压轴题10 圆锥曲线压轴解答题常考套路题型(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题10圆锥曲线压轴解答题常考套路题型
解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：
（1）解析几何通性通法研究；
（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；
（3）解析几何中的常见模型；
解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开．
考向一：轨迹方程
考向二：向量搭桥进行翻译
考向三：弦长、面积范围与最值问题
考向四：斜率之和差商积问题
考向五：定值问题
考向六：定点问题
1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．
2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．
3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．
4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
5
、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．
1．（2023·北京海淀·统考一模）已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，122B B =，四边形1122A B A B
的周长为．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设斜率为k 的直线l 与x 轴交于点P ，与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴的对称点为M '、直线M N '与y 轴交于点Q ．若OPQ △的面积为2，求k 的值．
【解析】（1）由122B B =，得22b =，即1b =，
由四边形1122A B A B
的周长为
，得=25a =，所以椭圆的方程为2215
x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠，0m ≠），11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(,0)m P k
-，11(,)M x y '-，联立方程组2215x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 得，222(51)10550k x kmx m +++-=，222(10)4(51)(55)0km k m ∆=-+->，得2251k m >-，
1221051km x x k +=-+，21225551
m x x k -=+，直线M N '的方程为212212
()y y y y x x x x --=-+，令0x =，得211221221212
(0)y y x y x y y x y x x x x -+=-+=++，
又因为()()1221122112122102()51k x y x y x kx m x kx m kx x m x x k -+=+++=++=
+，所以1
(0,)Q m ，OPQ △的面积1122m k m ⨯-
=，得14
k =±，经检验符合题意，所以k 的值为14±.2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下轨迹C .已知细绳长度为3cm ，经测量，当笔尖运动到点P 处时，30,90FAP AFP ∠∠== .设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，以1cm 为单位长度，建立平面直角坐标系.
(1)求C 的方程；
(2)过点()0,3D -且斜率为k 的直线l 与C 交于,M N 两点，k 的取值范围为()0,2，探究：
是否存在λ，使得DM DN λ= ，若存在，求出λ.的取值范围，若不存在，说明理由.
【解析】（1）依题意，笔尖到点F 的距离与它到直线a 的距离相等，
因此笔尖留下的轨迹为以F 为焦点，a 为准线的抛物线，
设其方程为22(0)y px p =>，则(,0)2
p F ，由30,90FAP AFP ︒︒∠=∠=，得2PA PF =，
又||||3PF PA +=，所以1PF =，所以点P 到直线a 的距离为1，
由60FPA ︒∠=得点P 的横坐标122
p -，而抛物线的准线方程为2
p x =-，则11222p p -+=，解得32
p =，所以轨迹C 的方程为23y x =.
（2）假设存在λ，使得DM DN λ= ，
设()()1122,,,M x y N x y ，
直线l 的方程为3y kx =-，
由233y kx y x
=-⎧⎨=⎩消去y 得：22(63)90k x k x -++=，
而(0,2)k ∈，
22(63)363690k k k ∆=+-=+>，
121222639,k x x x x k k
++==，22
2121222112263()(14249)k x x x x k x x x x k k k ++++==++，由DM DN λ= 得12x x λ=，即12
x x λ=，于是21
142k k
λλ+=++，令11(,)2t k =∈+∞，22214242(2)2t t t k k ++=++=+-17(,)4
∈+∞，因此1
174
λλ+>，又0λ>，即217104λλ-+>，解得104
λ<<或4λ>，所以存在1(0,(4,)4
λ∈⋃+∞，使得DM DN λ= 成立.3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32
，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．
①求证：直线PQ 经过定点．
②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．
【解析】（1）当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，
且最大值为112222
AB b ab ab ⋅=⨯==，
由题意可得22222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩
，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
所以，椭圆C 的标准方程为2214
x y +=.（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y .
若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.
设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，
联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()
2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244
n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n y n
-++-+-+--=⋅===-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12
n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
.②由韦达定理可得1224
t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，
12121·2S S AM BM y y -=--=
4
1
=++，
20t ≥
因为函数()1f x x x
=+
在)
+∞
上单调递增，故15≥=，
所以，121615
15
S S -≤0=t 时，等号成立，因此，12S S -的最大值为154
.4．（2023·全国·校联考二模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)C b
b x a a y +>>=的上焦点为F ，且C 上的点到点F
的距离的最大值与最小值的差为过点F 且垂直于y 轴的直线被C 截得的弦长为1.
(1)求C 的方程；
(2)已知直线l ：(0y kx m m =+≠）与C 交于M ,N 两点，与y 轴交于点P ，若点P 是线段MN
靠近N 点的四等分点，求实数m 的取值范围．
【解析】（1）设C 的焦距为2c
，由题意知2222
()()21a c a c b a a b c ⎧+--=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩
解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故C 的方程为2
2
14y x +=．（2）
设()()1122,,,M x y N x y ，联立2
214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
消去y 整理得()2224240k x mkx m +++-=，
所以()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244
m x x k -=+．因为点P 是线段MN 靠近点N 的四等分点，所以3MP PN = ，所以123x x =-，
所以()()()221222212332434x x x x x x x +=⨯-=-⨯-=-．所以()21212340
x x x x ++=所以()()
2222224412044m k m k k -+=++，
整理得222240m k m k +--=，
显然21m =不成立，所以22
241m k m -=-．因为32
40k m -+>，所以2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-．解得21m -<<-，或12m <<，
所以实数m 的取值范围为(2,1)(1,2)--⋃．
5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知()2,0A -，()2,0B ，动点(),Q x y 关于x 轴的对
称点为1Q ，直线AQ 与1BQ 的斜率之积为14
-.(1)求点Q 的轨迹C 的方程；
(2)设点P 是直线1x =上的动点，直线PA ，PB 分别与曲线C 交于不同于A ，B 的点M ，N ，过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，求AD 最大时点P 的纵坐标.
