高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》全集汇编附答案解析

新数学《平面解析几何》试卷含答案
一、选择题
1．点为椭圆
的一个焦点，若椭圆上存在点使
（为坐标原
点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到
.
【详解】
由题意，可设椭圆的焦点坐标为， 因为为正三角形，则点
在椭圆上，
代入得，即，
得，解得
，
故选B ． 【点睛】
本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.
2．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．2) B ．3)
C ．(2,)+∞
D ．3,)+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得
1b
a
>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围． 【详解】
解：不妨设该双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形， 所以直线y x =与双曲线有交点，
所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1b
a
>．
离心率e =
所以该双曲线的离心率的取值范围是)+∞． 故选：C ． 【点睛】
本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
3．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（ ）
A ．
3
B ．
12
C ．
23
D ．
2
【答案】B 【解析】 【分析】 由2
(3)4y k x y x
=+⎧⎨
=⎩，得()
22226490k x k x k +-+=，()
224
64360k k ∆=-->，得21
3
k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从
而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >，
由2(3)4y k x y x
=+⎧⎨=⎩，得()
22226490k x k x k +-+=，()
22
464360k k ∆=-->，
所以2
13
k <，129x x =①.
因为1112p FA x x =+
=+，2212
p
FB x x =+=+，且5FA FB =， 所以1254x x =+②. 由①②及20x >得21x =， 所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+，
得12k =
. 故选：B
【点睛】
本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于A ，
B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
【答案】D 【解析】 【分析】
由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，
又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，
当CP l ⊥时弦长最短，此时2
2
2
2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
5．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）
A ．
125 B ．6
5
C ．2
D 【答案】A 【解析】
试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线2
4y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的
距离公式可知()()
122min min
22
3912
5
34d d MF d ++=+=
=
+，故选A. 考点：抛物线定义的应用.
6．如图，12,F F 是双曲线2
2
1:13
y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一
象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）
A ．
1
3
B ．
15
C ．
23
D ．
25
【答案】C 【解析】
由2
2
1:13
y C x -=知2c =，1124F A F F ==
∵122F A F A -= ∴22F A =
∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴2
3,3
c a e a === 故选C
7．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP FP →→
g 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r
表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r
，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r
，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即2
2334y x =-，
所以()2222
23132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r
又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r
的最大值为6 故选：C 【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
8．已知0mn ≠，则方程是221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是 ( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
方程2
0mx ny +=即2
m
y x n
=-
，表示抛物线，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆或双曲线，当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程()2
2
10mx ny mn +=≠表示椭圆，无符合条件的选项，当m 和n 异号时，抛物线2
m
y x n
=-
开口向右，方程221mx ny +=表示双曲线，故选A.
9．已知直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1
2
k >
B ．16k <-
或1
2
k > C ．62k -<< D ．1162
k -
<< 【答案】D
【解析】 【分析】
联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线1
22y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩
，解得即可． 【详解】
解：联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2421
6121k x k k y k -⎧
=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-
+的交点位于第一象限， ∴24021610
21
k
k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：11
62k -<<．
故选：D ． 【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
10．设P 为椭圆C ：22x y 173
+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，
使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )
A ．22(x 2)y 28-+=
B ．22(x 2)y 7++=
C ．22(x 2)y 28++=
D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】
推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =
，从而11PF
PQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】
P Q 为椭圆C ：22
x y 173
+
=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，
12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，
11
PF PQ FQ 27∴+==， Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，27为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若
3AF FB =uu u r uu r
，则AOF V 的面积（O 为坐标原点）为（ ）
A ．
3 B ．3
C ．
43
3
D ．23
【答案】B 【解析】 【分析】
首先过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥，易得
30ABM ∠=o ，60AFH ∠=o .根据直线AF ：3(1)y x =-与抛物线联立得到
1210
3x x +=
，根据焦点弦性质得到163
AB =，结合已知即可得到sin 6023AH AF ==o ，再计算AOF S V 即可.
【详解】 如图所示：
过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥. 因为3AF BF =uuu r uu u r
，设BF k =，则3AF k =，11BB A M k ==.
所以2AM k =. 在RT ABM V 中，1
2
AM AB =，所以30ABM ∠=o . 则60AFH ∠=o .
