第23届华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题(附答案)

第23届华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题（附答案）
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 (初中二年级组)
总分
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组・练习用）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 计算 . 2. 一块正三角形草坪边长为 12 米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装置都可以从三角形的一边到另一边旋转60º来回喷水．假定三个喷水装置的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的最小面积是平方米．
3. 从，，，这四个数中，任取两个数
q) ，构成函数和，如果这两个函数图象的交点在直线的左侧，那么这样的有序数对 ( p, q) 共有个．
4. 设 p 为质数，如果二次方程
0 的两个根都是整数，那么 p 可能取的值有个.
5. 如果（其中 n 是整数，且1986≤n≤2018 ），那么满足条件的 n 的个数是 .
6. 如图所示，在正六边形 ABCDEF 内放有一个正方形 MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上，且 MN //BC ．若正方形MNPQ 的面积为平方厘米，则正六边形 ABCDEF 的面积是平方厘米．
7. 将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这 11 个数排成一行，使得任意 5 个相邻的数的和都是 5 的倍数．那么这样的排列方法有种．
8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取 2 张，或者 3 张，或者 4 张，把卡片上的数求和，可以得到 11 个不同的和，那么 4 张卡片上所有数的和最小为．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)
二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 有 A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在 B 队的西偏北 45 度处，
两队相距8 千米．如果 A 队向东继续行走， B 队同时沿西偏南 45 度路线行走，且 A 队与 B 队的速度比是，求 A ， B 两队最近时的距离．
10. 如果实数 x, y, z 同时满足关系式，
，
，那么，实数 x, y, z 是否一定都相等？请给出证明．
11. 如图，在四边形 ABCD 中，，
．对角线 AC ， BD 相交于点 E ．若，求证：．
12. 从 76 个连续自然数 1，2，…，76 中任取 39 个数，其中必有2 个数的差是
p ，求 p 的值．
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 如图，在五边形 ABCDE 中，，，
E D
，求点 A 到直线CD 的距离． C
A B 14. 如图，一个由 81 个小方格组成的网格．先将其中的任意 n 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染成黑色，那么 n 的最小值是多少？说明你的结论．。