【解析】（1）由题意得()1,Q x y -，且2x ≠±，2AQ k y x =+，12
BQ y k x -=-，所以1224y y x x -⋅=-+-，整理得曲线()22:124
x C y x -=≠±.（2）
设()01,P y ，()11,M x y ，()22,N x y ，
若直线MN 平行于x 轴，根据双曲线的对称性，可知点P 在y 轴上，不符合题意，
故设直线MN ：()2,0x ty m m =+≠±，代入曲线C 中，得()2224240t y tmy m -++-=，
则12224tm y y t -+=-，212244m y y t -=-，则()2121242m ty y y y m -=-+，由P ，A ，M 三点共线得PA MA k k =，即01132y y x =+，同理，由P ，B ，N 三点共线得2022y y x -=-，消去0y ，得()()21122320y x y x ++-=，即()()121243220ty y m y m y +-++=，
得()
()()()21212243220m y y m y m y m --++-++=，得()()()()1224240m m y m m y ---+-=，即对任意1y ，2y ，都有[]12(4)(2)(2)0m m y m y ---+=成立，故4m =或12(2)(2)0m y m y --+=，若12(2)(2)0m y m y --+=，由212244m y y t -=
-，12224tm y y t -+=-可得：1222(2)(2),,44m t m t y y t t -+--=
=--所以22222(4)444
m t m t t --=--即224t t =-，矛盾，故12(2)(2)0m y m y --+≠，所以4m =.
所以直线MN ：4x ty =+恒过点()4,0H ，则点D 的轨迹是以HB 为直径的圆，其方程为()2231x y -+=，
当D 与H 重合时，AD 最大，此时MN x ⊥轴，AM ：)2y x =+，1,2P ⎛± ⎝⎭
.
所以当AD 最大时，点P 的纵坐标为2±.
6．（2023·湖南·校联考二模）已知椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>
经过点(，且离心
．F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：3x =上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF ．(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；
(2)记△AFM 、△BFM 的面积分别为1S 和2S ，当12S S -取最大值时，求直线AB 的方程．
参考结论：点()00,Q x y 为椭圆22221x y
a b
+=上一点，则过点Q 的椭圆的切线方程为
00221x x y y
a b
+=．【解析】（1
）由题意可得b =
，c
a =
222a b c =+，
所以2
6a =，2
2b =，椭圆E 的方程为22
162
x y +=．
设()11,A x y ，()22,B x y ，()03,P y ，
由参考结论知过点P 在A 处的椭圆E 的切线方程为
11162
x x y y +=，同理，过点P 在B 处的椭圆E 的切线方程为
22162
x x y y +=．因为点P 在直线PA ，PB 上，所以10
1202122
12
2y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
所以直线AB 的方程为0122
x y y
+=，则直线AB 过定点()2,0M ．
（2）设直线AB 的方程为2x ty =+，
联立方程组222
16
2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22
3420t y ty ++-=，
故12243t
y y t +=-
+，12
223
y y t =-+，
121212
2
88223
3
t S S y y y y t t t
-=-=+=
=
≤
++
，
当且仅当3
t
t
=
，即t =
此时直线AB 的方程为2x =+．
7．（2023·上海金山·统考二模）已知椭圆:Γ()22
21024x y b b
+=<<.
(1)已知椭圆ΓΓ的标准方程；(2)已知直线l 过椭圆Γ的右焦点且垂直于x 轴，记l 与Γ的交点分别为A 、B ，A 、B 两点关于y 轴的对称点分别为A '、B '，若四边形ABB A ''是正方形，求正方形ABB A ''的内切圆的方程；
(3)设О为坐标原点，P 、Q 两点都在椭圆Γ上，若OPQ △是等腰直角三角形，其中OPQ ∠是直角，点Р在第一象限，且O 、P 、Q 三点按顺时针方向排列，求b 的最大值.
【解析】（1）由题意得2a =，c a =
c =所以2221b a c =-=，
所以椭圆Γ的标准方程为2
214
x y +=；
（2）设右焦点()1,0F c ，左焦点()2,0F c -，
因为四边形ABB A ''是正方形，不妨设点A 在第一象限，则(),A c c ，
所以12,AF c AF ===，
由(12124AF AF c a +===
，得1c ，正方形ABB A ''的内切圆的圆心为()0,0
1-，
所以所求圆的方程为226x y +=-
；
（3）设直线OP 的倾斜角为π,0,2
θθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，斜率为()0k k >，
则直线OQ 的斜率为π1
tan 41k k θ-⎛
⎫-= ⎪+⎝⎭，
设()()1122,,,P x y Q x y ，则2110,0x x y >>>，
联立22
214x y b y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，得22
12244b x k b =+，
同理可得
()
()()2
22
222
22
22414141141b k b x k k b k b k +=
=
--++⎛⎫
+ ⎪+⎝⎭
，
由OQ 得2
2
2OQ OP =，
即()
2
22222
2
211121k x x x k x k -⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭
，
整理得()()222
244002b k b k b +-+=<<，
注意到
(
)2
2
240b b
->且2
4
0b >，
则要使上述关于k 的一元二次方程有正数解，
只需要()2
22Δ44160b b =--≥，解得01b <≤，
所以b 1.
