状的唯一数学定义，从而使ＮＵＲＢＳ方法成为参数曲面造型技术发展趋势中最重要的基础，而国际上著名的ＣＡＤ软件公司也把曲线曲面造型系统首先建立在ＮＵＲＢＳ的数学模型上．
在ＣＡＧＤ中，为了更好的提高曲线曲面形状、位置调整的灵活性、交互性和自由度，各种曲线曲面造型方法的扩展问题成为近来ＣＡＧＤ研究中的热点问题，提出了很多带形状控制因子的曲线曲面构造方法１２２－２７１．如Ｂ６ｚｉｅｒ曲线曲面的扩展［２８－３１１、Ｂ样条曲线曲面的扩展１２２－２３ｉ、三角Ｂ－Ｂ曲面的扩展ｍ１等．此外，这种带形状控制因子的曲线曲面还可以在多项式与三角多项式的混合空间中生成１２５－２６１．通过形状参数的不同取值可对曲线曲面作整体调控．刘值则将其推广成ｎ次Ｂａｚｉｅｒ曲线的扩剧”１；韩旭里等提出带一个形状参数的三次均匀Ｂ样条曲线的扩剧３４１；王文涛等则将其推广成ｒ１次Ｂ样条曲线的扩剧”１；所有这些扩展的共同特点是它们比普通Ｂ６ｚｉｅｒ曲线或Ｂ样条曲线的次数升高一次，并且都带一个形状参数．此外，这种带一个形状参数的曲线曲面还可以在三角多项式空耐２２－２３１，以及多项式与三角多项式混合空间【３６Ｉ中生成．
在文献［２５］中以｛１，ｒ，ｓｉｎｔ，ｃｏｓｔ｝为基底构造了低阶Ｃ－Ｂ６ｚｉｅｒ曲线和Ｃ—Ｂ样条曲线，文献［２９］将Ｃ－Ｂ６ｚｉｅｒ曲线和Ｃ－Ｂ样条曲线推广到了ｎ阶，分别在空间瓦＝ｓｐａｎ｛１，ｔ，．．．ｔｎ－２＇ｓｉｎｔ，ｃｏｓｔ｝和￡－１＝ｓｐａｎ｛１，ｆ，．．．，ｔｎ－３，ｓｉｎｔ，ｃｏｓｔ）上定义了Ｃ—Ｂ６ｚｉｅｒ基和Ｃ－Ｂ样条基（ＮＵＡＴＢ样条基）．Ｃ－Ｂ６ｚｉｅｒ曲线和Ｃ—Ｂ样条曲线继承了Ｂ６ｚｉｅｒ曲线和Ｂ样条曲线的许多良好性质，如端点插值、导矢、凸包、离散、变差缩减性等，更重要的是它们还实现了用统一的方式来表示自由曲线、圆锥曲线与超越曲线，极大地方便了工程设计，可应用于ＣＡＤ／ＣＡＭ领域．
综上所述，自由曲线曲面技术是ＣＡＧＤ的核心．前人在自由曲线曲面造型中的研究为曲线曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础．
１．３课题研究的目的和意义
Ｃｏｏｎｓ曲面自诞生以来主要是以曲面片的形式应用于车船飞机的外形设计，双三次Ｃｏｏｎｓ曲面片是其最普遍的应用形式，但变形自由度小，一旦边界曲线确定了，就只能通过改变角点扭矢作有限的变形．迄今为止，有关Ｃｏｏｎｓ曲面的研究主要围绕在曲面片的应用上，而把它作为自由曲面来研究其变形方法的还很少．事实上，在应用Ｃｏｏｎｓ曲面进行自由曲面造型时还有很多问题需要解决，Ｃｏｏｎｓ曲面片应用的关键是曲面内部形状的控制，除了边角条件之外，控制函数是影响Ｃｏｏｎｓ曲面形状的另一因素．如何构造控制函数，控制函数对曲面会有怎样的影响是值得研究的课题．到目前为止，Ｃｏｏｎｓ曲面的控制函数大多采用的是多项式基，传统的多项式曲面片虽然在表示与设计曲面时显示出强大的表现形式，但在精确表示圆环面、椭球面、球面等二次曲面时却无能为力，只能作近似逼近．这样在高阶的情况下曲面次数就会很高，需要用特殊的算、法【３７】来计算，而选用其他形式的基函数［３６，３８。

