反比例函数与一次函数综合(面积问题、线段和差,函数值比较大小)—2024年二轮热点题型(全国通用)

反比例函数与一次函数综合
目录
热点题型归纳 (1)
题型01 面积问题 (1)
题型02 两线段和差最值问题 (3)
题型03 两函数值比较大小问题 (15)
中考练场 (31)
题型01 面积问题
【解题策略】
【典例分析】
例．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线AB 与反比例函数()0k y x x
=<的图象交于点()2,A m −，(),2B n ，过点A 作AC y 轴交x 轴于点C ，在x 轴正半轴上取一点D ，使2OC OD =，连接BC ，AD ．若ACD 的面积是6．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P 为第一象限内直线AB 上一点，且PAC △的面积等于BAC 面积的2倍，求点P 的坐标．
【答案】(1)8
y x =−；(2)()2,8P
【分析】（1）根据2OC OD =，可得三角形面积之比，计算出AOC 的面积，面积乘2即为8k =，解析式可得；
（2）根据点的坐标求出直线AB 的解析式为6y x =+，设符合条件的点
(),6P m m +，利用面积的倍数关系建立方程解
出即可．
【详解】（1）解：∵2OC OD =，ACD 的面积是6，
∴4AOC S =V ， ∴8k =，
∵图象在第二象限，
∴8k =−，
∴反比例函数解析式为：8
y x =−；
（2）∵点()2,A m −，(),2B n ，在8
y x =−
的图象上， ∴4m =，n =−4，
∴()2,4A −，()4,2B −，
设直线AB 的解析式为y kx b =+，
2442k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：16k b =⎧⎨=⎩，
∴直线AB 的解析式为6y x =+，
∵AC y 轴交x 轴于点C ，
∴()2,0C −， ∴14242ABC S =⨯⨯=，
设直线AB 上在第一象限的点
(),6P m m +， ∴()142282PAC ABC S m S =⨯⨯+==，
∴248m +=，
∴2m =，
∴()2,8P ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
【变式演练】
1．（2023·山东泰安·三模）如图，一次函数1112
y x =
+的图象与反比例函数2(0)k y x x =>的图象交于点(),3A a ，与y 轴交于点B ．
(1)求a ，k 的值；
(2)请直接写出在第一象限124y y <<时，x 的取值范围．
(3)直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC AD =，连接.CB 求ABC 的面积．
【答案】(1)412a k ==，(2)34x <<(3)8
【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，解决问题的关键是画出图形．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据图象直接得出答案；
（3）求出()2,6C ，由1144822ABC A S CE x =⋅=⨯⨯=△，即可求解．
【详解】（1）将点A 的坐标代入一次函数表达式得：
1312a =+， 解得：4a =，
则点()4,3A ，
将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：
34k
=， 解得：12k =；
（2）把4y =代入
12
y x =，得3x =， 由图可知
24y <时，3x >， 由图可知12
y y <时，4x <， 124y y ∴<<时，34x <<；
（3）点()
4,3A ，D 点的纵坐标是0，AD AC =， ∴点C 的纵坐标是3206⨯−=，
把6y =代入
12y x =，
得2x =， ()
2,6C ∴，
如图1，
作CD x ⊥轴于D ，交AB 于E ，
当2x =时，12122y =⨯+=，
()
2,2E ∴， ()2,6C ，
624CE ∴=−=，
∴由1144822ABC A S CE x =⋅=⨯⨯=△．
2．（2023·山东泰安·一模）如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x
=的图象相交于()1,2A ，()2,B n −两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)根据图象，直接写出满足21k k x b x
+<的x 的取值范围． (3)若点P 在线段AB 上，且1:3AOP BOP S S =△△：，求点P 的坐标．
【答案】(1)2y x =，1y x =+
(2)01x <<或<2x − (3)15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）把()1,2A 坐标代入
2k y x =可得解析式，继而求出n ，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出21k k x b x +<的x 的取值范围即可；
（3）利用1:3AOP BOP S S =△△：得出3PB PA =，设P 坐标
(),1x x +利用勾股定理建立方程求出x 即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
【详解】（1）解：反比例函数
2
k y x =经过()1,2A ， 2122k ∴=⨯=，
∴反比例函数解析式为2
y x =，
()2B n −，在反比例函数
2
y x =的图象上， 212n ∴==−−，
()21B ∴−−，，
直线1y k x b =+经过()1,2A ，()2,1B −−，
11221k b k b +=⎧∴⎨−+=−⎩，解得111k b =⎧⎨=⎩，
∴一次函数的解析式为1y x =+；
（2）解：观察函数图象可知2
1k k x b x +<的x 的取值范围是01x <<或<2x −；
（3）解：设()1P x x +，，
∵1:3AOP BOP S S =△△：
:1:3AP BP ∴=，即3PB PA =，
()()()()22222119112x x x x ⎡⎤∴++++=−++−⎣⎦， 解得15(4x =舍去)，
214x =， P ∴点坐标为1544⎛⎫ ⎪⎝⎭，
3．（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数2y x