8．（2023·上海黄浦·统考二模）已知双曲线C 的中心在坐标原点，左焦点1F 与右焦点2F 都在x 轴上，离心率为3，过点2F 的动直线l 与双曲线C 交于点A 、B ．设
22
2
AF BF AB
λ⋅=．
(1)求双曲线C 的渐近线方程；
(2)若点A 、B 都在双曲线C 的右支上，求λ的最大值以及λ取最大值时1AF B ∠的正切值；（关于求λ的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设
2||
AF AB 为μ，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l 的斜率为k ，建立相应
数量关系并利用它求最值）.
(3)若点A 在双曲线C 的左支上（点A 不是该双曲线的顶点，且1λ=，求证：1AF B △是等腰三角形．且AB 边的长等于双曲线C 的实轴长的2倍．【解析】（1）设双曲线方程为22
221x y a b
-=(),0a b >，焦距为2c ，
由3c e a ==
，所以b a ==
y =±.
（2）由（1）可得3c a =
，b =，所以双曲线C 的方程为22
2218x y a a
-=，
设21AF t =，22BF t =，因为点A 、B 都在双曲线C 的右支上，所以12AB t t =+，
所以(
)
(
)
22
12
122
2
2
1214AF BF t t t t t t AB
λ⋅=
=
≤
=
+，当且仅当12t t =时取等号，即max 1
4
λ=，当1
4
λ=
时12t t =，所以121122AF a t a t BF =+=+=，所以l x ⊥轴且1212AF F BF F ∠=∠，
又双曲线C 的方程为222218x y a a -=，即222
88x y a -=，由222388x a x y a =⎧⎨-=⎩
，解得8y a =±，可知28AF a =，又126F F a =，所以21212
84
tan 63
a AF F AF F F a ∠=
=
=，121122122tan 24
tan tan 21tan 7
AF F AF B AF F AF F ∠∠=∠=
=--∠
.
（3）设直线l 的方程为3x my a =+，将它代入22288x y a -=，可得
()2
2228148640m
y may a -++=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，
可得1224881am y y m +=--，2
1226481
a y y m =-，
由1λ=，可得2
22AF BF AB ⋅=，
)2
1212
y -=
，
又1y 、2y 同号，所以()2
1212y y y y =-，即()2
12125y y y y =+，
所以2
222644858181a am m m ⎛⎫= ⎪⎝--⎭
⨯-，解得2
54m =，
此时直线l
<l 与双曲线的两支都相交，
又221226464819
a a y y m ==-，所以()2212
222296411649A a m y y B a AF BF =⋅==+=⨯
，则4AB a =，它等于双曲线实轴长的2倍，此时211222422AF AF a BF a a BF a BF =-=+-=+=，
所以1AF B △是等腰三角形.
9．（2023·江西九江·校联考模拟预测）已知P 为椭圆22
142x y +=上一点，过点P 引圆
222x y +=的两条切线PA ､PB ，切点分别为,A B ，直线AB 与x 轴､y 轴分别交于点M ､N .
(1)设点P 坐标为0(x ，0)y ，求直线AB 的方程；(2)求MON △面积的最小值(O 为坐标原点）.【解析】（1）先求在圆上一点的切线方程：
设圆U 的方程为()()2
2
2x a y b r -+-=，圆心为(),U a b ，半径为r ，
设()00,V x y 是圆U 上的一点，则()()22
200x a y b r -+-=①，
设(),W x y 是圆U 在()00,V x y 处的切线方程上任意一点，则0VU VW ⋅=
，
即()()()()()()00000000,,0a x b y x x y y a x x x b y y y --⋅--=--+--=②，
-①②并整理得()()()()2
00x a x a y b y b r --+--=，
即圆U 在()00,V x y 处的切线方程为()()()()2
00x a x a y b y b r --+--=.
根据题意，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，
PA 是圆222x y +=的切线且切点为A ，则PA 的方程为112x x y y +=，
同理PB 的方程为222x x y y +=，
又由PA ､PB 交于点P ，则有10102x x y y +=，20202x x y y +=，则直线AB 的方程为002x x y y +=.
（2）要使,,O M N 围成三角形，则P 不是椭圆的顶点，所以000,0x y ≠≠，
由（1）可得M 的坐标为02
(
x ，0)，N 的坐标为
2(0,)y ，00
12
2OMN S OM ON x y =
⋅= ，又由点P 是椭圆22
142x y +=上的动点（非顶点），则有22
00142
x y +=，
则有220000142x y y =+≥
，即00||x y ≤当且仅当22001
422
x y ==
时等号成立，
00
12=2OMN S OM ON x y =
⋅ 即OMN
.
