2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第一部分二轮课时专题专题二立体几何第1讲

合集下载

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题一三角函数和平面向量平面向量、解三角形

第2讲平面向量、解三角形【课前热身】第2讲平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若B C=e1，D C=e2，则O C=.【答案】12(e1+e2)【解析】因为O是矩形ABCD对角线的交点，B C=e1，D C=e2，所以O C=12(B C+D C)=12(e1+e2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a=(6，-3)，b=(2，x+1)，若a⊥b，则实数x=.【答案】3【解析】因为a⊥b，所以a·b=0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC中，设角A，B所对的边分别为a，b.若2a sin B=3，则角A=.【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cos C=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=3，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin 2-2A B+sin A sin B=224.(1)求角C的大小；(2)若b=4，△ABC的面积为6，求c的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=224+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cos C=-1 2.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B)，所以sin(A+B)=2sin A cos B，即sin A cos B-cos A sin B=0，所以sin(A-B)=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B，所以a=b=2.所以△ABC的面积为S△ABC =12ab sin C=12×2×2×sin2π3=3.方法二：由c=2a cos B及余弦定理，得c=2a×222-2a c bac+，化简得a=b，所以△ABC的面积为S△ABC =12ab sin C=12×2×2×sin2π3=3.变式2(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C的大小；(2)若A=15°，AB=2，求△ABC的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1，即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC中，1-tan A tan B≠0，所以tan(A+B)=tan tan1-tan tanA BA B+=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CA B =sin ABC ，得sin15BC =°sin30CA=°2sin135=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-22， CA=2sin 30°=1.所以△ABC 的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3 (2016·无锡期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量a =(sin B-sin C ，sin C-sin A )，b =(sin B+sin C ，sin A )，且a ⊥b .(1)求角B 的大小；(2)若b=c ·cos A ，△ABC 的外接圆的半径为1，求△ABC 的面积. 【解答】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b =0，即sin 2B-sin 2C+sin A (sin C-sin A )=0，即sin A sin C=sin 2A+sin 2C-sin 2B ，由正弦定理得ac=a 2+c 2-b 2，所以cos B=222-2a c b ac +=12. 因为B ∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin B=3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=32.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3ABC的面积S=154，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=1 4.(2)因为C∈(0，π)，cos C=1 4，所以sin21-cos C11-16154.因为S=12ab sin C=154，所以ab=2.①因为33=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(2)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=.13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b22(-3)2132.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cosB=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cosB+cos A sin B=22×35+22×45=7210，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 2=7210c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10 10【解析】如图，作AD⊥BC交BC于点D，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A，解得cos A=-10 10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC中，B D=12BC，A E=13AC，AD与BE交于点P，则P B·P D的值为.(第5题)【答案】27 4【解析】如图，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，不妨设B(-3，0)，C(3，0)，则D(0，0)，A(0，3)，E(1，2)，P2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，所以P B·P D=|P D|2=22⎛⎫⎪⎪⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(2，y)，且a+2b=(5，-3)，则x+y=.2.(2016·盐城三模)已知向量a，b满足a=(4，-3)，|b|=1，|a-b，则向量a，b的夹角为.3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM=2MD .若AC ·BM =-3，则AB ·AD = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO =x AB +y AC (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A=35，tan(A-B)=-12.(1)求tan B的值；(2)若b=5，求c的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan∠ADC=-2.(1)求CD的长；(2)求△BCD的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边.若向量m=(a，cos A)，向量n=(cos C，c)，且m·n=3b cos B.(1)求cos B的值；(2)若a，b，c成等比数列，求1tan A+1tan C的值.【检测与评估答案】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3 【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin a A ，解得b=2113.4. 1 【解析】设AC=x ，由余弦定理得cos 120°=29-1323x x +⋅⋅=-12，即x 2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5. 32 【解析】方法一：设A B =4a ，AD =3b ，其中|a |=|b |=1，则D C =2a ，AM =2b .由A C ·BM =(AD +D C )·(B A +AM )=-3，得(3b +2a )·(2b -4a )=-3，化简得a ·b =18，所以A B ·AD =12a ·b =32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由A C·BM=-3，得(3cos α+2，3sinα)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以A B·AD=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=A B，β=A C，则β-α=B C，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|= 23sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7.4【解析】ba+ab=6cos C⇒6ab cos C=a2+b2⇒3(a2+b2-c2)=a2+b2⇒a2+b2=232c，所以tantanCA+tantanCB=sincosCC·cos sin sin cossin sinB A B AA B+=sincosCC·sin()sin sinA BA B+=1cos C·2sinsin sinCA B=2222-aba b c+·2cab=22223-2ccc=2222cc=4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin CO CAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以C O =3O E ，即A O -A C =3(A E -A O )，即4A O =3A E+A C ，所以4A O =32AB +A C ，从而A O =38AB +14AC.因为A O =x A B +y A C ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos 21-sinA 45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos 21-sinA 45，所以tan A=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55，所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin b B =sin c C ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=1010，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=5(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=55，sin ∠BCD=sin ∠ADC=55.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ，即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7525=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ，所以sin(A+C )=3sin B cos B ，所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=3，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅ =sin sin sin B A C ⋅=2sin sin B B =1sin B=4.。

2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第三部分考前一个月第一篇微专题训练——

第9练基本初等函数【方法引领】第9练基本初等函数【方法引领】【回归训练】【回归训练】一、填空题1.函数f(x)=ln 1-x的定义域为.2.已知函数f(x)=21(-1)1x xf x x⎧<⎨≥⎩，，，，则f(log25)=.3.若log a 12-1a<1，则实数a的取值范围是.4.设a=2535⎛⎫⎪⎝⎭，b=3525⎛⎫⎪⎝⎭，c=2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是.5.若关于x的方程5x=35-aa+有负根，则实数a的取值范围是.6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=-1()f x，当2≤x≤3时，f(x)=x，则f32⎛⎫⎪⎝⎭=.7.已知函数f(x)=log a1-xb x+(0<a<1，b>0)为奇函数，当x∈(-1，a]时，函数f(x)的值域是(-∞，1]，则a+b的值为.8.设函数f(x)=212xx+-12，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f(x)]的值域是.二、解答题9.如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式.(第9题)10.已知函数f (x )=log a -x bx b +(a>0，a ≠1，b>0).(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)讨论f (x )的单调性，并证明.11.已知定义域为R 的函数f (x )=-22x xb a +是奇函数.(1)求a ，b 的值.(2)用定义证明f (x )在(-∞，+∞)上为减函数.(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，求k 的取值范围.【回归训练答案】第9练基本初等函数一、填空题1. (0，1] 【解析】由题意可得01-0x x >⎧⎨≥⎩，，解得0<x ≤1，故所求函数定义域为(0，1].2.54【解析】因为2<log25<3，所以f(log25)=2log5-22=2log52·2-2=54.3.(4，+∞)【解析】由题意知a>1，所以12-1a<a，解得a>4，所以a的取值范围是(4，+∞).4.a>c>b【解析】y=25x在x>0时是增函数，所以a>c；y=25x⎛⎫⎪⎝⎭在x>0时是减函数，所以c>b.所以a>c>b.5.(-3，1)【解析】关于x的方程5x=35-aa+有负根，即x<0，所以0<5x<1，即0<35-aa+<1，所以-3<a<1.6.52【解析】因为f(x+2)=-1()f x，所以f(x+4)=-1(2)f x+=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f32⎛⎫⎪⎝⎭=f3-2⎛⎫⎪⎝⎭=f4-32=f52⎛⎫⎪⎝⎭.因为当2≤x≤3时，f(x)=x，所以f52⎛⎫⎪⎝⎭=52.7.2【解析】由题意知1-xb x+>0且b>0，解得-b<x<1.由奇函数定义域关于原点对称，得b=1，故f(x)=log a1-1xx+(0<a<1).因为g(x)=1-1xx+=-1+21x+在x∈(-1，a]上单调递减，又0<a<1，所以f(x)在x∈(-1，a]上单调递增.又因为函数f(x)的值域是(-∞，1]，故g(a)=a，即a2+a=1-a，解得21，所以28. {-1，0} 【解析】f (x )=212x x +-12=1-112x +-12=12-121x+.因为t=2x +1在R 上单调递增，且2x +1>1，所以f (x )在R 上是增函数，-12<f (x )<12，故y=[f (x )]的值域是{-1，0}.二、解答题9. 由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积.矩形的长AB=2x ，宽为a ，则半圆的直径为2x ，半径为x ，所以2x+2a+πx=l ，即a=2l -π2x-x ，所以y=2π2x +π--22l x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·2x=-21+π4x 2+lx.根据实际意义，知2l -π2x-x>0，又x>0，解得0<x<2πl+，即函数y=-2π14⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 2+lx ，0<x<2πl +.10. (1) 由-x bx b +>0，b>0，得f (x )的定义域为(-∞-b )∪(b ，+∞).(2) 由(1)知定义域关于原点对称，且f (-x )=log a---x b x b +⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f (x )，故f (x )为奇函数. (3) 设b<x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=log a 1221()(-)()(-)x b x b x b x b ++，又1221()(-)()(-)x b x b x b x b ++-1=21212(-)()(-)b x x x b x b +>0.当a>1时，所以f(x1)-f(x2)>0，故f(x)在(b，+∞)上为减函数；同理，f(x)在(-∞，-b)上也为减函数.当0<a<1时，所以f(x1)-f(x2)<0，故f(x)在(b，+∞)，(-∞，-b)上为增函数.11. (1) 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0，所以b=1.又f(-1)=-f(1)，得a=1.(2) 由(1)知f(x)=1-221xx+，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=111-221xx+-221-221xx+=122112(1-2)(21)-(1-2)(21)(21)(21)x x x xx x++++=21122(2-2) (21)(21)x xx x++因为x1<x2，所以22x-12x>0，又(12x+1)(22x+1)>0，所以f(x1)-f(x2)>0，所以f(x)为R上的减函数.(3) 因为t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，所以f(t2-2t)<-f(2t2-k).因为f(x)是奇函数，所以f(t2-2t)<f(k-2t2).又f(x)为减函数，所以t2-2t>k-2t2.即k<3t2-2t恒成立，而3t2-2t=321-3t⎛⎫⎪⎝⎭-13≥-13，所以k<-13，即k的取值范围为1|-3k k⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.。

2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第二部分抢分周计划第1周 Word版含答案

周练14+4·锁定128分强化训练(1)【强化训练】锁定128分强化训练(1)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，B={1，3，4}，则A∩(∁UB)=.2.某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280.现采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是.3.若a+b i=512i(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab=.4.若在区间[20，80]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50，75]内的概率为.5.函数f(x)=lg(-x2+x+2)的定义域为.6.已知x，y满足约束条件2-301-0x yxx y+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，，，则z=3x-2y的最小值是.7.执行如图所示的流程图，如果输入的N的值为6，那么输出的p的值是.(第7题)8.若函数f(x)=A sinπ-6xω⎛⎫⎪⎝⎭(A>0，ω>0)的图象如图所示，则函数f(x)在(0，π)内的零点为.(第8题)9.若函数f(x)=ln x-f'(-1)x2+3x-4，则f'(1)=.10. 如果将直线l ：x+2y+c=0向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得直线l'与圆C ：x 2+y 2+2x-4y=0相切，则实数c 的值构成的集合为 .11. 设函数f (x )=1000-10x x x >⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，g (x )=x 2f (x-1)，则函数g (x )的单调减区间是 .12. 已知正数x ，y 满足2xy=2-23x yx y +，那么y 的最大值为 .13. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，且BE=λBC ，DF=μDC.若AE u u u r ·AF u u ur =1，CE u u u r ·CF u u ur =-23，则λ+μ= .14. 已知两个等比数列{a n }，{b n }满足a 1=a (a>0)，b 1-a 1=1，b 2-a 2=2，b 3-a 3=3，若数列{a n }唯一，则实数a 的值为 .题号 1234567答案题号 8 9 10 11 12 13 14 答案二、解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a=3，cos A=6，B=A+π2. (1) 求b 的值； (2) 求△ABC 的面积.16. (本小题满分14分)如图，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点. (1) 求证：MN ⊥CD ；(2) 若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD.(第16题)17. (本小题满分14分)请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用).它的上部是底面圆半径为5 m 的圆锥，下部是底面圆半径为5 m 的圆柱，且该仓库的总高度为5 m .经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m 2，1百元/m 2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且θ∈π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问：当θ为多少时，该仓库的侧面总造价(单位：百元)最少?并求出此时圆锥的高度.(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为e=2，椭圆上的点P与两个焦点F1，F2构成的三角形的最大面积为1.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若点Q为直线x+y-2=0上的任意一点，过点Q作椭圆C的两条切线QD，QE，切点分别为D，E，试证明动直线DE恒过一定点，并求出该定点的坐标.【强化训练答案】第二部分抢分周计划(一) 周练14+4·锁定128分强化训练锁定128分强化训练(1)一、填空题1. {2，5}2. 14【解析】考查分层抽样.高三年级的人数是280400320280++×50=14.3.-2【解析】a+b i=512i+=1-2i，所以a=1，b=-2，ab=-2.4.512【解析】选择区间长度度量，则所求概率为75-5080-20=512.5. (-1，2)【解析】由题知-x2+x+2>0，解得-1<x<2.6.-7【解析】画出可行域，找截距的最小值，数形结合求解.7. 105【解析】由流程图可得p=1×3×5×7=105.8.x=π6【解析】由题图可知A=1，2T=2π3+π3=π，所以T=2π，所以ω=1，所以f(x)=sinπ-6x⎛⎫⎪⎝⎭.令f(x)=0，得x=π6+kπ，又x∈(0，π)，所以x=π6.9. 8【解析】因为f'(x)=1x-2f'(-1)x+3，所以f'(-1)=-1+2f'(-1)+3，解得f'(-1)=-2，所以f'(1)=1+4+3=8.10. {-3，-13}【解析】易得直线l'：(x+1)+2(y+2)+c=0，即x+2y+c+5=0，圆C：(x+1)2+(y-2)2=5的圆心(-1，2)到直线l'：x+2y+c+5=0的距离，解得c=-3或c=-13.11.[0，1)【解析】由题意知g(x)=22101-1x xxx x⎧>⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，作出函数图象如图所示，其单调减区间是[0，1).(第11题)12.13【解析】由2xy=2-23x yx y+，得2x+3y=2-2x yxy=1y-12x，所以1y-3y=2x+12x≥2122xx⋅=2，从而3y2+2y-1≤0，解得0<y≤13.13.56【解析】如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，-1)，B(-3，0)，C(0，1)，D(3，0)，由题意得CEu u u r=(1-λ)CBu u u r=(3λ-3，λ-1)，CFu u u r=(1-μ)CDu u u r=(3-3μ，μ-1).因为CEu u u r·CFu u u r=-23，所以3(λ-1)·(1-μ)+(λ-1)·(μ-1)=-23，即(λ-1)(μ-1)=13.因为AEu u u r=ACu u u r+CEu u u r=(3λ-3，λ+1)，AFu u u r=ACu u u r+CFu u u r=(3-3μ，μ+1)，又AEu u u r·AFu u u r=1，所以(λ+1)(μ+1)=2.由1(-1)(-1)3(1)(1)2λμλμ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，，整理得λ+μ=56.(第13题)14.13【解析】设数列{a n}的公比为q(q≠0)，由b1=a+1，b2=aq+2，b3=aq2+3成等比数列，得(aq+2)2=(a+1)(aq2+3)，即aq2-4aq+3a-1=0.因为a>0，所以Δ=4a2+4a>0，故方程aq2-4aq+3a-1=0有两个不同的实数解，其中一解必为q=0，从而a=13，此时，另一解为q=4.故实数a的值为13.二、解答题15. (1) 在△ABC中，cosA=，由题意知sin=.因为B=A+π2，所以sin B=sinπ2A⎛⎫+⎪⎝⎭=cosA=.由正弦定理可得b=sinsina BA=33⨯=.(2) 由B=A+π2，得cos B=cosπ2A⎛⎫+⎪⎝⎭=-sinA=-.由A+B+C=π，得C=π-(A+B)，所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=×⎛⎝⎭+×=13，因此△ABC的面积S=12ab sin C=12×3×32×13=322.16. (1) 如图，取PD的中点E，连接AE，NE.(第16题) 因为N是PC的中点，E为PD的中点，所以NE∥CD，且NE=12CD.而AM∥CD，且AM=12AB=12CD，所以NE AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.又AD∩PA=A，所以CD⊥平面PAD. 因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.因为AE∥MN，所以MN⊥CD.(2) 因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD.又∠PDA=45°，所以△PAD为等腰直角三角形.因为E为PD的中点，所以AE⊥PD.由(1)知CD⊥AE，PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD.又AE∥MN，所以MN⊥平面PCD.17. 设该仓库的侧面总造价为y (单位：百元)，则由题意可得y=[2π×5×5(1-tan θ)]×1+12⎛⎝×2π×5×5cos θ⎫⎪⎭×4=50π2-sin 1cos θθ⎛⎫+⎪⎝⎭，由y'=50π·22sin -1cos θθ=0，得sin θ=12，θ∈π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以θ=π6，当θ变化时，y ，y'的变化情况如下表：所以当θ=π6时，侧面总造价y 最小，此时圆锥的高度为 m .18. (1) 当点P 为短轴的端点时，△PF 1F 2的面积最大，于是有22221212c a a b c c b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎪⎩，，解得a 2=2，b 2=c 2=1，所以椭圆C 的方程为22x +y 2=1.(2) 设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，当直线QD 的斜率存在时，设切线QD 的方程为y-y 1=k (x-x 1)，由1122-(-)22y y k x x x y =⎧⎨+=⎩，，得(1+2k 2)x 2-4k (kx 1-y 1)x+2k 221x +221y -4kx 1y 1-2=0，从而Δ=16k 2(kx 1-y 1)2-4(1+2k 2)(2k221x +221y -4kx 1y 1-2)=0，解得k=-112x y，因此QD的方程为y-y1=-112xy(x-x1)，整理得2y1y+x1x=21x+221y.又点D(x1，y1)在22x+y2=1上，所以21x+221y=2，所以QD的方程为x1x+2y1y-2=0.同理，当直线QE的斜率存在时，QE的方程为x2x+2y2y-2=0. 又Q(x0，y0)在直线QD，QE上，所以x1x0+2y1y0-2=0，x2x0+2y2y0-2=0，所以直线DE的方程为x0x+2y0y-2=0.①又点Q(x0，y0)在直线x+y-2=0上，所以y0=2-x0，代入①得x0x+2(2-x0)y-2=0，即(x-2y)x0+2(2y-1)=0.令-202-10x yy=⎧⎨=⎩，，得112xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，，即直线DE恒过一定点，且该定点的坐标为112⎛⎫⎪⎝⎭，.易知当直线QD或QE的斜率不存在时，同时满足切线方程，所以直线DE恒过一定点，且该定点坐标为112⎛⎫⎪⎝⎭，.11。

《课堂新坐标》2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题7第26讲选修4-5不等

第26讲选修4－5：不等式选讲题型一| 绝对值不等式的解法已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎨⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；3分当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}. 5分(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 8分又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2.于是a ＝3. 10分【名师点评】 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．1．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.2分当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；3分当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}. 5分(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 8分由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]. 10分2．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．[解] (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1. 2分故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. 4分(2)由f (x )≤0，得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，6分即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 8分因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－a 2. 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 10分题型二| 不等式的证明(1)(2016·南通模拟)已知x ，y 均为正数，且x ＞y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜518.[证明] (1)因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，1分2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥ 33(x －y )21(x －y )2＝3，4分所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3， 5分 (2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 8分由题设知|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，从而3|y |＜23＋16＝56，所以|y |＜518. 10分【名师点评】 1.作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：(1)作差；(2)分解因式；(3)与0比较；(4)结论．关键是代数式的变形能力．2．均值不等式的应用：(1)利用均值不等式时必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合不等式的特征；(2)注意检验等号成立的条件，特别是多次使用均值不等式时，必须保证使等号同时成立．1．已知x ，y ，z 都是正数且xyz ＝8，求证：(2＋x )(2＋y )(2＋z )≥64.【导学号：19592067】[证明] 因为x 为正数，所以2＋x ≥22x ，同理2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z ， 5分所以(2＋x )(2＋y )(2＋z )≥22x ·22y ·22z ＝88xyz .因为xyz ＝8，所以(2＋x )(2＋y )(2＋z )≥8. 10分2．设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a .[证明] 因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，3分所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a 3＝a . 10分3．证明下列不等式：(1)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2；(2)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2；(3)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .[证明] (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b )＝(a －b )(3a 2－2b 2). 2分∵a ≥b >0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0，∴3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. 5分(2)a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2. 6分∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2. 7分 (3)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ，a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ，4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ， 9分∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc . 10分题型三| 柯西不等式的应用已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －－b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．【导学号：19592068】[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立. 2分又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b .所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. 4分(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 8分当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 10分【名师点评】 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．2．利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.[解] (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.。

【南方凤凰台】2017届高考数学（文）二轮复习提优导学案（江苏专用）：第..

第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第41~43页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x -236y =1或264y -236x =1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2，所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a2-2ac-5c2=0，所以5c2+2ac-3a2=0.所以5e2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2015·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为2，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN 相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b=.因为离心率e=ca=2，所以ba12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2.②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(0)的距离与点P到定直线l：x=22，求动点P 的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C 的方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358c a AF AF =⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.c a =⎧⎨=⎩，又a 2=b 2+c 2，所以b 2=12，故椭圆C 的方程为216x +212y =1.(2)设点P (x ，y )，依题意，得2，整理，得24x +22y =1，所以动点P 的轨迹C'的方程为24x +22y =1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c ，再利用椭圆定义先求得2a 的值，再利用椭圆中a ，b ，c 的关系，求得b 的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22x a +22-4y a =1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2 (1)(2016·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .(例2(1))(2)(2016·临川一中质检)如图(2)，已知点A ，F 分别是22x a -22y b=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A ，F 作与x 轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P ，Q ，R ，S ，若S △ROS =2S △POQ ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2016·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形.若PF 1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 .【点拨】依题设得出关于a ，b ，c 的等式或不等式，再消去b.【答案】(1)25(2)(3)13∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A 1B 2的方程为-x a +y b =1，直线B 1F 的方程为x c +-yb =1.联立方程组解得T2()--ac b a c a c a c +⎛⎫⎪⎝⎭，. 又M()-2(-)ac b a c a c a c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，在椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)上，故22(-)c a c +22()4(-)a c a c +=1，即e 2+10e-3=0，解得e=25.(2)由题意，得A (-a ，0)，F (c ，0)，直线PQ ，RS 的方程分别为x=-a ，x=c ，与渐近线y=±ba x联立，可求得P (-a ，b )，Q (-a ，-b )，R -bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，S bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则S △ROS =12·2bc a ·c=2bc a ，S △POQ =12a·2b=ab ，于是由S △ROS =2S △POQ ，得2bc a =2ab ，即22c a =2，所以e=(3)设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，则2c=PF 2=2a-10，2m=10-2c ，a=c+5，m=5-c ，所以e 1e 2=5c c +·5-cc =2225-c c =2125-1c .又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c <4，0<225c -1<3，所以e 1e 2=2125-1c >13.变式1 (2015·苏北四市期末)已知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A (-a ，0)，B 1(0，-b )，B 2(0，b )，F (c ，0)，设点M 2Ma y c⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由2AB k =k AM ，得b a =2My a a c +，所以y M =b 1c+ ⎪⎝⎭. 由1FB k =k FM ，得b c =2-My a c c ，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭.从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2015·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2016·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是.(变式3)【答案】1 2⎪⎢⎣⎭，【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA，而FA=2ac-c，PF≤a+c，所以2ac-c≤a+c，即a2≤ac+2c2.又e=ca，所以2e2+e≥1，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2016·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a=2，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB ·A C =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2016·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为2，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l 的斜率为12，求AP AQ 的值；(2)若PQ =λAP，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知222242a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x +22y =1，圆的方程为x 2+y 2=4.由题知直线l 的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x y x y =⎧⎨+=⎩，，消去x ，得3y 2-4y=0，所以y P =43.由222-24x y x y =⎧⎨+=⎩，，消去x ，得5y 2-8y=0，所以y Q =85.所以AP AQ =PQy y=43×58=56.(2)因为PQ =λAP ，且AP，PQ 同向，则λ=PQ AP =-AQ AP AP =AQAP -1，设直线l ：y=k (x+2)，联立方程组224(2)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩，，消去x ，得(k 2+1)y 2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421kk +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2016·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为.【答案】2【解析】根据双曲线的方程知a=2a=22.(2016·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x为双曲线的渐近线，则ba=1，又a2+b2=c2，所以a2=12，b2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2016·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】9 2【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2016·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】3【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=所以e=ca=1212F FAF AF=3n=3.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第21~22页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2016·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2015·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2016·普陀区调研)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2016·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2015·盐城中学)设椭圆22x m +..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2015·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2016·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、解答题9.(2016·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M =λMP(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2015·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB=1，|OF |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的一个焦点为F (1，0)，且过点⎭. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知A ，B 为椭圆上的点，且直线AB 垂直于x 轴，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ，求证：点M 恒在椭圆C 上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(-2)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x，即y=±2x.3.43【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，焦点F(1，0)，设点A(x，y0)(x0>0，y0>0)，由题意得x0+1=5，所以x0=4，所以2y=4x0=16，y0=4，从而点A(4，4)，直线AF的斜率k=4-04-1=43.4.2【解析】不妨设椭圆方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，则有222-1baacc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221babc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF2+AF2+AB=4a=8，因为BF2+AF2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A3-2c⎛⎫⎪⎝⎭，，B3--2c⎛⎫⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c+294b=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以24-4b+294b=1，即1-24b+294b=1，所以24b=294b，解得b2=3，所以b=6.4【解析】由题意可知抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以b=27.3【解析】由题意知A(-a，0)，B(a，0)，取P(0，b)，则kAP·k BP=ba×-ba⎛⎫⎪⎝⎭=-13，故a2=3b2，所以e2=222-a ba=23，即e=3.8.1132⎛⎫⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P在第一象限，PF1>PF2，当PF1=F1F2=2c时，PF2=2a-PF1=2a-2c，即2c>2a-2c，解得e=ca>12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF2=F1F2=2c时，PF1=2a-PF2=2a-2c，即2a-2c>2c，且2c>a-c，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、解答题9. (1) 因为28x+24y=1，所以F1(-2，0)，F2(2，0)，所以k OP=22F Mk=-1F Mk=4，所以直线F2M的方程为y=-x-2)，直线F1M的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y xy x⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M的横坐标为6 5.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM=2MP，所以1FM =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )，所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF ·F B =1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP·FQ=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件，所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)，直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)，解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，.代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +. 由24m +23n =1，得n 2=321-4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入上式得204x +203y =1. 所以点M 恒在椭圆C 上.。