=的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，2−，一次函数图象与y 轴的交于点C ，与x 轴交于点D ．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数2y x
=，当1y <−时，写出x 的取值范围； (3)点P 是第三象限内反比例图象上的一点，若点P 满足S △BDP ＝12S △ODA ，请求出点P 的坐标．
【答案】(1)1y x =+(2)20x −<<(3)(或(1−
【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积．
（1）利用反比例函数求出交点A 、点B 的坐标分别为()1,2，()2−,-1，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
（2）当1y <−时，即为B 点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为20x −<<．
（3）先求出ODP 的面积为1，从而确定BDP △的面积为12，再通过点P 的不同的位置，设点P 的坐标为2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据图形面积列出方程，即可求出点P 的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数
2
y x =的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，﹣2；
∴A ()1,2，B
()2,1−−； 把A 、B 的坐标代入y kx b =+得221k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩；
∴一次函数的解析式为1y x =+．
（2）∵()2,1B −−；
由图象可知，当20x −<<时，1y <−．
（3）∵一次函数为1y x =+；
∴D ()1,0−；
∵A ()1,2， ∴1212ODA S =⨯⨯V ； ∴
1122BDP ODA S S ==V V ， 设点P 的坐标为： 2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0x <；
∴ON x =−，
2
PN x =−；
当P 在直线下方时，如图1，则；
()()()121211=121211222
2BDP BDM PDN
BMNP S S S S x x x x =+−⎛⎫⎛⎫−++−−−−−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形；
解得x =
∴点
P (．
当P 在直线AB 的上方时，如图2，则；
()()()1211112211122222BDF BDM PDN BMNP S
S S S x x x x =+−⎛⎫⎛⎫=−−−+−⨯−−−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形；
解得1x =−
∴点
P (1−；
综上可得：点P
的坐标为：( 或
(1− ．
4．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数m y x
=在第一象限内的图象交于点C ，CD x ⊥轴， 1tan BAO 2∠=，42OA OD ==，．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点E 是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E 作EF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OE AF 、，如果4BAF EFO S
S =，
求点E 的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为122y x =+，反比例函数解析式为
6y x =(2)342E ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）先求出A 、D 坐标，以及AD 的长，解直角三角形求出CD 的长，进而得到点C 的坐标，然后利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（2）设出点E 坐标，求出OEF 的面积为3，进而得到ABF △的面积为12，再求出点B 的坐标，得到OB 的长，利用面积法求出BF 的长进而求出点E 的坐标即可．
【详解】（1）解：∵42OA OD ==，，
∴()()4020A D −，，，，426AD OA OD =+=+=，
∵BAO CAD ∠=∠， ∴
1
tan tan 2BAO CAD ∠=∠=， ∵CD x ⊥轴， ∴
1tan 2CD CAD AD ∠== ， ∴132CD AD ==，
∴点C 的坐标为()23，，
∴把()()4023A C −，，，代入y kx b =+中得4023k b k b −+=⎧⎨+=⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
∴一次函数的解析式为122y x =+，
∵点C 在反比例函数
m
y x =
的图象上，
∴将
()
23C ，代入
m y x =
中得
32m
=
， 解得：6m =，
∴反比例函数解析式为
6y x =
；
（2）解：设6E m m ⎛
⎫−− ⎪
⎝⎭，， ∴
6EF m OF m ==
，
∴
1
32EFO
S
OF EF =⋅=，
∴142BAF
EFO
S
S
==，
∵一次函数解析式为
1
22y x =
+，∴()02B ，，∴2OB =，
又∵4OA =，
12ABF S BF OA =
⋅=△，∴()2212OF +=，∴626m +=，∴
3
2m =， ∴342
E ⎛⎫
−− ⎪
⎝⎭，． 题型02 两线段和差最值问题
【解题策略】
例．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点()30C ，，顶点A 、()6B m ，恰好落在反比例函数k
y x
=
第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；
(2)在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
6
y x =
，14
2y x =−+
(2)在x 轴上存在一点
()
5,0P ，使ABP 周长的值最小,最小值是
【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，证明()AAS ACE CBD ≌，则