４５１往往能避免这些缺陷．本文给出了Ｃｏｏｎｓ曲面的扩展，构造了两组混合函数，在此基础上分别构造了两类带形状参数的混合Ｃｏｏｎｓ类曲面片．所构造的曲面片不仅具有双三次Ｃｏｏｎｓ曲面片的性质，而且可通过调控形状参数得到不同的曲面片．另外所得曲面片还能精确表示圆环面、椭球面、球面等二次曲面片，这样的曲面片也易于光滑拼合构造复杂曲面，满足不同的需求．
１．４本文的主要研究内容
本文针对Ｃｏｏｎｓ曲面在进行自由曲面造型时遇到的问题进行研究，在前人研究的基础上，着重研究了在多项式函数与三角函数的混合函数空间中Ｃｏｏｎｓ类曲面的构造、性质及应用．全文共分五章，第一章是对本文的研究背景，ＣＡＧＤ中参数曲线曲面造型的研究现状和发展及本课题研究的目的和意义进行了综述．第二章依次阐述了第一类、第二类、第三类Ｃｏｏｎｓ曲面以及双三次Ｃｏｏｎｓ曲面的构造过程及特点，讨论了影响双三次Ｃｏｏｎｓ曲面形状调整的因素．第三章给出了两组混合函数，并分析了这两组函数的性质．在此基础上分别构造了两类带形状参数的混合Ｃｏｏｎｓ类曲面片．所构造的曲面片不仅具有双三次Ｃｏｏｎｓ曲面片的性质，而且带有形状参数，可通过调整形状参数得到不同的曲面片．另外，所得曲面还能精确表示圆环面、椭球面等二次曲面．第四章以第一类带形状参数的混合Ｃｏｏｎｓ类曲面片为例研究了Ｃｏｏｎｓ类曲面片的光滑拼接问题，建立了具有公共边界曲线的两张Ｃｏｏｎｓ类曲面片Ｇ１光滑拼接条件，并给出了相关算法及实例．第
４
五章是对全文的工作、创新点和理论、实际意义做一个总结，并展望今后的研究工作．
５
中南大学硕士学位论文第二章Ｃｏｏｎｓ曲面
第二章Ｃｏｏｎｓ曲面
本章对Ｃｏｏｎｓ曲面作以系统的介绍．依次阐述第一类、第二类、第三类Ｃｏｏｎｓ曲面以及双三次Ｃｏｏｎｓ曲面，着重说明其构造原理．最后介绍了影响双三次Ｃｏｏｎｓ曲面形状调整的因素．
２．１具有给定边界的Ｃｏｏｎｓ曲面片
２．１．１曲面表示法与记号
为了便于介绍Ｃｏｏｎｓ曲面的构造原理，我们先扼要归纳曲面的表示法与记号．
１）曲面上的点＠，Ｙ，ｚ）可表示为双参数甜和１，的函数ｐ（ｕ，１，）：
ｐ（ｕ，Ｖ）＝【ｘ（ｕ，功，ｙ（ｕ，ｖ），ｚ（ｕ，Ｖ）】，“，’，∈【Ｏ，１】．
２）令１，＝％，则ｐ（ｕ，Ｖｏ）是曲面上一条以材为参数的曲线，称为甜向线或甜线．％的值由０变化至１，可得一组Ｕ向线，由此构成整张曲面片．类似地，参数Ｕ由０变化至１，可得到一组ｖ向线，同样构成了整张曲面片．
３）曲面片的四条边界曲线为ｐ（ｕ，Ｏ），ｐ（ｕ，１），ｐ（Ｏ，１，）和ｐ（１，１，），见图２．１．
啉
ｐＯ．０Ｉ
图２．１曲面的表示法与记号
４）曲面片的四个角点为ｐ（０，０），ｐ（Ｏ，１），ｐ（１，ｏ）和ｐ（１，１）．见图２．１．
２．１．２双线性Ｃｏｏｎｓ曲面
这是Ｃｏｏｎｓ曲面片中最简单的曲面片．给定由四条参数曲线围成的封闭空间曲边四边形，使两对边分别定义在”ｅ［０，１】与ｖｅ［ｏ，１】上．如图２．１，要求找到一
６
中南大学硕士学位论文第二章Ｃｏｏｎｓ曲面
张以这四条参数曲线为边界曲线的曲面ｐ（ｕ，’，），“，ｖ∈【０，１】．
先对一对１，边界之间由线性插值构作直纹面
ｑ（ｕ，ｖ）＝（１－ｕ）ｐ（Ｏ，１，）＋ｕｐ（１，Ｄ，“，１，∈［０，１】．（２．１．１）它插值于一对’，边界，但不插值于另一对“边界．
类似地，在一对”边界之间可构作另一直纹面
ｒ（ｕ，１，）＝（１一ｖ）ｐ（ｕ，０）＋ｗ（ｕ，１），“，１，∈【Ｏ，１】．（２．１．２）
它插值于一对Ｕ边界，但不插值于另一对ｖ边界．
为得到要求的插值曲面，两直纹面迭加必须减去由曲面片四角点决定的一张双线性张量积曲面
ｓ（甜，Ｖ）＝【１一甜甜１｜．ｋｐｐ（Ｏ。

