2020高考数学(文数)考点测试刷题本37 基本不等式(含答案解析)

2020高考数学(文数)考点测试刷题本37
基本不等式
一、选择题
1. “a>0且b>0”是“≥”成立的( )a ＋b 2
ab A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( )A. B. C. D.13123423
3.若函数f(x)=x ＋(x>2)在x=a 处取最小值，则a 等于( )1x －2
A ．1＋
B ．1＋
C ．3
D ．4
234.设0<x<2，则函数y=的最大值为( )
x (4－2x )A ．2 B. C. D.22325.函数y=(x>-1)的图象的最低点的坐标是( )x2＋2x ＋2x ＋1
A ．(1，2)
B ．(1，-2)
C ．(1，1)
D ．(0，2)
6.设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( )
A ．a<b<<
B ．a<<<b
C ．a<<b< D.<a<<b ab a ＋b 2ab a ＋b 2ab a ＋b 2ab a ＋b 2
7.已知a>0，b>0，a ，b 的等比中项是1，且m=b ＋，n=a ＋，则m ＋n 的最小值是( )1a 1b
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8.若2x ＋2y =1，则x ＋y 的取值范围是( )
A ．[0，2]
B ．[-2，0]
C ．[-2，＋∞)
D ．(-∞，-2]
二、填空题
9.若点A （3，1）在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0,则
的最大值为 .10.已知函数y=x ＋(x ＞2)的最小值为6，则正数m 的值为________．m x －2
11.已知函数y=x ＋(x>2)的最小值为6，则正数m 的值为________．m x －2
12.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x
万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．
三、解答题
13.已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2=x ＋y.
(1)求＋的最小值；1x 1y
(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)=5？并说明理由．
14.某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好
，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．
(1)试将y 表示成x 的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？
15.某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出
租，每年收入租金30万元．
(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，
以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？
16.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中
释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为
y=Error!，若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的
2
4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．
答案解析
1.答案为：A
解析：a>0且b>0⇒≥，但≥a>0且b>0，只能推出a≥0且b≥0.a ＋b 2ab a ＋b 2
ab ⇒ /2.答案为：B ；解析：∵0<x<1，∴x(3-3x)=3x(1-x)≤32=.当且仅当x=1-x ，即x=时等号成立．x ＋(1－x )23412
3.答案为：C ；
解析：
∵x ＞2，∴x-2＞0，∴f(x)=x ＋
=(x-2)＋＋2≥2＋2=2＋2=4，1x －21x －2(x －2)·1x －2当且仅当x-2=，即(x-2)2=1时等号成立，解得x=1或3.又∵x ＞2，∴x=3，1x －2即a 等于3时，函数f(x)在x=3 处取得最小值，故选C.
4.答案为：D ；
解析：
∵0<x<2，∴2-x>0，∴y==·≤·=，x (4－2x )2x (2－x )2x ＋2－x 2
2当且仅当x=2-x ，即x=1时取等号．
5.答案为：D ；
解析：y==(x ＋1)＋≥2，当x=0时取最小值．(x ＋1)2＋1x ＋11x ＋1
6.答案为：B ；
解析：∵0<a<b ，∴a<<b ，A ，C 错误；-a=(-)>0，即>a ，D 错误．故选B.a ＋b 2
ab a b a ab 7.答案为：B ；
解析：由题意知ab=1，∴m=b ＋=2b ，n=a ＋=2a ，∴m ＋n=2(a ＋b)≥4=4，1a 1b
ab 当且仅当a=b=1时取等号．8.答案为：D ；
解析：
∵1=2x ＋2y ≥2=2当且仅当2x =2y =，即x=y=-1时等号成立，2x·2y 2x ＋y 12
∴≤，∴2x ＋y ≤，得x ＋y≤-2.2x ＋y 1214
一、填空题
9.答案为：-l6;
10.答案为：4；
解析：∵x＞2，m ＞0，∴y=x －2＋＋2≥2＋2=2＋2，m x －2（x －2）·m x －2
m 当且仅当x=2＋时取等号，又函数y=x ＋(x ＞2)的最小值为6，m m x －2
∴2＋2=6，解得m=4.m 11.答案为：4；
解析：
由x>2，知x-2>0，又m>0，则y=(x-2)＋
＋2≥2＋2=2＋2，m x －2(x －2)m x －2m 取等号的条件为x-2=.从而依题意可知2＋2=6，解得m=4.m x －2
m 12.答案为：30；解析：
设总费用为y 万元，则y=
×6＋4x=4x ＋≥240，600x 900x 当且仅当x=，即x=30时，等号成立．900x 二、解答题
13.解：
(1)因为＋==≥=2，当且仅当x=y=1时，等号成立，1x 1y x ＋y xy x2＋y2xy 2xy xy
所以＋的最小值为2.1x 1y
(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy，
所以(x ＋y)2≤2(x 2＋y 2)=2(x ＋y)．
又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y≤2.
从而有(x ＋1)(y ＋1)≤2≤4，(x ＋1)＋(y ＋1)2
因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)=5.
14.解：
(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x=240，即k=-1.240x
所以y=400k ＋(k ＋1)(x 2＋x)=400＋=＋240x-160.(240x －1)
240x (x2＋x )96000x
因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x<240.
故y 与x 的函数关系是y=＋240x-160(0<x<240)．96000x
(2)y=＋240x-160≥2-160=2×4800-160=9440，96000x 96000x
·240x 当且仅当=240x ，即x=20时等号成立，此时k=-1=-1=11.96000x 240x 24020
故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．15.解：
(1)设第n 年获取利润为y 万元．
n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，
n 年付出的装修费之和为n×1＋×2=n 2，n (n －1)2
又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，
∴利润y=30n-n 2-81(n ∈N *)．
令y>0，即30n-n 2-81>0，∴n 2-30n ＋81<0，
解得3<n<27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润．
(2)方案①：年平均利润t==30--n=30-≤30-2=1230n －(81＋n2)n 81n (81n
＋n )
81n ·n (当且仅当=n ，即n=9时取等号)，81n
∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46=154(万元)．方案②：纯利润总和y=30n-n 2-81=-(n-15)2＋144(n ∈N *)，
当n=15时，纯利润总和最大，为144万元，
∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10=154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.16.解：
(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度
f(x)=4y=Error!则当0≤x≤4时，
由-4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4.648－x
当4<x≤10时，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此时4<x≤8.
综合得0≤x≤8，若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度
g(x)=2＋a (5－12
x )[168－(x －6)－1]=10-x ＋-a 16a 14－x =(14-x)＋-a-4≥2-a-416a 14－x (14－x )·16a 14－x
=8-a-4.
a 因为14-x ∈[4，8]，而1≤a≤4，
所以4∈[4，8]，故当且仅当14-x=4时，y 有最小值为8-a-4.a a a 令8-a-4≥4，解得24-16≤a≤4，所以a 的最小值为24-16≈1.6.a 22。