【K12教育学习资料】通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测十六理

课时跟踪检测（十六）
A 组——12＋4提速练
一、选择题
1．(2017·沈阳质检)已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2
＋(y －1)2
＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )
A ．0 B. 3 C.
3
3
或0 D.3或0
解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |
1＋k
2
＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.
2．(2017·陕西质检)圆：x 2＋y 2
－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )
A ．1＋ 2
B ．2
C ．1＋
2
2
D ．2＋2 2
解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|
2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值
为d ＋1＝2＋1.
3．(2017·洛阳统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2
＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2
＋|OB |2
等价于圆心O 到直线l 的距离等于
22，即有1k 2＋1＝2
2
，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件． 4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．6个
解析：选C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－1
4
；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相
交于同一点，则m ＝1或－5
3
.故实数m 的取值最多有4个，故选C.
5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )
A ．x 2
＋y 2
－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2
＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0
D ．x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0
解析：选C 由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，由x ＋1＝0且x ＋y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5，即x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0.
6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2
＋y 2
－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )
A ．(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝2 B ．(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝2 C ．(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝2 D ．(x －2)2
＋(y －2)2
＝2
解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2
＋(y －6)2
＝(32)2
，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－322＝2，圆心
坐标为(2,2)，所以标准方程为(x －2)2
＋(y －2)2＝2.
7．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )
A ．x 2
＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫y ±332＝43
B ．x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±
332＋y 2
＝43 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ±
332＋y 2
＝13
解析：选C 设圆的方程为(x ±a )2
＋y 2
＝r 2
(a >0)，圆C 与y 轴交于
A (0,1)，
B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝1
2∠ACB ＝12
×120°
＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |＝3，所以a ＝|OC |＝3
3，即圆心坐
标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±
33，0，r 2＝|AC |2＝12
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±332＝43.所以圆的方程为⎝
⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43，故选C.
8．(2017·合肥质检)设圆x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析：选B 由题可知，圆心C(1,1)，半径r＝2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y
＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|
k2＋1
＝1，解得k＝－
3
4
，
所以直线l的方程为y＝－3
4
x＋3，即3x＋4y－12＝0.
综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B.
9．(2018届高三·湖北七市(州)联考)关于曲线C：x2＋y4＝1，给出下列四个命题：
①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；
②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；
③曲线C的长度l满足l>42；
④曲线C所围成图形的面积S满足π<S<4.
上述命题中，真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选A ①将(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)代入，方程不变，则可以确定曲线关于x轴，y轴对称，关于原点对称，故①是真命题．
②由x2＋y4＝1得0≤x2≤1,0≤y4≤1，故x2＋y2≥x2＋y2·y2＝x2＋y4＝1，即曲线C上的点到原点的距离为x2＋y2≥1，故②是真命题．
③由②知，x2＋y4＝1的图象位于单位圆x2＋y2＝1和边长为2的正
方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l>42，故③是真
命题．
④由③知，π×12<S<2×2，即π<S<4，故④是真命题．综上，真
命题的个数为4.
10．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4 2
C．6 D．210
解析：选C 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，解得a＝－1，∴A(－4，－1)，|AC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36，即|AB|＝6.
11．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2
＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )
A ．3 2
B ．－3 2
C ．6
D ．－6
解析：选B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )
2
＋y 2
＝4，圆C 2：x 2
＋(y －b )2
＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝a 2
＋b 2
＝2＋1＝3，即a 2
＋b 2
＝9.
由⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2
2，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.
12．若圆(x －3)2
＋(y ＋5)2
＝r 2
上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )
A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(4,5)
D ．(4,5]
解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝
1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.
二、填空题
13．(2017·河北调研)若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2
＋(y －2)2
＝8分成长度相等的四段弧，则a 2
＋b 2
＝________.
解析：由题意得直线l 1和l 2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2
＝2，得a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(1－22)2＝18.