，’ｏ。

））ｐｐ‘（。

１，’１１））］Ｊ『－ｋ１：Ｖ］，甜，Ｖ∈［。

，１】．（２．１．３）于是我们得到所要求的双线性Ｃｏｏｎｓ曲面片
ｐ（ｕ，’，）＝ｑ（ｕ，’，）＋，．（“，’，）－ｓ（ｕ，１，）．（２．１．４）
我们将（２．１．４）改写为矩阵形式：
ｍ一＿【１…］［Ｐｐ（（１０ｉｖＶｌ］巾他帅∽１）】吲－【１…】［嚣暑烈ｐ（０，１，１１））＂Ｊｌ＿Ｖ＝一卜甜】Ｉｐ（ｏ，Ｖ）ｐ（ｏ，ｏ），１）ＩＩＩ，州∈［ｏ，１】．（２．．５）
：一卜１１－ｕ甜】『ｐ。

三，ｖ，；｛：：三；ｐｐ‘（甜Ｏ：２］『１一－１ｖ］，甜，ｖ∈。

，。

，．。

２．１．５，
【ｐ（１，ｖ）ｐ（１，ｏ）ｐ（１，１）ｊ【’，ｊ
式（２．１．５）右端的三阶方阵中，第一行和第二列的元素包含了曲面片的四条边界曲线；右下角二阶子方阵中的元素是曲面片四个角点的点矢．可见，该三阶方阵包含了曲面片的全部信息，故称为曲面片的边界信息矩阵．其左侧的行阵和右侧的列阵由混合函数构成，若不计较其自变量的差别，在形式上它们是互为转置的．
２．１．３插值给定边界的Ｃｏｏｎｓ曲面的一般形式
式（２．１．５）所表示的双线性Ｃｏｏｎｓ曲面片，其混合函数是一对线性函数．我们也可以应用其它类型的混合函数构造插值于给定边界的Ｃｏｏｎｓ曲面片．为使表达式更具一般性，分别以混合函数圪＠），互＠），Ｆｏ（ｖ）和互（１，）取代线性函数１一ｚｆ，１，ｌ，１—１，和１，．它们必须满足下述条件：
中南大学硕士学位论文第二章Ｃｏｏｎｓ曲面．２７：（ｊ『）＝：｛．：ｉ：ｉ。

；ｆ，ｊｆ＝＝ｏ，１·（２·１·６）
ｌ１ｐ（ｕ，ｏ）ｐ（ｕ，１）ＩＩ一１Ｉ
ｐ（ｕ，ｖ）－－［－１Ｆｏ（ｕ）巧（扰）】Ｉｐ（Ｏ，’，）ｐ（Ｏ，ｏ）ｐ（ｏ，１）Ｉ｜Ｆｏ（ｖ）卜Ｖ∈［ｏ，ｌ】．（２．１．７）
Ｌｐ（１，．１，）ｐ（１，０）ｐ（１，１）ｊＬ厩ｏ）ｊ
２．２具有给定边界和跨界切矢的Ｃｏｏｎｓ曲面片
在各种应用领域中，斜率连续是一个非常重要的条件，但前述简单曲面片只能保证四条边界处的位置连续，其跨界切矢是曲面片所固有的．若要求满足斜率连续，则除了给定边界外，还必须给定跨界切矢．具体地说，曲面片必须满足具有给定的四条边界ｐ（ｕ，Ｊ）和ｐ（ｉ，ｖ）及其跨界切矢Ｐ，（“，Ｊ）和见（ｆ，ｖ），其中ｆ，／＝０，１，如图２．２所示．
图２．２曲面片的边界及其跨晃切矢
因此，我们必须采用二对Ｃ１连续的混合函数：磊，互；Ｇｏ，Ｇｌ，它们要满足条件：
ｊＥ（力＝Ｇ；（力＝｛≥：ｉ二‘／：。