3,CD AE BD EC m ====，由3OE m =−得到点A 的坐标是()3,3m −，由A 、()6B m ，恰好落在反比例函数
k
y x =
第
一象限的图象上得到()336m m
−=，解得1m =，得到点A 的坐标是
()2,3，点B 的坐标是()6,1，进一步用待定系数法
即可得到答案；
（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，利用轴对称的性质得到AP A P '=，()2,3A '−，
则AP PB A B '+=，由AB =AB 是定值，此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，利用待定系数法求出直线A B '的解析式，求出点P 的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ， 则90AEC CDB ∠=∠=︒，
∵点
()
30C ，，
()
6B m ，，
∴3,6,OC OD ==BD m =， ∴3CD OD OC =−=， ∵ABC 是等腰直角三角形， ∴90,ACB AC BC ∠=︒=，
∵90ACE BCD CBD BCD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ACE CBD ∠=∠， ∴
()
AAS ACE CBD ≌，
∴3,CD AE BD EC m ====， ∴3OE OC EC m =−=−， ∴点A 的坐标是(
)
3,3m −，
∵A 、()
6B m ，恰好落在反比例函数k
y x =
第一象限的图象上．
∴
()336m m
−=，解得1m =，
∴点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，
∴66k m ==，
∴反比例函数的解析式是
6y x =
，
设直线AB 所对应的一次函数的表达式为y px q =+，把点A 和点B 的坐标代入得，
2361p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得124p q ⎧
=−
⎪⎨⎪
=⎩,
∴直线AB 所对应的一次函数的表达式为1
4
2y x =−+，
（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，
∴点A 与点A '关于x 轴对称， ∴AP A P '=，()2,3A '−，
∵AP PB A P PB A B ''+=+=， ∴AP PB +的最小值是A B '的长度，
∵
AB =AB 是定值，
∴此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小， 设直线A B '的解析式是y nx t =+，
则2361n t n t +=−⎧⎨
+=⎩，解得1
5n t =⎧⎨=−⎩， ∴直线A B '的解析式是5y x =−， 当0y =时，05x =−，解得5x =，
即点P 的坐标是
(
)5,0，
此时
AP PB AB AB A B '++=+=
综上可知，在x 轴上存在一点
()
5,0P
，使ABP
周长的值最小，最小值是
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
【变式演练】
1．（2023·河南濮阳·三模）如图，一次函数6y x =−+与反比例函数()0k
y x x
=>交于A 、B 两点，交x 轴于点C ，已知点A 的坐标为()2,a ．
(1)求反比例函数解析式； (2)直接写出不等式()60k
x x x
−+>
>的解集______． (3)在x 轴是否存在点P ，使得PA PB −有最大值，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为：y ＝8
x ．
(2)24x <<．
(3)在x 轴上存在点P ，使PA PB −有最大值为AB 此时P 点坐标是
()6,0．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形的三边关系的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和数形结合法是解题关键．
（1）先求解A 的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可； （2）先求解函数的交点坐标，再结合图象可得答案；
（3）先求解一次函数与x 轴的交点坐标，再结合三角形的三边关系确定P 的位置即可．
【详解】（1）解：∵点A 的坐标为()2,a 在一次函数6y x =−+上，
∴264a =−+=，
∴
()
2,4A ，
∵
()
2,4A 在反比例函数
()0k
y x x =
>上，
∴248k =⨯=，
∴反比例函数解析式为：
8y x =
．
（2）联立一次函数和反比例函数得析式为：86y x y x ⎧=
⎪⎨
⎪=−+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩，
∴
()
2,4A ，
()
4,2B ， 由图示可知：不等式
()60k
x x x −+>
>的解集是24x <<．
（3）∵直线AB 的解析式是6y x =−+，令0y =， 则06x =−+，则6x =，
∴
()
6,0C ，
∴当P 点坐标是
()6,0，PA PB −有最大值理由如下：
在PAB 中，根据三边关系，PA PB AB −<，
当P 在点C 处时，PA PB AB −=．即最大值为AB ．
故在x 轴上存在点P ，使PA PB −有最大值为AB 此时P 点坐标是
()6,0．
2．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数k
y x
=（k 为常数且0k ≠）的图象交于()1,A a −，
B 两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；
(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x 的取值范围；
(3)在y 轴上存在点P ，使得APB △的周长最小，求点P 的坐标并直接写出APB △的周长．
【答案】(1)
3
y x =−
，()3,1B −
(2)10x −<<或3x <−
(3)点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪
⎝
⎭
