无界区域上简单反常二重积分的计算

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2
d
0
R er2 rdr
0
2
1 er2 2

R 0
1
eR2

DR
当 R 时，有 DR D
e d （x2 y2 ) lim e d (x2 y2 ) lim 1 eR2
D
R DR
R
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0
2
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上一页目录下一页84无界区域上简单反常二重积分的计算设d是平面上一无界区域函数fxy在其上有定义用任意光滑曲线在d中划出有界区域如下图所上可积当曲线连续变动使无限扩展趋于区域d时如果二重积分的积分区域d为无界区域如全平面半平面有界区域的外部等则可定义无界区域上的反常二重积分
§8.4 无界区域上简单反常二重积分的计算
D
否则称反常二重积分 f (x , y )dσ 发散 D
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为了简化计算，常常选取一些特殊的 D 趋于区域D．
例1 设D为全平面，已知 ex 2y2dσ 收敛，求其值．
解设 DR 为中心在原点，D 半径为R的圆域，则
e d (x2 y2 )
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不论Γ的形状如何，也不论扩展的
过程怎样，若极限
存在且取相D同lim的D D值 f I(x，, y )dσ
则称I为f(x,y)在无界区域D上的反常二重积分，
记作
f (x , y)dσ lim f (x , y)dσ I
D
, y )dσ 收敛
例2 证明 ex 2dx
0
2
证如右图所示，令
D { x, y︱0 x a,0 y a},
D１ { x, y︱x2 y2 a2 , x 0, y 0}, D2 { x, y︱x2 y2 2a2 , x 0, y 0},
如果二重积分的积分区域D为无界区域 (如全平面，半平面，有界区域的外部等)，则可定义无界区域上的反常二重积分．定义
设D是平面上一无界区域，函数f(x,y)在其上有定义，
用任意光滑曲线Γ在D中划出有界区域，D如下图所示.设f(x,y) 在上D可积，当曲线Γ连续变动，使
无限扩展趋于区域D时，
0
0
0
D
由例1知从而得
e dx (x 2y2) dy (1 ea2 ) 4
D1 e dx (x 2y2 )
dy

(1 e2a2 )
4
D2
(1 ea2 ) ( a ex 2dx )2 (1 e2a2 )
4
0
4
令a 得
ex2 dx .
则有
e dx (x 2y2) dy e dx (x 2y2) dy e(x 2y2)dx dy
D1
D
D2
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e dx (x 2y2) dy a ex 2dx a ey2dy ( a ex 2dx )2