，。

．（２．２．，）
【巧。

（／）＝ｑ（／）＝ｏ＇
由此可知，我们只要采用三次多项式便可构造上述的二对混合函数，其中一种形式如（２．２．２）所示：
Ｆｏ（Ｕ）＝２ｕ３－３ｕ２＋１，
Ｅ（紫鼍３‘３，ｕ２，（２．２．２）
Ｇｏ（甜）＝Ｕ５—２ｕ２＋甜，
Ｇｌ（掰）＝甜３一材２，
下面进行具体的构造：
首先，根据边界曲线ｐ（ｏ，Ｄ和ｐ（１，１，）及其跨界切矢见（Ｏ，’，）和见（１，１，）构造沿参数甜方向的直纹面：
ｑ（ｕ，Ｖ）＝【磊（甜）互（“）Ｇｏ（甜）Ｇ１（“）】ｐ（Ｏ，１，）
Ｖ（１，们
见（Ｏ，１，）
见（１，Ｖ）
（２．２．３）
类似地，可根据边界曲线ｐ（甜，０）和ｐ（甜，１）及其跨界切矢风（甜，ｏ）和Ｐ，（甜，１）构造沿参数ｖ方向的直纹面：
ｒ（ｕ，功＝【ｐ（甜，０）ｐ（ｚ，，１）Ａ（甜，ｏ）ｎ（甜，１）】Ｒ（Ｖ）
巧（＇，）
Ｇ０（Ｖ）
Ｇｌ（Ｖ）
（２．２．４）
为得到所要求的插值曲面，两直纹面迭加必须减去由角点数据插值的张量积曲面：
ｓ（ｕ，功＝【坑（材）互（“）Ｇｏ（ｕ）Ｇｌ＠）】
ｐ（Ｏ，０）ｐ（１，０）成（０，０）见（１，０）ｖ（ｏ，１）
ｐ（１，１）
见（０，１）
ｐ．０，１）
Ｐ。

（０，０）
仇（１，０）
‰（０，０）
‰（１，Ｏ）
Ｐ，（Ｏ，１）
Ｐｖ（１，１）
‰（０，１）
‰（１，１）
瓦（Ｖ）
互（Ｖ）
Ｇ０（Ｖ）
Ｇｌ（＇，）
我们得到插值于给定边界和跨界切矢的曲面片ｐ（ｕ，力：
ｐ（ｕ，１，）＝ｑ（ｕ，ｖ）＋，．（＂，ｖ）一ｓ（ｕ，１，）．（２．２．６）式（２．２．６）可以用矩阵形式表示为：
ｐ（ｕ，’，）＝一【一１矗（“）Ｅｌ（Ｕ）ＧｏＩ（”）Ｇｌ（Ｕ）】
ｌ０ｐ（ｕ，ｏ）ｐ（ｕ，１）风（甜，ｏ）Ｉｐ（Ｏ，Ｄｖ（Ｏ，ｏ）ｐ（Ｏ，１）风（ｏ，ｏ）ｌｐ（１，Ｖ）ｐ（１，ｏ）ｐ（１，１）ｐ，（１，ｏ）Ｉ见（ｏ，Ｖ）见（ｏ，ｏ）见（ｏ，１）ｐｏ（ｏ，０）【－凡（１，＇，）见（１，ｏ）见（１，１）ｐｏ（１，ｏ）Ｐ，（“，１）
ｐＡｏ，１）
风（１，１）
见，（０，１）
‰（１，１）
－１
Ｆｏ（’，）
互（Ｖ）
Ｇｏ（’，）
Ｇｌ（１，）
，Ｕ，１，∈【Ｏ，１】．
（２．２．７）
式（２．２．７）右端的五阶方阵中，第一行和第一列为两对边界及相应的跨界切矢；右下角的四阶方阵由四个角点的有关信息组成，其中包括角点的点矢、“向切矢、１，向切矢和混合偏导矢．角点的所有信息都可由第一行或第－Ｎ相应位置上的矢函数求得．该五阶方阵为具有给定边界和跨界切矢Ｃｏｏｎｓ曲面片的边界信息矩阵．这一类曲面片也称作第二类Ｃｏｏｎｓ瞌面片．
２．３具有给定边界及跨界切矢、跨界导矢的Ｃｏｏｎｓ曲面片
假定要使相邻两块曲面达到Ｃ２连续，光靠（２．２．７）表达式是不够的，因为除了曲面的边界曲线和边界斜率外，还需要指定四个边界曲率‰（“，０），‰（甜，１），‰（０，’，）和ｐ删（１，＇，）．因此，我们必须采用三对Ｃ２连续的混合函数：层，曩；Ｇ０，Ｇｌ；风，ｑ，它们要满足条件：
｛巧（歹）＝Ｇ：（，）＝巧（，）２｛芑：三二ｊ，，：。