，【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先把点A 坐标代入一次函数解析式求出点A 的坐标，再把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式即可求出点B 的坐标； （2）利用图象法求解即可；
（3）如图所示，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点P ，此时PA PB +的值最小，则APB △的周长最小，再求出直线BA '的解析式即可求出点P 的坐标，由()
1,3A −，
()
3,1B −，
()
1,3A '，可求出AB 、A B '的值，最后根据APB
△的周长为PA PB AB A B AB '++=+．
【详解】（1）解：点()
1,A a −在一次函数4y x =+的图象上，
∴143a =−+=， ∴点()1,3A −，
点
()
1,3A −在反比例函数
k
y x =
的图象上，
∴133k =−⨯=−，
∴反比例函数的表达式为
3y x =−
，
联立34y x y x ⎧
=−
⎪⎨
⎪=+⎩， 解得： 13x y =−⎧⎨=⎩或31x y =−⎧⎨=⎩， ∴()3,1B −；
（2）观察函数图象可知：当10x −<<或3x <−时，一次函数4y x =+的图象在3
y x =−
的图象的下方，
∴当反比例函数值大于一次函数值时，x 的取值范围为：10x −<<或3x <−；
（3）作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点P ，此时PA PB +的值最小，则APB △的周长最小，如图所示．
点
()
1,3A −，
∴点()1,3A '，
设直线BA '的表达式为
()
0y mx n m =+≠，
则3
31m n m n +=⎧⎨
−+=⎩，得：1252m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩， ∴直线BA '的表达式为
1522y x =
+，
在
1522y x =
+中，令0x =，则52y =
，∴点50,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
()
1,3A −，
()
3,1B −，
()
1,3A '，
∴
AB =
A B =
='
∴APB △
的周长为PA PB AB A B AB '++=+=
3．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且2OA =，4OC =，连接OB ．反比例函数1
(0)k y x x
=
>的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点B 、F ．一次函数2y k x b =+的图象经过E 、F 两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，求点P 的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为
15
22y x =−
+，反比例函数表达式为
2y x =；(2)17,05⎛⎫ ⎪
⎝⎭ 【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得(2,1)D ，从而可得反比例函数表达式；再求出点E 、F 坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P ，则此时PE PF +最小．求出直线E F '的解析式后令0y =，即可得到点P 坐标． 【详解】（1）解：
四边形OABC 为矩形，2OA BC ==，4OC =，
(4,2)B ∴．由中点坐标公式可得点D 坐标为(2,1)，
反比例函数
1
(0)k y x x =
>的图象经过线段OB 的中点D ，1212k xy ∴==⨯=，
故反比例函数表达式为
2y x =
．令2y =，则1x =；令4x =，则12y =．故点E 坐标为(1,2)，
1
(4,)
2F ． 设直线EF 的解析式为2y k x b =+，代入E 、F 坐标得：222142k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：212
52k b ⎧
=−⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩， 故一次函数的解析式为
15
22y x =−
+．
（2）作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P ，则此时PE PF +最小．如图． 由E 坐标可得对称点(1,2)E '−，
设直线E F '的解析式为y mx n =+，代入点E '、F 坐标，得：2142m n m n −=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：56
176m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=−⎪
⎩． 则直线E F '的解析式为
51766y x =
−，令0y =，则751x =．∴点P 坐标为17(5，0)．故答案为：17
(5，0)．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．
题型03 两函数值比较大小问题
【解题策略】
例．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线y kx b =+与双曲线m y x
=相交于点()2,3A ，(),1B n ．
(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线AB 向下平移至CD 处，其中点()2,0C −，点D 在y 轴上．连接AD ，BD ，求ABD △的面积；
(3)请直接写出关于x 的不等式m kx b x +>
的解集． 【答案】(1)
6y x =
，142y x =−+ (2)10 (3)26x <<或0x <
【分析】()1将()2,3A 代入双曲线m y x =，求出m 的值，从而确定双曲线的解析式，再将点(),1B n 代入6y x =，确定B 点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
()2由平行求出直线CD 的解析式为11,2y x =−−过点D 作DG AB ⊥交于G ，设直线AB 与y 轴的交点为H ，与x 轴的
交点为F , 可推导出HDG HFO ∠=∠, 再由
cos HFO ∠=，求出DG ==则ABD 的面积
1
10;2=⨯ ()3数形结合求出x 的范围即可.