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题一三角函数和平面向量开篇高考回眸

开篇高考回眸【考情分析】开篇高考回眸(本讲对应学生用书第1~1页)考情分析年份题号知识点分值2014年第5，12，14，15题三角函数的图象；向量的线性运算与数量积；正弦定理与余弦定理；同角三角函数关系，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式29分2015年第6，8，14，15题平面向量的坐标与线性运算；两角和的正切；向量的数量积，三角函数的周期性；正弦定理、余弦定理29分2016年第9，13，14，15题三角函数的图象；向量的数量积；三角恒等变换，正切的性质应用；同角三角函数关系，正弦定理、余弦定理，两角和差公式29分三角函数与平面向量在近三年高考中占了比较重的份量，三年都是29分.对于三角函数，我们要更多地关注三角函数的思想性和工具性，围绕三角函数的图象、两角和与差的三角函数公式和解三角形内容进行适度综合，但综合性不要过强.对于平面向量，应突出向量的工具性，江苏高考中利用向量工具解决几何问题是一大亮点.【真题再现】真题再现1.(2015·江苏第6题)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若m a+n b=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n=.【答案】-3【解析】由题意知m(2，1)+n(1，-2)=(9，-8)，所以29-2-8m nm n+=⎧⎨=⎩，，解得25mn=⎧⎨=⎩，，所以m-n=-3.2.(2014·江苏第5题)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，那么φ的值是.【答案】π6【解析】由题意知cos π3=12=sinπ23ϕ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭，解得2π3+φ=π6+2kπ，k∈Z或2π3+φ=5π6+2kπ，k∈Z，故φ=-π2+2kπ，k∈Z或φ=π6+2kπ，k∈Z.又φ∈[0，π]，则φ=π6.3.(2015·江苏第8题)已知tan α=-2，tan(α+β)=17，那么tan β=.【答案】3【解析】方法一：tan β=tan(α+β-α)=tan()-tan 1tan()tanαβααβα+++=12711(-2)7++⨯=3.方法二：由tan(α+β)=tan tan1-tan tanαβαβ+，得-2tan12tanββ++=17，解得tan β=3.4.(2016·江苏第9题)定义在区间[0，3π]上的函数y=sin 2x 的图象与y=cos x的图象的交点个数是.【答案】7【解析】如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin 2x与y=cos x在区间[0，3π]上的图象，可知共有7个交点.(第4题)5.(2014·江苏第12题)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5，C P=3 P D，A P·B P=2，那么A B·AD的值是.(第5题)【答案】22【解析】以AB AD，为基底，因为C P=3P D，A P·B P=2，又A P=AD+D P=AD+14AB，B P=B C+C P=AD-34AB，所以A P·B P=2=14AD AB⎛⎫+⎪⎝⎭·3-4AD AB⎛⎫⎪⎝⎭=2A D-12AD·A B-2316AB.因为AB=8，AD=5，所以2=25-3 16×64-12AB·AD，故A B·AD=22.6.(2016·江苏第13题)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD 上的两个三等分点，若B A·C A =4，B F·C F=-1，则B E·C E的值是.(第6题)【答案】78【解析】方法一：设D F=a，D B=b，则D C=-b，D E=2a，D A=3a，所以B A=D A-D B=3a -b，C A=D A-D C=3a+b，B E=D E-D B=2a-b，C E= D E-D C=2a+b，B F=D F-D B=a-b ，C F=D F-D C=a+b，所以B A·C A=9a2-b2，B F·C F =a2-b2，B E·C E=4a2-b2.又因为B A·C A=4，B F·C F=-1，所以9a2-b2=4，a2-b2=-1，解得a2=58，b2=138，所以B E·C E =4a2-b2=458⨯-138=78.方法二：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设点B的坐标为(-a，0)，点C的坐标为(a，0)，点A的坐标为(b，c)，所以B A =(b+a，c)，C A=(b-a，c)，B F=33b ca⎛⎫+⎪⎝⎭，，C F=-33b ca⎛⎫⎪⎝⎭，.因为B A·C A=b2-a2+c2=4，B F·C F=29b-a2+29c=-1，所以b 2+c 2=458，a 2=138.又因为B E =B D +D E =2233c b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，C E =C D +D E =23⎛ ⎝b-a ，23c ⎫⎪⎭，所以B E ·C E =49b 2-a 2+249c =49×458-138=78.7.(2016·江苏第15题)在△ABC 中，已知AC=6，cos B=45，C=π4.(1)求边AB 的长；(2)求cos π-6A ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解答】(1)因为cos B=45，0<B<π，所以sin35. 由正弦定理知sin AC B =sin AB C ，所以AB=·sin sin AC CB=6235⨯=5(2)在△ABC 中，因为A+B+C=π，所以A=π-(B+C )，所以cos A=-cos(B+C )=-cos π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-cos B cos π4+sin B sin π4. 又cos B=45，sin B=35，故cos A=-45×2+35×2=-10. 因为0<A<π，所以sin10，所以cos π-6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭=cos A cos π6+sin A sin π6=-10×+10×12=.。

2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第二部分抢分周计划第3周 Word版含答案

周练14+4·锁定128分强化训练(3)【强化训练】锁定128分强化训练(3)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.已知集合M={x|-1<x<1}，N={x|x2<2，x∈Z}，则M∩N=.2.已知复数3i1-2ia是纯虚数，则实数a=.3.已知命题p的否定是“对所有正数x，x>x+1”，则命题p可写为.4.从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和为偶数的概率是.5.某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y=.(第5题)6.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为.(第6题)7.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线26x-23y=1的右焦点重合，则p的值为.8.设等比数列{a n}的公比q=12，前n项和为S n，则44Sa=.9.设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是.10. 设D 为不等式组02-0-30x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，所表示的平面区域，则区域D 上的点与点B (1，0)之间的距离的最小值为 .11. 已知正方形ABCD 的边长为2，DEu u u r =2EC uuu r ，DF uuu r=12(DC u u u r +DB u u u r)，则BE u u u r ·DF u u u r = .12. 已知函数f (x )=2|x|+cos x-π，则不等式(x-2)f (x )>0的解集是 .13. 已知圆O ：x 2+y 2=r 2(r>0)及圆上的点A (0，-r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC=BC ，则直线l 的斜率为 .14. 在△ABC 中，若sin A=13sin B sin C ，cos A=13cos B cos C ，则tan A+tan B+tan C 的值为 .题号 1234567答案题号 8 9 10 11 12 13 14 答案二、解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B=45.(1) 若c=2a，求sin A的值；(2) 若C=π4+B，求sin A的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点.(1) 求证：平面BDC1⊥平面BDC；(2) 平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.(第16题)17. (本小题满分14分)已知数列{a n}满足a n+1=21nnaa+，a1=1.(1) 求证：数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2) 求数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和Sn，并求证：11S+21S+…+1nS>1nn+.18.(本小题满分16分)某工厂制造一批无盖圆柱形容器，已知每个容器的容积都是π m3，底面半径都是r m.如果制造底面的材料费用为a元/m2，制造侧面的材料费用为b元/m2，其中ba>1，设计时材料的厚度忽略不计.(1) 试将制造每个容器的成本y(单位：元)表示成底面半径r(单位：m)的函数；(2) 若要求底面半径r满足1≤r≤3(单位：m)，则如何设计容器的尺寸，使其成本最低?【强化训练答案】锁定128分强化训练(3)一、填空题1. {0}2. 6【解析】因为3i1-2ia+=-6(23)i5a a++，所以当a=6时，复数3i1-2ia+为纯虚数.3.∃x0∈(0，+∞)x0+1【解析】因为p是非p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可.4. 13 【解析】从1，2，3，6中一次随机取2个数，有(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种，其中(1，3)，(2，6)两种情况的和为偶数，所以所求概率P=13.5. 9 【解析】由众数的定义知x=5，由乙班的平均分为81，得16×(78+70+y+81+81+80+92)=81，解得y=4，故x+y=9.6. 7 【解析】第一次循环，S=1+3，i=5；第二次循环，S=1+3+5，i=7，结束循环，输出i=7.7. 6 【解析】双曲线26x -23y =1的右焦点F (3，0)是抛物线y 2=2px 的焦点，所以2p=3，p=6.8. 15 【解析】S 4=41(1-)1-a q q ，a 4=a 1q 3，所以44S a =431-(1-)q q q =15.9. 2 【解析】对①，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确；对②，直线l 可能在平面α内，故②错误；对③，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故③错误；对④，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上，正确命题的个数为2.10.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1，0)到直线2x-y=0的距离最小，=，故最小距离为.(第10题)11.-10 3【解析】如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0，0)，E223⎛⎫⎪⎝⎭，，D(2，2).由DFu u u r=12(DCu u u r+DBu u u r)知F为BC 的中点，故BEu u u r=223⎛⎫⎪⎝⎭，，DFu u u r=(-1，-2)，所以BEu u u r·DFu u u r=-2-43=-103.(第11题)12.ππ-22⎛⎫⎪⎝⎭，∪(2，+∞)【解析】由题意知函数f(x)为偶函数，且fπ-2⎛⎫⎪⎝⎭=fπ2⎛⎫⎪⎝⎭=0.当x≥0时，f(x)=2x+cos x-π，此时f'(x)=2-sin x>0恒成立，于是f(x)在[0，+∞)上单调递增.根据f(x)为偶函数可知，f(x)在(-∞，0]上单调递减.由(x-2)f(x)>0，得-20()0xf x>⎧⎨>⎩，或-20()0xf x<⎧⎨<⎩，，即x>2或-π2<x<π2.13.【解析】易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx-r，联立直线与圆的方程，解得B2222(-1)11kr k rk k⎛⎫⎪++⎝⎭，.又点C的坐标为rk⎛⎫⎪⎝⎭，，由OC=BC，得2rk⎛⎫⎪⎝⎭=221krk⎛+⎝-2rk⎫⎪⎭+222(-1)1k rk⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，解得.14. 196【解析】依题意得cos A-sin A=13cos B cos C-13sin B sin C，即cos A-sin A=13cos(B+C)，即cos A-sin A=-13cos A，所以tan A=14.又易得tan A=tan B tan C，而tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C，所以tan A+tan B+tan C=tan2A=196.二、解答题15.(1) 由余弦定理知b2=a2+c2-2ac cos B=95a2，即b= a.由正弦定理得sinB=sin A，因为cos B=45，B∈(0，π)，所以sin B=35，所以sinA=.(2) 因为cos B=45，B∈(0，π)，所以sin B=35，而sinA=sin(B+C)=sinπ24B⎛⎫+⎪⎝⎭=(sin 2B+cos 2B).又sin 2B=2sin B cos B=2425，cos2B=1-2sin2B=725，所以sinA=.16. (1) 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1.因为DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，所以∠CDC 1=90°，即DC 1⊥DC.又DC ∩BC=C ，所以DC 1⊥平面BDC. 又DC 1⊂平面BDC 1，所以平面BDC 1⊥平面BDC.(2) 设棱锥B -DACC 1的体积为V 1，AC=1.由题意得V 1=13×122+×1×1=12.又三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积 V=1，所以(V-V 1)∶V 1=1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.17. (1) 因为a n+1=21n n a a +，所以11n a +=21n n a a +，化简得11n a +=2+1n a ，即11n a +-1n a =2，故数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列.(2) 由(1)知1n a =2n-1，所以S n =(12-1)2n n +=n 2.11S +21S +…+1n S =211+212+…+21n>112⨯+123⨯+…+1(1)n n +=11-2⎛⎫ ⎪⎝⎭+11-23⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+1n ⎛⎝-11n ⎫⎪+⎭=1-11n +=1n n +.18. (1) 设每个容器的高为h m ，则圆柱的体积为V=πr 2h=π，即r 2h=1.所以制造成本为y=2πrhb+πr 2a=22b r a r ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π(r>0). (2) 由(1)知y'=2π2-b ar r ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令y'=0，得当r 变化时，y ，y'的变化情况如下表：(i)当，即ba ≥27时，函数y 在[1，3]上单调递减，所以当r=3时，y 取得最小值，此时底面半径应设计成3 m .(ii) 当13，即1<b a <27时，函数y 在⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎥⎦上单调递增，所以当y m .综上，当b a ≥27时，应将底面半径设计成3 m ；当1<ba <27时，应将底面半径设计m .。

2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第二部分抢分周计划第7周 Word版含答案

周练14+4·锁定128分强化训练(7)【强化训练】锁定128分强化训练(7)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.设复数z=-1+i，则|z|=.2.已知集合A={0，m，2}，B={x|x3-4x=0}，若A=B，则m=.10，|a-b|=6，则a·b=.3.设向量a，b满足|a+b|=4.根据给出的流程图，计算f(-1)+f(2)=.(第4题)5.有四条线段，其长度分别为2，3，4，5，现从中任取三条，则以这三条线段为边构成直角三角形的概率是.6.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为.(第6题)7.已知函数f(x)=(ax2+x)e x，则当a<0时，不等式f(x)>0的解集为.8.已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为.9.设变量x，y满足约束条件24-1-22x yx yx y+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z=x+y的最小值是.10.在△ABC中，已知BC=1，B=π3，且△ABC的面积为3，则AC的长为.11. 已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有n n S T =314n +，则33a b = .12. 已知函数f (x )=|||lg |020x x x x >⎧⎨≤⎩，，，，则函数y=2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数是 .13. 已知圆O ：x 2+y 2=1，点C 为直线l ：2x+y-2=0上一点，若圆O 存在一条弦AB 垂直平分线段OC ，则点C 的横坐标的取值范围是 .14. 已知正实数a ，b ，c 满足1a +1b =1，1ab +1bc +1ca =1，则实数c 的取值范围是 .题号 1234567答案题号 8 9 10 11 12 13 14答案二、解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，设向量m=(3cos A，sin A)，n=(cos B，-3sin B)，其中A，B为△ABC的两个内角.(1) 若m⊥n，求证：C为直角；(2) 若m∥n，求证：B为锐角.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，∠PBC=∠BAD=90°.(1) 求证：BC⊥平面PAB；(2) 求证：AD∥平面PBC.(第16题)17. (本小题满分14分)如图，有一直径为8 m的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是∠ECF=π6，点E，F在直径AB上，且∠ABC=π6.(1) 若13AE的长；(2) 设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆C：x2+2y2=4.(1) 求椭圆C的离心率；(2) 设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.【强化训练答案】锁定128分强化训练(7)一、填空题1.22.-2【解析】由题知B={0，-2，2}，A={0，m，2}，若A=B，则m=-2.3. 1【解析】由条件可得(a+b)2=10，(a-b)2=6，两式相减得4a·b=4，所以a·b=1.4.0【解析】输入-1，满足x≤0，所以f(-1)=4×(-1)=-4；输入2，不满足x≤0，所以f(2)=22=4，即f(-1)+f(2)=0.5.14【解析】从四条线段中任取三条，共有4种不同的取法，三条线段能构成直角三角形的是3，4，5，故所求事件的概率为P=14.6. 12【解析】第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4=50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36=18，故第三组中有疗效的人数为18-6=12.7.10-a⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由(ax2+x)e x>0，得ax2+x>0，所以x(ax+1)>0.因为a<0，所以x1xa⎛⎫+⎪⎝⎭<0，所以0<x<-1a.8. 339【解析】正三棱锥的高h=225-(23)=13，底面积S=34×62=93，故体积V=13×93×13=339.9.2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z=x+y，得y=-x+z.平移直线y=-x+z经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.(第9题)10.13【解析】因为△ABC的面积S=12×AB×BC×sin B=12×AB×1×32=3，所以AB=4.由余弦定理得AC2=1+16-2×1×4×cosπ3=13，所以AC=13，即AC的长为13.11. 9【解析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，t，取n=1，2，3可知a1=b1，q=9，t=3，所以33ab=2qt⎛⎫⎪⎝⎭=9.12. 5【解析】方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=12或1，作出y=f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.(第12题)13.85⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由题意分析可知以C为圆心，1为半径的圆与已知圆O相交，设直线l上任意一点C(x0，2-2x0)，则OC<2，所以2200(2-2)x x+<2，整理得52x-8x0<0，所以0<x0<85.14. 413⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】方法一：因为1a ∈(0，1)，1b ∈(0，1)，所以可设1a =cos 2α，1b =sin 2απ02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭.由1ab +1bc +1ca =1，易得1c =1-14sin 22α∈314⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，所以1<c ≤43.方法二：由题意可得a+b=ab=-1c c ，又a ，b ，c 为正数，所以-1cc >0，c>1.因为ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以-1c c ≤214-1c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以-1cc ≥4，解得1<c ≤43.二、解答题 15. (1) 由题意得m ·n(cos A cos B-sin A sin B )=cos(A+B )，因为m ⊥n ，所以m ·n =0，即cos(A+B )=cos π2.因为0<A+B<π，且函数y=cos x 在(0，π)内是单调减函数，所以A+B=π2，即C 为直角.(2) 因为m ∥n ，cos A (-sin B )-sin A cos B=0，即sin A cos B+3cos A sin B=0. 因为A ，B 是三角形内角，所以cos A cos B ≠0，于是tan A=-3tan B ，所以A ，B 中恰有一个是钝角.从而tan(A+B)=tan tan1-tan tanA BA B+=2-3tan tan13tanB BB++=2-2tan13tanBB+<0，所以tan B>0，即B为锐角.16. (1) 在平面PAB内过点P作PH⊥AB于点H，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PH⊂平面PAB，所以PH ⊥平面ABCD.因为BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC.由∠PBC=90°，得PB⊥BC.又PH∩PB=P，PH⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.(2) 由(1)知BC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB.由∠BAD=90°，得AD⊥AB.故在平面ABCD中，AD∥BC.又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.17. (1) 已知点C在以AB为直径的半圆周上，所以△ABC为直角三角形.因为AB=8，∠ABC=π6，所以∠BAC=π3，AC=4.在△ACE中，由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AE cos A，且CE=，所以13=16+AE2-4AE，解得AE=1或AE=3.(2) 因为∠ACB=π2，∠ECF=π6，所以∠ACE=α∈π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以∠AFC=π-∠A-∠ACF=π-π3-π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π2-α，在△ACF 中，由正弦定理得sin CF A =sin AC CFA ∠=πsin -2ACα⎛⎫ ⎪⎝⎭=cos AC α，所以CF=. 在△ACE 中，由正弦定理得sin CE A =sin AC AEC ∠=πsin 3AC α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以CE=sin 3α+ ⎪⎝⎭. 若产生最大经济效益，则△CEF 的面积S △ECF 最大，S △ECF =12CE ·CF sin ∠ECF=3πsin cos 3αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12π2sin 23α⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为α∈π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以0≤sinπ23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1. 所以当α=π3时，S △ECF 取最大值为4(m 2)，此时该地块产生的经济价值最大.18. (1) 由题意，椭圆C 的标准方程为24x +22y =1，所以a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2-b 2=2. 因此a=2，.故椭圆C 的离心率e=ca=.11 (2) 直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA u u u r ·OB u u u r =0，即tx 0+2y 0=0，解得t=-002y x .当x 0=t 时，y 0=-22t ，代入椭圆C 的方程，得，故直线AB 的方程为，圆心O 到直线AB 的距离.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y-2=00-2-y x t (x-t ). 即(y 0-2)x-(x 0-t )y+2x 0-ty 0=0，.又20x +220y =4，t=-002y x ，故.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.。