，１（２．３．１）
ｌＦ。

（ｊ『）＝∥（歹）＝ｑ（歹）＝ｑ（ｊｆ）＝Ｅ（ｊ『）＝ｑ（ｊｆｊ＝０，
由此可知，我们只要采用五次多项式便可构造上述的三对混合函数，其中一种形式如（２．３．２）式所示：
Ｆｏ（ｕ）＝一６ｕ５＋１５ｕ４一ｌＯｕ３＋ｌ，
Ｆ（甜）＝６ｕ５—１５ｕ４＋ｌＯｕ３，
Ｇｊ（“）＝一３ｕ５＋８ｕ４—６ｕ３＋甜，
Ｇｄｕ）＝－３ｕ５＋７ｕ４－４ｕ３，（２．３．２）
ａｏ（甜）＝去（材５＋３ｕ４－３ｕ３＋甜２），
二
ｑ（“）＝ｉ１（甜５－２ｕ４＋”２），
参照式（２．１．７）和式（２．２．７），可直接写出此类Ｃｏｏｎｓ曲面片的表达式：
ｐ（ｕ，－Ｆｏ（Ｕ）石（“）Ｇｏ（ｕ）Ｇｌ（甜）Ｈｏ（ｕ）ｑ（甜）】
０ｐ（ｕ，０）ｐ（ｕ，１）鼽（甜，０）ｐｖ（甜，１）．ｐ。

（＂，Ｏ）Ｐ，，．，（ｚｆ，１）ｐ（Ｏ，１，）ｐ（Ｏ，Ｏ）ｐ（Ｏ，１）风（Ｏ，０）Ｐ，（０，１）ｐｗ（Ｏ，０）Ｐ。

（０，１）ｐ（１，１，）ｐＯ，Ｏ）ｐＯ，１）ｐｒｏ，０）Ｐ，（１，１）‰（１，Ｏ）仇（１，１）见（０，＇，）魏（０，Ｏ）见（０，１）ｐ０（０，０）ｐ０（０，１）‰（Ｏ，Ｏ）‰（Ｏ，１）矾（１，力ｐ．Ｏ，０）ｐ．Ｏ，１）‰（１，０）‰（１，１）‰（１，０）‰（１，１）
‰（Ｏ，Ｖ）‰（０，０）‰（０，１）ｐ赫（０，Ｏ）见蚪（０，１）‰（０，０）见。