【详解】（1）将
()2,3A 代入双曲线m y x =，
∴6m =, ∴双曲线的解析式为
6y x =， 将点(),1B n 代入6y x =，
∴6n =,
∴()6,1B ,
将()()
2,3,6,1A B 代入y kx b =+, 2361k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得124k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，
∴直线解析式为142y x =−+；
（2）∵直线AB 向下平移至CD ,
∴AB CD ,
设直线CD 的解析式为12y x n =−+，将点()2,0C −代入1,2y x n =−+
∴10n +=，解得1n =−
∴直线CD 的解析式为112y x =−−
∴()0,1D −
过点D 作DG AB ⊥交于G ,
设直线AB 与y 轴的交点为H ，与x 轴的交点为 F ,
∴()()0,4,8,0H F ,
∵90,90HFO OHF OHG HDG ∠+∠=︒∠+∠=︒,
∴HDG HFO ∠=∠,
∵4,8OH OF ==,
HF ∴=
cos
HFO ∴∠=
∵5DH =，
DG DH ∴==， 2AB =
∴ABD 的面积
1102=⨯= （3）由图可知26x <<或0x <时,161.2x x −
−> 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.
【变式演练】
1．（2023·山东青岛·一模）如图，一次函数y ax b =+与反比例函数k y x
=的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为(,2)m ，点B 坐标为(4,)n −，OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13
，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、BD ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求四边形OCBD 的面积；
(3)请你根据图象直接写出不等式k ax b x
+>的解集． 【答案】(1)一次函数表达式为
112y x =−，反比例函数表达式为
12y x =； (2)18；
(3)6x >或40x −<<． 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，涉及解直角三角形，待定系法求函数解析式，三角形面积等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）先求出点A 坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析，再根据点B 在反比例函数图象上，可得点B 的坐标，进一步利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出点C 和点D 坐标，再根据OCD BCD OCBD S S S ∆∆=+四边形求解即可；
（3）根据图象即可确定不等式的解集．
【详解】（1）解：OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为1
3，
∴13AE OE =，
点(,2)A m ，
2AE ∴=，6OE m ==，
∴点A 坐标为(6,2)，
6212k ∴=⨯=，
点B 在反比例函数图象上，
412n ∴−=，
解得3n =−，
∴点B 坐标为(4,3)−−，
将点(6,2)A ，点(4,3)B −−代入一次函数y ax b =+，
得6243a b a b +=⎧⎨−+=−⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，
∴一次函数表达式为112y x =−，反比例函数表达式为
12y x =； （2）解：当0x =时，
1112y x =
−=−， ∴点C 坐标为(0,1)−，
CD y ⊥轴， ∴点D 纵坐标为1−，
点D 在反比例函数12y x =上，
∴点D 横坐标为12−，
12CD ∴=，
∴111211221822OCD BCD OCBD S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=四边形；
（3）解：由图象可知，不等式k
ax b x +>的解集是6x >或40x −<<．
．
2．（2023·广西桂林·一模）如图，直线1y kx b =+与双曲线2a y x
=相交于A 、B 两点，直线AB 与x 轴相交于点C ，点B 的坐标是()3m m ，，5OA =，E 为x 轴正半轴上一点，且3os 5
c AOE ∠=．
(1)双曲线2y 的解析式是 ，直线1y 的解析式是 ．
(2)求证：3AOB COB S S =△△．
(3)当12y y >时，x 的取值范围是 ．
【答案】(1)
122,23y y x x ==+ (2)见解析
(3)60x −<<或3x >
【分析】（1）根据三角函数的定义求出点A 的坐标，代入反比例函数解析式求出结果即可；求出点B 的坐标，用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据A 、B 两点的坐标分别表示出AOB 和BOC 的面积即可得出答案；
（3）根据函数图象得出x 的取值范围即可．
【详解】（1）解：过点A 作AD x ⊥轴于点D ，如图所示：
∵
3cos 55OD AOE ∠==， ∴3OD =，
∴4AD ，
∴()34A ，，
将点A 的坐标代入反比例函数
2y x =12a =， ∴双曲线2y 的解析式为12y x =，