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题专题九冲刺高分填空题中的“瓶颈题”_1

第1讲填空题中的“瓶颈题”【举题说法】第1讲填空题中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第73~78页)江苏高考对填空题知识点的考查相对稳定，共有14道，分值70分，填空题的得分多少，决定了整个试卷的成败.我们应该坚持由易到难的做题顺序.要确保填空题前10题正确.要突破填空题中的“瓶颈题”就必须在填空题后4题中有所斩获.解填空题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一个步骤都正确无误，还要求将答案表达的准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.数学填空题，解题的基本方法一般有：①直接求解；②数形结合；③特例法(特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型)；④整体代换；⑤类比、归纳；⑥构造图形等.求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫.要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究解题策略，要合理利用“数形结合”和“特例法”等非常规解法.直接法直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.例1 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数.若当x ∈[0，1)时，f (x )=2x -1，则f (lo12g 6)的值为 .【分析】先分析所给的自变量值是否在已知函数的定义域范围内，再利用函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求值.【答案】-12【解析】因为-3<lo12g 6<-2，所以-1<lo12g 6+2<0，即-1<lo123g 2<0.因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (lo 12g 6)=f 123log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f 123-log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f 23log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-(23log 22-1)=-12.练习 (1)已知集合A={x|ln x>0}，B={x|2x ≤4}，则A ∩B= .(2)已知向量a =(1，2)，b =(0，1)，设m =a +t b ，n =2a -b ，若m ⊥n ，则实数t 的值为 .【分析】(1)解不等式再求交集；(2)运用向量垂直的条件计算.【答案】(1)(1，2] (2)-83【解析】(1)由题可得A={x|x>1}，B={x|x ≤2}，则A ∩B={x|1<x ≤2}.(2)由已知得m =a +t b =(1，2+t )，n =2a -b =(2，3)，故由m ⊥n 可知1×2+(2+t )×3=0，所以t=-83.数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.例2已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=2 017x+log2 017x，则方程f(x)=0的实根的个数为.【答案】3【解析】由题意可得，f(x)的零点个数即函数y=2 017x和y=-log2 017x的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系中分别作出y=2 017x，y=-log2 017x的图象如图所示，(例2)在(0，+∞)上，两个图象只有一个交点，即方程f(x)=0只有一个实根.再根据奇函数的性质可得f(0)=0，以及根据奇函数的图象的对称性可得，当x<0时，两个图象也有一个交点，即方程f(x)=0只有一个实根.综上，在R上，函数f(x)的零点个数为3.【点评】f(x)的零点个数即函数y=2 017x和函数y=-log2 017x的图象的交点个数，数形结合可得在(0，+∞)上，两个图象只有一个交点.再根据奇函数的性质可得当x<0时，两个图象也有一个交点，且f(0)=0，综合可得结论.练习已知函数f(x)=|lg x|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是.【答案】(3，+∞)【解析】作出f(x)的示意图如图所示，易知0<a<1<b，故由f(a)=f(b)可得-lga=lg b，于是lg a+lg b=lg ab=0，故a=1b，从而a+2b=1bb⎛⎫+⎪⎝⎭+b>2+b>3，所以a+2b的取值范围为(3，+∞).(练习)特例法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替，即可以得到正确结果.例3在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ba+ ab=6cos C，则tantanCA+tantanCB=.(例3)【答案】4【解析】方法一：(特殊值法)根据题意可知，a，b是等价关系，我们将题目中的a，b互换条件不变.因此，我们选用特殊图形，构造锐角三角形ABC为等腰三角形，此时cos C=13.不妨设a=b=3(如图)，作AD ⊥BC ，垂足为D ，所以CD=1，AD=22，所以tan C=22，tan A=tan B=2，所以tan tan C A +tan tan CB =4.方法二：因为b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2，所以6ab·222-2a b c ab +=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan C B =sin cos C C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2221-2a b c ab +·2c ab =224c c =4.练习已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)=1，对任意x ∈R 都有下列两式成立：(1)f (x+5)≥f (x )+5；(2)f (x+1)≤f (x )+1.若g (x )=f (x )+1-x ，则g (6)的值为 .【答案】1【解析】(特殊函数)观察(1)(2)可知，f (x )=x 显然满足题设，故可得g (6)=f (6)+1-6=1.等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.例4若不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是.【分析】直线y=kx+1恒过定点(0，1)，转化为点(0，1)恒在圆的内部或边界上即可满足题意.【答案】[-1，3]【解析】由于直线y=kx+1恒过定点(0，1)，所以原题等价于点(0，1)恒在圆内或圆上，所以点(0，1)到圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0的圆心(a，0)的距离小于或等于半径24a+，其中a>-2，即22(0-)(1-0)a+≤24a+，解得-1≤a≤3，即a的取值范围是[-1，3].练习如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是EF上的动点，记△A1B1G，△C1D1G的面积分别为S1，S2，则S1+S2的最小值为.(练习)【答案】5【解析】设EG=x，则FG=2-x，0≤x≤2，则S1+S2=12×2×24x++12×2×2(2-)4x+22(-0)(0-2)x+22(-2)(0-2)x+x轴上的点P(x，0)到M(0，2)与N(2，2)两点的距离之和，而点M关于x轴的对称点为M'(0，-2)，则S1+S2≥M'N=5整体代入法将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能或作整体处理后得到正确的结果.例5已知三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6，4，3，那么该三棱锥的体积等于.【分析】由题意联想到长方体，把三棱锥放置于长方体内，整体代入，解决问题.(例5)【答案】4【解析】由题意可联想到长方体模型，如图，设三条棱长分别为x，y，z，则12xy=6，12xz=4，12yz=3，有xy=12，xz=8，yz=6，即(xyz)2=12×8×6=4×3×4×2×6=242，于是xyz=24，故所求体积V=16xyz=4.练习设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤2xy≤9，则34xy的最大值是.【答案】27【解析】34xy=22xy⎛⎫⎪⎝⎭·21xy∈[2，27]，故所求最大值为27.构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程.例6在四面体ABCD中，若AB=CD=13，AC=BD=5，AD=BC=25，则该四面体的体积V=.(例6)【答案】8【解析】构造如图所示的长方体，并且满足AB=CD=13，AC=BD=5，AD=BC=25.现设AP=p，AQ=q，AR=r，则p2+q2=AB2=13，r2+p2=AD2=20，q2+r2=AC2=25.将以上三式分别相加得p2+q2+r2=29，于是r=4，q=3，p=2.故V=V长方体-4CAQ BV=2×3×4-4×13×4×12×2×3=8.归纳猜想法认真分析，仔细观察、归纳，发现共同特征，大胆猜想，据此预测它的变化规律.例7设{a n}是首项为1的正项数列，且(n+1)21na-n2na+a n+1a n=0(n=1，2，3，…)，则它的通项公式是a n=.【答案】1 n【解析】因为(a n+1+a n)[(n+1)a n+1-na n]=0，所以(n+1)a n+1-na n=0，所以a1=1，a2=12，a3=13，…，猜想an=1n.练习观察下列算式，猜测由此提供的一般性法则，使用适当的数学式子表示它：1=13+5=87+9+11=2713+15+17+19=6421+23+25+27+29=125设第n个式子为a1+a2+…+a n=b n，则(a1，a n)=，b n=.【答案】(n2-n+1，n2+n-1)n3【解析】观察每一个式子的首项分别为1，3，7，13，21，…均为奇数，对它们都减去1，则为0，2，6，12，20，…，即为12-1，22-2，32-3，42-4，52-5，…，所以归纳为n2-n+1.同理末项归纳为n2+n-1.观察等式右边可得b n=n3.【中档题突破】中档题突破简易逻辑问题例1 对于△ABC ，有如下四个结论： ①若sin2A= sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； ②若sin B=cos A ，则△ABC 是直角三角形； ③若sin 2A+ sin 2B> sin 2C ，则△ABC 是锐角三角形；④若cos2aA =cos 2bB =cos 2cC，则△ABC 是等边三角形.其中正确的结论个数是 . 【答案】 1【解析】①不对，可能2A+2B=π；②不对，如B=120°，A=30°；③不对，仅能说明C 为锐角；④对，由正弦定理可得sin 2A =sin 2B =sin 2C，即A=B=C.【点评】本题主要使用了特殊值法.当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当的特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理论证的过程.练习在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+b ，b ∈R 与曲线21-y 的充要条件是 .【答案】221，且b<0，即2【点评】要理解必要不充分、充分不必要、充要条件的意义，准确判断命题之间的相互关系.如果p⇒q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果p⇒q且q ⇒/p，那么p是q的充分不必要条件；如果p⇒/q且q⇒p，那么p是q的必要不充分条件，如果p⇔q，那么p是q的充要条件.立体几何中体积、面积的计算5，例1如图(1)，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=1，BC=2，AC=AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，△AMC1的面积为.(例1(1))【分析】本题中点M在线段BB1上移动时，MA和MC1两者都在变化中，无法直接求出距离之和的最小值.在平面几何中三角形两边之和大于第三边，且当三点共线时，可以得到两边之和等于第三边，故利用该特征将该三棱柱的侧面展开转化为平面几何进行研究.(例1(2))3【解析】将三棱柱侧面展开后知，AM+MC 1最小可以等价为在矩形ACC 1A 1中求AM+MC 1的最小值.如图(2)，当A ，M ，C 1三点共线时，AM+MC 1最小.又AB=1，BC=2，所以AM=2，MC 1=22.又AC 1=95+=14，所以cos ∠AMC 1=222111-2?AM C M AC AM C M +=2222⨯⨯=-12，所以sin ∠AMC 1=32.所以△AMC 1的面积为S=12×2×22×32=3.【点评】立体几何中相邻两个面之间的两点间路径距离最短问题，都可以转化为平面几何中两点间距离最短，空间问题向平面问题转化，使得问题简化.练习设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 .【答案】327【解析】方法一：设正四棱锥的底面边长为x ，则体积V=13x 221-2x =422(2-)6x x ，记y=t 2(2-t )，t>0，利用导数可求得当t=43时，y max =3227，此时V max =4327.方法二：设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则V=13×2cos 2θ×sin θ=23(1-sin 2θ)×sin θ，0<θ<π2，记y=(1-t 2)t ，0<t<1，利用导数可求得当t=33时，y max =39，此时V max =4327.三角函数与解三角形问题例1(2016·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是.【分析】由题意知中间角为60°，由正弦定理知m也是最大角与最小角的正弦值之比.【答案】(2，+∞)【解析】由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°-α，其中0°<α<30°.由正弦定理得m=°sin(120-)sinαα=32×1tanα+12>32×3+12=2.【点评】若“钝角三角形”改为“直角三角形”，则m=2；若仅放大最大边，则最大角为钝角，此时m>2.其思想根源是30°角所对的直角边是斜边的一半.例2已知ω>0，若函数f(x)=sinπ4xω⎛⎫+⎪⎝⎭在ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】15 24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】当2k π+π2≤ωx+π4≤2k π+3π2，k ∈Z 时，f (x )为减函数，即π2π4k ω+≤x ≤5π2π4k ω+，k ∈Z 时，f (x )为减函数，又当x ∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，时f (x )是减函数，所以π2ππ425π2π4πk k ωω⎧+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，，k ∈Z ，解得142524k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，，k ∈Z .又ω>0，所以k=0，12≤ω≤54.练习1 (2015·成都外国语)若函数f (x )=a sin 2x+cosπ23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，则实数a= .【答案】0或3【解析】因为函数f (x )=a sin 2x+cos π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=a-32sin 2x+12cos 2x 的最大值为1，所以23-a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭+14=1，解得a=0或3. 【点评】研究三角函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答，本意要注意应用a sin x+b cos x 的最值的结论进行作答.练习2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2-b 23bc ，sin C=3B ，则A= .【答案】30°【解析】由sin C=23sin B 及正弦定理得c=23b ，代入a 2-b 2=3bc ，得a 2-b 2=3b·23b=6b 2，即a 2=7b 2.又c 2=12b 2，由余弦定理得cos A=222-2b c a bc +=222212-743b b b b +=643=32.又A ∈(0°，180°)，所以A=30°.不等式与线性规划例1 已知实数x ，y 满足约束条件-0-50-30x y x y y ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，若不等式m (x 2+y 2)≤(x+y )2恒成立，则实数m 的最大值是 .(例1)【答案】2513【解析】作出线性约束条件下的可行域如图中阴影部分所示，显然，A (2，3)，B (3，3)，令目标函数z=yx ，它表示经过点(0，0)及可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，从而1≤z ≤32.不等式m (x 2+y 2)≤(x+y )2恒成立，也就是m ≤222()x y x y ++恒成立，令u=222()x y x y ++，则u=1+222xy x y +=1+2x y y x +=1+21z z+1≤z ≤32，当1≤z ≤32时，2≤1z+z ≤136，从而1213≤21z z +≤1，所以2513≤1+21zz +≤2，于是m ≤2513，即实数m 的最大值为2513.【点评】本题是恒成立问题与基本不等式问题的综合题，较容易入题，需要考生完成的工作是灵活将这两个问题搭桥，以及如何将含两个变量x ，y 的函数消元成一个变量z.例2 若a 2-ab+b 2=1，a ，b 是实数，则a+b 的最大值是 . 【答案】2【解析】方法一：因为a 2-ab+b 2=1，即(a+b )2-3ab=1，从而3ab=(a+b )2-1≤23()4a b +，即(a+b )2≤4，所以-2≤a+b ≤2，所以(a+b )max =2.方法二：令u=a+b ，与a 2-ab+b 2=1联立消去b 得3a 2-3ua+u 2-1=0，由于此方程有解，从而有Δ=9u 2-12(u 2-1)≥0，即u 2≤4，所以-2≤u ≤2，所以(a+b )max =2.练习1 已知P (x ，y )为函数y=x 2-1(x>3图象上一动点，记m=3-5-1x y x ++3-7-2x y y +，则当m 最小时，点P 的坐标为 .【答案】(2，3)【解析】方法一：m=23-6-1x x x ++223-10-3x x x +=6+2-3-1x x +2-1-3x x . 当且仅当2-3-1x x =2-1-3x x ，即x=2时m 取得最小值，此时点P 的坐标为(2，3).方法二：m=3-3-2-1x y x ++-13-6-2x y y +=6+-2-1y x +-1-2x y .当且仅当-2-1yx=-1-2xy时，m取得最小值.以下同方法一.【点评】用基本不等式研究最值，具有重要意义，要注意构造应用基本不等式求最值的条件，同时要特别注意基本不等式应用的条件是否具备，特别是等号能否取到，而且还要在条件不满足的情况下能够求解或者转化，如等号取不到时，要借助函数图象，利用函数单调性求解最值等.练习2已知x>0，y>0，2x+1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】(-4，2)【解析】x+2y>m2+2m恒成立可知m2+2m<(x+2y)min，而x+2y=(x+2y)21x y⎛⎫+⎪⎝⎭=4+4yx+xy≥4+4=8，所以m2+2m<8，解得-4<m<2.平面向量的应用问题例1如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D是BC的中点，若向量AM=14AB+m A C，且AM的终点M在△ACD的内部(不含边界)，则AM·BM的取值范围是.(例1)【分析】根据题设条件，本题采用向量的坐标法运算比较简单，因此，首先建立平面直角坐标系.由AM =14AB +m A C 可得到点M 的坐标，进而由点M 在△ACD 的内部，得到点M 的坐标所满足的条件，根据此条件就可得到AM ·BM 的取值范围. 【答案】(-2，6)【解析】以AB ，AC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4)，D (2，2)，从而直线AD 的方程为y=x ，直线BC 的方程为y=-x+4.由AM =14AB+m A C 得M (1，4m ).因为点M 在△ACD 的内部，所以1-40144m m <⎧⎨+<⎩，，解得14<m<34.又因为AM ·BM =(1，4m )·(-3，4m )=16m 2-3，所以AM ·BM ∈(-2，6).例2 在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD=2π3，若点P 为对角线AC 上一点，则P B ·P D 的最大值为 . 【分析】由于点P 是AC 上的点，所以可将A PA C 用向量表示，进而将PB ，P D 表示为A B ，AD 的形式，通过计算就可得到它的最大值.【答案】-12【解析】设A P =λA C (0≤λ≤1)，则P B =A B -A P =A B -λA C P D ，=AD -A P =AD -λA C ，因此P B ·P D =(A B -λA C )·(AD -λA C )=A B ·AD -λA C ·(A B +AD )+λ22AC .因为四边形ABCD 是边长为1的菱形，且∠BAD=2π3，所以|A C |=1，A B +AD =AC AB ，·AD =1×1×cos 120°=-12，从而P B ·P D =λ2-λ-12=21-2λ⎛⎫ ⎪⎝⎭-34，所以当λ=0或1时，(P B ·P D )max =-12.练习1如图，在圆O的内接三角形ABC中，M是BC的中点，AC=3.若A O·AM=4，则AB=.(练习1)【答案】7【解析】方法一：因为O是三角形外心，所以A O在A B和A C上的投影分别为12|A B|，12|A C|.又因为M是边BC的中点，所以A O·AM=12AO·(A B+A C)= 21 4A B+214AC=214A B+94=4，所以2A B=7，即AB=7.方法二：延长AO交圆O于点D，连接BD，DC，则BD⊥AB，CD⊥AC.所以A O·AM=12AD·12(A B+A C)=14(AD·A B+AD·A C)=14(A B+B D)·A B+14(A C+C D)·A C=214A B+214AC=214A B+94=4，所以2A B=7，即AB=7.练习2已知向量a=(1，1)，b=(-1，1)，设向量c满足(2a-c)·(3b-c)=0，则|c|的最大值为.26【解析】因为(2a-c)·(3b-c)=0，所以6a·b+c2-(2a+3b)·c=0.又因为a=(1，1)，b=(-1，1)，所以a·b=0，所以|c|2=|2a+3b|·|c|·cos θ(θ为2a+3b与c夹角)，所以|c|=|2a+3b|·cos θ≤|2a+3b221526直线与圆例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+(y-1)2=5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA=OM ，则直线AB 的斜率为 .【分析】由于中点M 是直线AB 与CM 的交点，从而可由这两条直线的方程，求出它的坐标，即用AB 的斜率将它的坐标表示出来，再根据条件OA=OM ，求出k 的值.【答案】2【解析】在圆C ：x 2+(y-1)2=5中，令y=0，得x=±2，从而A (-2，0).设直线AB ：y=k (x+2).因为M 是弦AB 的中点，所以CM ⊥AB ，所以直线CM ：y=-1k x+1.将它与直线AB 的方程联立解得M 222(1-2)211k k k k k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，.因为OA=OM=2，所以22222(1-2)211k k k k k k ⎛⎫+⎡⎤+ ⎪⎢⎥++⎣⎦⎝⎭=2，解得k=±2.当k=-2时，M (-2，0)不合题意，所以k=2，即直线AB 的斜率为2.例2 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x-1)2+(y-1)2=9，直线l ：y=kx+3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 .【答案】3-4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得MC ≥1对于任意的点M 恒成立，由图形的对称性可知，只需点M 位于AB 的中点时存在则可.由点C (1，1)到直线l 的距离得d=2|2|1k k ++≥1，解得k ≥-34.练习1 已知P (x ，y )是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2+y 2-2y=0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为 .【答案】2【解析】由圆的方程得x 2+(y-1)2=1，所以圆心为(0，1)，半径r=1，四边形PACB 的面积S=2S △PBC .因为四边形PACB 的最小面积为2，所以S △PBC 的最小值为1，而S △PBC =12r·PB ，即PB 的最小值为2，此时PC 最小为圆心到直线的距离，此时d=21k +=2212+=5，即k 2=4，因为k>0，所以k=2.练习2 已知圆C 1：(x-2)2+(y-3)2=1，圆C 2：(x-3)2+(y-4)2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM+PN 的最小值为 .【答案】2 4【解析】两圆的圆心和半径分别为C 1(2，3)，C 2(3，4)，r 1=1，r 2=3，且两圆内含.圆C 1：(x-2)2+(y-3)2=1关于x 轴对称的圆的方程为圆C 3：(x-2)2+(y+3)2=1，圆心C 3(2，-3)，所以PC 1=PC 3，所以动点P 到圆心C 3(2，-3)，C 2(3，4)的距离之和的最小值为C 2C 3=22(2-3)(-3-4)+=5052，所以PM+PN 的最小值为C 2C 3-1-3=524.【压轴题突破】压轴题突破函数的零点问题例1已知函数f(x)=220(-1)10.x x xf x x⎧+≤⎨+>⎩，，，当x∈[0，100]时，关于x的方程f(x)=x-15的所有解的和为.(例1)【分析】注意到方程f(x)=x-15的解可以看做函数y=f(x)与y=x-15的图象交点的横坐标，同时，注意到f(x)=f(x-1)+1具有“周期性”的特点，由此可作出图象，由图象来得到解的规律，进而得到所有解的和.【答案】10 000【解析】分别作出函数y=f(x)与y=x-15的图象(如图).当x∈[0，1)时，令f(x)=(x-1)2+2(x-1)+1=x-15，即x2-x+15=0，此时两根之和为1；由图可知，当x∈[1，2)，x ∈[2，3)，…时，它们的两个根的和组成公差为2的等差数列，从而当x ∈[0，100]时，所有解的和为100[112(100-1)]2++⨯=10 000.【点评】应用数形结合的方法来研究解的个数或与解相关的问题，是一种常用的策略，也是简化问题求解的一种手段，要熟练地掌握.例2 (2016·上海卷)已知a ∈R ，函数f (x )=log 21a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.若关于x 的方程f (x )-log 2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，则实数a 的取值范围是 .【答案】(1，2]∪{3，4}【解析】由题意知1x +a=(a-4)x+2a-5，其中1x +a>0，(a-4)x+2a-5>0，即(a-4)x 2+(a-5)x-1=0，当a=4时，x=-1，经检验，满足题意. 当a=3时，x 1=x 2=-1，经检验，满足题意.当a ≠3且a ≠4时，x 1=1-4a ，x 2=-1，x 1≠x 2.x 1是原方程的解当且仅当11x +a>0，即a>2；x 2是原方程的解当且仅当21x +a>0，即a>1.于是满足题意的a ∈(1，2].综上，a的取值范围为(1，2]∪{3，4}.练习1 已知函数f (x )=1-|-1|21(-2)22x x f x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩，，，，则函数F (x )=xf (x )-1的零点的个数为 .【答案】6(练习1)【解析】由题意知，F (x )=xf (x )-1的零点，即函数y=f (x )与y=1x 的图象交点的横坐标.作出x ∈(-∞，2)的函数f (x )的图象如图所示，由图象知f (0)=f (2)=0，f (1)=1，f12⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 32⎛⎫ ⎪⎝⎭=12.当x ∈[2，+∞)时，f (4)=12f (2)=0，f (6)=12f (4)=0，…依次类推，易得f (4)=f (6)=f (8)=…=f (2n )=0.又f (3)=12f (1)=12，同理，f (5)=12f (3)=14，f (7)=12f (5)=18，作出x ∈[2，+∞)时函数f (x )的图象如图所示，显然零点共6个，其中左边1个，右边5个.练习2 若函数f (x )满足f (x+1)=f (x-1)，且当x ∈[-1，1]时，f (x )=x 2，则函数F (x )=f (x )-|log 4x|的零点个数为 .(练习2)【答案】4【解析】因为f(x+1)=f(x-1)，所以函数f(x)的周期为2，且x∈[-1，1]时，f(x)=x2，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象，y=|log4x|(x>0)的图象如图所示，由图象可知，交点个数是4，即F(x)的零点个数为4.练习3已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=x，若在区间[-1，3]内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是.(练习3)【答案】1 04⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】由题意可知g(x)=f(x)-kx-k的零点，即y=f(x)与y=k(x+1)的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中分别作出y=f(x)与y=k(x+1)的图象如图所示，由题知函数g(x)在[-1，3]内有4个零点，所以k∈14⎛⎤ ⎥⎝⎦，.练习4函数f(x)=(x-1)sin πx-1(-1<x<3)的所有零点之和为. 【答案】4【解析】原函数的零点可看作函数f(x)=sin πx，g(x)=1-1x的交点的横坐标，作出它们的图象可以看出，它们有四个交点，且f(x)与g(x)均关于点(1，0)对称，故f(x)与g(x)在(-1，3)上的四个交点的横坐标之和为4.函数的性质问题例1(2016·苏锡常镇调研)已知函数f(x)=x|x2-a|，若存在x∈[1，2]，使得f(x)<2成立，则实数a的取值范围是.【答案】(-1，5)【解析】方法一：当x∈[1，2]时，f(x)<2，等价于|x3-ax|<2，即-2<x3-ax<2，即x3-2<ax<x3+2，得到x2-2x<a<x2+2x，即2min2-xx⎛⎫⎪⎝⎭<a<2max2xx⎛⎫+⎪⎝⎭，解得-1<a<5.方法二：原问题可转化为先求：对任意x∈[1，2]，使得f(x)≥2时，实数a的取值范围.则有x|x2-a|≥2，即|a-x2|≥2 x.(1)当a≥4时，a≥x2+2x≥22+22=5，得到a≥5.(2)当a≤1时，x2-a≥2x，有a≤x2-2x≤1-21=-1，得到a≤-1.(3)当1<a<4时，|a-x2|≥0，与2x>0矛盾.那么有a≤-1或a≥5，故原题答案为-1<a<5.【点评】对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为新函数的最值问题(如方法一)，也可以转化为命题的否定，即恒成立问题来处理(如方法二).例2(2015·宿迁一模)已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1，若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集，则实数a的取值范围是.【分析】注意到f(f(x))<0是关于x的四次不等式，所以直接求解是有困难的，因此，首先要降次，由于f(x)可分解为[x-(a+1)][x-(a-1)]，从而应用整体思想，可将问题转化为a-1<f(x)<a+1，此时再来研究不等式a-1<f(x)<a+1的解集.若直接解不等式组2222-2-1-1-2-11x ax a ax ax a a⎧+>⎨+<+⎩，，则需要进行分类讨论，且情况众多，所以应用数形结合的思想来加以解决，考虑函数y=f(x)与y=a-1，y=a+1的图象关系，易得到问题答案.【答案】(-∞，-2]【解析】因为f(x)=[x-(a+1)][x-(a-1)]，所以f(f(x))<0等价于[f(x)-(a+1)][f(x)-(a-1)]<0，从而a-1<f(x)<a+1，要使f(f(x))<0的解集为空集，根据函数的图象，则需y=a+1与y=f(x)至多有一个交点.又因为f(x)=(x-a)2-1≥-1，所以a+1≤-1，解得a≤-2.【点评】研究高次的方程、不等式通常首先考虑的是能否进行降次，转化为低次的方程、不等式；其次，在研究方程、不等式问题时，要充分注意它与函数的关系，即充分利用它所对应的函数的图象的直观性来研究问题，这往往可以起到化难为易，化繁为简的作用.练习1已知函数f(x)=|2x-2|(x∈(-1，2))，则函数y=f(x-1)的值域为.(练习1)【答案】[0，2)【解析】方法一：由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域.画出函数f(x)=|2x-2|的图象如图所示，由图易得值域为[0，2).方法二：因为x∈(-1，2)，所以2x∈142⎛⎫⎪⎝⎭，，2x-2∈3-22⎛⎫⎪⎝⎭，，所以|2x-2|∈[0，2).因为y=f(x-1)是由f(x)向右平移1个单位长度得到的，所以值域不变，所以y=f(x-1)的值域为[0，2).练习2 已知函数f (x )=13x 3+2x ，若对任意的t ∈[-3，3]，f (tx-2)+f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是 .【答案】1-12⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】易知函数f (x )=13x 3+2x 是R 上的奇函数且单调递增，f (tx-2)+f (x )<0可化为f (tx-2)<f (-x )，即tx-2<-x ，问题变为g (t )=tx+x-2<0在区间[-3，3]上恒成立，故有(-3)0(3)0g g <⎧⎨<⎩，，解得-1<x<12.导数的应用例1 (2015·泰州二模)若函数f (x )=x 2|x-a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围是 .【分析】含绝对值的函数需要去绝对值转化为分段函数，本题已知函数在[0，2]上为增函数，则需先讨论函数在[0，+∞)上的单调性，自然地分a ≤0和a>0两个情况进行讨论，得到函数在[0，+∞)上的单调性，结合函数单调性得到23a ≥2，从而解出a 的取值范围.【答案】(-∞，0]∪[3，+∞)【解析】先讨论函数在[0，+∞)上的单调性.当a ≤0时，f (x )=x 3-ax 2，f'(x )=3x 2-2ax ≥0在[0，+∞)上恒成立，所以f (x )在[0，+∞)上单调递增，则也在[0，2]上单调递增，成立；当a>0时，f (x )=2332-0-.ax x x a x ax x a ⎧≤≤⎨>⎩，，，①当0≤x ≤a 时，f'(x )=2ax-3x 2，令f'(x )=0，得x=0或x=23a ，则f (x )在203a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在23a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；②当x>a 时，f'(x )=3x 2-2ax=x (3x-2a )>0，所以f (x )在(a ，+∞)上单调递增，所以当a>0时，f (x )在203a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在23a a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在(a ，+∞)上单调递增.要使函数在区间[0，2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值范围是(-∞，0]∪[3，+∞).例2 (2015·徐州、连云港、宿迁三检)若函数f (x )=a x -x 2(a>1)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .【分析】本题的难点是如何求解当x>0时，关于x 的方程a x -x 2=0(a>1)有两个不同的实数根.【答案】(1，2ee )【解析】显然，当x<0时，函数f (x )=a x -x 2(a>1)必有一个零点，所以当x>0时，函数f (x )=a x -x 2(a>1)必有两个不同的零点，也就是说当x>0时，关于x 的方程a x -x 2=0(a>1)有两个不同的实数根，亦即x>0时，关于x 的方程a x =x 2(a>1)有两个不同的实数根.将该方程两边同时取对数，得x ln a=2ln x (a>1)，即ln 2a =ln x x ，所以只要求函数u (x )=ln x x (x>0)与函数v (x )=ln 2a有两个不同的交点即可，因为u'(x )=21-ln x x (x>0)，令u'(x )=0，得x=e ，当x 变化时，u (x )，u'(x )的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，+∞)u'(x )+-u(x) ↗极大值↘当x=e时，函数u(x)取得极大值，这个极大值就是函数u(x)的最大值，且u(x)max=u(e)=1 e，于是ln2a<1e，ln a<2e，a<2ee.又因为a>1，所以1<a<2ee，即实数a的取值范围是(1，2e e).【点评】本题中采用的两边同时取对数的方法可以有效地实现a，x的分离，这既是本题的难点，也是本题的亮点，这种方法在求数列的通项中也常常用到，希望考生认真加以体会.练习1若不等式|ax3-ln x|≥1对任意的x∈(0，1]恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】2e3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】令x=1，可得|a|≥1，即a≤-1或a≥1.令g(x)=ax3-ln x，g'(x)=3ax2-1x=33-1axx.①当a≤-1时，对任意的x∈(0，1]，g'(x)=33-1axx<0，g(x)在(0，1]上单调递减，g(x)min=g(1)=a≤-1，此时g(x)∈[a，+∞)，|g(x)|的最小值为0，不适合题意.②当a≥1时，由g'(x)=33-1axx=0，解得313a，可知当x∈(0，1]时，|g(x)|的最小值为g 313a=13+13ln(3a)≥1，解得a≥2e3.故所求实数a的取值范围是2e+3⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，.【点评】导数的运算与其他知识的综合是常考题型，可以将导数的几何意义与数列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知识综合，考查等价转化、函数与方程、分离参数等数学思想方法.练习2 当x ∈[-2，1]时，若不等式ax 3-x 2+4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】[-6，-2]【解析】不等式ax 3-x 2+4x+3≥0变形为ax 3≥x 2-4x-3.当x=0时，0≥-3，故实数a 的取值范围为R ；当x ∈(0，1]时，a ≥23-4-3x x x ，记f (x )=23-4-3x x x ，f'(x )=24-89x x x ++=4-(-9)(1)x x x +>0，故函数f (x )单调递增，则f (x )max =f (1)=-6，故a ≥-6.当x ∈[-2，0)时，a ≤23-4-3x x x ，记 f (x )=33-4-3x x x ，令f'(x )=0，得x=-1或x=9(舍去)，当x ∈(-2，-1)时，f'(x )<0；当x ∈(-1，0)时，f'(x )>0，故f (x )min =f (-1)=-2，则a ≤-2.综上，实数a 的取值范围为[-6，-2].数列的应用问题例1 设S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 6-2S 3=5，则S 9-S 6的最小值为 .【分析】思路1：从研究等比数列的基本方法——基本量入手，将条件用a 1，q 表示出来，为此消去一个变量a 1，从而将S 9-S 6用q 的表达式表示出来，由此转化为用基本不等式来求函数的最小值.这当中要注意对公比q 是否等于1进行讨论.思路2：注意到所研究的是等比数列的前3项、前6项、前9项和的关系，因此，考虑将S3作为一个整体来加以考虑，从而将S6，S9转化为S3的形式，进而来研究问题.【答案】20【解析】方法一：当q=1时，S6-2S3=0，不合题意，所以q≠1，从而由S6-2S3=5，得61(1-)1-a qq-312(1-)1-a qq=5，从而得11-aq=635-2-1q q+=325-(-1)q<0，故1-q<0，即q>1，故S9-S6=91(1-)1-a qq-61(1-)1-a qq=635-2-1q q+×(q6-q9)=635-1qq，令q3-1=t>0，则S9-S6=25(1)tt+=512tt⎛⎫++⎪⎝⎭≥20，当且仅当t=1，即q3=2时等号成立.方法二：因为S6=S3(1+q3)，所以由S6-2S3=5，得S3=35-1q>0，从而q>1，故S9-S6=S3(q6+q3+1)-S3(q3+1)=S3q6=635-1qq，以下同方法一.【点评】整体法是研究问题的一种常用的方法，它可以起到化繁为简、化难为易的作用，对于一些复杂的且有一个特征的代数式，经常采用整体法来研究.例2(2015·扬州期末)设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=4+-11-2n⎛⎫⎪⎝⎭，若对任意的n∈N*，都有1≤p(S n-4n)≤3，则实数p的取值范围是.【分析】求参数的常用方法是分离参数，所以首先将参数p进行分离，从而将问题转化为求函数f(n)=S n-4n的最大值与最小值，再注意到题中含有-11-2n⎛⎫⎪⎝⎭，涉及负数的乘方，所以需对n进行分类讨论.【答案】[2，3]【解析】令f(n)=S n-4n=4n+11--211--2n⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭-4n=2311--2n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.当n为奇数时，f(n)=21132n⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递减，则当n=1时，f(n)max=1；当n为偶数时，f(n)=211-32n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递增，由当n=2时，f(n)min=12.又1-4nS n≤p≤3-4nS n，所以2≤p≤3.【点评】本题的本质是研究数列的最值问题，因此，研究数列的单调性就是一个必要的过程，需要注意的是，由于本题是离散型的函数问题，所以，要注意解题的规范性，“当n为奇数时，f(n)=21132n⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递减，此时f(n)∈213⎛⎤⎥⎝⎦，；当n为偶数时，f(n)=211-32n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递增，此时f(n)∈112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，”的写法是不正确的，因为f(n)并不能取到112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，∪213⎛⎤⎥⎝⎦，=112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的所有值.练习1已知数列{a n}满足a1=m(m为正整数)，a n+1=231.nnn naaa a⎧⎪⎨⎪+⎩，当为偶数时，，当为奇数时若a6=1，则m所有可能的取值为.【答案】4，5，32【解析】逆向思考，由a6=1得a5=2或0(舍去)，再由a5=2得a4=4或a4=13(舍去)，再由a4=4得a3=1或a3=8.由a3=1得a2=2或a2=0(舍去)，由a2=2，得a1=4或a1=13(舍。

