北师大版数学七年级下册数学第四章三角形测试题(解析版 )

【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第四章 三角形
一、选择题：（每小题3分共36分）
1．如图，已知ABE ACD ∆≅∆，若50B ∠=o ，120AEC ∠=o ，则DAC ∠的度数为（ ）
A ．120o
B ．70o
C ．60o
D ．50o
【答案】B
解∵ABE ACD ∆≅∆ ∴∠ABE=∠ACD ，∠BAE=∠CAD ，∠AEB=∠ADC
∵50B ∠=o ，120AEC ∠=o ，
∴∠AEB=180°-∠AEC=180°-120°=60°
∴∠BAE=∠CAD=180°-∠ABE-∠AEB=180°-50°-60°=70°
故答案为B.
2．如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ，若∠1＝70°，则∠CBE 的度数为（ ）
A ．20°
B ．35°
C ．55°
D ．70° 【答案】B
解：∵DE ∥BC ，
∴∠1=∠ABC=70°，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠CBE=12
∠ABC=35°， 故选：B ．
3．如图，BE ＝CF ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，要根据“HL ”证明Rt △ABE ≌Rt △DCF ，则还需要添加一个条件是（ ）
A ．AE ＝DF
B ．∠A ＝∠D
C ．∠B ＝∠C
D ．AB ＝DC
【答案】D
解：条件是AB=CD ， 理由是：∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt △ABE 和Rt △DCF 中，
AB CD BE CF ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △ABE ≌Rt △DCF （HL ），
故选D ．
4．如图，△ABC 中，CE 平分∠ACB 的外角，D 为CE 上一点，若BC=a ，AC=b ，DB=m ，AD=n ，则m ﹣a 与b ﹣n 的大小关系是（ ）
A ．m ﹣a ＞b ﹣n
B ．m ﹣a ＜b ﹣n
C ．m ﹣a=b ﹣n
D ．m ﹣a ＞b ﹣n 或m
﹣a ＜b ﹣n
【答案】A 解在CM 上截取CG=CA ，连接DG.
在△ACD 和△GCD 中，
CD CD ACD DCG AC CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD≌△GCD，
∴AD=DG=n，
在△BDG中，BD=m，BG=BC+CG=BC+AC=a+b，
∴m+n>a+b，
∴m−a>b−n.
故选：A.
5．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，DG⊥BF于点G，若∠1＝130°，则∠2的度数为（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】D
解:∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠1＝130°，
∵DG⊥BF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠2＝∠EFC﹣∠DGF＝130°﹣90°＝40°．
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点P（8，8）处，转动直角三角形，若两条直角边分别与x轴正半轴交于点A，y轴正半轴交于点B，则OA ＋OB的值为（）
A．10 B．16 C．8 D．无法确定
【答案】B
【解析】
解：作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
则四边形PNOM 是正方形，
∴PN=PM=ON=OM=8，∠NPM=∠APB=90°，
∴∠NPB=∠MPA
在△PNB 和△PMA 中，PNB PMA NPB MPA PM PN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PAM ≌△PBN ，
则AM=BN ，OM=ON ，
∴OA+OB=OM+ON=16
故答案为：B.
7．如图．从下列四个条件：①BC=B ′C ，②AC=A ′C ，③∠A ′CA=∠B ′CB ，④AB=A ′B ′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B 解①②③为条件，根据SAS ，可判定BCA B C A '''≅V V ；可得结论④；
①②④为条件，根据SSS ，可判定BCA B C A '''≅V V ；可得结论③；
①③④为条件，SSA 不能证明BCA B C A '''≅V V ,
②③④为条件，SSA 不能证明BCA B C A '''≅V V ,
最多可以构成正确结论2个，故选B.
8．下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：根据三角形高线的定义，只有A选项符合．
故选A．
9．如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=100°，则∠F的度数是( )
A．100°B．60°C．50°D．30°
【答案】D
解∵△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=100°，
∴∠D=∠A=50°，∠E=∠B=100°，
∴∠F=180°-∠D-∠E=30°，
故选D.
10．下列四组条件中, 能使△ABC≌△DEF的条件有( )
①AB = DE, BC = EF, AC = DF; ②AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF;
③∠B = ∠E, BC = EF, ∠C = ∠F; ④AB = DE, AC = DF, ∠B = ∠E.
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
解：①AB = DE, BC = EF, AC = DF，边边边；②AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF，边角边；③∠B = ∠E, BC = EF, ∠C = ∠F，角边角；故选C.