∵点()3B m m ，在反比例函数
12
y x =图象上， ∴12
3m m =，解得2m =±，
∴()6,2B −−，
把()34A ，，()6,2B −−代入1y kx b =+得3462k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
∴直线1y 的解析式是223y x =+；
（2）解：∵()34A ，，()6,2B −−，
∴AOC 的面积1422OC OC =⨯⨯=，BOC 的面积122OC OC =⨯⨯=，
∴AOB 的面积3OC =，
∴3AOB BOC S S =△△；
（3）解：根据函数图象可知，当60x −<<或3x >时，一次函数在反比例函数图象的上面，
∴当12y y >时，x 的取值范围为60x −<<或3x >．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数的解析式，三角函数的应用，解题的关键是数形结合，根据三角函数求出点A 的坐标．
3.（2023·四川泸州·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数(0)k
y x x
=>的图象交于第一象限()1,4C ，()4D m ，两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC ，OD ．（O 是坐标原点）
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)直接写出当一次函数值小于反比例函数值时x 的取值范围；
(3)将直线AB 向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数(0)k y x x =>图象只有一个交点？
【答案】(1)4
y x =
，5y x =−+； (2)01x <<或>4x ；
(3)1．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的x 的范围即可；
（3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可；
【详解】（1）解：∵反比例函数
k
y x =过点()1,4C ，()4,D m ， ∴144k m =⨯=，解得：4k =，1m = 反比例函数解析式为：
4
y x =，点()4,1D ， ∵一次函数解析式y ax b =+过点C ，D ，
∴441a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：15a b =−⎧⎨=⎩
∴一次函数解析式为：5y x =−+；
（2）解：根据图象，不等式
k
ax x +<的解集为：01x <<或>4x ； （3）解：设直线AB 向下平移n 个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为5y x n =−+−， 联立两个函数得：45x n x =−+−，整理得：2(5n)40x x −−+=，
2(5)4140n ∆=−−⨯⨯=，
∴54n −=±，9n =或1，
∵点(0,5)B ，
∴9n =不符合题意舍去．
∴直线AB 向下平移1个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
4．（2024·新疆·一模）如图，一次函数()110y k x b k =+≠与反比例函数()220k y k x
=≠的图象交于点()()2,3,,1A B n −．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)判断点()2,1P −是否在一次函数1y k x b =+的图象上，并说明理由；
(3)直接写出不等式21k k x b x
+≥的解集． 【答案】(1)反比例函数解析式为
6y x =，一次函数的解析式为122y x =+ (2)点()2,1P −在一次函数122y x =+的图象上，理由见解析
(3)60x −≤<或2x ≥
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先利用点A 求出反比例函数的解析式，由此求出点B 的坐标，再利用点A 及点B 的坐标求出一次函数的解析式；
（2）在一次函数中求出2x =−时的函数值即可得到结论；
（3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：将点()
2,3A 代入反比例函数()220k y k x =≠中，得2236k =⨯=， ∴反比例函数解析式为6
y x =；
将点
()
,1B n −代入
6
y x =
中，得6n −=，∴6n =−，∴()6,1B −−，
将点()2,3A 、()6,1B −−代入一次函数()110y k x b k =+≠中，得112361
k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，∴1122k b ⎧=⎪⎨
⎪=⎩，
∴一次函数的解析式为
1
22y x =
+；
（2）解：点()
2,1P −在一次函数
1
22y x =
+的图象上，理由如下：
在
1
2
2y x =
+中，当2x =−时，()12212y =⨯−+=，
∴点
()
2,1P −在一次函数
1
22y x =
+的图象上；
（3）解：由图象可知：当60x −≤<或2x ≥时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方或二者的交点处，即
2
1k k x b x +≥
，
∴当60x −≤<或2x ≥时，
2
1k k x b x +≥