2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)课件：专题5 解析几何第1讲

4.处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知
识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形
经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化. 5.直线与圆中常见的最值问题 (1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值.
(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值.
(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值. (4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题. (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.
解 (1)由 x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圆 C1 的圆心坐标为(3，0). (2)设线段 AB 的中点 M 的坐标点(x，y)，①当线段 AB 不在 x y y 轴上时，有 C1M⊥AB，则 kC1M·kAB＝－1，即 ·x＝－1， x－3
32 2 9 整理得x－2 ＋y ＝，又当直线 4
2
(2)依题意得△OO1A 是直角三角形， ∴OO1＝ 5＋20＝5， 1 AB 1 S△OO1A＝2· 2 ·OO1＝2·OA·AO1， 2·OA·AO1 2× 5×2 5 因此 AB＝＝＝4. OO1 5
答案 4 (1)5π (2)4
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方
【训练 1】 (2016· 苏北四市调研)若圆上一点 A(2，3)关于直线 x＋2y＝0 的对称点仍在圆上，且圆与直线 x－ y＋1＝0 相交的弦长为 2 2，则圆的方程是________.
解析
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 A(2，3)关于直线
x＋2y＝0 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线 x＋2y＝0 上，即有 a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线 x－y＋1 ＝0 相交的弦长为 2 2，故 r

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题七计数原理与概率计数原理

第1讲计数原理【课前热身】第1讲计数原理(本讲对应学生用书第67~69页)1.(选修2-3 P6例1改编)某校高一年级有12个班，高二年级有15个班，高三年级有16个班.若全校从某班级选1名代表，有种不同的选法；若每个年级各选1名代表，有种不同的选法.【答案】43 2 880【解析】12+15+16=43，12×15×16=2 880.2.(选修2-3 P6练习5改编)已知4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方法有种.【答案】81【解析】每名学生都有3种不同的选报方式，所以共有34种不同的报名方式.3.(选修2-3 P35练习4改编)1+215C+425C+835C+1645C+3255C=.【答案】243【解析】(1+2)5=1+215C+425C+835C+1645C+3255C=35=243.4.(选修2-3 P36习题6改编)101-3x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中含x 的正整数指数幂的项是第项.【答案】1或3【解析】101-3x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项为10C r (x )10-r ·1-3rx ⎛⎫ ⎪⎝⎭=35-2101C -3rrr x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，当r=0或r=2时，含x 的正整数指数幂，即第1项与第3项满足条件.5.(选修2-3 P28练习4改编)将5名志愿者分派到3所学校支教，每所学校至少分派一名志愿者，则不同的分派方法共有种. 【答案】150【解析】人数分配上有1，2，2与1，1，3两种方式，若是1，1，3，则有31152122C C C A ·33A =60(种)；若是1，2，2，则有12254222C C C A ·33A =90(种)，所以共有60+90=150(种).【课堂导学】两个计数原理例1 如图所示，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛里种不同的花，则不同的种法共有种.(例1)【分析】本题可以考虑按所种花的品种多少分类，也可以按A-B-C-D的顺序分步.【答案】84【解析】方法一：按所种花的品种多少分成三类：种两种花有24A种种法；种三种花有234A种种法；种四种花有44A种种法.所以不同的种法共有24A+234A+44A=84种.方法二：按A-B-C-D的顺序种花，可分A，C种同一种花与不种同一种花两种情况，共有4×3×(1×3+2×2)=84种不同的种法.【点评】在方法二中，A，C种同一种花和种不同的花对D中的种法是有影响的，所以又需要分类讨论.变式编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种?(变式)【解答】根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理知此时有33A=6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理知此时有33A=6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有33A=6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，此时有1333A A=18种不同的放法.综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.排列与组合例2(1)(2014·扬州模拟)如图，四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①②③④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同放法种数.(2)有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.①若恰有1个盒内不放球，则共有几种放法?②若恰有1个盒内有2个球，则共有几种放法?③若恰有2个盒内不放球，则共有几种放法?(例2)【分析】(1)中先把标号为1，2，3，4的化工产品各放入一个不同仓库中，再根据限制条件放入其他化工产品；(2)中4个球4个盒子，“恰有1个盒子不放球”和“恰有1个盒内有2个球”本质是一样的，为了保证有1个盒子不放球，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法?”.【解答】(1)由题意分析，先把标号为1，2，3，4的化工产品分别放入①②③④的4个仓库内，共有44A=24种放法；再把标号为5，6，7，8的化工产品对应地按要求安全存放：7与1放一起，8与2放一起，5与3放一起，6与4放一起；或者6与1放一起，7与2放一起，8与3放一起，5与4放一起，有两种放法.综上所述，共有44A×2=48种放法.(2)①从4个盒子中取出一个盒子不放球，把4个球分成2，1，1三组，然后再从剩余3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有121443C C C×22A=144种.②“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一事件，所以共有144种放法.③确定2个空盒有24C种方法，4个球放进2个盒子可分成(3，1)，(2，2)两类，第一类有序不均匀分组，有312412C C A种放法；第二类有序均匀分组，有224222C CA·22A种放法.故共有2223122424412222C CC C C A AA⎛⎫+⋅⎪⎝⎭=84种.【点评】第(2)题的①中，若先从4个球中任选3个放入3个不同的盒子中，再把余下的1个球放入其中一个盒子中，则会出现重复，这是一种典型错误；③中的4个球平均分为两组，共有224222C CA种分法，而不是2242C C.变式用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图(1)、图(2))，要求相邻区域着不同颜色.(1)若n=6，则为图(1)着色时共有多少种不同的方法?(2)若为图(2)着色时共有120种不同的方法，求n的值.图(1)图(2)(变式)【解答】(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法，所以共有着色方法数N=6×5×4×4=480.(2)同理(1)，可得不同的着色方法数为n(n-1)(n-2)(n-3).由题意得n(n-1)(n-2)(n-3)=120.即(n2-3n+12)(n2-3n-10)=0，由n∈N*，解得n=5.二项展开式问题例3(2014·扬州质检)已知(3x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992，求212-nxx⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.【点拨】第(2)问先设出系数绝对值最大的项，利用它比前后两项都大，列不等式组求r的范围.【分析】先求出n，再根据中间项的二项式系数最大，写出二项式系数最大的项；第(2)问可以先假设系数的绝对值最大的项为第r+1项，由通项公式写出其系数的绝对值，利用它比前一项和后一项的系数的绝对值都大，列不等式组求出r的范围，再根据r∈Z确定r的值.【解答】由题意知，22n-2n=992，即(2n -32)(2n +31)=0，所以2n =32，解得n=5.(1)由二项式系数的性质知，2x-1x10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6=510C ·(2x )5·51-x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-8 064. 即二项式系数最大的项是第6项，为-8 064. (2)设第r+1项的系数的绝对值最大，因为T r+1=10C r ·(2x )10-r ·1-rx ⎛⎫ ⎪⎝⎭=(-1)r 10C r ·210-r ·x 10-2r ，所以10--111-101010-19-1010C ?2C 2C ?2C 2r r r r r r r r +⎧≥⋅⎨≥⋅⎩，，得-1101011010C 2C 2C C r r r r +⎧≥⎨≥⎩，，即11-22(1)10-r r r r ≥⎧⎨+≥⎩，，解得83≤r ≤113. 因为r ∈Z ，所以r=3.故系数的绝对值最大的项是第4项，且T 4=-310C ·27·x 4=-15 360x 4. 【点评】考虑二项展开式中的特定项，一般利用通项公式.变式1 (2016·徐州一中质检)已知32414nx x ⎛ ⎝展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x 3的项； (2)求二项式系数最大的项.【解答】(1)由已知得-2C n n =45，即2C n =45，所以n 2-n-90=0，解得n=-9(舍去)或n=10，由通项公式得T r+1=10C r (41-4x )10-r (23x )r =10C r ·410-r ·10-2-43r r x +.令-10-4r +23r=3，得r=6，所以含有x 3的项是T 7=610C ·44·x 3=53 760x 3.(2)因为此展开式共有11项，所以二项式系数最大的项是第6项，所以T 6=510C (41-4x )5(23x )5=258 0482512x .变式2 设等差数列{a n }的首项为1，公差为d (d ∈N *)，m 为数列{a n }中的项.(1)若d=3，试判断mx x ⎛+ ⎝的展开式中是否含有常数项，请说明理由； (2)求证：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，mx x ⎛+ ⎝的展开式中均不含常数项.【解答】(1)因为{a n }是首项为1、公差为3的等差数列，所以a n =3n-2.假设mx x ⎛+ ⎝的展开式中的第r+1项为常数项(r ∈N )，则T r+1=C r m x m-r rx =C r m ·3-2m r x ，于是m-32r=0，设m=3n-2(n ∈N *)，则有3n-2=32r ，即r=2n-43，这与r ∈N *矛盾，所以假设不成立，即mx x ⎛+ ⎝的展开式中不含常数项. (2)由题设知a n =1+(n-1)d ，设m=1+(n-1)d ，由(1)知要使对于一切m ，1mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中均不含常数项，必须有对于n ∈N *，满足1+(n-1)d-32r=0的r 无自然数解，即r=23d (n-1)+23∉N .当d=3k (k ∈N *)时，r=23d (n-1)+23=2k (n-1)+23∉N .故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，1mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中均不含常数项.二项式定理的综合应用例4 已知数列{a n }的首项为1，P (x )=a 10C n (1-x )n +a 21C n x (1-x )n-1+a 32C n x 2(1-x )n-2+…+a n -1C n n x n-1(1-x )+a n+1C n n x n .(1)若数列{a n }是公比为2的等比数列，求P (-1)的值；(2)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求证：P (x )是关于x 的一次多项式. 【解答】(1)方法一：由题设知，a n =2n-1.P (-1)=1·0C n (-1)0·2n +2·1C n (-1)1·2n-1+22·2C n (-1)2·2n-2+…+2n ·C n n (-1)n ·20=0C n (-2)0·2n +11C (-2)n ·2n-1+22C (-2)n ·2n-2+…+C (-2)n nn ·20=(2-2)n =0.方法二：若数列{a n }是公比为2的等比数列，则a n =2n-1，故P (x )=0C n (1-x )n +1C n (2x )(1-x )n-1+2C n (2x )2(1-x )n-2+…+-C 1n n (2x )n-1(1-x )+C nn (2x )n=[(1-x )+2x ]n =(1+x )n ，所以P (-1)=0.(2)若数列{a n }是公差为2的等差数列，则a n =2n-1.P (x )=a 10C n (1-x )n +a 21C n x (1-x )n-1+…+a n -1C n n x n-1(1-x )+a n+1C n n x n=Cn(1-x)n+(1+2)1Cn x(1-x)n-1+(1+4)2Cn x2(1-x)n-2+…+(1+2n)C nn x n=[Cn(1-x)n+1Cn x(1-x)n-1+2Cn x2(1-x)n-2+…+C nn x n]+2[1Cn x(1-x)n-1+22Cn x2(1-x)n-2+…+n C nn x n].由二项式定理知，Cn(1-x)n+1Cn x(1-x)n-1+2Cn x2(1-x)n-2+…+C nn x n=[(1-x)+x]n=1.因为k C kn=k·!!(-)!nk n k⋅=n·(-1)!(-1)!(-)!nk n k⋅=n-1-1C kn，所以1Cn x(1-x)n-1+22Cn x2(1-x)n-2+…+nC nn x n=n-1Cn x(1-x)n-1+n1-1Cn x2(1-x)n-2+…+n-1-1C nn x n=nx[-1Cn(1-x)n-1+1-1Cn x(1-x)n-2+…+-1-1C nn x n-1]=nx[(1-x)+x]n-1=nx，所以P(x)=1+2nx，即P(x)是关于x的一次多项式.【点评】对于问题(1)，可先取特殊值-1再运算，也可先运算再代入数值-1，但是最终都是逆用二项式定理.对于问题(2)，仍属于定理或公式的逆用，但过程与思路都较繁杂，难度较大.变式(2016·东海中学期中)已知数列{a n}的首项为1，f(n)=a11Cn+a22Cn+…+a k C kn+…+a nC nn(n∈N*).(1)若{a n}为常数列，求f(4)的值.(2)若{a n}是公比为2的等比数列，求f(n)的解析式.(3)数列{a n}能否成等差数列，使得f(n)-1=(n-1)2n对一切n∈N*都成立?若能，求出数列{a n}的通项公式；若不能，请说明理由.【解答】(1)因为{a n}为常数列，所以a n=1(n∈N*).所以f(4)=14C+24C+34C+44C=15.(2)因为{a n}是公比为2的等比数列，所以a n=2n-1(n∈N*).所以f(n)=1Cn+22Cn+223Cn+…+2n-1C nn，所以1+2f(n)=1+21Cn+222Cn+233Cn+ (2)C nn=(1+2)n=3n，故f(n)=3-12n.(3)假设数列{a n}能为等差数列，使得f(n)-1=(n-1)2n对一切n∈N*都成立，设公差为d，则f(n)=a11Cn+a22Cn+…+a kC kn+…+a n-1-1C nn+a nC nn，且f(n)=a nC nn+a n-1-1C nn+…+a kC kn+…+a22Cn+a11Cn，相加得2f(n)=2a n+(a1+a n-1)(1Cn+2Cn+…+C kn+…+-1C nn)，所以f(n)=a n+1-12na a+(1Cn+2Cn+…+C kn+…+-1C nn)=a n+1-12na a+(2n-2)=1+(n-1)d+[2+(n-2)d](2n-1-1).所以f(n)-1=(d-2)+[2+(n-2)d]2n-1=(n-1)2n恒成立，即(d-2)+(d-2)(n-2)2n-1=0，n∈N*恒成立，所以d=2，故{a n}能为等差数列，使得f(n)-1=(n-1)2n对一切n∈N*都成立，它的通项公式为a n=2n-1.【课堂评价】1.(2016·四川卷改编)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为.【答案】72【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1，3，5中之一，其他位置随便排，共44A种可能，所以其中奇数的个数为344A=72.2.(2016·山东卷)若52axx ⎛+⎪⎝⎭的展开式中x5的系数是-80，则实数a=. 【答案】-2【解析】因为T r+1=5C r(ax2)5-rrx⎪⎝⎭=5C ra5-r510-2rx，所以由10-52r=5，得r=2，因此25Ca5-2=-80，解得a=-2.3.(2016·新课标Ⅱ改编)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为.(第3题)【答案】18【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有6条路，再从F处到G处最短共有3条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18条.4.(2014·无锡调研)化简：22Cn+42Cn+…+22C kn+…+22C nn=.【答案】22n-1-1【解析】(1+x)2n=2Cn+12Cn x+22Cn x2+32Cn x3+…+22C nn x2n，令x=1，得C2n+C12n+C22n+…+C 2-12nn+C22nn=22n；再令x=-1，得C2n-C12n+C22n-…+(-1)r C2rn+…-C2-12nn+C2 2nn=0.两式相加得2(C2n+C22n+…+C22nn)=22n，又C2n=1，得C22n+C42n+…+C22kn+…+C 22nn=222n-1=22n-1-1.5.(2016·如东中学质检)已知n的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求n的值；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x项的系数.【解答】(1)因为前三项系数1，12n n1124C C，成等差数列，所以2·1 n1 2C=1+2n14C，即n2-9n+8=0，所以n=8或n=1(舍去).(2)由n=8知其通项公式为T r+1=r8C(8-rr=12r⎛⎫⎪⎝⎭·34-48C rr x，r=0，1， (8)所以第三项的二项式系数为28C=28.第三项系数为212⎛⎫⎪⎝⎭·28C=7.(3)令4-34r=1，得r=4，所以含x项的系数为412⎛⎫⎪⎝⎭·48C=358.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第33~34页.【检测与评估】专题七计数原理与概率第1讲计数原理一、解答题1.某次春游活动中，3名老师和6名同学站成前后两排合影，3名老师站在前排，6名同学站在后排.(1)若甲，乙两名同学要站在后排的两端，共有多少种不同的排法?(2)若甲，乙两名同学不能相邻，共有多少种不同的排法?(3)若甲乙两名同学之间恰有两名同学，共有多少种不同的排法?(4)在所有老师和学生都排好后，拍照的师傅觉得队形不合适，遂决定从后排6人中抽2人调整到前排.若其他人的相对顺序不变，共有多少种不同的调整方法?2.已知在二项式的展开式中，第6项为常数项.(1)求n的值；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.3.若自然数n 使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象，则称n 为“良数”.例如：32是“良数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23+24+25产生进位现象.试求小于1 000 的“良数”的个数.4.(2016·淮安中学质检)已知(1+2x )n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n (n ∈N *). (1)求a 1+2a 2+3a 3+…+na n 的值；(2)设x=，n 为正偶数，若(1+2x )nB ，比较A B 与1+23n的大小.5.(2016·连云港期末联考)在(1+x+x 2)n=0nD +1nD x+2nD x 2+…+r nD x r+…+2-1n nD x 2n-1+2n nD x 2n的展开式中，把012n n nD D D ，，，…，2nnD 叫做三项式系数.(1)当n=2时，写出三项式系数0123422222D D D D D ，，，，的值；(2)类比二项式系数性质1C m n +=-1C m n+C m n(1≤m ≤n ，m ∈N ，n ∈N )，给出一个关于三项式系数11m n D ++(1≤m ≤2n-1，m ∈N ，n ∈N )的相似性质，并予以证明.6.(2016·南京六校联考)设f (x )是定义在R 上的函数，g (x )=0C n f 0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 0(1-x )n +1C n f 1n ⎛⎫⎪⎝⎭x 1(1-x )n-1+2C nf 2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 2(1-x )n-2+…+C n n f n n ⎛⎫⎪⎝⎭x n (1-x )0，n ∈N *.(1)若f (x )=1，求g (x )； (2)若f (x )=x ，求g (x ).7.(2016·苏州期末)如图，由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k 层有k 个小正方形.除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x 1，x 2，…，x k ，其中x i ∈{0，1}(1≤i ≤k )，其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x 0.(1)当k=4时，若要求x 0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法? (2)当k=11时，若要求x 0为3的倍数，则有多少种不同的标注方法?8.(2016·苏锡常镇一调)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵的开头几行如图所示.(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5?若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由.(2)已知n ，r 为正整数，且n ≥r+3，求证：任意四个相邻的组合数123C C C C r r r r n n n n+++，，，不能构成等差数列.【检测与评估答案】专题七计数原理与概率第1讲计数原理一、解答题1.(1) 先排甲、乙有22A种排法，再排剩下的4名同学，有44A种排法，最后排3名老师，有33A种排法，故共有243243A A A=288种排法.(2) 先排除甲、乙以外的4名同学，有44A种排法，再将甲、乙2名同学插入，有25A种排法，最后排3名老师，有33A种排法，故共有423453A A A=2 880种排法.(3) 先排甲、乙，有22A种排法，再从剩余的4名同学中选出2名全排，有2242C A种排法，再和剩余的2名同学全排，有33A种排法，最后将3名老师全排，有33A种排法.故共有2223342233C A A A A=864种排法.(4) 由题可知有2265C A=300种排法.2.(1) 通项公式为T k+1=-3Cn kknx·-31-2k kx⎛⎫⎪⎝⎭=-231C-2k n kknx⎛⎫⎪⎝⎭，因为第6项为常数项，所以当k=5时，-253n⨯=0，即n=10.(2) 令10-23k =2，得k=2，故含x 2的项的系数是22101C -2⎛⎫⎪⎝⎭=454. (3) 由题得10-23010kk k ⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩Z Z ，，，令10-23k =r (r ∈Z )，则10-2k=3r ，则k=5-32r.因为k ∈Z ，所以r 应为偶数，所以r 可取2，0，-2，即k 可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为22101C -2⎛⎫ ⎪⎝⎭x 2，5858101011C -C -22⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，x -2，即454x 2，-638，245256x .3. 一位数的“良数”有0，1，2，共3个.两位数的“良数”十位数可以是1，2，3，两位数的良数有10，11，12，20，21，22，30，31，32，共9个.三位数的“良数”百位数为1，2，3，十位数为0的，个位可以是0，1，2，共3×3=9(个)；百位数为1，2，3，十位数不是0时，十位、个位可以是两位数的“良数”，共有3×9=27(个).根据分类加法计数原理，共有3+9+9+27=48个小于1 000 的“良数”.4. (1) 原式两边求导得2n (1+2x )n-1=a 1+2a 2x+…+na n x n-1，令x=1，得a 1+2a 2+3a 3+…+na n =2n ·3n-1.(2) 原式中令x=2，则(1+n =a 0+a12+a222⎛ ⎝⎭+…+an2n⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=A+，所以(1-n =a 0-a12+a22⎝⎭-…+ann⎝⎭=A-，所以A=，B=，所以ABn n=1n=1+2-1n=1当n ≥2时，(2n -1>3n ，所以11+23n ，即A B <1+23n.5. (1) 因为(1+x+x 2)2=1+2x+3x 2+2x 3+x 4，所以02D =1，12D =2，22D =3，32D =2，42D =1.(2) 类比二项式系数性质1C m n +=-1C m n +C mn (1≤m ≤n ，m ∈N ，n ∈N )，三项式系数有如下性质：11m n D ++=-1m n D +m n D +1m n D +(1≤m ≤2n-1).证明：因为(1+x+x 2)n+1=(1+x+x 2)·(1+x+x 2)n ，所以(1+x+x 2)n+1=(1+x+x 2)·(0n D +1n D x+2n D x 2+…+2-1n n D x 2n-1+2n n D x 2n )，上式左边xm+1的系数为11m n D ++，上式右边x m+1的系数为1m n D ++m n D +-1m n D ，于是11mnD++=-1mnD+mnD+1mnD+(1≤m≤2n-1).6. (1) 因为f(x)=1，所以fn⎛⎫⎪⎝⎭=f1n⎛⎫⎪⎝⎭=…=fnn⎛⎫⎪⎝⎭=1，所以g(x)=Cn x0(1-x)n+1Cn x1(1-x)n-1+2Cn x2(1-x)n-2+…+C nn x n(1-x)0=[(1-x)+x]n=1.因为00无意义，所以g(x)=1，且x≠0，x≠1.(2) 因为r C rn=r·!!(-)!nr n r=!(-1)!(-)!nr n r=n·(-1)!(-1)![(-1)-(-1)]!nr n r=n-1-1C rn，其中r=1，2，…，n，所以r C rn=n-1-1C rn(r=1，2，…，n).又因为f(x)=x，所以g(x)=Cn·0·x0(1-x)n+1Cn·1n·x1(1-x)n-1+2Cn·2n·x2(1-x)n-2+…+C nn·nn·x n(1-x)0=1n[1Cn x1(1-x)n-1+22Cn x2(1-x)n-2+…+rC rn x r(1-x)n-r+…+nC nn x n(1-x)0]=1n·n[-1Cn x1(1-x)n-1+1-1Cn x2(1-x)n-2+…+-1-1C rn x r(1-x)n-r+…+-1-1C nn x n(1-x)0]=x[-1Cn x0(1-x)n-1+1-1Cn x1(1-x)n-2+…+-1-1C rn x r-1(1-x)(n-1)-(r-1)+…+-1-1C nn x n-1(1-x)0]=x[(1-x)+x]n-1=x.即g(x)=x，且x≠0，x≠1.7. (1) 当k=4时，第4层标注的数字依次为x1，x2，x3，x4；第3层标注的数字依次为x1+x2，x2+x3，x3+x4；第2层标注的数字依次为x1+2x2+x3，x2+2x3+x4；所以x0=x1+3x2+3x3+x4.因为x 0是2的倍数，x i ∈{0，1}，所以x 1，x 2，x 3，x 4中取值为1的个数为偶数个.其不同的取法总数为04C +24C +44C =8.答：所求的不同的标注方法有8种.(2) 当k=11时，第11层标注的数字依次为x 1，x 2，x 3，x 4，…，x 10，x 11；第10层标注的数字依次为x 1+x 2，x 2+x 3，…，x 10+x 11；第9层标注的数字依次为x 1+2x 2+x 3，x 2+2x 3+x 4，…，x 9+2x 10+x 11；依此规律，第1层标注的数字为x 0=010C x 1+110C x 2+…+910C x 10+1010C x 11.计算得010C =1010C =1，110C =910C =10，当i=2，3，4，…，8时，10C i 均是3的倍数.若要求x 0是3的倍数，等价于x 1+110C x 2+910C x 10+x 11是3的倍数，即x 1+10x 2+10x 10+x 11是3的倍数.所以x 1，x 2，x 10，x 11中，取值为1的个数为0个或3个.所以x 1，x 2，x 3，…，x 10，x 11的不同的取法总数为(04C +34C )·27=640.答：所求的不同的标注方法有640种.8. (1) 在杨辉三角形中，第n 行的n+1个数依次为01C C n n ，，…，C r n ，…，C n n .假设C r n ∶1C r n +∶2C r n +=3∶4∶5，r=0，1，2，…，n-2，则 3(-)4(1)4(--1)5(2)n r r n r r =+⎧⎨=+⎩，，即3744914n r n r =+⎧⎨=+⎩，，解得2662r n =⎧⎨=⎩，，所以第62行有三个相邻的数262728626262C C C ，，的比为3∶4∶5. (2) 假设123C C C C r r r r n n n n +++，，，能构成等差数列，则21C r n +=C r n +2C r n +，且22C r n +=1C r n ++3C r n +，由21C r n +=C r n +2C r n +，得2 (1)(--1) r n r+=1(-)(--1)n r n r+1(1)(2)r r++，整理得n2-(4r+5)n+4r(r+2)+2=0.由22C rn+=1C rn++3C rn+，类似可得n2-(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0.联立方程组22-(45)4(2)20-(49)4(1)(3)20 n r n r rn r n r r⎧++++=⎨+++++=⎩，，解得23-2.n rr=+⎧⎨=⎩，这与r∈N矛盾.所以任意四个相邻的组合数123C C C Cr r r rn n n n+++，，，不能构成等差数列.。

