高考数学母题题源系列 专题13 三角函数性质的综合应用 文(含解析)

三角函数性质的综合应用
【母题来源】2015天津卷文-14
【母题原题】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．
【考点定位】本题主要考查三角函数的单调性、对称性.
【试题解析】
因为()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的递增区间长度为半个周期,所以由()f x 在区间(),ωω-内单调递
增, 可得π
2ωω
≤
,所以0ω<≤
,又()f x 的图像关于直线x ω=对称, ,且
()()
2222πππsin cos sin 12π442f k k ωωωωω⎛
⎫=+=⇒+=⇒+=+∈ ⎪⎝
⎭Z ,由0ω<≤
可
得,2ππ42ωω+
=⇒= 【命题意图】本题主要考查三角函数性质的综合应用及分析问题解决问题的能力. 【方法、技巧、规律】
奇偶性、单调性、周期性是三角函数的重要性质,有关结论课本上都有,不再一一指出.除此之外,对称性也是三角函数的重要性质,由于课本对此总结较少,学生比较生疏,故这这里总结几点,供参考： 1.sin y x =的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴是直线()π
π2
x k k =+
∈Z ,其对称中心是()()π,0k k ∈Z ；
2. cos y x =的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴是直线()πx k k =∈Z ,其对称中心是
()ππ,02k k ⎛⎫+∈
⎪⎝
⎭Z ； 3. tan y x =的图像不是轴对称图形,是中心对称图形,其对称中心是()1π,02k k ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
Z ； 4. ()()()sin 0f x A x A ωϕω=+≠的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,()f x 图像关于直线
0x x =对称的充要条件是()0f x A =±,()f x 图像关于点0(,0)x 对称的充要条件是()00f x =.
【探源、变式、扩展】
下面以一个题组对此问题进行扩展：
【扩展】已知()()sin cos 0f x x x ωωω=+>. 1.若()f x 图像关于直线π
3
x =
对称,求实数ω的最小值； 2.若存在a ∈R ,使得()f x 在[],1a a +是单调函数,求实数ω的取值范围； 3. 若对任意a ∈R ,()f x 在[],1a a +上的值域为[]1,1-,求实数ω的取值范围；
4. 若对任意x ∈R ,()()0f x f x ≤,且()f x 在[]00,1x x +上至少有50个零点,求实数ω的取值范围.
【解析】1. ()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭,若()f x 图像关于直线π3x =对称,则
()ππππ342k k ω+=+∈Z ,即()334k k ω=+∈Z ,又0ω>,所以ω的最小值是3
4
. 2. 若存在a ∈R ,使得()f x 在[],1a a +是单调函数,
1π
ω
≥ ,所以0πω<≤,即ω的取值范围时(]0,π. 3. ()f x 在任意长度为一个周期T 的闭区间上的值域均为[]1,1-,若对任意a ∈R ,()f x 在[],1a a +上的值域为[]1,1-,应满足T ≤1,即
2π
ω
≤1,解得ω≥2π,故实数ω的取值范围是[)2π,+∞. 4.由题意可知()0f x 是()f x 最大值,设()f x 的最小正周期为T ,()f x 在区间[]00,1x x +上的第一个零点是04T x +,第50个零点是004999424T T T x x ++=+,所以99992π99π
1442
T ωω=⨯≤⇒≥,即ω的取值范
围99π,2⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
.
1.【2015在区间[]t ,0上至少取得2次最大值,则正整数t 的最小值是________． 【答案】
8
2.【2015
,
,
3.【2015江西吉安】设函数()sin(2)(0π),()f x x y f x φφ=-+<<=图象的一条对称轴是直线则φ
=__________.
4.【2015
江苏无锡】将函数()sin y x x x =+∈R 的图像向左平移个()0m m >单位长度后,所得的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是
【答案】π
6
5.【2015上海闸北区】
若存在)1,1(0-∈x 同时满足以下条件：
①对任意的R ∈x ,都有)()(0x f x f ≤成立；②22200[()]x f x m +<,则m 的取值范围是 ． 【答案】()()+∞-∞-,22,
6.【2015湖北咸宁】
3,其图像相邻两条对称轴之
________________； 【答案】3
【解析】∵函数f （x ）的最大值为3,∴A+1=3,即A=2；
7.【2015浙江湖州】已知0ω>,函数()πsin 4f x x ω⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减．
则ω的取值范围是 .
8.【2015河南安阳】
且()f x 在区间,
无最大值,则ω＝__________．
9.【2014
ω＞0),把函数)(x f 的图象向右平移,所得图象的一条对称轴方程是x
的最小值是 . 【答案】2.
10.【2014湖北长阳】已知函数f (
x )＝2sin ωx
（ω＞0）在区间[上的最小值为－2,则ω的取值范围是 ．
【答案】＋∞).。