10．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知椭圆()
22
22:10x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ，右顶点为B ，坐标原点O 到直线AB
，AOB 的面积为2．(1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点()2,0P 且不过点()3,1Q 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MQ 与直线4x =交于点E ，证明：//PQ NE ．
【解析】（1）依题意，(0,),(,0)A b B a
，有||AB =，因为AOB 的面积为2，则
1
22
AOB S ab =
= ，又点O 到直线AB
的距离为
5
，则有1||22AOB S AB == ，
于是22410ab a b =⎧⎨+=⎩，而0a b >>
，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，
所以椭圆C 的方程为22
182
x y +=
.
（2）直线PQ 的斜率10
132
PQ k -=
=-，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，代入椭圆方程得1y =±，不妨设此时(2,1)M ，(2,1)N -，则(4,1)E ，直线NE 的斜率1(1)
142
NE PQ k k --=
==-，因此//PQ NE ；
当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)(1)y k x k =-≠，设1122(,),(,)M x y N x y ，则直线MQ 的方程为1111(3)3
y y x x --=
--，令4x =，得1114
(4,
)3y x E x +--，由2248
(2)
x y y k x ⎧+=⎨=-⎩消去y 得：2222(14161680)k x k x k +-+-=，由于点P 在椭圆C 内，必有0∆>，则21221614k x x k +=+，2122
168
14k x x k -=+，
11212
43
114NE y x y x k x +----=--()
()()11212143143y x y x x x +---=---
()()()()()
()()
1121212124234343k x x k x x x x x x -+-------=
--[]()()()()
22221212212148168
(1)(8)(1)3(814140)4343k k k k x x x x k k x x x x -----+--++===----，
因此1NE PQ k k ==，即//PQ NE ，所以//PQ NE .
11．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的长轴长是短轴长
的2倍，直线1
2
y x =
被椭圆截得的弦长为4．(1)求椭圆C 的方程；
(2)设M ，N ，P ，Q 为椭圆C 上的动点，且四边形MNPQ 为菱形，原点О在直线MN 上的垂足为点H ，求H 的轨迹方程．
【解析】（1）由题意可得2a b =，则椭圆C ：22
2214x y b b +=，
联立22
2
21412x y b b y x
⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或2x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
4=，解得2
85b =，所以2325
a =
，所以椭圆C 的方程为22
1
32855
x y +=，即2252032x y +=；
（2）因为四边形MNPQ 为菱形，所以,MP NQ 垂直且平分，设()()1122,,,M x y P x y ，
则2222112
252032,52032x y x y +=+=，两式相减得()()2222
12125200x x y y -+-=，
即()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，设菱形的中心为()00,x y ，
若直线,MP NQ 的斜率都存在，设直线,MP NQ 的斜率分别为12,k k ，由()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，得()()
()()121212
1240y y x x y y x x -+++=-，
所以001280x y k +=，即00140x y k +=，同理00240x y k +=，所以0102y k y k =，
由121k k =-得00y =，所以00x =，即菱形的中心为原点，则直线MP 的方程为1y k x =，直线NQ 的方程为2y k x =，
联立122
52032y k x x y =⎧⎨+=⎩
，解得2
12132520x k =+，所以()(
)22
1222211112
13211520k OM x y k x k +=+=+=
+，
同理(
)2
2
22
2
321520k ON k +=
+，
因为11
2
2OMN S OH OM ON =
=
，所以2
22
2
2
2
2
111OM ON OH
OM
ON
OM
ON
+=
=
()
()
22
22221212
1222222
2
1212
12
52052028555321321321k k k k k k k k k k k k +++++=
+
=⋅+++++()()
2222
12122222
1212285525525
321132232
k k k k k k k k +++++=⋅=⋅=+++++，
所以点H 在圆22
25
32
x y +=
上；若直线,MP NQ 中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，
,,,M N P Q 四点分别为椭圆的顶点，不妨设M 为右顶点，N 为上顶点，
则2
2
328,55OM ON =
=，同理可得22
2
2
2
2
2
11125
32
OM ON OH
OM
ON
OM
ON
+=
=
+
=
，点H 任在圆22
25
32
x y +=
上，综上所述，H 的轨迹方程为222532
x y +=
.
12．（2023·上海闵行·统考二模）已知O 为坐标原点，曲线1C ：()22210x
y a a -=>和曲线
2C ：22142
x y +=有公共点，直线1l ：11y k x b =+与曲线1C 的左支相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．
(1)若曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，求曲线1C 的离心率和渐近线方程；(2)若直线OM 经过曲线2C 上的点)
2,1T
-，且2a 为正整数，求a 的值；
(3)若直线2l ：22y k x b =+与曲线2C 相交于C 、D 两点，且直线OM 经过线段CD 中点N ，
求证：22
121k k +>．
【解析】（1）因为曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，所以曲线1C 和2C 的两公共点为左右顶点，则2a =，曲线1C 的半焦距5c =所以曲线1C 的离心率5
2
c e a =
=
，渐近线方程为12
y x =±；
（2）联立22
2111x y a y k x b
⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
，得()()222222
11111210a k x a k b x a b ---+=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则()222111
121222221112,11a b a k b x x x x a k a k -++==--，
所以211
22
11M a k b x a k =-，211111
22221111M a k b b y k b a k a k =+=--，故直线OM 的方程为21
1
y x a k =
，依题意直线OM 经过点)
2,1T -，
代入得212a k =42
12a k =，所以214
2k a =
，
因为直线1l 与曲线1C 的左支相交于两点，故
(
)()
22
1221
10
1a b a k -+>-，
得22
1
1a k >，则422212
a a
a >=，所以22a <，
又曲线1C 和2C 有公共点，所以204a <≤，所以202a <<，又2a 为正整数，所以21a =，所以1a =；（3）由（2）可得()1
21
02M M y k a x a
=<≤，同理，联立直线2l ：22y k x b =+与曲线2C ：
22
142
x y +=，可得2
12
N N y k x =-，因为N M M N y y x x =，所以2212
a k k =-，又因为22
11a k >，
所以422
222211
2
1
114a k k k k a k +=+>≥，
即22
121k k +>．
13．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为12，
左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线()1y t x =+交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，1PM MF λ= ，1PN NF μ=
，记OMN ，2OMF △，2ONF △的面积分别为1S ，2S ，3S .