．
1．（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数()0k
y x x
=>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，且点D 为AB 的中点．
(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；
(2)若一次函数y x m =+与反比例函数()0k y x x
=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为4
y x =
，()22E ，
(2)30m −≤≤
【分析】（1）根据矩形的性质得到BC OA
AB OA ∥，⊥，再由()
4,1D 是AB 的中点得到
()
42B ，，从而得到点E 的纵坐标
为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标即可； （2）求出直线y x m =+恰好经过D 和恰好经过E 时m 的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形OABC 是矩形，∴BC OA
AB OA ∥，⊥， ∵
()
4,1D 是AB 的中点，∴
()
42B ，，∴点E 的纵坐标为2，
∵反比例函数
()0k y x x =
>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，∴
14k =，∴4k =，
∴反比例函数解析式为4
y x =
，
在
4
y x =
中，当42y x ==时，2x =，∴()22E ，；
（2）解：当直线 y x m =+经过点()22E ，时，则22m +=，解得0m =； 当直线 y x m =+经过点()41D ，
时，则41m +=，解得3m =−；
∵一次函数y x m =+与反比例函数()0k
y x x =
>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点
M 可与点,D E 重合），
∴30m −≤≤．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m
y x
=的图像相交于()1,4A −，(),1B a −两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点(),0P n 在x 轴负半轴上，连接AP ，过点B 作BQ AP ∥，交m
y x
=的图像于点Q ，连接PQ ．当BQ AP =时，若四边形APQB 的面积为36，求n 的值．
【答案】(1)
4
y x =−
，3y x =−+(2)
215n =−
【分析】（1）根据反比例函数过点
()
1,4A −，
()
,1B a −两点，确定
()
4,1B −，待定系数法计算即可．
（2）根据平移思想，设解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m
y x =
的图像相交于()1,4A −，(),1B a −两点，
∴144m =−⨯=−，
故反比例函数的解析式为4y x =−
，
∴
441a =−
=−，
故
()
4,1B −，
∴414k b k b +=−⎧⎨−+=⎩，解得13k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线的解析式为3y x =−+．
（2）∵()
1,4A −，
()
4,1B −，
()
,0P n ，BQ AP ∥，BQ AP =，
∴四边形APQB 是平行四边形，
∴点A 到点P 的平移规律是向左平移1n −−个单位，向下平移4个单位，
∴点()
4,1B −到点Q 的平移规律也是向左平移1n −−个单位，向下平移4个单位，
故
()
5,5Q n +−， ∵
()
5,5Q n +−在
4
y x =−
上，
∴
44555n +=−
=
−，
解得：
215n =−
，
∴点P 的坐标为210,5⎛
⎫− ⎪
⎝
⎭， 设AB 与x 轴交于点C ，连接PB ，如图所示：
把0y =代入3y x =−+，解得：3x =，
∴
()
3,0C ，
∴2136
355PC ⎛⎫=−−=
⎪⎝⎭， ∴
()136411825APB
S
=⨯⨯−−=⎡⎤⎣⎦，
∵四边形APQB 为平行四边形， ∴
236
APB
APQB S S
==四边形，
∴当
21
5n =−
时，符合题意．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键． 3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4
y x
=的图象交于点(),4A m ，与x 轴交于点B ， 与y 轴交于点()0,3C ．
(1)求m 的值和一次函数的表达式； (2)已知P 为反比例函数4
y x
=图象上的一点，2OBP OAC S S =△△，求点P 的坐标． 【答案】(1)3y x =+ (2)
()
2,2P 或
()2,2−−
【分析】（1）先把点A 坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，进而求出点A 的坐标，再把点A 和点C 的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出3OB =，3OC =，过点A 作AH y ⊥轴于点H ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，如图所示，根据2OBP
OAC
S S =△△可得11
222OB PD OC AH