2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第二部分抢分周计划第5周 Word版含答案

周练14+4·锁定128分强化训练(5)【强化训练】锁定128分强化训练(5)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.已知复数z=2-3i1i+(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于第象限.2.已知集合M={x|x2-2x-8≤0}，集合N={x||x|≥3}，那么M∩N=.3.以点(2，-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.4.将四个人(含甲、乙)分成两组，每组两人，则甲、乙为同一组的概率为.5.已知函数f(x)=3log020xx xx>⎧⎨≤⎩，，，，那么f19f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭=.6.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图所示的频率分布直方图.样本数据分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].若采用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80，100]范围内的数据16个，则其中分数在[90，100]范围内的样本数据有个.(第6题)7.执行如图所示的流程图，如果输入的x，t均为2，那么输出的S=.(第7题)8.若变量x，y满足约束条件1-1y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则mn=.9.如图，在三棱锥A-BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF=FD，若三棱锥A-BEF 的体积是2，则四棱锥B-ECDF的体积为.(第9题)10. 若cos π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3，则cos 5π6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-sin 2π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭= .11. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M ，N 为AC 边上的两个动点，且满足2，则BM u u u u r ·BN u u ur 的取值范围为 .12. 已知斜率为3的直线l 过椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点.若原点O 关于直线l 的对称点在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 .13. 已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，则1a +1b +1c 的最小值为 .14. 设k ，b 均为非零常数，给出如下三个条件： ①{a n }与{ka n +b }均为等比数列； ②{a n }为等差数列，{ka n +b }为等比数列； ③{a n }为等比数列，{ka n +b }为等差数列，其中一定能推导出数列{a n }为常数列的是 .(填序号)题号 1 2 3 4 5 6 7答案题号 8 9 10 11 12 13 14答案二、解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 22A +(cos B-3sin B )cos C=1.(1) 求角C 的大小；(2) 若c=2，且△ABC 3，求a ，b.16. (本小题满分14分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1=3，a n+1=2S n +3(n ∈N *). (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令b n =(2n-1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17. (本小题满分14分)已知a 为实常数，y=f (x )是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f (x )=2x-32a x +1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x)≥a-1对一切x>0恒成立，求实数a的取值范围.18.(本小题满分16分)如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头.已知tan∠MON=-3，OA=6 km，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，6105km.现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q.(1) 求水上旅游线AB的长；(2) 若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h 时的半径为r=3at(a为大于零的常数).强水波开始生成时，一游轮以182 km/h的速度自码头A开往码头B，问：实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行?(第18题)【强化训练答案】锁定128分强化训练(5)一、填空题1.三【解析】z=(2-3i)(1-i)(1i)(1-i)+=2-2i-3i-32=-12-52i，实部、虚部均小于0，所以z在复平面内对应的点位于第三象限.2.{x|3≤x≤4}【解析】因为M={x|-2≤x≤4}，N={x|x≤-3或x≥3}，所以M∩N={x|3≤x≤4}.3.(x-2)2+(y+1)2=252【解析】将直线x+y=6化为x+y-6=0，圆的半径，所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=25 2.4.13【解析】设4个人分别为甲、乙、丙、丁，依题意，基本事件有(甲乙，丙丁)，(甲丙，乙丁)，(甲丁，丙乙)，共3种，满足要求的事件只有(甲乙，丙丁)，共1种，所以其概率为1 3.5.14【解析】因为f19⎛⎫⎪⎝⎭=log319=log33-2=-2，所以f19f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭=f(-2)=2-2=14.6. 6【解析】分数在[80，100]内的频率为(0.025+0.015)×10=0.4，而分数在[90，100]内的频率为0.015×10=0.15.设分数在[90，100]内的样本数据有x个，则由16 x=0.40.15，得x=6.7. 7【解析】循环体部分的运算为：第一步，M=2，S=5，k=2；第二步，M=2，S=7，k=3.故输出的结果为7.8.-9【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，结合图象可知m=3，n=-3，所以mn=-9.(第8题)9.10【解析】因为AEFACDSSVV=1··sin21··sin2AE AF CADAC AD CAD∠∠=16，V总=6ABEFV=12，则四棱锥B-ECDF的体积为10.10.-23+【解析】设t=π6-θ，则cos t=33，那么cos5π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭-sin2π-6θ⎛⎫⎪⎝⎭=cos(π-t)-sin2t=-23+.11.322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设B(0，0)，A(2，0)，C(0，2)，D(1，1)，则利用MN=2可设N(x0，2-x0)，M(x0-1，3-x0)，其中x0∈[1，2]，那么BMu u u u r·BNu u u r=2(2x-3x0+3)∈322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则BMu u u u r·322BN⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦u u u r，.(第11题)12. 63 【解析】设直线l 方程为y=3(x-c )，点O 关于直线l 的对称点为P (m ，n )，则n·3-1m n m 3-c 22⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭⎩，，解得m=32c ，由题意知32c=2a c ，解得e=63.13. 9 【解析】因为a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，所以1a +1b +1c=a b c a +++a b c b +++a b c c ++ =3+b a +c a +a b +c b +a c +b c=3+b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+c a a c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+c b +b c ≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=13时，取等号.14. ①②③ 【解析】①易得(k ·a n +b )2=(k ·a n-1+b )(k ·a n+1+b )，即k 22n a +2kba n +b 2=k 2a n-1a n+1+kb (a n-1+a n+1)+b 2，因为2n a =a n-1a n+1，且kb ≠0，所以2a n =a n-1+a n+1，即证. ②由①知k 22n a +2kba n +b 2=k 2a n-1a n+1+kb (a n-1+a n+1)+b 2，因为2a n =a n-1+a n+1，所以2n a =a n-1a n+1，即证.③易得2(k ·a n +b )=(k ·a n-1+b )+(k ·a n+1+b )，且k ≠0，故2a n =a n-1+a n+1，又2n a =a n-1a n+1，即证.二、解答题 15. (1) 由2cos 22A +(cossin B )cos C=1，得cos A+cos B cosC-sin B cos C=0，即-cos(B+C )+cos B cosC-sin B cos C=0，展开得sin B sinsin B cos C=0，因为sin B ≠0，所以tanC=，又C ∈(0，π)，所以C=π3.(2) 因为三角形面积为12ab sin π3，所以ab=4.①由余弦定理得4=(a+b )2-2ab-ab ，故a+b=4，②，联立①②，解得a=b=2.16. 当n ≥2时，由a n+1=2S n +3，得a n =2S n-1+3，两式相减，得a n+1-a n =2S n -2S n-1=2a n ，所以a n+1=3a n ，所以1n n a a =3.当n=1时，a 1=3，a 2=2S 1+3=2a 1+3=9，则21a a =3. 所以数列{a n }是以a 1=3为首项，公比为3的等比数列，所以a n =3×3n-1=3n .(2) 由(1)得b n =(2n-1)a n =(2n-1)×3n .所以T n =1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n ， ① 3T n =1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)×3n+1， ② ①-②得-2T n =1×3+2×32+2×33+…+2×3n -(2n-1)×3n+1 =3+2×(32+33+…+3n )-(2n-1)×3n+1=3+2×2-13(1-3)1-3n -(2n-1)×3n+1=-6-(2n-2)×3n+1. 所以T n =(n-1)×3n+1+3.17. (1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(-∞，0)上的单调性即可.由题设得f'(x )=2+332a x ，令f'(x )=0，得x=-a.①当a ≤0时，f'(x )>0，故f (x )在区间(-∞，0)上单调递增.②当a>0时，当x ∈(-∞，-a )时，f'(x )>0，所以f (x )在区间(-∞，-a )上单调递增. 当x ∈(-a ，0)时，f'(x )<0，所以f (x )在区间(-a ，0)上单调递减.综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(-∞，0)，(0，+∞)；当a>0时，f (x )的单调增区间为(-∞，-a )，(a ，+∞)，单调减区间为(-a ，0)，(0，a ). (2) 因为f (x )为奇函数，所以当x>0时，f (x )=-f (-x )=-32-2-1a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2x+32a x -1. ①当a<0时，要使f (x )≥a-1对一切x>0恒成立，即2x+32a x ≥a 对一切x>0恒成立.而当x=-2a>0时，有-a+4a ≥a ，所以a ≥0，与a<0矛盾.所以a<0不成立.②当a=0时，f (x )=2x-1>-1对一切x>0恒成立，故a=0满足题设要求. ③当a>0时，由(1)可知f (x )在(0，a )上是减函数，在(a ，+∞)上是增函数，所以f (x )min =f (a )=3a-1>a-1，所以a>0时也满足题设要求. 综上，实数a 的取值范围是[0，+∞).18. (1) 以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则由题设得A (6，0)，直线ON 的方程为y=-3x ，Q (x 0，3)(x 0>0).11(第18题) 010=610，及x 0>0，得x 0=3，所以Q (3，3)，所以直线AQ 的方程为y=-(x-6)，即x+y-6=0.由-3-60y x x y =⎧⎨+=⎩，，得-39x y =⎧⎨=⎩，，即B (-3，9)，所以22(-3-6)9+=92，即水上旅游线AB 的长为2 km .(2) 由题意可得P (3，9)，生成t h 时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC=182t ，0≤t ≤12，所以C (6-18t ，18t ).强水波不会波及游轮的航行，即PC 2>r 2对t ∈102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，恒成立.PC 2=(18t-3)2+(18t-9)2>r 2=9at ，当t=0时，上式恒成立；当t ≠0时，即t ∈102⎛⎤ ⎥⎝⎦，时，a<72t+10t -48.令g (t )=72t+10t -48，t ∈102⎛⎤ ⎥⎝⎦，，g (t )=72t+10t -48≥245-48，当且仅当t=5∈102⎛⎤ ⎥⎝⎦，时等号成立，所以在0<a<24548时r<PC 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行.。

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题四函数与导数开篇高考回眸

开篇高考回眸【考情分析】开篇高考回眸(本讲对应学生用书第29~30页)考情分析年份题号知识点分值2014年第10，11，13，19题二次函数的性质；导数与切线的斜率；函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题；偶函数的判断，函数与不等式的综合，利用导数研究函数的单调性31分2015年第7，13，19题指数函数；函数图象的交点问题；函数与不等式的综合，利用导数研究函数的单调性，函数的零点26分2016年第5，11，19题函数的定义域；分段函数与周期函数；考查指数函数、利用导数研究基本初等函数的单调性及零点问题26分函数问题通常有两个小题和一个大题，主要考点有：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是基本初等函数的图象和性质，四是函数图象的应用，五是方程根的问题，六是函数零点问题.函数问题有一定难度，灵活性较强，对考生的计算能力和综合分析问题能力要求较高.【真题再现】真题再现1.(2016·江苏第11题)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1，1)上，f (x )=-102-015x a x x x +≤<⎧⎪⎨≤<⎪⎩，，，，其中a ∈R .若f 5-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 92⎛⎫ ⎪⎝⎭，则f (5a )的值是 .【答案】-25【解析】由题意知f 5-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-12+a ，f 92⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=21-52=110. 因为f 5-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 92⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以-12+a=110，解得a=35，所以f (5a )=f (3)=f (-1)=-1+a=-1+35=-25.2.(2015·江苏第13题)已知函数f (x )=|ln x|，g (x )=2001|-4|-21x x x <≤⎧⎨>⎩，，，，那么方程|f (x )+g (x )|=1的实数根的个数为 .(第2题) 【答案】4【解析】令h(x)=f(x)+g(x)，则h(x)=22-ln01-ln212ln-62x xx x xx x x<≤⎧⎪++<<⎨⎪+≥⎩，，，，，，当1<x<2时，h'(x)=-2x+1x=2 1-2xx<0，故当1<x<2时，h(x)单调递减；当x≥2时，h'(x)=2x+1x=221xx+>0，故当x≥2时，h(x)单调递增.在同一平面直角坐标系中画出y=|h(x)|和直线y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.3.(2014·江苏第13题)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)=21-22x x+，若函数y=f(x)-a在区间[-3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是.(第3题)【答案】12⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】根据题意作出y=f(x)在[-3，4]上的图象如图所示，若要函数y=f(x)-a在区间[-3，4]上有10个互不相同的零点，只需f(x)的图象与直线y=a在[-3，4]上有10个不同的交点，则a∈12⎛⎫⎪⎝⎭，.4.(2016·江苏第19题节选第2问)已知函数f(x)=a x+b x(a>0，b>0，a≠1，b≠1).若0<a<1，b>1，函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点，求ab的值.【解答】因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点，又g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0，所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=a x ln a+b x ln b，又由0<a<1，b>1，知ln a<0，ln b>0，所以g'(x)=0有唯一解x0=ln log-lnbaab⎛⎫⎪⎝⎭.令h(x)=g'(x)，则h'(x)=(a x ln a+b x ln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2，从而对任意x∈R，h'(x)>0，所以g'(x)=h(x)是(-∞，+∞)上的单调增函数，所以当x∈(-∞，x0)时，g'(x)<g'(x0)=0；当x∈(x0，+∞)时，g'(x)>g'(x0)=0.所以函数g(x)在(-∞，x0)上是单调减函数，在(x0，+∞)上是单调增函数. 下证x0=0.若x0<0，则x0<2x<0，所以g2x⎛⎫⎪⎝⎭<g(0)=0.又g(loga2)=log2aa+log2ab-2>log2aa-2=0，且函数g(x)在以2x和log a2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在2x和log a2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0<a<1，所以log a2<0.又2x<0，所以x1<0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0，同理可得，在2x和log b2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾.综上，x0=0.所以-lnlnab=1，故ln a+ln b=0，所以ab=1.5.(2015·江苏第19题)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a，b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(-∞，-3)∪312⎛⎫⎪⎝⎭，∪32∞⎛⎫+⎪⎝⎭，，求c的值.【解答】(1)f'(x)=3x2+2ax，令f'(x)=0，解得x1=0，x2=-23a.当a=0时，因为f'(x)=3x2>0(x≠0)，所以函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增；当a>0时，x∈2--3a∞⎛⎫⎪⎝⎭，∪(0，+∞)，f'(x)>0，函数f(x)在2--3a∞⎛⎫⎪⎝⎭，，(0，+∞)上单调递增；x∈2-03a⎛⎫⎪⎝⎭，，f'(x)<0，函数f(x)在2-03a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当a<0时，x∈(-∞，0)∪2-3a∞⎛⎫+⎪⎝⎭，，f'(x)>0，函数f(x)在(-∞，0)，2-3a∞⎛⎫+⎪⎝⎭，上单调递增；x∈20-3a⎛⎫⎪⎝⎭，时，f'(x)<0，函数f(x)在20-3a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减.(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)=b，f2-3a⎛⎫⎪⎝⎭=427a3+b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f2-3a⎛⎫⎪⎝⎭=b427a3+b<0，从而34-027aa b>⎧⎪⎨<<⎪⎩，或340-.27ab a<⎧⎪⎨<<⎪⎩，又因为b=c-a，所以当a>0时，427a3-a+c>0；当a<0时，427a3-a+c<0.设g(a)=427a3-a+c，因为函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(-∞，-3)∪312⎛⎫⎪⎝⎭，∪32∞⎛⎫+⎪⎝⎭，，则在(-∞，-3)上，g(a)<0，且在312⎛⎫⎪⎝⎭，∪32∞⎛⎫+⎪⎝⎭，上，g(a)>0均恒成立，从而g(-3)=c-1≤0，且g32⎛⎫⎪⎝⎭=c-1≥0，因此c=1.此时，f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a]，因为函数f(x)有三个不同的零点，所以x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不相等的实数根，所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0，且(-1)2-(a-1)+1-a≠0，解得a∈(-∞，-3)∪312⎛⎫⎪⎝⎭，∪32∞⎛⎫+⎪⎝⎭，.综上，c的值为1.6.(2014·江苏第19题节选第1，3问)已知函数f(x)=e x+e-x.(1)求证：f(x)是R上的偶函数；(2)已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞)，使得f(x0)<a(-3x+3x0)成立，试比较e a-1与a e-1的大小，并证明你的结论.【解答】(1)对任意的x∈R，f(-x)=e-x+e x=f(x)，所以f(x)是R上的偶函数.(2)f'(x)=e x-e-x，当x>1时，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.令h(x0)=a(-3x+3x0)，h'(x0)=-3a(x0+1)(x0-1)，因为a>0，x0>1，所以h'(x0)<0，即h(x0)在x∈(1，+∞)上单调递减.因为存在x0∈[1，+∞)，使得f(x0)<a(-3x+3x0)成立，所以f(1)=e+1e<2a，即a>11e2e⎛⎫+⎪⎝⎭.因为lne-1-1e aa=ln a e-1-ln e a-1=(e-1)ln a-a+1，设m(a)=(e-1)ln a-a+1，则m'(a)=e-1a-1=e-1-aa，a>11e2e⎛⎫+⎪⎝⎭.当11e2e⎛⎫+⎪⎝⎭<a<e-1时，m'(a)>0，m(a)单调递增；当a>e-1时，m'(a)<0，m(a)单调递减.因此m(a)至多有两个零点，又m(1)=m(e)=0，所以当a>e时，m(a)<0，当11e2e⎛⎫+⎪⎝⎭<a<e时，m(a)>0，当a=e时，m(a)=0.因为m(a)<0⇔a e-1<e a-1，m(a)>0⇔a e-1>e a-1，m(a)=0⇔a e-1=e a-1.综上，当12(e+e-1)<a<e时，a e-1>e a-1；当a=e时，a e-1=e a-1；当a>e时，a e-1<e a-1.。

创新设计(江苏专用)2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数、不等式

专题一函数与导数、不等式第2讲不等式问题练习理一、填空题1.(2015·苏州调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x ≥0），－x 2＋x （x ＜0），则不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是________.解析依题意得，函数f (x )是R 上的增函数，且f (3)＝12，因此不等式f (x 2－x ＋1)＜12等价于x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2. 因此，不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是(－1，2). 答案 (－1，2)2.若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________.解析因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n 4≤2342m n ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. 答案 33.(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________. 解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，（－a ）2－2×（－a ）＋a 2＋2a ≤2×3或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，（－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0，解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0. 故－1≤a ≤1. 答案 [－1，1]4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________.解析当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞).答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)5.(2016·南京、盐城模拟)若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋1≥0，3x ＋y －6≤0，则x 2＋y 2的最小值是________.解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，x 2＋y 2表示原点(0，0)到此区域内的点P (x ，y )的距离.显然该距离的最小值为原点到直线x ＋2y －2＝0的距离. 故最小值为|0＋0－2|12＋22＝255. 答案2556.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为________. 解析由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1，因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x.而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，所以m ＞－2 2. 答案 (－22，＋∞)7.设目标函数z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为12，则z 的最小值为________.解析作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平移直线x ＋y ＝0，显然当直线过点A (k ，k )时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值，且最大值为k ＋k ＝12，则k ＝6，直线过点B时目标函数z ＝x ＋y 取得最小值，点B 为直线x ＋2y ＝0与y ＝6的交点，即B (－12，6)，所以z min ＝－12＋6＝－6. 答案－68.(2016·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围为________.解析记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m ＜t min . 因为2x ＋1y ＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x＋x y.而x ＞0，y ＞0，所以4y x ＋xy≥24y x ·x y ＝4(当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号).所以t ＝4＋4y x ＋xy≥4＋4＝8，即t min ＝8.故m 2＋2m ＜8，即(m －2)(m ＋4)＜0.解得－4＜m ＜2. 答案 (－4，2) 二、解答题9.(2015·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x 10＋x (0＜x ＜10).(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10).装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x＝－x 2－5x －5010（17＋x ），令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎪⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.10.已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号.由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 11.(1)解关于x 的不等式x 2－2mx ＋m ＋1＞0； (2)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.解 (1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m )2－4(m ＋1)＝4(m 2－m －1).当m 2－m －1＞0，即m ＞1＋52或m ＜1－52时，由于方程x 2－2mx ＋m ＋1＝0的两根是m ±m 2－m －1，所以原不等式的解集是{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m ＋m 2－m －1}；当Δ＝0，即m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当Δ＜0，即1－52＜m ＜1＋52时，不等式的解集为R .综上，当m ＞1＋52或m ＜1－52时，不等式的解集为{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m ＋m 2－m －1}；当m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当1－52＜m ＜1＋52时，不等式的解集为R .(2)原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a，所以当0＜a＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.③当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a或x ＞2.综上，当a ＝0时不等式解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式解集为∅；当a ＞12时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2；当a ＜0时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞).。