(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若123S mS S λ=-，4
33
μ-≤≤-
，求m 的取值范围.【解析】（1）由题意得，左焦点1(1,0)1F c -⇒=，
1
22
c a a =⇒=，2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：22
143
x y +=.
（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，令0x =，y t =，则()0,P t ，则11(,)PM x y t =-uuu r
，()1111,MF x y =--- 由1PM MF λ=
得()()1
111,1,x y t x y λ-=---
，解得1
1t y λ=
-，同理21t
y μ=-.由()22
1431x y y t x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得2236490y y t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则1226,43t y y t +=+2122943t
y y t -=+，
()1212128
223
t y y t t y y y y λμ++=
+-=-=-.不妨设120y y >>，1121211122S y y y y =⋅⋅-=-（），21111122S y y =⋅⋅=，32211
122
S y y =⋅⋅=-，
由11t y λ=-，21t y μ=-.得11t y λ
=+，21t y μ=+，2111513
y y λλμ
λ++==-
++.代入123S mS S λ=-，有()21211211
22
y y y m y λ-+=，则1212m y y y y λ=-+，
解得2
2221114
(1)159
11(1)1()553333
y y y m y y y λλλλλλ+=-
-=-+=+=-+++++,
4
3,3μ-≤≤-Q 511[,2]
33
λμ∴+=--∈设53u λ=+，则1
[,2]3
u ∈，则()4
193h u u u
=-++，则()2419h u u -'=-，
令()0h u '>，解得223u <<，令()0h u '<，解得1233
u <<
，故()h u 在12,33
⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在2
,23⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，
则()min 213h u h ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，且()1417,2339h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()171,9h u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则171,9m ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.
14．（2023·上海静安·统考二模）已知双曲线Γ：22
221x y a b
-=（其中0,0a b >>）的左、
右焦点分别为1F （-c ，0）、2F （c ，0）（其中0c >）.(1)若双曲线Γ过点（2，1
）且一条渐近线方程为2
y x =
；直线l 的倾斜角为4π，在y
轴上的截距为2-.直线l 与该双曲线Γ交于两点A 、B ，M 为线段AB 的中点，求△12MF F 的面积；
(2)以坐标原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P .过P 作
圆的切线，若切线的斜率为Γ的离心率.
【解析】（1）双曲线Γ：22221x y a b -=渐近线方程为b y x a =±，
已知一条渐近线方程为y =，
所以a =，双曲线Γ经过点（2，1），所以22
41
1a b -=，解得2
2
2,1a b ==.所以双曲线Γ：2
212
x y -=.
直线l 的倾斜角为π
4
，则斜率为1，又l 在y 轴上的截距为2-，则l 方程为：2y x =-，
代入双曲线方程得：28100x x -+=，
设两点A 、B 坐标分别为（1x ，1y ）、（2x ，2y ），M （x ，y ），则1284,2x x x y +=⇒==.
又12F F =则12MF F △
的面积1111
222
F F y =⋅⋅=⨯=
（2）方法一：由题可知圆方程为：222x y c +=
，将其与双曲线方程联立：
222
22222
222221x y c b b x b c x y x y a c a
b ⎧+=⎪⇒+-=⇒==⎨-=⎪⎩，
即2,b P c c ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，又切线斜率为
2OP b k c =⋅=(
)
22442242334803840c a c a a c e e ⇒-=⇒+-=⇒-+=，解得
22e =，所以双曲线Γ
；
方法二：设切线与x 轴交于E
点，因切线斜率为3
π
PEO ∠=
，又2πOPE ∠=
，则1566
ππ,POE POF ∠=∠=.注意到12OF OF c OP ===，则在2 POF 中，
由余弦定理，22
PF c -=
==
，
在1POF △
中，由余弦定理，
1PF =
==
.