⋅=⨯⋅，求出2PD =，则点P 的纵坐标为2或2−，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：点()
,4A m 在反比例函数
4
y x =
的图象上，
4
4m ∴=
，
1m ∴=，
()
1,4A ∴，
又点
()
1,4A ，
()
0,3C 都在一次函数y kx b =+的图象上，
43k b
b =+⎧∴⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为3y x =+．
（2）解：对于3y x =+，当0y =时，3x =−，
∴
()
30B −，，
3OB ∴=，
∵()
0,3C ，
3OC ∴=
过点A 作AH y ⊥轴于点H ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，如图所示．
2OBP AOC S S =△△，
11
222OB PD OC AH ∴⋅=⨯⋅． 11
323122PD ∴⨯⨯=⨯⨯⨯，
解得2PD =． ∴点P 的纵坐标为2或2−．
将2y =代入
4
y x =
得2x =， 将=2y −代入
4
y x =
得2x =−，
∴点
()
2,2P 或
()2,2−−．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
4．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x
=>的图像交于点A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，AD x ⊥轴于点D ，CB CD =，点C 关于直线AD 的对称点为点E ． (1)点E 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形． ①求k 、b 的值；
②若点P 在y 轴上，当PE PB −最大时，求点P 的坐标．
【答案】(1)点E 在这个反比例函数的图像上，理由见解析 (2)①1k =，2b =；②点P 的坐标为(0,2)−
【分析】（1）设点A 的坐标为
8(,
)
m m ，根据轴对称的性质得到AD CE ⊥，AD 平分CE ，如图，连接CE 交AD 于H ，
得到CH EH =，再结合等腰三角形三线合一得到CH 为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，求出4,H m m ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，进而求
得
4(2,
)
E m m ，于是得到点E 在这个反比例函数的图像上；
（2）①根据正方形的性质得到AD CE =，AD 垂直平分CE ，求得
1
2CH AD
=
，设点A 的坐标为
8(,)m m ，得到2m =（负值舍去），求得(2,4)A ，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得，解方程组即可得到结论；②延长ED 交y 轴于P ，根据已知条件得到点B 与点D 关于y 轴对称，求得PE PD PE PB
−=−，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE 的解
析式为2y x =−，于是得到结论．
【详解】（1）解：点E 在这个反比例函数的图像上． 理由如下：
一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数
8
(0)y x x =
>的图像交于点A ，
∴设点A 的坐标为
8
(,
)m m ，
点C 关于直线AD 的对称点为点E ，
AD CE ∴⊥，AD 平分CE ，
连接CE 交AD 于H ，如图所示：
CH EH ∴=， AD x ⊥轴于D ，
CE x ∴∥轴，90ADB ∠=︒， 90CDO ADC ∴∠+∠=︒， CB CD =， CBO CDO ∴∠=∠，
在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，
CAD CDA ∴∠=∠，
CH ∴为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，
4,H m m ⎛⎫∴ ⎪
⎝⎭，
4(2,
)E m m ∴，
428m m ⨯
=，
∴点E 在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①四边形ACDE 为正方形，
AD CE ∴=，AD 垂直平分CE ，
12CH AD ∴=
，
设点A 的坐标为
8
(,
)m m ，
CH m ∴=，
8AD m =
，
182m m ∴=
⨯
，
2m ∴=（负值舍去），
(2,4)A ∴，(0,2)C ，
把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得242k b b +==⎧⎨
⎩，解得1
2k b =⎧⎨=⎩； ②延长ED 交y 轴于P ，如图所示：
CB CD =，OC BD ⊥，∴点B 与点D 关于y 轴对称，
PE PD PE PB
∴−=−，则点P 即为符合条件的点，
由①知，(2,4)A ，(0,2)C ，(2,0)D ∴，(4,2)E ，
设直线DE 的解析式为y ax n
=+，∴2042a n a n +=+=⎧⎨
⎩，解得1
2a n ==−⎧⎨⎩，∴直线DE 的解析式为2y x =−， 当0x =时，=2y −，即
()0,2−，故当PE PB −最大时，点P 的坐标为(0,2)−．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．。