等比数列及其前n项和（学生）

等比数列及其前n项和（学生）

第一篇：等比数列及其前n项和(学生)

自强学校高一数学

等比数列及其前n项和

1．等比数列的定义

如果一个数列从

A．2B.2C.2D.24．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的()

A．充分而不必要条件C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S20＝8则S30＝________.等比数列中基本量的运算

【例1】等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a49q∈(0，1)．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n 的值．

总结：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．

练习1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.等比数列的判定及证明

【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．

总结：证明一个数列是等比数列的主要方法有两种：一是利用等比数列的定义，即证明an＋1*2*

＝q(q≠0，n∈N)，二是利用等比中项法，即证明an＋1＝anan ＋2≠0(n∈N)． an

练习2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an ＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

等比数列的综合应用

【例3】(2010·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n －5an－85，n∈N*.(1)证明：{an－1}是等比数列；

(2)求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小整数n.总结：数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，从而一直成为高考命题者的首选．

练习3．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn，n ＝1,2,3，…，求：

(1)a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；(2)a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．作业:

一、选择题

1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝4q＝()

111A．－2B．2C．2D.22．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()

A．42B．7C．6D．52

13．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－5t的值为()

A．4B．5C.5D.54．已知等比数列{an}中，若a1 005·a1 007＝4，则该数列的前2 011项的积为()

A．42 011B．±42 011C．22 011D．±22 011

225．若a1＝1，对于任何n∈N*，都有an＞0，且nan＋1＝(2n －1)an＋1an＋2an.设M(x)表示

整数x的个位数字，则M(a2 011)＝()

A．2B．3C．4D．5

二、填空题

6．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，若数列{an＋c}恰为等比数列，则c的值为________．7．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝____.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n

＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.三、解答题

10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通项公式．

11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

12.在数列{an}中a1＝1，an＝2(an－1－1)＋n(n≥2，n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式；(3)求数列{an}的前n项和Sn.

第二篇：等比数列前n项和

5.3.2等比数列的前n项和

复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什么？复习2：已知等比数列中，a3=3，a6=81，求a9,a10.二、新课导学故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励” 新知：等比数列的前n项和公式

设等比数列a1,a2,a3,ΛanΛ它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+Λan，公比为q≠0，公式的推导方法一：则⎧⎪⎨S=a

2n-2n-1

n1+a1q+a1q+Λa1q+a1qqS ⎪⎩∴n(1=-q)Sn=

当qn①或Sn=q=1时，Sn=公式的推导方法二：由等比数列的定义，a2

=

a3

=Λ=

an

=q，有

a2+a3+Λ+an∴(1-q)Saa2an-1

a=

Sn-a1=q，即

Sn-a1=q.1+a2+Λ+an-1

Sn-an

Sn-an

n=a1-a1nq（结论同上）

公式的推导方法三：

Sn=a1+a2+a3+Λan＝a1+q(a1+a2+a3+Λan-1)＝a1+qSn-1＝a1+q(Sn-an).∴(1-q)Sn=a1-anq（结论同上）

试试：求等比数列1，1，1，…的前8项的和.例1已知a2148

1=27，a9=，q<0，求这个等比数列前5项的和.变式：a243

1=3，a5=48.求此等比数列的前5项和.例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位9)练1.等比数列中，a3=

3练2.一个球从100m高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第2,S3=,求a1及q.10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m）

三、学习小结

1.等比数列的前n项和公式；

2.等比数列的前n项和公式的推导方法；

3.“知三求二”问题，即：已知等比数列之a1,an,q,n,Sn五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.※ 知识拓展

1.若q≠-1，m∈N*，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为aqm

.2.a若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,a,aq.若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为

q3,a

q,aq,aq3.q

3.证明等比数列的方法有：（1）定义法：