则(
)
121
2
2c a PF PF c e a
=
-=
⇒==
15．（2023·辽宁大连·统考一模）已知双曲线C 上的所有点构成集合
()(){}
2
2,10,0P x y ax
by a b =
-=>>和集合()(){}
2
2,010,0Q x y ax
by a b =
<-<>>，坐标平
面内任意点()00,N x y ，直线00:1l ax x by y -=称为点N 关于双曲线C 的“相关直线”．(1)若N P ∈，判断直线l 与双曲线C 的位置关系，并说明理由；(2)若直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，求证：N Q ∈；
(3)若点N Q ∈，点M 在直线l 上，直线MN 交双曲线C 于A ，B ，求证：MA MB
AN BN
=．【解析】（1）直线l 与双曲线C 相切．理由如下：联立方程组220
01
1ax by ax x by y ⎧-=⎨-=⎩，
∴()22222
0000210aby a x x ax x by -+--=①，
∵N P ∈，
∴22
001ax by -=，即22001ax by -=，代入①得，
22
0020ax ax x ax -+-=，
∴2222
00440a x a x ∆=-=，
∴直线l 与双曲线C 相切．
（2）由（1）知()22222
0000210aby a x x ax x by -+--=，
∵直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，则222002
0222
000Δ010aby a x by aby a x ⎧⎪-≠⎪⎪
>⎨⎪--⎪>⎪-⎩
，
∴()()()22222222
000000044141a x a by ax by aby by ax ∆=----=+-，
∴22
001ax by -<，
∵()
22
00
22222
0000110by by aby a x a ax by --+=>--，∴22
0001ax by <-<，
∴()00,N x y Q ∈．
（3）设()11,M x y ，(
),A x y ，设MA AN λ= ，MB BN μ=
，∵()00,N x y l ∉，∴1λ≠-，则10
1011x x x y y y λλ
λλ
+⎧
=⎪⎪
+⎨
+⎪=⎪+⎩
，
代入双曲线22:1C ax by -=，利用M 在l 上，
即01011ax x by y -=，整理得()22222
0011110ax by ax by λ--+--=，
同理得关于μ的方程()22222
0011110ax by ax by μ--+--=．
即λ、μ是()22222
0011110ax by t ax by --+--=的两根，
∴0λμ+=，
∴
MA MB
AN BN
=．
16．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知1F 、2F 分别为双曲线22122:1(0,0)
y x
C a b a b
-=>>
的上、下焦点，其中1F 坐标为()0,2点M 是双曲线1C 上的一个点.
(1)求双曲线1C 的方程；
(2)已知过点()4,1P 的直线与22
122:1(0,0)y x C a b a b
-=>>上支交于不同的A 、B 两点，在线
段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某条定直线上.【解析】（1）由1F 坐标为()0,2得224a b +=，
点M
在双曲线1C 上得
22
23
1a b -=，解得2213a b ⎧=⎨=⎩
，双曲线方程为22
1.
3x y -=（2）设直线与双曲线交于()11,A x y ，()22,B x y ，点(),Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅得
(0AP AQ PB
QB
λλ=
=>且1)λ≠，AP PB λ=- ，AQ QB λ=
，
代入坐标得()()1122414,1,x y x y λ--=---，()()1122,,x x y y x x y y λ--=--，
整理得：()1241x x λλ-=-①()121x x x λλ+=+，②，得()2222
1241x x x λλ-=-③，
同理121y y λλ-=-④，()121y y y λλ+=+⑤，得()2222
121y y y λλ-=-⑥，
由于双曲线1C 上的点满足2233y x -=，
⑥3⨯-③得()()()222222
112233341y x y x y x λλ---=--，
即()()22
33341y x λλ-=--，所以343y x -=，
表示点(),Q x y 在定直线4330x y -+=上.
17．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>5点(3,2P -在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；
(2)设()1,0A -，M 为C 上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2140k k +=，判断：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1）由双曲线离心率为2
215c b e a a ==+224b a =，
所以双曲线方程为22
2214x y a a
-=，
又点(3,2P -在双曲线上，即
22
932
14a a -=，解得21a =，24b =，
所以双曲线的方程为2
2
14
y x -=；
（2）由已知得10k ≠，20k ≠，设直线()1:1AM y k x =+，点()11,M x y ，
由()122114y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩
得()
22221114240k x k x k ----=，0∆>
，
则212144A M k x x k +=--，即212144M k x k +-=--，212
14
4M k x k +=-，
所以211221148,44k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭
由2140k k +=，得124k k =-，
所以2
222222418,141k k M k k ⎛⎫
+ ⎪--⎝
⎭设直线()2:1AN y k x =+，联立直线与圆221x y +=，
得()2222
2221210k x k x k +++-=，0∆>，
则222211A N k x x k -=+，即222211N k x k --=+，2
2
22
11N k x k -=+，所以2
22222212,11k k N k k ⎛⎫
- ⎪++⎝
⎭，所以22
22
2222222
22
22
281141141114MN
k k k k k k k k k k --+-==--+-+-，
即21MN k k ⋅=-，所以MN AN ⊥，又点A 在圆221x y +=上，
设圆221x y +=与x 轴的另一个交点为B ，则()10B ,
，且AN BN ⊥，即直线BN 与MN 重合，所以直线MN 恒过点()10B ,
.18．（2023·浙江宁波·统考二模）已知双曲线22
22:1x y E a a
-=，点(0,2)D 与双曲线上的点的
(1)求双曲线E 的方程；
(2)直线:l y kx m =+与圆22:(2)1C x y ++=相切，且交双曲线E 的左、右支于A ，B 两点，交渐近线于点M ，N ．记DAB ，OMN 的面积分别为1S ，2S ，当128
47
S S -=时，求直线l 的方程．
【解析】（1）设(,)P x y 是双曲线上的任意一点，则2
222222(2)2442(1)2DP x y y y a y a =+-=-++=-++，
所以当1y =时，2
DP 的最小值为22a +，所以223a +=，得21a =，所以双曲线E 的方程为221x y -=．
（2）由直线:l y kx m =+与圆22:(2)1C x y ++=1=，
