《数学分析》第十七章多元函数微分学

06 曲线积分与曲面积分在多 元函数中的应用
曲线积分计算及其在电磁学中的应用
曲线积分的定义与计算方法
包括第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念、性质及计算 方法。
曲线积分在电磁学中的应用
通过曲线积分可以计算电场强度、磁场强度等物理量，进而 研究电磁场的分布和变化规律。
曲面积分计算及其在流体力学中的应用
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，且$lim_{(x,y) to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称 函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 不连续，则称$P_0(x_0,y_0)$为函数 $f(x,y)$的间断点。
全微分概念与计算
全微分的定义
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，表示函数在某一点附 近的变化量可以近似地用一个线性函数来表示。
全微分的计算
全微分可以通过偏导数来计算，具体为将函数的增量表示为各自变 量增量的线性组合，系数即为偏导数。
全微分的几何意义
全微分表示函数在某一点附近的变化量，可以用来近似计算函数值 的增量。
多元反函数微分法
多元反函数存在定理
若函数$f: D subseteq mathbb{R}^n to mathbb{R}^n$在点$x_0$处可逆，即存在反函数$f^{-1}$，则$f^{1}$在点$f(x_0)$处也可微。
多元反函数微分法
设$y = f(x)$在点$x_0$处可微，且$f'(x_0)$可逆，则反函数$x = f^{-1}(y)$在点$y_0 = f(x_0)$处也可微，且其 导数为$[f^{-1}]'(y_0) = [f'(x_0)]^{-1}$。
梯度及方向导数
梯度的定义
梯度是一个向量，表示函数在某一点处 的最大变化率及变化最快的方向。
方向导数的定义
方向导数表示函数在某一点处沿某一 方向的变化率。
梯度的计算
梯度可以通过偏导数来计算，具体为 将各偏导数组成的向量作为梯度向量。
方向导数的计算
方向导数可以通过梯度来计算，具体 为将方向向量与梯度向量进行点积运 算，得到方向导数的值。则及其应用
链式法则
若函数$u = varphi(x,y), x = f(t), y = g(t)$都 可导，则复合函数$u = varphi[f(t), g(t)]$也可 导，且其导数为$frac{du}{dt} = frac{partial u}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial u}{partial y} cdot frac{dy}{dt}$。
高斯公式
给出了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间 的关系，是联系空间闭区域内三 重积分与其边界上的曲面积分的 重要公式。
斯托克斯公式
给出了空间曲面上的曲面积分与 其边界曲线上的曲线积分之间的 关系，是联系空间曲面上的曲面 积分与其边界上的曲线积分的重 要公式。这些公式在电磁学、流 体力学等领域有着广泛的应用。
条件极值与拉格朗日乘数法
条件极值问题
01
阐述条件极值问题的基本概念和求解思路。
拉格朗日乘数法
02 详细介绍拉格朗日乘数法的原理、构造拉格朗日函数
的方法以及求解条件极值的步骤，并给出典型例题。
拉格朗日乘数法的推广
03
介绍拉格朗日乘数法在求解多个约束条件下的极值问
题时的推广形式。
最小二乘法与非线性规划简介
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05 偏微分方程初步
一阶偏微分方程求解方法
01
变量分离法
特征线法
02
03
积分因子法
通过代数变换将偏微分方程转化 为可分离变量的形式，进而求解。
利用特征线将偏微分方程转化为 常微分方程，再求解常微分方程 得到原方程的解。
引入适当的积分因子，使偏微分 方程化为可积分的全微分方程， 从而求解。
二阶偏微分方程简介
02 偏导数与全微分
偏导数概念与计算
1 2
偏导数的定义
对于多元函数，偏导数表示函数对某一自变量的 偏导数，即将其他自变量视为常数，对该自变量 求导。
偏导数的计算
根据偏导数的定义，可以采用一元函数的求导法 则来计算偏导数，如链式法则、乘法法则等。
3
偏导数的几何意义
偏导数表示函数在某一点处沿某一坐标轴方向的 变化率，与函数图像在该点处的切线斜率有关。