(1,0)F ，直线AF 为1)y x =-.
22
1)
310304y x x x y x
⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，12103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=
+=，3
44
AF AB ==.
在RT AFH V 中，sin 60AH AF ==o
所以1
12
AOF S =⨯⨯=V 故选：B 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.
12．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：
()()
22
448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值. 【详解】
由已知()2,0A ，()0,2B -
则AB =
=，
又点M =
所以最大面积为1
102
⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.
13．过双曲线22
134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲
线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B ．23-
C ．13+
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】
由图象可得
()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=
()(22
211112322322PF PF OF OT -+-=⋅-+= 故选：B. 【点睛】
本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．
14．已知12F F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上一
点，2PF 与x 轴垂直，1230PF F ∠=︒，且焦距为3 ） A ．3y x = B ．2y x =
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出c 的值，再求出点P 的坐标，可得2
2b
PF a
=，再由已知求得1PF ，然后根据双曲
线的定义可得b
a
的值，则答案可求． 【详解】
解：由题意，223c =
解得3c =，
∵()2,0F c ，设(),P c y ，
∴22221x y a b
-=，解得2b y a =±，
∴2
2b PF a
=，
∵1230PF F ∠=︒，
∴2
1222b PF PF a
==，
由双曲线定义可得：2
122b PF PF a a
-==，
则222a b =，即
2b
a
=． ∴双曲线的渐近线方程为2y x =±． 故选：B ．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.求解双曲线的渐近线方程，可通过找到
,,a b c 中任意两个量的倍数关系进行求解.
15．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223
F PF π
∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） A 5B 5C 25
D 25
【答案】D 【解析】 【分析】
利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程222
1243c a a =+，由此得到关于离心率
的方程求得结果.
【详解】
设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则2
2
1212PF PF a a =-，
由余弦定理得：2
2
22
2
12121212242cos
3
c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2212314e e ∴
+=，又22e =，2
145
e ∴=， 125
e ∴=
. 故选：D . 【点睛】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
16．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发
出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线
()2
2
2713664
x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）
A ．9011,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭
B ．135322,77⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
C ．3217,3⎛
⎫±
⎪⎝⎭
D ．(45,162±
【答案】B 【解析】 【分析】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥，根据双曲线
的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为
()2211522564x y x -=>，与双曲线()2
2
2713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥
由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =
故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()22
11522564
x y x -=>
联立()()()22
2227121366411522564
x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩
，解得135,7P ⎛ ⎝⎭ 故选：B 【点睛】
本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.
17．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H
，直线
2p y =-
与C 交于A ，B
两点，若||3
AH =，则||AF =（ ） A ．3 B ．8
3
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
注意到直线2p
y =-
过点H ，利用
||||AM AH
=tan AHM ∠
=||AH =||2AM =，再利用抛物线的定义即可得到答案.
【详解】
连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛
⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
．易知直
线2p y =
-
过点H
，tan 3AHM AHM π∠=∠=
，则||||AM AH =又
43
||AH =
， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.
故选：C. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
18．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的
直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()
21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v
，则此双曲线的标准方程
可能为（ ）
A ．22
143x y -=
B ．22
134x y -=
C ．22
1169
x y -=
D ．221916
x y -=
【答案】D 【解析】 【分析】
先由()
21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到122
2F F F A c ==，根据2AF 的斜率为24
7
，求出217cos 25
AF F ∠=-
，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出a
b ，进而可得出结
果. 【详解】
由()
21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r
，可知1222F F F A c ==，
又2AF 的斜率为
24
7，所以易得217cos 25
AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得116
5
AF c =， 由双曲线的定义得
16
225
c c a -=，
所以5
3
c e a =
=，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为22
1916
x y -=.
故选D 【点睛】
本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.
19．已知椭圆2
221(1)x y a a
+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的
一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ）
A ．
2
B C ．
2
D 【答案】B 【解析】 【分析】
设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率. 【详解】
设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得
AN AT =，
11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，
由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，
()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-
222(3)a F M a c =-=--，
则26a =，即3a =，
又1b =，所以c ==
因此椭圆的离心率为c e a ==
. 故选：B.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.
20．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F = ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =，1223F F =3c =2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上， 12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =3c =
，2
2 4b a
=， 222c a b =-，解得3a =，6b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．。