（０，１）‰（１，Ｖ）‰（１，０）‰（１，１）ｐ枷（１，０）Ｐ。

胛（１，１）‰（１，０）‰（１，１）
－１瓦（ｖ）正Ｏ）Ｇ０（１，）Ｇｌ（’，）ａｏ（１，）ｑ（Ｖ）
甜，１，∈【Ｏ，１】．（２．３．３）
具有给定边界及其跨界切矢、跨界导矢的Ｃｏｏｎｓ曲面片也称作第三类Ｃｏｏｎｓ曲面穴．
系统的考察式（２．１．８），（２．２．７）和式（２．３．３），我们得出下述结论：
１）对曲面片的边界约束提高一阶，边界信息方阵扩大二阶，混合函数增加一对．２）边界信息方阵中的第一行和第一列包含了全部的边界信息，余下的子方阵为角点的各种信息．
３）边界信息方阵中各分块内的元素具有明显的分布规律．
４）由Ｃｏｏｎｓ曲面片的生成规则可知，理论上，可以用Ｃｏｏｎｓ曲面构造具有任意高阶边界约束的曲面片，这是Ｃｏｏｎｓ曲面对自由曲面造型理论最为重要的贡献．
２．４双三次Ｃｏｏｎｓ曲面
在构造Ｃｏｏｎｓ曲面时碰到的一个困难是如何选择合适的四条边界曲线及相应的跨界切矢．在信息矩阵中，边界上的信息必须与角点处的信息相匹配．因此在实际上，往往用角点信息来构造边界曲线和跨界切矢，这样构造出来的边界曲线及跨界切矢与角点信息的匹配就不成问题了．同时利用角点信息和混合函数来定义边界曲线和跨界切矢还能简化曲面的表达式．下面进行具体的构造：若己知四角点处的点矢、“向切矢、１，向切矢和混合偏导矢，我们就可以应用混合函数Ｆｏ，正，Ｇｏ和Ｇ１将曲面片的四条边界及其跨界切矢表示为（参阅图２．３）：
图２．３曲面片的角点信息、边界和跨界切矢
ｐ（Ｏ，Ｄ＝Ｆｏ（Ｖ）ｐ（Ｏ，Ｏ）＋Ｅ（１，）ｐ（０，１）＋Ｇｏ（Ｖ）ｐ，（Ｏ，Ｏ）＋Ｇｌ（１，）ｐ，（０，１），
ｐ（１，力＝Ｆｏ（力ｐ（１，０）＋Ｆｌ（ｖ）ｐ（１，１）＋Ｇｏ（Ｖ）ｐ，（１，０）＋Ｇｌ（’，）ｐ，（１，１），
ｐ（ｕ，０）＝Ｆｏ（“）ｐ（０，Ｏ）＋墨（甜）ｐ（１，０）＋Ｇｏ（“）ｐ：（０，０）＋Ｇｌ（ｕ）Ｐｕ（１，０），
ｐ（ｕ，１）＝Ｆｏ（”）ｐ（Ｏ，１）＋互（甜）ｐ（１，１）＋Ｇｏ（甜）ｐ（０，１）＋Ｇｌ（“）ｐ（１，１），
见（０，Ｖ）＝Ｆｏ（Ｖ）见（０，Ｏ）＋互（ｖ）见（０，１）＋Ｇｏ（Ｖ）ｐ０（０，Ｏ）＋Ｇｌ◇）仇，（Ｏ，１），
见（１，ｖ）＝Ｆｏ（ｖ）Ｐｕ（１，０）＋气（ｖ）见（１，１）＋Ｇｏ（’，）‰（１，０）＋Ｇｌ（ｖ）‰（１，１），（２．４．１）ｐＡｕ，０）＝Ｆｏ＠）风（Ｏ，０）＋曩＠）仇（１，Ｏ）＋Ｇｏ＠）ｐｏ（０，０）＋Ｇｌ＠）ｐ０（１，ｏ），
Ｐ，（ｚ，，１）＝Ｆｏ（“）ｐ，（０，１）＋最（“）ｐ，（１，１）＋Ｇ０（ｕ）ｐｕ，（０，１）＋Ｇｌ（“）ｐｗ（１，１），
将式（２．４．１）带Ａ（２．２．７）并加以整理，我们就得到了简化的曲面方程ｐ（ｕ，ｖ）：ｐ（ｕ，＇，）＝［昂（甜）Ｅ（“）Ｇｏ（ｕ）Ｇｌ（“）】
ｐ（Ｏ，Ｏ）ｐ０，ｏ）见（０，Ｏ）见（１，０）ｐ（Ｏ，１）
ｐ（１，１）
见（０，１）
见（１，１）
Ｐ，（０，０）
Ｐ，（１，ｏ）
‰（０，０）
‰（１，０）
ｐＡＯ，１）
ｐ，Ｏ，１）
‰（０，１）
‰（１，１）
Ｆｏ（Ｖ）
Ｅ（１，）
Ｇｏ（Ｖ）
Ｇｌ（１，）
甜，１，∈【Ｏ，１】．（２．４．２）
其中，Ｆｏ，曩，Ｃｏ和Ｇｌ可取（２．２．２）式．这就是说用这样的方法构造出来的双三次Ｃｏｏｎｓ曲面就是双三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式曲面，根据每个分量函数所具有的性质，保证了参数形式的Ｃｏｏｎｓ曲面通过边界曲线，甚至具有给定的跨界切矢，保证了参数形式的分片Ｃｏｏｎｓ曲面具有不同的光滑连接性以及被插曲面的逼近阶．仍应用三次混合函数，则式（２．４．２）可改写为：
ｐ（ｕ，Ｄ＝ＵＭＣＭｒ旷，（２．４．３）式中：
ｕ＝［甜３材２甜１］，ｙ＝［１，３１，２ｖ１］，１４，ｒｅ［０，１】，
Ｍ＝
２＿２
—３３
００
ｌＯ
ｌ１
—２—１
１０
０Ｏ
，Ｃ＝
ｐ（Ｏ，０）
ｐ（１，０）
见（０，０）
见（１，０）
ｐ（Ｏ，１）
ｐ（１，１）
见（０，１）
见（１，１）
仇（Ｏ，０）
Ａ（１，０）
‰（０，Ｏ）
‰（１，０）
仇（０，１）
Ｐ，（１，１）
‰（Ｏ，１）
‰（１，１）
曲面的参数方程为：
ｌｘ（“，Ｄ＝ＵＭＣｘＭ２Ｖ１，
｛ｙ（ｚ，，１，）＝ＵＭＣｙＭｒＶｒ，（２．４．５）
ｌｚ（甜，１，）＝ＵＭＣ：Ｍ１Ｖ。