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题专题二立体几何开篇高考回眸

开篇高考回眸【考情分析】开篇高考回眸(本讲对应学生用书第9~10页)考情分析年份题号知识点分值2014年第8，16题圆柱的侧面积和体积；线面平行的判定，面面垂直的判定19分2015年第9，16，22题等积法求圆锥与圆柱的体积；线面平行的判定，面面垂直的判定29分2016年第16，17题棱柱、棱锥的体积；线面平行的判定，面面垂直的判定28分立体几何在高考中主要考查空间几何体的体积和表面积，空间直线与平面平行、垂直的判定与性质.解题时要熟悉图形的结构，掌握平行、垂直之间的相互转化关系，不遗漏已知条件，弄清定理的条件和结论，按照逻辑段严格书写，确保步步有据，严谨不失分.【真题再现】真题再现1.(2014·江苏第8题)已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且12SS=94，则12VV=.【答案】3 2【解析】由题意知，12SS=2122ππrr=2122rr=94，所以12rr=32，圆柱的侧面积S侧=2πrh，又S侧1=2πr1h1=S侧2=2πr2h2，则12hh=21rr=23，所以12VV=1122S hS h=94×23=32.2.(2015·江苏第9题)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为.【解析】底面半径为5，高为4的圆锥的体积是1003π；底面半径为2，高为8的圆柱的体积是32π，故总体积是1963π.设重新制作后的圆锥、圆柱的底面半径为r，则13πr2·4+πr2·8=1963π，所以r2=7，所以r=.3.(2014·江苏第16题)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.(1)求证：PA∥平面DEF；(2)求证：平面BDE⊥平面ABC.(第3题)【解答】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA. 因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以PA∥平面DEF.(2)因为D，E分别为PC，AC的中点，所以DE=12PA=3.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以EF=12BC=4，所以DE2+EF2=DF2，所以∠DEF=90°，所以DE⊥EF.因为DE∥PA，PA⊥AC，所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E，AC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.4.(2015·江苏第16题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1.若AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.(1)求证：DE∥平面AA1C1C；(2)求证：BC1⊥AB1.(第4题)【解答】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，所以DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.5.(2016·江苏第16题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.(1)求证：直线DE∥平面A1C1F；(2)求证：平面B1DE⊥平面A1C1F.(第5题)【解答】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，所以DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1=A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F=A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.6.(2015·江苏第22题)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π2，PA=AD=2，AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)若Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.(第6题(1))【解答】以{AB AD AP，，}为正交基底建立如图(2)所示的空间直角坐标系A-xyz，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).(第6题(2))(1)因为AD ⊥平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，AD=(0，2，0).因为P C=(1，1，-2)，P D=(0，2，-2)，设平面PCD的法向量m=(x，y，z)，则m·P C=0，m·P D=0，即-202-20x y zy z+=⎧⎨=⎩，，令y=1，解得z=1，x=1，所以m=(1，1，1)是平面PCD的一个法向量.从而cos<AD，m>=·||||ADADmm=33，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为3 3.(2)因为B P=(-1，0，2)，设BQ=λB P=(-λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又C B=(0，-1，0)，则CQ=C B+BQ=(-λ，-1，2λ).又D P=(0，-2，2)，从而cos<C QD P，>=·||||CQ DPCQDP.设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2<C QD P，>=2225-109tt t+=2215209-99t⎛⎫+⎪⎝⎭≤910.当且仅当t=95，即λ=25时，|cos<C QDP，>|取得最大值10.因为y=cos x在π2⎛⎫⎪⎝⎭，上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值. 又因为=BQ=25BP=5.。

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题专题六数列与数学归纳法数学归纳法

第3讲数学归纳法【课前热身】第3讲数学归纳法(本讲对应学生用书第62~64页)1.(选修2-2 P88练习2改编)用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n=11-1-naa+(a≠1，n∈N*)，在验证n=1时，左边计算所得的式子是.【答案】1+a【解析】n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，所以左边是1+a.2.(选修2-2 P88例4改编)若n∈N*，f(n)=5n+2×3n-1+1，通过计算n=1，2，3，4时f(n)的值，可以猜想f(n)能被数值整除.(填最大的正整数)【答案】8【解析】f(1)=8=8×1，f(2)=32=8×4，f(3)=144=8×18，f(4)=680=8×85，所以猜想f(n)能被8整除.3.(选修2-2 P91习题7改编)已知数列{}na满足a1=1，且4a n+1-a n a n+1+2a n=9，则可以通过求a1，a2，a3的值猜想出a n=.【答案】6-5 2-1 n n【解析】由a1=1，a2=73，a3=135，a4=197进行猜想，可得an=6-52-1nn.4.(选修2-2 P98复习题7改编)从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是.【答案】n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N*)【解析】第n个式子的左边首项为n，公差为1，共2n-1项，所以左边=n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)，式子右边是(2n-1)2.5.(选修2-2 P103复习题13改编)已知数列111113355779⨯⨯⨯⨯，，，，…，1(2-1)(21)n n⨯+，计算S1，S2，S3，由此推测出S n=.【答案】21nn+【解析】S1=13=1211⨯+，S2=25=2221⨯+，S3=37=3231⨯+，推测Sn=21nn+. 【课堂导学】利用数学归纳法证明等式例1已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*).求证：f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·[f(n)-1](n≥2，n∈N*).【分析】与自然数有关的等式证明，可以采用数学归纳法，但要注意n0的取值.【解答】当n=2时，左边=f(1)=1.右边=2×11-12⎛⎫+⎪⎝⎭=1，左边=右边，等式成立.假设n=k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1].那么，当n=k+1时，f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)1 (1)-1f kk⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦-k=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1]，所以当n=k+1时结论仍然成立.所以f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2，n∈N*)成立.【点评】用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n0=2，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上推证n=k+1等式也成立，但必须用上述归纳假设.变式当n∈N*时，求证：1-12+13-14+…+12-1n-12n=11n++12n++13n++…+12-1n+12n.【解答】①当n=1时，左边=1-12=12，右边=111+=12，左边=右边.所以当n=1时，等式成立.②假设当n=k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即1-12+13-14+…+12-1k-12k=11k++12k++13k++…+12k.则当n=k+1时，左边=1-12+13-14+…+12-1k-12k+121k+-12(1)k+=11k ++12k ++13k ++…+12k +121k +-12(1)k +=12k ++13k ++…+121k ++11k ⎡⎢+⎣-12(1)k ⎤⎥+⎦ =1(1)1k +++1(1)2k +++…+12k +121k ++12(1)k +=右边，所以当n=k+1时，等式也成立.由①②知1-12+13-14+…+12-1n -12n =11n ++12n ++13n ++…+12-1n +12n ，即对任意的n ∈N *，等式都成立.利用数学归纳法证明不等式例2 (2016·扬州期末)已知函数f (x )=2x-3x 2，设数列{a n }满足a 1=14，a n+1=f (a n ).(1)求证：∀n ∈N *，都有0<a n <13；(2)求证：131-3a +231-3a +…+31-3n a ≥4n+1-4.【点拨】第(2)问尝试将右边转化为n 项的和的形式.【解答】(1)①当n=1时，a 1=14，有0<a 1<13，所以n=1时，不等式成立.②假设当n=k (k ∈N *)时，不等式成立，即0<a k <13，则当n=k+1时，a k+1=f(a k)=2a k-32ka=-3223k ka a⎛⎫-⎪⎝⎭=-321-3ka⎛⎫⎪⎝⎭+13，于是13-a k+1=32 1-3ka⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为0<a k<13，所以0<321-3ka⎛⎫⎪⎝⎭<13，即0<13-a k+1<13，可得0<ak+1<13，所以当n=k+1时，不等式也成立.由①②可知，对任意的正整数n，都有0<a n<1 3.(2)由(1)可得13-a n+1=321-3na⎛⎫⎪⎝⎭，两边同时取以3为底的对数，可得log311-3na+⎛⎫⎪⎝⎭=1+2log31-3na⎛⎫⎪⎝⎭，化简为1+log311-3na+⎛⎫⎪⎝⎭=2311log-3na⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以数列311log-3na⎧⎫⎛⎫+⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭是以log314为首项、2为公比的等比数列.所以1+log31-3na⎛⎫⎪⎝⎭=2n-1log314，化简求得13-a n=13×-1214n⎛⎫⎪⎝⎭，所以11-3na=3×-124n.因为n≥2时，2n-1=-1Cn+1-1Cn+2-1Cn+…+-1-1C nn≥1+n-1=n，当n=1时，2n-1=1，所以n∈N*时，2n-1≥n，所以11-3na=3·-124n≥3·4n，因为111-3a +211-3a +…+11-3na =3(024+124+…+-124n )≥3(41+42+…+4n )=4n+1-4，所以131-3a +231-3a +…+31-3n a ≥4n+1-4.【点评】对于不等式的证明问题，常用的方式就是将不等式的左、右两边都转化为相同项数的和，然后采用逐一比较的方法来加以证明.而与自然数有关的命题的证明，可以考虑应用数学归纳法来加以证明.变式 (2016·徐州四校调研)已知函数f (x )=ax-32x 2的最大值不大于16，又当x ∈1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，f (x )≥18.(1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n+1=f (a n )，n ∈N *，求证：a n <11n +.【解答】(1)由题意，知f (x )=ax-32x 2=-23-23a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+26a .又f (x )max ≤16，所以f 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=26a ≤16.所以a 2≤1.又x ∈1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，f (x )≥18，所以11281148f f ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，，即31-28831-4328a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a=1. (2)用数学归纳法证明：①当n=1时，0<a1<12，结论显然成立.因为当x∈12⎛⎫⎪⎝⎭，时，0<f(x)≤16，所以0<a2=f(a1)≤16<13.故n=2时，原不等式也成立.②假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，不等式0<a k<11k+成立.由(1)知a=1，f(x)=x-32x2，因为f(x)=x-32x2的对称轴为直线x=13，所以当x∈13⎛⎤⎥⎝⎦，时，f(x)为增函数.所以由0<a k<11k+≤13，得0<f(ak)<f11k⎛⎫⎪+⎝⎭.于是，0<a k+1=f(a k)<11k+-32·21(1)k++12k+-12k+=12k+-242(1)(2)kk k+++<12k+.所以当n=k+1时，原不等式也成立.根据①②知对任意的n∈N*，不等式a n<11n+成立.归纳—猜想—证明例3 (2015·湖北卷改编)已知数列{a n }的各项均为正数，b n =n11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭a n (n ∈N *)，e 为自然对数的底数.计算123112112123bb b b bba a a a a a ，，，由此推测计算1212……n nb b b a a a 的公式，并给出证明.【分析】利用b n =n 1+1nn a n (n ∈N *)得到11b a =2，1212bb aa=32，123123b b b a a a =43，从而推测出1212……nn b b b a a a =(n+1)n ，再用数学归纳法进行证明.【解答】11b a =1×1111⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1+1=2； 1212bb aa =11b a ·22b a =2×2×2112⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(2+1)2=32； 123123b b b a a a =1212bb aa ·33b a =32×3×3113⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(3+1)3=43. 由此推测：1212……nn b b b a a a =(n+1)n .下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=右边=2，等式成立.②假设当n=k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，即1212……kk b b b a a a =(k+1)k . 则当n=k+1时，b k+1=(k+1)1+11+1k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭k+1a k+1，由归纳假设可得121121……k k k k bb b b a a a a ++=1212……k k b b b a a a ·11k k b a ++=(k+1)k (k+1)·1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=(k+2)k+1，所以当n=k+1时，等式也成立.根据①②可知猜想对一切正整数n都成立.【点评】(1)由特殊到一般进行推测时，结论必需要由3项以上的特殊项推出.(2)用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n=1，在第2步的证明中应在归纳假设的基础上推证n=k+1时等式也成立，但必须用上述归纳假设.变式(2014·徐州三模)在数列{a n}中，已知a1=20，a2=30，a n+1=3a n-a n-1(n∈N*，n≥2).(1)当n=2，3时，分别求2na-a n-1a n+1的值.(2)判断2na-a n-1a n+1(n≥2)是否为定值，并给出证明.【解答】(1)由题得a3=70，a4=180.所以n=2时，2na-a n-1a n+1=-500；当n=3时，2na-a n-1a n+1=-500.(2)猜想：2na-a n-1a n+1=-500(n≥2).下面用数学归纳法证明：①当n=2时，结论成立.②假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即2ka-a k-1a k+1=-500，将a k-1=3a k-a k+1代入上式，可得2ka-3a k a k+1+21ka+=-500.则当n=k+1时，21ka+-a k a k+2=21ka+-a k(3a k+1-a k)=21ka+-3a k a k+1+2ka=-500.故当n=k+1时结论也成立，根据①②可得2na-a n-1a n+1=-500(n≥2)为定值.【课堂评价】1.试比较2n+2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论. 【解答】当n=1时，21+2=4>n2=1，当n=2时，22+2=6>n2=4，当n=3时，23+2=10>n2=9，由n=4时，24+2=18>n2=16，由此可以猜想，2n+2>n2(n∈N*)成立.下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=21+2=4，右边=1，所以左边>右边，所以原不等式成立.当n=2时，左边=22+2=6，右边=22=4，所以左边>右边；当n=3时，左边=23+2=10，右边=32=9，所以左边>右边.②假设n=k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k+2>k2.那么当n=k+1时，2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2·k2-2.又因为2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0，即2k2-2≥(k+1)2，故2k+1+2>(k+1)2成立.根据①和②，知原不等式对于任何n∈N*都成立.2.(2016·淮阴信息卷)已知f (n )=1+312+313+314+…+31n ，g (n )=32-212n ，n ∈N *.(1)当n=1，2，3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明. 【解答】(1)当n=1时，f (1)=1，g (1)=1，所以f (1)=g (1)；当n=2时，f (2)=98，g (2)=118，所以f (2)<g (2)；当n=3时，f (3)=251216，g (3)=312216，所以f (3)<g (3).(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明. ①当n=1，2，3时，不等式显然成立； ②假设当n=k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立，即1+312+313+314+…+31k <32-212k .那么当n=k+1时，f (k+1)=f (k )+31(1)k +<32-212k +31(1)k +. 因为212(1)k +-2311-2(1)k k ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=332(1)k k ++-212k =32-3-12(1)k k k +<0，所以f (k+1)<32-212(1)k +=g (k+1).由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立.3.(2016·新海中学月考)将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S 1+S 3+S 5+…+S 2n-1的结果，并用数学归纳法证明. S 1=1， S 2=2+3=5， S 3=4+5+6=15，S4=7+8+9+10=34，S5=11+12+13+14+15=65，S6=16+17+18+19+20+21=111，…【解答】由题意知，当n=1时，S1=1=14；当n=2时，S1+S3=16=24；当n=3时，S1+S3+S5=81=34；当n=4时，S1+S3+S5+S7=256=44；猜想：S1+S3+S5+…+S2n-1=n4.下面用数学归纳法证明：①当n=1时，S1=1=14，等式成立.②假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即S1+S3+S5+…+S2k-1=k4，那么，当n=k+1时，S1+S3+S5+…+S2k-+S2k+1=k4+[(2k2+k+1)+(2k2+k+2)+…+(2k2+k+2k+1)]=k4+(2k+1)(2k2+2k+1)=k4+4k 13+6k2+4k+1=(k+1)4，所以当n=k+1时，等式也成立.根据①和②可知对于任意的n∈N*，S1+S3+S5+…+S2n-1=n4都成立.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第31~32页.【检测与评估】第3讲数学归纳法一、解答题1.用数学归纳法证明：对n ∈N *，都有112⨯+123⨯+134⨯+…+1(1)n n +=1nn +.2.…n ∈N *).3.(2016·无锡新区中学期中)是否存在正整数m 使得f (n )=(2n+7)·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出m 的最大值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.4.(2016·泰州三校联考)设f (x )=22x x +，x 1=1，x n =f (x n-1)(n ≥2，n ∈N *). (1)求x 2，x 3，x 4的值；(2)归纳并猜想{x n }的通项公式； (3)用数学归纳法证明你的猜想.5.(2016·苏北四市期末)已知数列{a n }满足a n =3n-2，函数f (n )=11a +21a +…+1n a ，g (n )=f (n 2)-f (n-1)，n ∈N *.(1)求证：g (2)>13； (2)求证：当n ≥3时，g (n )>13.6.(2016·南通一调)已知函数f 0(x )=x (sin x+cos x )，设f n (x )为f n-1(x )的导函数，n ∈N *. (1)求f 1(x )，f 2(x )的解析式；(2)写出f n (x )的解析式，并用数学归纳法证明.7.(2016·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在曲线y=x 2(x>0)上.已知点A (0，-1)，P n (00n nx y ，)，n ∈N *，记直线AP n 的斜率为k n .(1)若k 1=2，求点P 1的坐标； (2)若k 1为偶数，求证：k n 为偶数.8.(2016·苏锡常镇二模)设实数a 1，a 2，…，a n 满足a 1+a 2+…+a n =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a n |≤1(n ∈N *且n ≥2)，令b n =n a n (n ∈N *).求证：|b 1+b 2+…+b n |≤12-12n(n ∈N *).【检测与评估答案】第3讲数学归纳法一、解答题1. ①当n=1时，左边=112⨯=12，右边=111+=12，左边=右边.所以n=1时，等式成立.②假设当n=k 时成立，即112⨯+123⨯+…+1(1)k k +=1kk +，则n=k+1时，112⨯+123⨯+…+1(1)k k ++1(2)(1)k k ++ =1kk ++1(2)(1)k k ++ =(2)1(1)(2)k k k k ++++=221(1)(2)k k k k ++++ =2(1)(1)(2)k k k +++=1(1)1k k +++，所以当n=k+1时，等式也成立.由①②知112⨯+123⨯+134⨯+…+1(1)n n +=1nn +.2. ①当n=11，不等式成立.②假设n=k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立，…则当n=k+1时，….因此，欲证明n=k+1时，原不等式成立，只需证明成立，，，又2-2=k2+3k+2-21k⎡++⎣=k2+k+1-=2⎤⎦>0，.所以当n=k+1时，原不等式也成立.由①②可知，当n∈N*时，原不等式都成立.3.由f(n)=(2n+7)·3n+9得f(1)=36，f(2)=3×36，f(3)=10×36，f(4)=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：①当n=1时，结论显然成立；②假设当n=k时，结论成立，即f(k)能被36整除，设f(k)=(2k+7)·3k+9=t·36.则当n=k+1时，f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9=(2k+7)·3k+1+2·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1)=3·36t+18·2s=36(3t+s )，所以当n=k+1时结论成立.由①②可知，对一切正整数n ，f (n )=(2n+7)·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.4. (1) x 2=f (x 1)=23，x 3=f (x 2)=223223⨯+=12=24，x 4=f (x 3)=122122⨯+=25.(2) 根据(1)的计算结果，可以归纳猜想x n =21n +.(3) ①当n=1时，x 1=211+=1，与已知相符，归纳出的公式成立. ②假设当n=k (k ≥1，k ∈N *)时成立，即x k =21k +；则当n=k+1时，有x k+1=f (x k)=22kk x x +=221221k k ⋅+++=424k +=211k ++，所以当n=k+1时公式也成立.由①②知，对任意n ∈N *，有x n =21n +.5. (1) 由题意知a n =3n-2，g (n )=1n a +11n a ++21n a ++…+21n a，当n=2时，g (2)=21a +31a +41a =14+17+110=69140>13.(2) 用数学归纳法加以证明： ①当n=3时，g (3)=31a +41a +51a + (91)=17+110+113+116+119+122+125 =17+111101316⎛⎫++ ⎪⎝⎭+111192225⎛⎫++ ⎪⎝⎭ >18+111161616⎛⎫++ ⎪⎝⎭+111323232⎛⎫++ ⎪⎝⎭ =18+316+332>18+316+116>13，所以当n=3时，结论成立.②假设当n=k (k ≥3，k ∈N *)时，结论成立，即g (k )>13，则当n=k+1时，g (k+1)=g (k )+211k a ++221k a ++…+2(1)1k a +-1k a>13+22212(1)1111…-k k k k a a a a +++⎛⎫⎪+++ ⎪⎝⎭ >13+2213(1)-2k k ++-13-2k=13+22(21)(3-2)-[3(1)-2][3(1)-2](3-2)k k k k k +++=13+223-7-3[3(1)-2](3-2)k k k k +，由k ≥3可知，3k 2-7k-3>0，即g (k+1)>13.所以当n=k+1时，结论也成立.综合①②可得，当n ≥3时，g (n )>13.6. (1) 因为f n(x)为f n-1(x)的导函数，所以f1(x)=f'0(x)=(sin x+cos x)+x(cos x-sin x)=(x+1)cos x+(x-1)(-sin x)，同理，f2(x)=-(x+2)sin x-(x-2)cos x.(2) 由(1)得f3(x)=f'2(x)=-(x+3)cos x+(x-3)sin x，把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为f1(x)=(x+1)sinπ2x⎛⎫+⎪⎝⎭+(x-1)cosπ2x⎛⎫+⎪⎝⎭，f2(x)=(x+2)sin2π2x⎛⎫+⎪⎝⎭+(x-2)cos2π2x⎛⎫+⎪⎝⎭，f3(x)=(x+3)sin3π2x⎛⎫+⎪⎝⎭+(x-3)cos3π2x⎛⎫+⎪⎝⎭，猜测f n(x)=(x+n)sinπ2nx⎛⎫+⎪⎝⎭+(x-n)cosπ2nx⎛⎫+⎪⎝⎭(*).下面用数学归纳法证明上述等式.①当n=1时，由(1)知，等式(*)成立；②假设当n=k时，等式(*)成立，即f k(x)=(x+k)sinπ2kx⎛⎫+⎪⎝⎭+(x-k)cosπ2kx⎛⎫+⎪⎝⎭，则当n=k+1时，f k+1(x)=f'k(x)=sinπ2kx⎛⎫+⎪⎝⎭+(x+k)cosπ2kx⎛⎫+⎪⎝⎭+cosπ2kx⎛⎫+⎪⎝⎭+(x-k)π-sin2kx⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=(x+k+1)cosπ2kx⎛⎫+⎪⎝⎭+[x-(k+1)]·π-sin2kx⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=[x+(k+1)]sin1π2kx+⎛⎫+⎪⎝⎭+[x-(k+1)]·cos1π2kx+⎛⎫+⎪⎝⎭，即当n=k+1时，等式(*)成立.综上所述，当n∈N*时，f n(x)=(x+n)sinπ2nx⎛⎫+⎪⎝⎭+(x-n)cosπ2nx⎛⎫+⎪⎝⎭.7. (1) 因为k1=2，所以1yx+=21xx+=2，解得x0=1，y0=1，所以点P1的坐标为(1，1).(2) 因为10010011nnx xx x++⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2nx++21nx++0n x+1nx，k n=1nnyx+=21nnxx+=0nx+01nx，所以k n+2=k1k n+1-k n.k2=2x+21x=21xx⎛⎫+⎪⎝⎭-2=21k-2.设命题p(n)：k n，k n+1均为偶数.以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”.①因为k1是偶数，所以k2=21k-2也是偶数.当n=1时，p(n)是真命题；②假设当n=m(m∈N*)时，p(n)是真命题，即k m，k m+1均为偶数，则k m+2=k1k m+1-k m也是偶数，即n=m+1时，p(n)也是真命题.由①②可知，对n∈N*，p(n)均是真命题，从而k n是偶数.8.①当n=2时，a1=-a2，所以2|a1|=|a1|+|a2|≤1，即|a1|≤1 2，所以|b1+b2|=212aa+=1||2a≤14=12-122⨯，即当n=2时，结论成立.②假设当n=k(k∈N*且k>2)时，结论成立，即当a1+a2+…+a k=0，且|a1|+|a2|+…+|a k|≤1时，有|b1+b2+…+b k|≤12-12k.则当n=k+1时，有a1+a2+…+a k+a k+1=0，且|a1|+|a2|+…+|a k+1|≤1，因为2|a k+1|=|a1+a2+…+a k|+|a k+1|≤|a1|+|a2|+…+|a k+1|≤1，所以|a k+1|≤1 2.又因为a1+a2+…+a k-1+(a k+a k+1)=0，且|a1|+|a2|+…+|a k-1|+|a k+a k+1|≤|a1|+|a2|+…+|a k+1|≤1，由假设可得112-1…k kka ab b bk++++++≤12-12k，所以|b1+b2+…+b k+b k+1|=1 12-1…1k kka ab b bk k+ ++++++=111 12-1…-1k k k kka a a ab b bk k k++++⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≤12-12k+11-1k ka ak k+++=12-12k+11-1k k⎛⎫⎪+⎝⎭|ak+1|≤12-12k+11-1k k⎛⎫⎪+⎝⎭×12=12-12(1)k+，即当n=k+1时，结论也成立. 综上可知，结论成立.。

