苏教版五年级数学下册奥数培优 第4讲 因数与倍数(数的整除)

第4讲简易方程（列方程解决问题）

知识概述

整除是指整数a除以整数b(0除外)除得的商正好是整数而余数是零，我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。它与除尽既有区別又有联系。除尽是指数a除以数b(b≠0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a 能被b除尽(或说b能除尽a)。因此整除与除尽的区別是:整除是指被除数、除数以及商都是整数，而余数是零;除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。

整除的一些性质为：

(1)如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除。

(2)如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。

(3)如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除。反过来也成立。有关数的整除特征：

(1)能被2整除的数的特征是:个位数字为0，2，4，6，8的整数。

(2)能被5整除的数的特征是:个位数字为0，5的整数

(3)能被2，5整除的数的特征是:个位数字为0的整数。

(4)能被3(或9)整除的数的特征是:各个数位上的数字之和是3(或9)的倍数的整数。

(5)能被2，3，5整除的数的特征是:个位数字为0，且各个数位上的数字之和是3的倍数的整数。

(6)能被4，25整除的数的特征是:末两位能被4，25整除的整数。如2168，因为68能被4整除(或者说68是4的倍数)，我们就说2168能被4整除，但不能被25整除。而如2175就能被25整除，但不能被4整除。而2100既能被25整除，也能被4整除。

(7)能被8，125整除的数的特征是:末三位能被8，125整除的整数。如23625，因为625是125的倍数，不是8的倍数，所以23625能被125整除，而不能被8整除。

(8)能被11整除的数的特征是:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。

例1、在□内填上适当的数字，使:

(1)34□□能同时被2，3，4，5整除;

(2)7□36□能被24整除

练习1、

1、五位数8□41□中的□内填什么数字，才能被3整除且含有约数5，写出这些数。

2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可

能小。

3、既能被2整除，又是3的倍数，还有约数5的最小两位数是多少?最大的两位数是多少? 例2、四位数7□2□能同时被2，3，5整除，这样的四位数有几个?分别是多少

练习2、

1、个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个?

2、求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。

3、四位数6a3b能被2，3，5整除，这样的四位数有几个?分别是多少

例3、有一个两位数不能彼3，6，9整除，加上8后就能够彼3，6，9整除了，请问这个两位数最大是多少?

练习3、

1、已知一个五位数是154ab，能被72整除，求a与b的积。

2、有一个四位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了，知道这个数十位上的数字是1，个位上的数字是2。又知道这个数如果减去7能被7整除，减去8能被8整除，减去9能被9整除。求这个四位数。

3、用1，2，3…8，9这九个数字组成数字不重复的三位数。第二个数是第一个数的两倍;第三个数是第一个数的三倍。在所有这些三位数中，最大的一个三位数与最小的一个三位数之差是多少?

例4、商店里有6只不同的货箱，分别装有货物15，16，18，19，20，31千克。两个顾客买走其中5箱货物，而一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，商店里剩下的那箱货物重量是多少千克?

练习4、

1、把一张纸剪成6块，从所得的纸片中取出若干块，每块各剪成6块;再从所有的纸片中取出若干块，每块各剪成6块……如此进行下去，到剪完某次停止。所得的纸片总数有可能是2000、2001，2002，2003这四个数中的（）。

2、一位后動人员买了72台微波炉，可是由于他吸烟不小心，火星落在账本上，把这笔账的总数烧去两个数字。账本是这样的:72台微波炉共□679□元（□为被烧掉的数字，微波炉单价

为整数），请把□处数字填补上，并求出微波炉的单价

3、希希买了9支铅笔，2支圆珠笔，3本练习本和5块橡皮，她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意，售货员要她付3元8角，希希马上说:“阿姨你算错了。”请问售货员的账算错了没有?为什么?

课后练习

一、填空。

1.用2，7，0三个数字可组成不同的三位数，其中：

(1)是2的倍数的有( )

(2)有约数5的有( )

(3)能被3整除的有（）

2.用1，5，6可以排成( )个不同的三位数，这三位数中；

(1)含有质因数3的三位数（）

(2)含有质因数5的三位数有( )

(3)既含有质因数2，又含有质因数3的三位数有( )

3.用7，2，3，6四个数字组成的各位数字互不相同的四位数中，既能被8整除，又有约数9的最小数是( )

4.既能被3整除，又是5的倍数的两位数中，最大的奇数是( )。

5. 在□里填上合适的数学，使七位数□1994□□能同时被9，8，25整除。

二、解决问题。

1.把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小？

2.从0，1，2，4，7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有多少个?

3.有0，1，4，7，9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数(例如1409)，把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是多少？