由直线交双曲线的左、右支于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221x y y kx m
⎧-=⎨=+⎩，消y 整理得()()222
1210k x mkx m ---+=，
则()
2
2
1Δ410m k
=+->，21221
1
m x x k +=-，12221mk x x k +=--，所以12x x -=
所以22122
211
0142
m m x x k m m ++==<-++，即2420m m ++<，解得22m -<<-，
1=，则21m +≥，解得1m ≥-或3m ≤-，
所以(231,2m ⎤⎡∈--⋃--⎦⎣，
所以12AB x x =-=，
又点(0,2)D 到
AB 的距离1d =
1121(2242
m S AB d m m -=
=
---，设()33,M x y ，()44,N x y ，
联立方程组220x y y kx m
⎧-=⎨=+⎩，消y 整理得()222
120k x mkx m ---=，
则2
2Δ4m =，34221mk x x k +=-，2
34
2
1m x x k -⋅=-，所以34221m x x k --=-，
所以342
21m
MN x x k -=-=-，又点O 到MN 的距离
2d =2
2221242m
S MN d m m ==---，
所以当12847S S -=时，有222
(2)428
442427
m m m m m m --=------，
整理得()24(25847m m m -=
--，即4
(2(52)(2)7
m m m -=+-，
又2m ≠，4
(52)7m -=+，即2200258810m m ++=，解得134
m =-，
22750m =-（舍去），
所以3
4m =-，则34k =±，所以直线方程为3344
y x =±-．
19．（2023·上海松江·统考二模）已知椭圆22
12:12x y C b
+=的左、右焦点分别为12F F 、，
离心率为1e ;双曲线2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为34F F 、，离心率为2e ，12e e ⋅=
．过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．
(1)求1C 、2C 的方程；
(2)若113AF F B =
，求直线PQ 的方程；
(3)求四边形APBQ 面积的最小值.
【解析】（1）由题意可知：12e e =
=
所以12222
e e ⋅===
，解得：21b =，
所以椭圆方程为22
12x y +=，双曲线方程为：2212
x y -=.
（2）由（1）知()11,0F -，因为直线AB 不垂直与y 轴，设直线AB 的方程为：1x my =-，
设点()()1122,,,A x y B x y ，则()1111,,AF x y =---
()1221,F B x y =+ ，由113AF F B =
，则123y y -=，即123y y =-，
联立：22
112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()22
2210m y my +--=，()()
222442810m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得：12212222
12m y y m y y m ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=
⎪+⎩
，
将123y y =-代入得：()
222
22
2132m y m y m -⎧
=⎪+⎪
⎨=⎪+⎪⎩
解得1m =±，当1m =时，弦AB 的中点21,33M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，此时直线PQ 的方程为：12y x =-；
当1m =-时，弦AB 的中点2
1,33
M ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
，此时直线PQ 的方程为：12
y x =
.所以直线PQ 的方程为1
2
y x =-或12y x =.
（3）设AB 的中点()00,M x y ，由（2）可得
)22
12
m AB m +=+，
且000222,122m y x my m m -=
=-=++，点22
2
,22m M m m -⎛⎫ ++⎝⎭
，2PQ OM m k k ==-
，直线PQ 的方程为：2
m
y x =-，联立2221
2
m y x x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得：2242x m =-，22
2
2m y m =-，且220m ->，
由双曲线的对称性，不妨取点P ⎛⎫⎪⎭
、Q ⎛⎫
，所以点P 到直线AB
的距离为：
2
1d =
，
点Q 到直线AB
的距离为：
22d =
=
21222m d d ++=
，
所以四边形APBQ
的面积为(
)1212S AB d d =+=
==2022m <-≤，所以当22
2m -=，即0m =时，四边形APBQ 的面积取最小值2.
20．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过点()4,2的动直线l 与双曲线
()22
22:10,0x y E a b a b
-=>>交于,
M N 两点，当l 与x 轴平行时，MN
=l 与y 轴平行时，MN =(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)点P 是直线1y x =+上一定点，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．
【解析】（1）由题意可知：双曲线()22
22:10,0x y E a b a b
-=>>
过点()2±
，(
4,±，
将其代入方程可得：22
2284
116121a b a b
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：2244a b ⎧=⎨=⎩，
∴双曲线E 的标准方程为：22
144
x y -=.
（2）方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，
点()4,2与,M N 三点共线，121222
44
y y x x --∴
=--，()()121
24422x x y y λλ⎧-=-⎪
∴⎨-=-⎪⎩（其中R λ∈，0λ≠），()()12124121x x y y λλλλ⎧=+-⎪∴⎨=+-⎪⎩，
()()22
2241214x y λλλλ⎡⎤⎡⎤∴+--+-=⎣⎦⎣⎦，又22
224x y -=，
整理可得：()()2212420x y λλλλ--+-=，当1λ=时，12x x =，12y y =，不合题意；当1λ≠时，由222420x y λλλ-+-=得：2
21
22
y x λ
=-+
，设()00,P x y ，则001y x =+，
()()1020121020
11y x y x k k x x x x -+-+∴⋅=⋅
--()()()22220202202220
222211243222y y x x x y x y x x x y x x ⎛
⎫-+--++ ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+--+ ⎪⎝
⎭()()()02200
200202200
31212223422x y x x x y x x x x y x x x ⎛⎫
-+-- ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛
⎫-+-+- ⎪⎝⎭，
若12k k 为定值，则根据约分可得：000
121x x x --=-且000114222
x x x --=--，解得：03x =；
当03x =时，()3,4P ，此时
221222264
4
1322
x y k k x y --=
⋅=--；∴当()3,4P 时，124k k =为定值.