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题四函数与导数函数的图象与性质

第1讲函数的图象与性质【课前热身】第1讲函数的图象与性质(本讲对应学生用书第31~32页)1.(必修1 P28例6改编)画出函数f(x)=x2+1的图象，若0<x1<x2，则f(x1)f(x2). 【答案】<【解析】作出函数图象，不难得出结论.2.(必修1 P25复习题3改编)已知函数f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}，则函数f(x)的值域为.【答案】{1，2，5}【解析】分别代入，即可求得.3.(必修1 P40练习2改编)已知函数f(x)=|x+1|，则函数f(x)的单调增区间为. 【答案】[-1，+∞)4.(必修1 P45思考11改编)已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=1，则函数y=f(x)的解析式为.【答案】f(x)=10 00 -10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，【解析】由于y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0.当x<0时，-x>0，所以f(-x)=1=-f(x)，即f(x)=-1，所以f(x)=10 00 -10.xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，5.(必修1 P53拓展15改编)若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)是函数.(填“奇”或“偶”)【答案】奇【解析】令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数. 【课堂导学】基本初等函数的图象与性质例1(1)已知y=log a(2-ax)在[0，1]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是.(2)(2016·通州中学)若存在正数x使得2x(x-a)<1成立，则实数a的取值范围是.(3)(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为.【答案】(1)(1，2)(2)(-1，+∞)(3)c<a<b【解析】(1)令u=2-ax ，因为a>0，所以u=-ax+2为减函数.又y=log a u 在[0，1]上是x 的减函数，根据复合函数“同增异减”的法则，可知a>1.又u>0在[0，1]上恒成立，故u (1)=2-a>0⇒a<2，所以1<a<2.(2)因为2x >0，所以由2x (x-a )<1得x-a<12x=2-x ，在平面直角坐标系中，作出函数f (x )=x-a ，g (x )=2-x 的图象如图所示.(例1(2))当x>0时，g (x )=2-x <1，所以如果存在x>0，使2x (x-a )<1，则有-a<1，即a>-1. (3)因为函数f (x )=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f (x )=2|x|-1，所以a=f (log 0.53)=f21log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭=21log 32-1=2log 32-1=3-1=2，b=f (log 25)=2log 52-1=4，c=f (2m )=f (0)=20-1=0，所以c<a<b.变式1 (1)(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知函数f (x )=log a (x+b )(a>0且a ≠1，b ∈R )的图象如图(1)所示，则a+b 的值是 .(2)(2016·常州一中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )+f (lo12g a )≤2f (1)，则a 的取值范围是 .(3)(2016·金陵中学)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-4x ，那么不等式f (x+2)<5的解集是 .(变式1(1))【答案】(1)92(2)122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(3)(-7，3)【解析】(1)由图象可知，函数图象过点(-3，0)，(0，-2)，所以0log(-3)-2logaabb=+⎧⎨=⎩，，解得124ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，，故a+b=92.(2)根据对数的运算性质和函数的奇偶性可知f(lo12ga)=f(-log2a)=f(log2a)，因此f(log2a)+f(lo12ga)≤2f(1)可化为f(log2a)≤f(1).又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，故|log2a|≤1，解得12≤a≤2.(3)设x<0，则-x>0.当x≥0时，f(x)=x2-4x，所以f(-x)=(-x)2-4(-x).因为f(x)是定义在R上的偶函数，得f(-x)=f(x)，所以f(x)=x2+4x(x<0)，故f(x)=22-4040.x x xx x x⎧≥⎨+<⎩，，，由f(x)=5，得2-45x xx⎧=⎨≥⎩，或245x xx⎧+=⎨<⎩，，解得x=5或x=-5.(变式1(3))观察图象可知由f(x)<5，得-5<x<5.所以由f(x+2)<5，得-5<x+2<5，所以-7<x<3.故不等式f(x+2)<5的解集是{x|-7<x<3}.变式2(2016·海门中学)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤4，求实数a的取值范围.【解答】(1)因为f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1)，所以f(x)在[1，a]上是减函数.又定义域和值域均为[1，a]，所以(1)()1f af a=⎧⎨=⎩，，即221-25-251a aa a+=⎧⎨+=⎩，，解得a=2.(2)因为f(x)在区间(-∞，2]上是减函数，所以a≥2.又x=a∈[1，a+1]，且(a+1)-a≤a-1，所以f(x)max=f(1)=6-2a，f(x)min=f(a)=5-a2.因为对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤4，所以f(x)max-f(x)min≤4，得-1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.所以实数a的取值范围为[2，3].函数图象的识别与应用例2(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y=1xx+与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则1mi∑=(x i+y i)=.【点拨】注意函数关于点(0，1)对称.【答案】m【解析】由f(-x)=2-f(x)，得f(x)的图象关于点(0，1)对称.因为y=1xx+=1+1x的图象也关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(x i，y i)和(x'i，y'i)均满足x i+x'i=0，y i+y'i=2，所以1mi∑=(x i+y i)=1mi∑=x i+1mi∑= y i=0+2·2m=m.变式(2016·扬州期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)= 12(|x-a|+|x-2a|-3|a|).若集合{x|f(x-1)-f(x)>0，x∈R}=∅，则实数a的取值范围为.(变式)【答案】1-6∞⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】当a≤0时，由x≥0得f(x)=12(x-a+x-2a+3a)=x，因为f(x)是奇函数，所以f(x)=x，此时f(x-1)=x-1，f(x-1)-f(x)=-1>0无解，满足题意；当a>0时，当x≥0时，f(x)=-32-2-0x a x aa a x ax x a≥⎧⎪<<⎨⎪≤≤⎩，，，，，，根据f(x)是奇函数，从而作出f(x)的图象如图所示，要使{x|f(x-1)-f(x)>0，x∈R}=∅，则至少要将f(x)的图象向右平移6a个单位，故0<6a≤1，此时0<a ≤16.综上，实数a的取值范围是1-6∞⎛⎤⎥⎝⎦，.函数的零点问题例3(2015·海门中学)设函数f(x)在(-∞，+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 015，2 015]上的根的个数，并证明你的结论.【解答】(1)因为f(1)=0，且f(x)在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0，又因为f(2-x)=f(2+x)，令x=-3，得f(-1)=f(5)≠0，所以f(-1)≠f(1)，且f(-1)≠-f(1).所以f(x)是非奇非偶函数.(2)f(10+x)=f(2+8+x)=f(2-(8+x))=f(-6-x)=f(7-(13+x))=f(7+13+x)=f(20+x)，所以f(x)是以10为周期的周期函数.又由f(x)的图象关于直线x=7对称知，f(x)=0在(0，10]上有两个根，则f(x)=0在(0，2 015]上有202×2=404个根；在[-2 015，0]上有201×2=402个根.因此，方程f(x)=0在闭区间[-2 015，2 015]上共有806个根.变式(2015·天津卷)已知函数f(x)=22-||2(-2)2x xx x≤⎧⎨>⎩，，，，函数g(x)=b-f(2-x)，其中b∈R，若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是.【答案】72 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由f (x )=22-||2(-2)2x x x x ≤⎧⎨>⎩，，，，得f (2-x )=22-|2-|00x x x x ≥⎧⎨<⎩，，，，所以y=f (x )+f (2-x )=222-||04-||-|2-|022-|2-|(-2)2x x x x x x x x x ⎧+<⎪≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，，即y=f (x )+f (2-x )=2220202-58 2.x x x x x x x ⎧++<⎪≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，y=f (x )-g (x )=f (x )+f (2-x )-b ，所以y=f (x )-g (x )恰有4个零点等价于方程f (x )+f (2-x )-b=0有4个不同的解，即函数y=b 与函数y=f (x )+f (2-x )的图象有4个公共点，作出函数图象如图所示，由图象可知74<b<2.(变式)【课堂评价】1.(2016·苏州期末)函数f (x )=220-10x x x x ⎧≤⎨+>⎩，，，的值域为 .【答案】(-∞，1]【解析】如图，分段画出f(x)的图象即可看出函数的值域为(-∞，1].(第1题)2.(2016·四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=4x，则f5-2⎛⎫⎪⎝⎭+f(1)=.【答案】-2【解析】因为f(x)是周期为2的函数，所以f(x)=f(x+2).因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)，所以f(1)=f(-1)，f(1)=-f(-1)，即f(1)=0.又f5-2⎛⎫⎪⎝⎭=f1-2⎛⎫⎪⎝⎭=-f12⎛⎫⎪⎝⎭，f12⎛⎫⎪⎝⎭=124=2，所以f5-2⎛⎫⎪⎝⎭=-2，从而f5-2⎛⎫⎪⎝⎭+f(1)=-2.3.(2016·北京卷)设函数f(x)=3-3-2.x x x ax x a⎧≤⎨>⎩，，，①若a=0，则f(x)的最大值为；②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是.【答案】①2②(-∞，-1)【解析】由(x3-3x)'=3x2-3=0，得x=±1，作出函数y=x3-3x和y=-2x的图象如图所示.①当a=0时，由图象可得f(x)的最大值为f(-1)=2.②由图象可知当a≥-1时，函数f(x)有最大值；当a<-1时，y=-2x在x>a时无最大值，且-2a>a3-3a，所以a<-1.(第3题)4.(2016·苏锡常镇调研(二))已知函数f(x)=x3+2x，若f(1)+f(lo1ga3)>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是.【答案】(0，1)∪(3，+∞)【解析】由函数f(x)的解析式易知该函数为奇函数且在定义域R上是单调增函数，故f(1)+f(lo1ga3)>0，即f(lo1ga3)>-f(1)=f(-1)，即lo1ga3>-1=lo1ga a，所以113aa⎧>⎪⎨⎪>⎩，或1013aa⎧<<⎪⎨⎪<⎩，，解得0<a<1或a>3.5.(2015·苏锡常镇二模)已知函数f(x)=|x3-4x|+ax-2恰有两个零点，那么实数a的取值范围为.(第5题)【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】令f (x )=0，即|x 3-4x|=2-ax.作出函数y=|x 3-4x|与y=2-ax 的图象如图所示.由题意知两个函数图象有且仅有两个公共点，数形结合，当直线y=2-ax 过点(-2，0)时，a=-1，直线为y=2+x ，与y=x 3-4x 联立，解得x=-2，1，说明两图象有三个交点，不合题意，所以-a>1，即a<-1.根据图象左右对称的性质知a>1也满足题意，所以a 的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞).温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第15~16页.【检测与评估】专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质一、填空题1.(2016·南京一中)若函数f (x )=(m 2-m-1)2-2-1mm x是幂函数，且在x ∈(0，+∞)上是减函数，则实数m= .2.(2015·苏州调研)已知函数y=log 2-1a x x 为奇函数，则实数a 的值为 .3.(2015·南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且在[0，2]上，f(x)=(1-)01sinπ12x x xx x≤≤⎧⎨<≤⎩，，，，那么f294⎛⎫⎪⎝⎭+f416⎛⎫⎪⎝⎭=.4.(2016·山东卷)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)=-f(x)；当x>12时，f12x⎛⎫+⎪⎝⎭=f1-2x⎛⎫⎪⎝⎭，则f(6)=.5.(2016·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(，则a的取值范围是.6.(2016·苏北四市期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)=log2(2+x)+(a-1)x+b(a，b为常数).若f(2)=-1，则f(-6)的值为.7.(2016·江苏信息卷)设偶函数f(x)满足f(x)=3x-9(x≥0)，若f(x-1)<0，则x的取值范围是.8.(2015·苏州期末)已知函数f(x)=244-3.x mx x x m≥⎧⎨+<⎩，，，若函数g(x)=f(x)-2x恰有3个不同的零点，则实数m的取值范围是.二、解答题9.(2016·海安中学)已知函数y=f(x)在定义域[-1，1]上既是奇函数又是减函数.(1)求证：对任意x1，x2∈[-1，1]，有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0；(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0，求实数a的取值范围.10.(2016·苏州中学)已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件f(1-x)=f(1+x)，且函数g(x)=f(x)-x只有一个零点.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求实数m，n(m<n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，f(x)的取值范围是[3m，3n].11.(2016·启东检测)已知函数f(x)=x2-1，g(x)=a|x-1|.(1)若当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[-2，2]上的最大值.【检测与评估答案】专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质一、填空题1. 2【解析】由题设条件及幂函数的定义知22--11-2-10m mm m⎧=⎨<⎩，　①，　②由①解得m=2或m=-1，代入②验证知m=-1不合题意，故m=2.2. 1【解析】方法一：由f(0)=0，得log2a=0，所以a=1，经检验符合题意.方法二：由f(x)是奇函数，得f(x)=-f(-x)，log2-1a xx+=-log21-a xx+，所以-1a xx+=1-xa x+，所以a2=1.因为a≠-1，所以a=1.3. 516 【解析】由f (x+4)=f (x )，可得函数的周期是4，所以f 294⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 38-4⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 3-4⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为f (x )是奇函数，所以f 3-4⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f 34⎛⎫ ⎪⎝⎭=-34×14=-316，f 416⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 78-6⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 7-6⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f 76⎛⎫ ⎪⎝⎭=-sin 7π6=sin π6=12，所以f 294⎛⎫ ⎪⎝⎭+f 416⎛⎫ ⎪⎝⎭=12-316=516.4. 2 【解析】因为当x>12时，f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=f 1-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以f (x )的周期为1，则f (6)=f (1).因为当-1≤x ≤1时，f (-x )=-f (x )，所以f (1)=-f (-1).又当x<0时，f (x )=x 3-1，所以f (-1)=(-1)3-1=-2，所以f (6)=-f (-1)=2.5. 1322⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(-∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，+∞)上单调递减.又f (2|a-1|)>f (-)，f (-)=f()，所以2|a-1|<，即|a-1|<12，所以12<a<32.6. 4 【解析】由题意得f (0)=0，所以log 22+b=0，所以b=-1，f (x )=log 2(2+x )+(a-1)x-1，又因为f (2)=-1，所以log 2(2+2)+2(a-1)-1=-1，解得a=0，f (x )=log 2(2+x )-x-1，f (-6)=-f (6)=-[log 2(2+6)-6-1]=4.7. (-1，3) 【解析】方法一：偶函数f (x )在[0，+∞)上是单调增函数，且f (2)=0，所以由f (x-1)<0，得f (|x-1|)<f (2)，即|x-1|<2，解得x ∈(-1，3).方法二：根据题意，当x ≥0时，f (x )=3x -9，令f (x )=3x -9<0，解得0≤x<2.又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，所以不等式f (x )<0在x ∈R 的解集为(-2，2)，因此不等式f (x-1)<0等价为x-1∈(-2，2)，解得x ∈(-1，3).8. (1，2] 【解析】方法一：问题转化为g (x )=0，即方程f (x )=2x 有3个不同的解，即24-32x m x x x <⎧⎨+=⎩，或42x m x ≥⎧⎨=⎩，，解得1x m x <⎧⎨=⎩，或-3x m x <⎧⎨=⎩，或 2.x m x ≥⎧⎨=⎩，因为方程f (x )=2x 有3个不同的解，所以21-3m m m ≥⎧⎪<⎨⎪<⎩，，，解得1<m ≤2.(第8题)方法二：由题意知函数g (x )=24-22-3x x m x x x m ≥⎧⎨+<⎩，，，，画出函数y=4-2x 和y=x 2+2x-3的图象如图所示，可知函数g (x )的三个零点为-3，1，2，因此可判断m 在1与2之间.当m=1时，图象不含点(1，0)，不合题意；当m=2时，图象包含点(2，0)，符合题意，所以1<m ≤2.二、解答题9. (1) 若x 1+x 2=0，显然不等式成立. 若x 1+x 2<0，则-1≤x 1<-x 2≤1，因为f (x )在[-1，1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)>f (-x 2)=-f (x 2)，所以f (x 1)+f (x 2)>0，所以[f (x 1)+f (x 2)](x 1+x 2)<0成立. 若x 1+x 2>0，则1≥x 1>-x 2≥-1，同理可证f (x 1)+f (x 2)<0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.综上，对任意x1，x2∈[-1，1]，有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立.(2) 因为f(1-a)+f(1-a2)<0，所以f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1)，由f(x)在定义域[-1，1]上是减函数，得22-11-1-1-111--1aaa a⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪>⎩，，，即220202-20aaa a⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+<⎩，，，解得0≤a<1.故所求实数a的取值范围是[0，1).10. (1) 因为二次函数f(x)=ax2+bx满足条件f(1-x)=f(1+x)，所以函数f(x)图象的对称轴是直线x=1，所以-2ba=1，即b=-2a.因为函数g(x)=f(x)-x只有一个零点，即ax2-(2a+1)x=0有相等的实数根，所以Δ=(2a+1)2=0，即a=-12，b=1.所以f(x)=-12x2+x.(2) ①当m<n<1时，f(x)在[m，n]上单调递增，f(m)=3m，f(n)=3n，所以m，n是-1 2x2+x=3x的两个根，解得m=-4，n=0.②当m≤1≤n时，3m=12，m=16，3n=-12n2+n，解得n=0或-14，不符合题意.③当1<m<n时，f(x)在[m，n]上单调递减，所以f(m)=3n，f(n)=3m，即-12m2+m=3n，-12n2+n=3m.相减得-12(m 2-n 2)+(m-n )=3(n-m ).因为m ≠n ，所以-12(m+n )+1=-3，所以m+n=8. 将n=8-m 代入-12m 2+m=3n ，得-12m 2+m=3(8-m )，但此方程无解.综上，满足条件的m=-4，n=0.11. (1) 不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2-1≥a|x-1|(*)对x ∈R 恒成立.①当x=1时，(*)式显然成立，此时a ∈R .②当x ≠1时，(*)式可变形为a ≤2-1|-1|x x ，令φ(x )=2-1|-1|x x =11-(1)1x x x x +>⎧⎨+<⎩，，，，因为当x>1时，φ(x )>2，当x<1时，φ(x )>-2，所以φ(x )>-2，故此时a ≤-2.综合①②知所求实数a 的取值范围是{a|a ≤-2}.(2) 因为h (x )=|f (x )|+g (x )=|x 2-1|+a|x-1|=222--11--1-11--1-1.x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+≥⎪++≤<⎨⎪+<⎩，，，，，①当2a>1，即a>2时，结合图形可知h (x )在[-2，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，经比较，此时h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3.②当0≤2a ≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知h (x )在[-2，-1]，-12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在-1-2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，h -2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a +a+1，经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3.③当-1≤2a <0，即-2≤a<0时，结合图形可知h (x )在[-2，-1]，-12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在-1-2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，h -2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a +a+1，经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3.④当-32≤2a <-1，即-3≤a<-2时，结合图形可知h (x )在-22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1-2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-22a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，且h (-2)=3a+3<0，h (1)=0，h (2)=a+3≥0，经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3.⑤当2a <-32，即a<-3时，结合图形可知h (x )在-22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1-2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-22a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，h (-2)=3a+3<0，h (2)=a+3<0，h (1)=0，故此时h (x )在[-2，2]上的最大值为h (1)=0.综上所述，当a ≥0时，h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3；当-3≤a<0时，h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3；当a<-3时，h (x )在[-2，2]上的最大值为0.。