，
式中ｅ，Ｃ，和ｅ分别为边界信息矩阵Ｃ的坐标分量．
方程（２．４．３）或（２．４．５）中，当参数“固定时，方程是参数ｖ的三次多项式，而当参数ｖ固定时，方程是参数甜的三次多项式．因此人们称该曲面为双三次Ｃｏｏｎｓ曲面．
Ｃｏｏｎｓ曲面有几种类型，双三次Ｃｏｏｎｓ曲面（２．４．２）是其中最有实用价值的一种，这是由双三次Ｃｏｏｎｓ曲面的特点决定的，一方面它可以用最少量的边界曲线来定义一个匀滑光顺的盐面，随后可以设计出相邻的曲面，使其在位置、斜率、曲率以及任何高阶偏导方面互相匹配，这就在很大程度上保证了整张曲面具有足够的光滑性和连续性．而且，用来定义曲面的边界曲线可以是任何类型的曲线，包括二次曲线，构成这种曲面的函数阶次低，计算方法简便，易于在计算机实现．另一方面，角点信息矩阵Ｃ是比较容易求得的．在几何外形计算中使用的所谓Ｃｏｏｎｓ曲面，实际上都是指这种双三次曲面．
２．５Ｃｏｏｎｓ曲面的形状调整
２．５．１角点信息矩阵中各个元素对曲面形状的影响
首先，我们考察双三次Ｃｏｏｎｓ曲面的角点信息矩阵Ｃ中各元素的几何意义．点矢、切矢和扭矢的几何意义
双三次Ｃｏｏｎｓ曲面方程表示为：
其中
Ｐ－－［Ｆｏ互ＧｏＧｌ】
Ｃ＝
００
１０
００。

１０Ｈ
ｏｌｌｏｏ，０１，
１１１１０，１１，
０１。

１００。

０１。

１１。

１１０。

Ⅳ１１ｗ
０００１ｏｏ，０１，
１０１１１０，１１，
００。

０１。

００。

０１。

１０。

１１。

１０。

１１。

ｆ点矢
２【－甜向切矢
Ｅ
Ｅ
Ｇｏ
Ｇ１
叫做角点信息矩阵．
角点信息矩阵Ｃ的元素排列非常对称整齐，可以分成四组：左上角一块代表四个角点的位置向量，右上角和左下角表示边界曲线在四个角点处的切向量，右下角代表四个角点处的扭矢．
四个角点处的点矢和切向量的几何意义都是非常明显的，由于曲面的四条边界曲线都是三次参数曲线段，它们的位置和形状也就完全决定于这三块元素．右下角的角点扭矢同曲面边界的形状毫无关系，调整扭矢只会造成曲面内部形状的变化．例如，当我们取所有的角点扭矢为零时，上式变为所谓的Ｆｅｒｇｕｓｏｎ曲面【１１．双三次Ｃｏｏｎｓ曲面角点信息矩阵Ｃ中各元素的几何意义：。