方法二：设()()()112200,,,,,M x y N x y P x y ，直线()():420MN y k x k =-+≠，由()22424y k x x y ⎧=-+⎨-=⎩得：()22
4240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦，12,x x 为方程()2
24240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦的两根，
()()()()2
22
1
2
4241x k x k x x x x ⎡⎤∴--+-=---⎣⎦
，
则()()()()2
22
001024241x k x k x x x x --+-=---⎡⎤⎣⎦，
由()42y k x =-+得：2
4y x k
-=
+，由22244
y x k x y -⎧=+⎪⎨⎪-=⎩可得：2
22440y y k -⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，同理可得：()()()()2
2222
0001022441y k k y k k y y y y -+--=---，
则
()()()()()()()()()()2
01020102122121211k y y y y y y y y k k x x x x k x x x x -----==-----()()2222
002
200244424y k k y k x k x -+--=--+-⎡⎤⎣⎦()()()()22200002220000
12816448164168y k y k y y x x k x k x -++-+-+=-+-+-++-，若12k k 为定值，则必有22
000022
00001281644
8164168
y y y y x x x x -+--+==-+--+-，解得：0034x y =⎧⎨=⎩
或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或0
0x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又点P 在直线1y x =+上，∴点P 坐标为()3,4；
当直线MN 斜率为0时，,M N
坐标为()
2±，若()3,4P ，
此时124k k =
=；
当直线MN 斜率不存在时，,M N
坐标为(4,±，若()3,4P ，
此时124443434
k k -+=
--；综上所述：当()3,4P 时，124k k =为定值.
21．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
(3,P -在双曲线C 上．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设()1,0A -，M 为C 上一点，N 为圆221x y +=上一点（,M N 均不在x 轴上）．直线
,AM AN 的斜率分别记为12,k k ，且2140k k +=，判断：直线MN 是否过定点？若过定点，
求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1）由双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
可得22
222
5,4c a b b a a a
+=∴=∴=，
又点(3,P -在双曲线C 上，即2
2932
14a a
-=，解得221,4a b ==，故双曲线C 的方程为2
2
14
y x -=.
（2）由题意可知120,0k k ≠≠，且AM 的方程为11y k x k =+，
联立112214y k x k y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩
，可得2222111(4)240k x k x k ----=，2
140k -≠，Δ640=>，
设11(,)M x y ，由题意可知该方程有一根为1-，
故221111
221144
(1),44k k x x k k --+-=∴=--，则111112184k y k x k k =+=-，AN 的方程为22y k x k =+
，
联立2222
1
y k x k x y =+⎧⎨+=⎩，可得2222
222(1)210k x k x k +++-=，40'∆=>，设2221(,),N x y x x ≠，由题意可知该方程有一根为1-，
故22
22
2222
22
11(1),11k k x x k k ---=∴=++，则222222221k y k x k k =+=+，由于2140k k +=，即124k k =-，由于2
140k -≠，故224160k -≠，
故2212
2164416k x k +=-，21
2232416k y k -=-，所以直线MN 的斜率为22
22212222
222122
22
23214161164
1416MN
k k y y k k k k k x x k k --
-+-==-+--+-222222222222222222
2(416)(1)(32)401
(1)(416)(1)(164)40k k k k k k k k k k k --+-===----++-，故直线MN 的方程为112
1
()y y x x k -=-
-，即22222222
321641()416416k k y x k k k ++=----，即2
22(164)(1)0k x k y -+-=，由于2
24160k -≠，故210x k y +-=，
即直线MN 过定点(1,0).
22．（2023·上海宝山·统考二模）已知抛物线Γ：24y x =．(1)求抛物线Γ的焦点F 的坐标和准线l 的方程；
(2)过焦点F 且斜率为1
2的直线与抛物线Γ交于两个不同的点A 、B ，求线段AB 的长；(3)已知点()1,2P ，是否存在定点Q ，使得过点Q 的直线与抛物线Γ交于两个不同的点M 、N （均不与点Р重合），且以线段MN 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵抛物线Γ：24y x =，则2p =，且焦点在x 轴正半轴，故抛物线Γ的焦点()1,0F ，准线:1l x =-.（2）由（1）可得：()1,0F ，可得直线()1
:12
AB y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，
联立方程()
21124y x y x
⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得21810x x -+=，可得()2
12184113200,18x x ∆=--⨯⨯=>+=，故1220AB x x p =++=.（3）存在，理由如下：
设直线()()3443:,,,,MN x my n M x y N x y =+，
联立方程24x my n y x
=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my n --=，
则()2
3434160,4,4m n y y m y y n ∆=+>+==-，
可得()()33441,2,1,2PM x y PN x y =--=--uuu r uuu r
，若以线段MN 为直径的圆恒过点P ，则PM PN ⊥
，。