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题七计数原理与概率概率、随机变量及其分布列

第2讲概率、随机变量及其分布列【课前热身】第2讲概率、随机变量及其分布列(本讲对应学生用书第70~72页)1.(选修2-3 P45例1改编)已知随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X<4)=0.3，则n 的值为 . 【答案】10【解析】“X<4”的含义为X=1，2，3，所以P (X<4)=3n =0.3，所以n=10.2.(选修2-3 P67例2改编)现有一大批产品，其中不合格品占10%.若从这批产品中任取5件产品，记X 为这5件产品中的不合格品件数，则X 的概率分布列是 .(只需写出关系式)【答案】P (X=k )=5C k 0.1k (1-0.1)5-k ，k=0，1，2，3，4，5【解析】由题知，随机变量X~B (5，0.1)，则有P (X=k )=5C k0.1k (1-0.1)5-k ，k=0，1，2，3，4，5.3.(选修2-3 P67习题4改编)某单位有一台电话交换机，其中有8个分机.设每个分机在1 h 内平均占线10 min ，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X 的数学期望为 .【答案】43【解析】由题意知，随机变量X~B186⎛⎫⎪⎝⎭，，所以E(X)=np=8×16=43.4.(选修2-3 P71习题3改编)某人每次射击命中目标的概率为0.9，现连续射击4次，则击中目标的次数的方差为.【答案】0.36【解析】由题意知，随机变量X~B(4，0.9)，所以击中目标的次数的方差为V(X)=np(1-p)=4×0.9×(1-0.9)=0.36.5.(选修2-3 P51练习2改编)已知在50件商品中有15件一等品，其余为二等品.现从中随机选购2件，若X为所购2件中的一等品的件数，则P(X≤1)=.【答案】32 35【解析】由题知，随机变量X~H(2，15，50)，则P(X=r)=H(r；2，15，50)=2-1535250C CCr r，r=0，1，2，所以P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=021535250C CC+111535250C CC=1735+37=3235.【课堂导学】离散型随机变量及超几何分布例1(2014·苏北四市期末)某品牌汽车4S店经销A，B，C三种排量的汽车，其中A，B，C三种排量的汽车依次有5，4，3款不同车型.某单位计划购买该品牌3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能.(1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望.【分析】(1)古典概型，利用组合数公式即可.(2)先确定随机变量X的所有可能取值，然后求出各取值的概率，列出分布列.【解答】(1)设“该单位购买的3辆汽车均为B种排量的汽车”为事件M，则P(M)=34312CC=155，所以该单位购买的3辆汽车均为B 种排量的汽车的概率为155.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3.则P(X=1)=333543312C C CC++=344，P(X=3)=111543312C C CC=311，P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=29 44.所以随机变量X的概率分布列为：X 1 2 3P3442944311数学期望E(X)=1×344+2×2944+3×311=9744.【点评】求离散型随机变量分布列的步骤：(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i=1，2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X=x i)=p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.变式(2016·天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.【解答】(1)由已知，有P(A)=112343210C C CC+=13，所以事件A发生的概率为1 3.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=222334210C C CC++=415，P(X=1)=11113334210C C C CC+=715，P(X=2)=1134210C CC=415.所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P415715415随机变量X的数学期望E(X)=0×415+1×715+2×415=1.离散型随机变量及二项分布例2(2016·益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测.检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂.现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计产品甲、乙下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在(1)的前提下：①记X为生产1件产品甲和1件产品乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；②求生产5件产品乙所获得的利润不少于300元的概率.【解答】(1)甲为合格品的概率约为4560=34，乙为合格品的概率约为4060=23.(2)①随机变量X的所有可能取值为190，85，70，-35，而且P(X=190)=34×23=12，P(X=85)=34×13=14，P(X=70)=14×23=16，P(X=-35)=14×13=112.所以随机变量X的分布列为：所以E(X)=12×190+14×85+16×70+112×(-35)=125.②设生产的5件产品乙中正品有n件，则次品有(5-n)件，依题意，90n-15(5-n)≥300，解得n≥257，取n=4或n=5，设“生产5件产品乙所获得的利润不少于300元”为事件A，则P(A)=44521 C33⎛⎫⎪⎝⎭+523⎛⎫⎪⎝⎭=112243.变式(2016·海安中学)已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N*)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖.(1)当n=3时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X，求X的分布列；(2)记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P 最大?【解答】(1)当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率P=2532C⨯=35.所以随机变量X的可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=332C5⎛⎫⎪⎝⎭=8125；P(X=1)=13C·35·225⎛⎫⎪⎝⎭=36125；P(X=2)=23C·235⎛⎫⎪⎝⎭·25=54125；P(X=3)=33C·335⎛⎫⎪⎝⎭=27125.所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P8125361255412527125(2)设每次摸球中奖的概率为p，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P(X=2)=23C·p2·(1-p)=-3p3+3p2，0<p<1，P'=-9p2+6p=-3p(3p-2)，知在23⎛⎫⎪⎝⎭，上P为增函数，在213⎛⎫⎪⎝⎭，上P为减函数，当p=23时，P取得最大值.所以p=11222C CCnn+=23，即n2-3n+2=0，解得n=1或n=2.离散型随机变量的均值与方差例3甲、乙两名射手各射击了10发子弹，其中甲击中的环数与次数如下表：环数5 6 7 8 9 10次数1 1 1 12 4乙射击的概率分布列如下表：环数7 8 9 10次数0.2 0.3 P 0.1(1)若甲、乙各打一枪，求击中8环的概率及P的值；(2)分析甲、乙射击环数的数学期望与方差，比较甲、乙射击水平的优劣.【分析】利用古典概型求出概率，并利用数学期望和方差比较优劣.【解答】(1)甲射击一枪，击中8环的概率为0.1，乙射击一枪，击中8环的概率为0.3.P的值为1-0.2-0.3-0.1=0.4.(2)甲射击环数的数学期望为：E(X)=5×0.1+6×0.1+7×0.1+8×0.1+9×0.2+10×0.4=8.4.乙射击环数的数学期望为E(Y)=7×0.2+8×0.3+9×0.4+10×0.1=8.4.由于E(X)=E(Y)，故还得考虑它们的方差.甲射击环数的方差为：V(X)=(5-8.4)2×0.1+(6-8.4)2×0.1+(7-8.4)2×0.1+(8-8.4)2×0.1+(9-8.4)2×0.2+(10-8.4)2×0.4=3.04.乙射击环数的方差为：V(X)=(7-8.4)2×0.2+(8-8.4)2×0.3+(9-8.4)2×0.4+(10-8.4)2×0.1=0.84.所以甲、乙两人射击的平均水平相当，但乙比较稳定，故乙射击水平优于甲.【点评】要能正确地运用数学期望与方差的计算公式，同时理解离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简明描写.变式(2016·扬州中学)某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3153，和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 【解答】若按“项目一”投资，设获利ξ1万元，则ξ1的分布列为：ξ1 300 -150P 7929所以E(ξ1)=300×79+(-150)×29=200(万元).若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2的分布列为：ξ2 500 -0300P 3513115所以E(ξ2)=500×35+(-300)×13+0×115=200(万元).又D(ξ1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35 000，D(ξ2)=(500-200)2×35+(-300-200)2×13+(0-200)2×115=140 000，所以E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.【课堂评价】1.(2016·苏锡常镇二调)一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止.(1)求恰好摸4次停止的概率；(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列.【解答】(1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则P=23C×214⎛⎫⎪⎝⎭×34×14=9256.(2)由题意，知X=0，1，2，3，P(X=0)=4C×434⎛⎫⎪⎝⎭=81256，P(X=1)=14C×14⎛⎫⎪⎝⎭×334⎛⎫⎪⎝⎭=27 64，P(X=2)=24C×214⎛⎫⎪⎝⎭×234⎛⎫⎪⎝⎭=27128，P(X=3)=1-81256-2764-27128=13256.所以随机变量X的分布列为：2.(2016·南京二模)甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球.(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).【解答】(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为：P=13C·23·213⎛⎫⎪⎝⎭·312⎛⎫⎪⎝⎭+23C·223⎛⎫⎪⎝⎭·13⎛⎫⎪⎝⎭·13C·312⎛⎫⎪⎝⎭+33C·323⎛⎫⎪⎝⎭·23C·312⎛⎫⎪⎝⎭=1136.(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，所以ξ的概率分布列为：所以数学期望E(ξ)=0×724+1×1124+2×524+3×124=1.3.(2016·苏北四市摸底)已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动.(1)求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；(2)记X为选出的4名选手中女生的人数，求X的概率分布和数学期望.【解答】(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为12C·13C·23C+22C·11C·13C=21.(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=22232254C CC C=3106⨯=120，P(X=1)=1122112332132254C C C C C CC C+=2333106⨯⨯+⨯=720，P(X=3)=2113312254C C CC C=33106⨯⨯=320，P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=920.所以随机变量X的分布列为：所以E(X)=0×120+1×720+2×920+3×320=1710.4.(2016·南京三模)从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和.(1)求X是奇数的概率；(2)求X的概率分布列及数学期望.【解答】(1)记“X是奇数”为事件A，能组成的三位数的个数是48.X是奇数的个数为28，所以P(A)=2848=712.即X是奇数的概率为712.(2)X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9.当X=3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X=3)=448=112；当X=4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X=4)=448=112；当X=5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X=5)=848=1 6；当X=6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X=6)=10 48=5 24；当X=7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X=7)=10 48=5 24；当X=8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X=8)=648=18；当X=9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X=9)=648=18.所以随机变量X的概率分布列为：E(X)=3×112+4×112+5×16+6×524+7×524+8×18+9×18=254.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第35~36页.【检测与评估】第2讲概率、随机变量及其分布列一、解答题1.(2016·连云港四校模拟)有两盒卡片，一个盒子装有4张，分别标有数字1，1，2，3，另一个盒子也装有4张，分别标有数字2，2，3，4.现从两个盒子中各取1张卡片.(1)求取出的2张卡片上的数字为相邻整数的概率；(2)记ξ为所取2张卡片上的数字之和，求ξ的分布列和数学期望.2.(2016·苏州期末)一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向.已知该网民购买A种商品的概率为34，购买B种商品的概率为23，购买C种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.(1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望.3.(2016·南京学情调研)假定某射手射击一次命中目标的概率为23，现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X.(1)求X的概率分布；(2)求数学期望E(X).4.(2016·南京六校联考)袋中装有黑色棋子和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子，都是白色的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白色棋子即终止.每枚棋子在每一次被取出的机会都是等可能的，用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.(1)求随机变量X的概率分布列和数学期望E(X)；(2)求甲取到白色棋子的概率.5.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知甲箱中装有3个红球，3个黑球，乙箱中装有2个红球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同.某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；若摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；若摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.(1)求在1次摸奖后，获得二等奖的概率；(2)若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X).6.(2016·无锡期末)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12，a，a(0<a<1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1)求ξ的分布列及数学期望；(2)在概率P(ξ=i)(i=0，1，2，3)中，若P(ξ=1)的值最大，求实数a的取值范围.7.(2016·扬州期末)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球.若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元.活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.8.(2016·南通三调)甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N*)局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为P(n).(1)求P(2)与P(3)的值；(2)试比较P(n)与P(n+1)的大小，并证明你的结论.【检测与评估答案】第2讲概率、随机变量及其分布列一、解答题1.(1) 从两个盒子中各取1张卡片共有1144C C=16种取法，取出的两个数字恰为相邻整数的情况有8种，所以取出的两张卡片上的数字为相邻整数的概率为P=816=12.(2) 由题意可知ξ的可能取值为3，4，5，6，7.P(ξ=3)=1122C C16=14，P (ξ=4)=1122C C 16+=14， P (ξ=5)=1122C 1C 16++=516，P (ξ=6)=1116+=18， P (ξ=7)=116.所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E (ξ)=3×14+4×14+5×516+6×18+7×116=4.5.2. (1) 该网民恰好购买2种商品的概率为P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )=34×23×12+34×13×12+14×23×12=1124. 该网民恰好购买3种商品的概率为P (ABC )=34×23×12=14，所以该网民至少购买2种商品的概率P=1124+14=1724.(2) 随机变量η的可能取值为0，1，2，3，由(1)知P (η=2)=1124，P (η=3)=14，而P (η=0)=P (B A C )=14×13×12=124，所以P (η=1)=1-P (η=0)-P (η=2)-P (η=3)=14.所以随机变量η的概率分布列为所以随机变量η的数学期望E(η)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.3. (1) 耗用子弹数X的所有可能取值为1，2，3，4.当X=1时，表示射击一次，命中目标，则P(X=1)=2 3；当X=2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，则P(X=2)=21-3⎛⎫⎪⎝⎭×23=29；当X=3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，则P(X=3)=221-3⎛⎫⎪⎝⎭×23=227；当X=4时，表示射击四次，前三次均未击中，第四次击中或第四次均未击中，则P(X=4)=21-3⎛⎫⎪⎝⎭×21-3⎛⎫⎪⎝⎭×21-3⎛⎫⎪⎝⎭×23+21-3⎛⎫⎪⎝⎭×21-3⎛⎫⎪⎝⎭×21-3⎛⎫⎪⎝⎭×21-3⎛⎫⎪⎝⎭=127.所以X的概率分布为(2) E(X)=1×23+2×29+3×227+4×127=4027.4.设袋中白色棋子共有x个，x∈N*，则依题意知227CCx=17，即x2-x-6=0，解得x=3(x=-2舍去).(1) 袋中的7枚棋子中有3枚白色棋子，4枚黑色棋子，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5.P(X=1)=1317AA=37，P(X=2)=114327A AA=27，P(X=3)=214337A AA=635，P(X=4)=314347A AA=335，P(X=5)=414357A AA=135.故随机变量X的概率分布列为所以E(X)=1×37+2×27+3×635+4×335+5×135=2.(2) 记事件A为“甲取到白色棋子”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1：“甲第1次取棋子时取出白色棋子”；A2：“甲第3次取棋子时取出白色棋子”；A3：“甲第5次取棋子时取出白色棋子”.依题意知P(A1)=1317AA=37，P(A2)=214337A AA=635，P(A3)=414357A AA=135，所以甲取到白色棋子的概率为P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=37+635+135=2235.5. (1) 设“在1次摸奖后，获得二等奖”为事件A，则P(A)=2111123223322264C C C C C CC C+⋅=730.(2) 设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，则获得一等奖的概率为P1=22322264C CC C⋅=130；获得三等奖的概率为P3=22111132332222642C C C C C CC C+⋅=715；所以P(B)=130+730+715=1115.由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=2111-15⎛⎫⎪⎝⎭=16225，P(X=1)=12C·1115·111-15⎛⎫⎪⎝⎭=88225，P(X=2)=21115⎛⎫⎪⎝⎭=121225.所以X的分布列是所以E(X)=0×16225+1×88225+2×121225=2215.6. (1) 由题可知ξ的可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=12(1-a)(1-a)=12(1-a)2，P(ξ=1)=12(1-a)2+12a(1-a)+12(1-a)a=12(1-a2)，P(ξ=2)=12a(1-a)+12(1-a)a+12a2=12(2a-a2)，P(ξ=3)=2 2 a .所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为E(ξ)=0×12(1-a)2+1×12(1-a2)+2×12(2a-a2)+3×22a=412a+.(2) P(ξ=1)-P(ξ=0)=12[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，P(ξ=1)-P(ξ=2)=12[(1-a2)-(2a-a2)]=1-22a，P(ξ=1)-P(ξ=3)=12[(1-a2)-a2]=21-22a.由2(1-)01-221-2201a aaaa≥⎧⎪⎪≥⎪⎨⎪≥⎪⎪<<⎩，，，，得0<a≤12，即实数a的取值范围是12⎛⎤ ⎥⎝⎦，.7.(1) 设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元为事件M，则P(M)=13×34=14，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率为1 4.(2) 参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金ξ可取0，m，m+n，则P(ξ=0)=34，P(ξ=m)=14×23=16，P(ξ=m+n)=14×13=112，E(ξ)=0×34+m×16+(m+n)×112=4m+12n.②先在乙箱中摸球，参与者获奖金η可取0，n，m+n，则P(η=0)=23，P(η=n)=13×34=14，P(η=m+n)=13×14=112，E(η)=0×23+n×14+(m+n)×112=12m+3n.E(ξ)-E(η)=2-3 12m n.当mn>32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当mn=32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当mn<32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大.答：当mn>32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当mn=32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当mn<32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大.8. (1) 若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以P(2)=4341C2⎛⎫⎪⎝⎭+4441C2⎛⎫⎪⎝⎭=516，同理P(3)=6461C2⎛⎫⎪⎝⎭+6561C2⎛⎫⎪⎝⎭+6661C2⎛⎫⎪⎝⎭=1132.(2) 在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n+1，故P(n)=2121C2nnn+⎛⎫⎪⎝⎭+2221C2nnn+⎛⎫⎪⎝⎭+…+2221C2nnn⎛⎫⎪⎝⎭=(12C nn++22C nn++…+22C nn)·212n⎛⎫⎪⎝⎭=12(2Cn+12Cn+…+22C nn-2C nn)·212n⎛⎫⎪⎝⎭=12(22n-2C nn)·212n⎛⎫⎪⎝⎭=22C11-22nnn⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以P(n+1)=12222C11-22nnn+++⎛⎫ ⎪⎝⎭.又因为2212222C2C2nnnnnn+++=21224CCnnnn++=24(1)(22)(21)nn n+++=2(1)21nn++>1，所以22C2nnn>12222C2nnn+++，所以P(n)<P(n+1).。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第1讲平行与垂直【课前热身】第1讲平行与垂直(本讲对应学生用书第11~14页)1.(必修2 P41练习1改编)给出下列四个命题：①平行于同一条直线的两个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面垂直；③平行于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面垂直.其中正确的命题是.(填序号)【答案】③【解析】①中两个平面可以相交；②中两个平面平行；④中两个平面的位置关系不确定.2.(必修2 P37练习3改编)若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线条数为.【答案】无数条【解析】因为直线a与平面α不垂直，则直线a在平面α内的射影必为一条直线，与射影垂直的直线必定会与直线a垂直，故有无数条.3.(必修2 P41-42练习13改编)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.(第3题(1))【解答】如图(2)，取PD的中点Q，连接NQ，QA，则在△PDC中，QN∥DC，(第3题(2))且QN=12DC.又因为底面ABCD是矩形，故AB DC.因为AM=12AB，所以QN∥AM，且QN=AM，则四边形AMNQ为平行四边形，即有MN∥QA.又QA⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.4.(必修2 P50练习9改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面BDD1B1有何位置关系?对你给出的结论加以证明.(第4题)【解答】平面AB1C与平面BDD1B1垂直，证明如下：在正方体A1B1C1D1-ABCD中，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.在正方形ABCD内，AC⊥BD.又因为BB1∩BD=B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1.又因为AC⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面BDD1B1.【课堂导学】线面基本关系的判定例1(2016·南京三模)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是.(填序号)【答案】①④【解析】①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因为m⊂β，所以l⊥m；②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m或异面或平行或相交；③由l⊥α，m∥α，得l⊥m，因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l 是否垂直于β；④由l⊥α，l⊥β，得α∥β，因为m⊂β，所以m∥α.变式(2016·镇江期末)设b，c表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是.(填序号)【答案】④【解析】①b和c可能异面，故①错；②可能c⊂α，故②错；③可能c∥β，c⊂β，c与β斜交，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确.平行与垂直的证明例2(2016·南京学情调研)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点.(1)求证：PC∥平面BDE；(2)若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB.(例2(1))【解答】(1)如图(2)，连接AC交BD于点O，连接OE.(例2(2))因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC.因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC.因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE.(2)因为E为PA的中点，PD=AD，所以PA⊥DE.因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE.因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE.因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB.变式(2016·苏北四市摸底)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AC与BD交于点O，且平面PAC⊥平面ABCD，E为棱PA上一点.(1)求证：BD⊥OE；(2)若AB=2CD，AE=2EP，求证：EO∥平面PBC.(变式)【解答】(1)因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.又因为OE⊂平面PAC，所以BD⊥OE.(2)因为AB∥CD，AB=2CD，AC与BD交于点O，所以CO∶OA=CD∶AB=1∶2.又因为AE=2EP，所以CO∶OA=PE∶EA，所以EO∥PC.又因为PC⊂平面PBC，EO⊄平面PBC，所以EO∥平面PBC.例3(2016·江苏信息卷)如图(1)，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，∠BDC=45°，点M在线段EC上.(1)若EM=2CM，求证：AE∥平面BDM；(2)求证：平面BDM⊥平面ADEF.(例3(1))【点拨】可通过计算利用勾股定理的逆定理来判断垂直.【分析】(1)要证明线面平行，即要通过线线平行来证明，所以本题的关键是在平面BDM中找一条线和AE平行；(2)要证明面面垂直，可通过线面垂直的性质来证明，即要寻找垂直于平面的直线，可通过BD⊥平面ADEF来证明.【解答】(1)如图(2)，连接AC交BD于点O，连接MO.(例3(2))因为AB∥CD，AB=2CD，所以AO=2CO.因为EM=2CM，所以AE∥MO.又因为AE⊄平面BDM，MO⊂平面BDM，所以AE∥平面BDM.(2)设DC=1，由题意知DC⊥BC，BC=1，2.在梯形ABCD中，AB∥CD，所以∠ABD=∠BDC=45°，因为AB=2DC=2，所以在△ABD中，由余弦定理知22-2cosAB BD AB BD ABD∠+⋅2，因为AB=2，所以AD2+BD2=AB2，所以∠ADB=90°，所以AD⊥BD.因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADEF.因为BD⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ADEF.变式(2016·启东中学)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC，M为BC的中点，N为AC上一点，且MN∥平面PAB.(1)求证：直线AB∥平面PMN；(2)若BC=2AC，∠ABC=30°，求证：平面ABC⊥平面PMN.(变式)【解答】(1)因为MN∥平面PAB，MN⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，所以MN∥AB.因为MN⊂平面PMN，AB⊄平面PMN，所以AB∥平面PMN.(2)因为BC=2AC，∠ABC=30°，3AC，由余弦定理可得所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC.由(1)知MN∥AB，所以MN⊥AC.因为PA=PC，AN=CN，所以PN⊥AC.又MN，PN⊂平面PMN，MN∩PN=N，所以AC⊥平面PMN.因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PMN.线面位置关系的拓展例4 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，G 为线段PC 上的点.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若PC ⊥平面BGD ，求PGGC 的值.(例4)【分析】(1)中易证BD ⊥PA ，要借助AB=BC 与∠ABC=120°说明BD ⊥AC ，即位置关系的判定要借助数量关系的运算.(2)要求PGGC 的值，即先分别求得PG ，GC的值，这要借助勾股关系与方程思想.【解答】(1)由已知得△ABC 是等腰三角形，且底角等于30°.由AB=BC ，AD=CD ，BD=DB ，得△ABD ≌△CBD ，所以∠ABD=∠CBD=60°，且∠BAC=30°，所以BD ⊥AC.又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA. 又PA ∩AC=A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC.(2)由已知得22PA AC +312+15因为PC ⊥平面BGD ，GD ⊂平面BGD ，所以PC ⊥GD.在△PDC中，PD=37+=10，CD=7，PC=15，设PG=x，则CG=15-x，所以PD2-PG2=CD2-CG2，即10-x2=7-(15-x)2，所以PG=x=3155，CG=2155，所以PGGC=32.【点评】除常规的线面位置关系的判定与证明外，借助数量的运算关系来确定位置关系的题目也要适当的了解和关注.数量运算主要还是体现在垂直上，即有勾股关系的适当介入.变式(2015·广东卷)如图，△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，且PD=PC=4，AB=6，BC=3.(1)求证：BC∥平面PDA；(2)求证：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离.(变式)【解答】(1)因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.(3)取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD.在Rt△PED中，PE=22-PD DE=224-3=7.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.由(2)知，BC⊥平面PDC，由(1)知，BC∥AD，所以AD⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h，因为CPDAV三棱锥=PACDV三棱锥，所以13S△PDA·h=13S△ACD·PE，即h=·ACDPDAS PESVV=136721342⨯⨯⨯⨯⨯=372，所以点C到平面PDA的距离是37.【课堂评价】1.若α，β是两个相交平面，直线m⊂α，则在平面β内，与直线m垂直的直线.(填写“存在”或“不存在”)【答案】存在【解析】若m与两个平面的交线平行或m为交线，显然存在；若m与交线相交，设交点为A，在直线m上任取一点B(异于点A)，过点B向平面β引垂线，垂足为C，则直线BC⊥平面β，在平面β内作直线l垂直于AC，可以证明l⊥平面ABC，则l⊥m.2.(2016·全国卷Ⅱ)已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不同的直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题是.(填序号)【答案】②③④【解析】对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故①错误；对于②，因为n∥α，所以可过直线n作平面γ与平面α相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知其正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④.3.(2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC=BC，求证：PA⊥平面MNC.(第3题)【解答】(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.因为AC=BC，AM=BM，所以CM⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，所以CM⊥平面PAB.因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.因为PA⊥MN，MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，所以PA⊥平面MNC.4.(2016·镇江期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点.(1)求证：AM∥平面PBC；(2)求证：CD⊥AP.(第4题)【解答】(1)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点，所以AB∥CM，且AB=CM，所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形.所以AM∥BC.又因为BC⊂平面PBC，AM⊄平面PBC，所以AM∥平面PBC.(2)连接PM，因为PD=PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM.又因为四边形ABCM是矩形，所以CD⊥AM.因为CD⊥AM，CD⊥PM，PM⊂平面PAM，AM⊂平面PAM，PM∩MA=M，所以CD⊥平面PAM.因为AP⊂平面PAM，所以CD⊥AP.5.(2017·南京期初)如图(1)，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点.(1)求证：MN∥平面BB1C1C；(2)若D在边BC上，且AD⊥DC1，求证：MN⊥AD.(第5题(1))【解答】(1)如图(2)，连接A1C.(第5题(2))在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形.又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点.因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，所以AD⊥平面BB1C1C.又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC.又由(1)知，MN∥BC，所以MN⊥AD.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第5~6页.【检测与评估】专题二立体几何第1讲平行与垂直一、填空题1.(2016·盐城中学)下列对直线与平面平行的判定与性质的理解正确的是.(填序号)①若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.②若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的无数条直线.③若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.④若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条.2.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是.(填序号)①m∥β且l1∥α；②m∥l1且n∥l2；③m∥β且n∥β；④m∥β且n∥l2.3.(2016·启东中学)若PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则一定互相垂直的平面是.(填序号)①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.4.(2016·海安中学)若P为△ABC所在平面外一点，AC=2a，△PAB，△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于.(第5题)6.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是.(填序号)①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.(第6题)二、解答题7.(2016·淮安5月信息卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D为AB的中点.(1)若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：点E为AC的中点；(2)若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC.(第7题)8.(2016·泰州期末)如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，点D，F分别为BC，AB的中点.(1)求证：直线DF∥平面PAC；(2)求证：PF⊥AD.(第8题)9.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点.(1)求证：PC∥平面BMN；(2)求证：平面BMN⊥平面PAC.(第9题)10.(2016·苏锡常镇调研(二))如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AA1=2AB，D是AB的中点.(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若点P在线段BB1上，且BP=14BB1，求证：AP⊥平面A1CD.(第10题)【检测与评估答案】专题二立体几何第1讲平行与垂直一、填空题1.②【解析】①中没有说明直线在平面外，故错误；②正确；③中的直线必须在平面外才成立；④中过点P且平行于a的直线有且只有一条.2.②【解析】因为m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，所以α∥β；而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面.3.①②【解析】因为BC⊥平面PAB，所以平面PBC⊥平面PAB，所以①正确，同理AD⊥平面PAB，所以平面PAD⊥平面PAB，所以②正确.4.垂直【解析】如图所示，因为PA=PB=PC=AB=BC=a，取AC的中点D，连接PD，BD，则PD⊥AC，BD⊥AC.又AC=2a，所以PD=BD=22 a.在△PBD中，PB2=BD2+PD2，所以∠PDB=90°，所以PD⊥BD，所以PD⊥平面ABC.又PD 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(第4题)5.2【解析】由EF∥平面AB1C可得EF∥AC，点E为AD的中点，则F为DC的中点，所以EF=12AC.而在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，所以EF=12AC=12×2=2.6.④【解析】因为AD与AB不垂直，所以①不成立；又平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；因为BC∥AD，所以BC∥平面PAD，所以直线BC∥平面PAE也不成立；在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，所以∠PDA=45°，④正确.二、解答题7. (1) 平面PDE交AC于点E，即平面PDE∩平面ABC=DE，而BC∥平面PDE，BC⊂平面ABC，所以BC∥DE.在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点.(第7题)(2) 因为PA=PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD.因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，如图，在锐角三角形PCD所在平面内作PO⊥CD于点O，则PO⊥平面ABC. 因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.又PO∩PD=P，PO，PD⊂平面PCD，则AB⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC.8. (1) 因为点D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC.又因为DF⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以直线DF∥平面PAC.(2) 因为∠PAC=∠BAC=90°，所以AC⊥AB，AC⊥AP.又因为AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.因为PF⊂平面PAB，所以AC⊥PF.因为PA=PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB.又AC∩AB=A，AC，AB⊂平面ABC，所以PF⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以AD⊥PF.9. (1) 如图，连接AN，设AC与BN交于点O，连接MO.(第9题)因为AB=12CD，AB∥CD，N为CD的中点，所以AB=CN，AB∥CN，所以四边形ABCN为平行四边形，所以O为AC的中点.又M为PA的中点，所以MO∥PC.又因为MO⊂平面BMN，PC⊄平面BMN，所以PC∥平面BMN.(2) 方法一：因为PC⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以PC⊥AD.由(1)同理可得，四边形ABND为平行四边形，所以AD∥BN，所以BN⊥PC.因为BC=AB，所以平行四边形ABCN为菱形，所以BN⊥AC.因为PC∩AC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BN⊥平面PAC.因为BN⊂平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC.方法二：如图，连接PN.因为PC⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，所以PC⊥PA. 因为PC∥MO，所以PA⊥MO.因为PC⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，所以PC⊥PD.因为N为CD的中点，所以PN=12CD，由(1)得AN=BC=12CD，所以AN=PN.因为M为PA的中点，所以PA⊥MN.因为MN∩MO=M，MN⊂平面BMN，MO⊂平面BMN，所以PA⊥平面BMN.因为PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN.10. (1) 如图，连接AC1交A1C于点O，连接OD.(第10题)因为四边形AA1C1C是矩形，所以O是AC1的中点.在△ABC1中，O，D分别是AC1，AB的中点，所以OD∥BC1.又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2) 因为CA=CB，D是AB的中点，所以CD⊥AB.因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1B1B，底面ABC∩侧面AA1B1B=AB，CD⊂平面ABC，所以CD⊥平面AA1B1B.因为AP⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AP.因为BB1=AA12AB，BP=14BB1，所以BPAB=2=1ADAA，所以Rt△ABP∽Rt△A1AD，从而∠AA1D=∠BAP，所以∠AA1D+∠A1AP=∠BAP+∠A1AP=90°，所以AP⊥A1D.又因为CD∩A1D=D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以AP⊥平面A1CD.。

2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第一部分 二轮课时专题专题二 立体几何 第1讲

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题一三角函数和平面向量平面向量、解三角形

2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第三部分 考前一个月第一篇 微专题训练——

2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第二部分 抢分周计划 第1周 Word版含答案

《课堂新坐标》2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题7第26讲选修4-5不等

【南方凤凰台】2017届高考数学（文）二轮复习提优导学案（江苏专用）：第..

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题一三角函数和平面向量开篇高考回眸

2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第二部分 抢分周计划 第3周 Word版含答案

2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)第二部分 抢分周计划 第7周 Word版含答案