《数学分析》第十七章多元函数微 分学
目 录
• 多元函数基本概念 • 偏导数与全微分 • 多元复合函数微分法 • 多元函数极值与最值问题 • 偏微分方程初步 • 曲线积分与曲面积分在多元函数中的应用
01 多元函数基本概念
多元函数定义及性质
01 02
多元函数定义
设$D$是一个非空的数集，对于每一个$(x, y) in D$，按照某一确定的 对应法则$f$，都有唯一确定的实数$z$与之对应，则称$f$为定义在 $D$上的二元函数，记为$z = f(x, y)$。
要工具。
A 热传导方程
描述物体内部热量传递过程的偏微 分方程，广泛应用于热力学、材料
科学等领域。
B
C
D
流体力学方程
描述流体运动规律的偏微分方程，如 Navier-Stokes方程等，在航空航天、水 利工程等领域有广泛应用。
势能方程
在电场、重力场等势场中描述势能与位置 关系的偏微分方程，对于理解和计算势场 分布具有重要意义。
多元函数极限与连续性
多元函数极限
多元函数连续性
多元函数间断点
设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为 $D$，$P_0(x_0,y_0)$是$D$的聚点。 如果存在常数$A$，对于任意给定的正 数$epsilon$，总存在正数$delta$， 使得当点$P(x,y)in Dcap U^0(P_0,delta)$时，都有$|f(P)A|=|f(x,y)-A|<epsilon$成立，那么就 称常数$A$为函数$f(x,y)$当 $(x,y)to(x_0,y_0)$时的极限。
椭圆型方程
具有特定形式的二阶偏微分方程，其解具有良好的性 质，如存在性、唯一性和稳定性等。
双曲型方程
另一类重要的二阶偏微分方程，其解具有波动性质， 常用于描述物理现象中的波动过程。
抛物型方程
描述扩散现象的二阶偏微分方程，其解具有随时间逐 渐平滑的特性。
偏微分方程在物理和工程中的应用
波动方程
描述波动现象（如声波、电磁波等）的偏 微分方程，是物理学、工程学等领域的重
多元函数性质
多元函数具有一些与一元函数类似的性质，如奇偶性、周期性、有界性 等。此外，多元函数还有一些独特的性质，如方向导数、偏导数等。
03
多元函数表示方法
多元函数可以用表格法、图形法和解析法三种方法来表示。其中，解析
法是最常用的一种方法，通过数学公式来描述函数与自变量之间的关系。
平面点集与区域
平面点集
最小二乘法
介绍最小二乘法的基本原理、目标函数的构造以及求解线性最小二乘问题的常用方法，如正规方程组法、 QR分解法等，并给出实际应用例子。
非线性规划基本概念
阐述非线性规划的基本概念、分类以及求解思路。
非线性规划求解方法
介绍求解非线性规划的常用方法，如梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等，并给出具体算例和应用场景。同时， 简要介绍一些智能优化算法在非线性规划中的应用。
链式法则的应用
利用链式法则可以求解多元复合函数 的偏导数，进而研究函数的性质，如 单调性、极值等。
隐函数求导法则
隐函数存在定理
在一定条件下，由方程$F(x,y) = 0$可以唯一确定一个隐函数$y = f(x)$。
隐函数求导法则
若方程$F(x,y) = 0$能唯一确定隐函数$y = f(x)$，且$F(x,y)$在点$(x,y)$处可导，则有$frac{dy}{dx} = frac{F_x'(x,y)}{F_y'(x,y)}$。
平面点集是指平面上的一些点的 集合。在多元函数微分学中，我 们经常需要研究函数在某些特定 点集上的性质。
区域
区域是平面点集的一个重要概念， 它是指平面上的一个连通的开集。 在多元函数微分学中，我们主要 研究的对象是定义在区域上的多 元函数。
边界与闭区域
区域的边界是指包含在区域的闭 包中但不属于区域本身的点集。 由区域及其边界所组成的点集称 为闭区域。
曲面积分的定义与计算方 法
包括第一类曲面积分和第二类曲面积分的概 念、性质及计算方法。
曲面积分在流体力学中的 应用
通过曲面积分可以计算流量、流速等物理量 ，进而研究流体的运动状态和变化规律。
格林公式、高斯公式和斯托克斯公式简介
格林公式
给出了平面区域上二重积分与其 边界曲线上的曲线积分之间的关 系，是联系平面区域内二重积分 与其边界上的曲线积分的重要公 式。
04 多元函数极值与最值问题
无条件极值问题
极值存在的必要条件
介绍多元函数极值存在的一阶和二阶必要条 件，包括梯度为零和Hessian矩阵的正定性 等。
极值存在的充分条件
阐述多元函数极值存在的充分条件，如二阶偏导数 判别法等。
极值求解方法
介绍求解多元函数极值的常用方法，如梯度 下降法、牛顿法等，并给出具体算例。