答案：18
14．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为45
5
，则圆C 的方程为____________．
解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －
y ＝0的距离d ＝
2a
5
＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22
＋
5
2
＝3，所以
圆C 的方程为(x －2)2
＋y 2
＝9.
答案：(x －2)2
＋y 2
＝9
15．设直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2
＋y 2
－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程为
____________．
解析：因为直线l 恒过定点(0,1)，由x 2
＋y 2
－2x －3＝0变形为(x －1)2
＋y 2
＝4，易知点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2
＝4的内部，依题意，k ·1－00－1
＝－1，即k ＝1，所以直线l 的方程为
y ＝x ＋1.
答案：y ＝x ＋1
16．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2
＋y 2
＋kx ＝0上不同的两点，
P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大
值是________．
解析：由题意知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫
－k
2，0在直线x －y －1＝0上，所以－k
2－1＝0，解得k ＝－2，
得圆心的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线
AB 的最大距离为
32
2
，所以P 到直线AB 的最大距离，即△PAB 的AB 边上的高的最大值为1＋322，又|AB |＝22，所以△PAB 面积的最大值为12×22×⎝
⎛⎭⎪⎫1＋322＝3＋ 2.
答案：3＋ 2
B 组——能力小题保分练
1．(2017·石家庄模拟)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2
＋y 2
＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2
取得最大值时a 的值为( )
A.12
B.32
C.34
D.34
解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2
＋b
2
，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d
2
＝24－
44a 2
＋b 2＝2
3，所以4a 2＋b 2＝4.则t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2
≤122
×1
2
×[]2a
2
＋1＋2b
22
＝
142
·[8a 2＋1＋2(4－4a 2
)]＝
942
，当且仅当
⎩
⎪⎨⎪⎧
8a 2
＝1＋2b 2
，4a 2
＋b 2
＝4时等号成立，此时a ＝3
4
，故选D.
2．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2
＋y 2
＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33
|AB ―→
|，那么k 的取值范围是( )
A ．(3，＋∞)
B ．[2，＋∞)
C ．[2，22)
D ．[3，22)
解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→
|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形AOB 的三个顶点，
其中OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，即|k |
2＝
1，解得k ＝2；当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|，又直线与圆x 2＋y 2
＝4有两个不同的
交点，故|k |
2
<2，即k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．
3．(2018届高三·湖北七市(州)联考)已知圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝r 2
(r >0)．设条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选 C 圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝r 2
的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12
＋
3
2
＝2.
当2－r >1，即0<r <1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当2－r ＝1，即r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当0<2－r <1，即1<r <2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2－r ＝0，即r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当0<r －2<1，即2<r <3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r －2＝1，即r ＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1； 当r －2>1，即r >3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1. 综上，当0<r <3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0<r <3.故p 是q 的充要条件，故选C.
4．(2018届高三·广东五校联考)已知圆C ：x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －
by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，14
B.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，18
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14
D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，18 解析：选B 把圆的方程化为标准方程得，(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，
根据题意可知，圆心在直线ax －by ＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ，则ab ＝(1－2b )b ＝－2b 2
＋b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，当b ＝14时，ab 有最大值18，
故ab 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，18.
5．已知点A (3,0)，若圆C ：(x －t )2
＋(y －2t ＋4)2
＝1上存在点P ，使|PA |＝2|PO |，其中O 为坐标原点，则圆心C 的横坐标t 的取值范围为________．
解析：设点P (x ，y )，因为|PA |＝2|PO |，所以
x －
2
＋y 2＝2x 2＋y 2
，化简得(x
＋1)2
＋y 2
＝4，所以点P 在以M (－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点P (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆M 有公共点，则1≤|CM |≤3，即1≤
t ＋
2
＋t －
2
≤3,1≤5t
2
－14t ＋17≤9.不等式5t 2－14t ＋16≥0的解集为R ；由5t 2
－14t ＋8≤0，得45
≤t ≤2.所以圆
心C 的横坐标t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45，2. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45，2 6．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2
＋y 2
＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．
解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2
＋
y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存
在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN
＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．
答案：[－1,1]。