11．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）
A．∠C=∠D B．∠CAB=∠DBA C．AC=BD D．BC=AD
【答案】A
解∵∠ABC=∠BAD,AB=AB，∠CAB=∠DBA，∴△ABC≌△BAD（ASA）．所以选项B可以判定
△ABC ≌△BAD ．
∵∠ABC=∠BAD,∠C=∠D ，AB=AB ，∴△ABC ≌△BAD （AAS ），所以选项C 可以判定△ABC ≌△BAD ．
∵BC=AD,∠ABC=∠BAD ，AB=AB ，∴△ABC ≌△BAD （SAS ），所以选项D 可以判定△ABC ≌△BAD ．故此题选A ．
12．如图，∠EOF 内有一定点P ，过点P 的一条直线分别交射线OE 于A ，射线OF 于B ．当满足下列哪个条件时，△AOB 的面积一定最小（ ）
A ．OA=OB
B ．OP 为△AOB 的角平分线
C ．OP 为△AOB 的高
D ．OP 为△AOB 的中线
【答案】D
解：当点P 是AB 的中点时S △AOB 最小； 如图，过点P 的另一条直线CD 交OE 、OF 于点C 、D ，设PD ＜PC ，过点A 作AG ∥OF 交CD 于G ，
在△APG 和△BPD 中，
GAP DBP AP BP APG BPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△APG ≌△BPD （ASA ），
S 四边形AODG =S △AOB ．
∵S 四边形AODG ＜S △COD ，
∴S △AOB ＜S △COD ，
∴当点P 是AB 的中点时S △AOB 最小.
故选D.
二、填空题：（每小题3分共12分）
13．如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝
12
(AB ＋AD)，若∠D ＝115°，则∠B ＝________．
【答案】65°
解：如图，在AB 上截取AF=AD ，连接CF ， ∵AC 平分∠BAD ，AC 为公共边，
∴△AFC ≌△ADC ， ∴∠ADC=∠AFC ， ∵AE=
12（AB+AD ），AF=AD ， ∴AF+EF=12（AF+BF+AF ），∴EF=12
BF ，∴EF=BE ，∵CE ⊥AB ， ∴∠ABC=∠BFC ，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠D=115°，∴∠B=65°．
14．如图，△ABC ≌△ADE ，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC 的度数=_______．
【答案】45
解：8030B C ∠=︒∠=︒Q ，，180803070BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒，
ABC ADE QV V ≌，70DAE BAC ∴∠=∠=︒，
702545EAC DAE DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．
故答案是：45︒.
15．如图，在四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ．若∠A=108°，则∠C 的大小=________（度）．
【答案】108
解如图,连接BD,
∴△ADB ≌△CDB （SSS ）,
∴∠C=∠A=108°
16．如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，请增加一个条件，使△ABC ≌△AED ，你添加的条件是______．
【答案】∠C=∠D （或∠B=∠E 或AB=AE ）.
解：添加∠C ＝∠D 或∠B ＝∠E 或AB ＝AE ．
（1）添加∠C ＝∠D ．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD ＝∠2+∠BAD ，
∴∠CAB ＝∠DAE ，
在△ABC 与△AED 中，
{∠C =∠D
AC =AD
∠CAB =∠DAE ， ∴△ABC ≌△AED （ASA ）；
（2）添加∠B ＝∠E ．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD ＝∠2+∠BAD ，
∴∠CAB ＝∠DAE ，
在△ABC 与△AED 中，
{∠B =∠E
∠CAB =∠DAE AC =AD
，
∴△ABC ≌△AED （AAS ）；
（3）添加AB ＝AE
∵∠1＝∠
2
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD ∴∠CAB＝∠DAE
在△ABC与△AED中，
{
AC=AD
∠CAB=∠DAE
AB=AE
，
∴△ABC≌△AED（SAS）
故答案是：∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．
三、解答题：（共52分）
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，且AB＝13 cm，BC＝12 cm，AC＝5 cm，求：
(1)△ABC的面积；
(2)CD的长．
【答案】(1)30；（2）60 13
.
解：(1)△ABC的面积＝BC·AC＝30(cm2)．
(2)因为△ABC的面积＝AB·CD＝30 cm2，
所以CD＝30÷(AB)＝30÷＝ (cm)．
18．某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳.图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,由以上信息能求出CB的长度吗?请你说明理由.
【答案】能求出CB的长度.理由见解析.
解：由以上信息能求出CB的长度,理由如下:
因为O 是AB,CD 的中点,所以OA=OB,OC=OD.
在△AOD 和△BOC 中, OA=OB,∠AOD=∠BOC,OC=OD, 所以△AOD ≌△BOC(SAS). 所以CB=AD. 因为AD=30cm, 所以CB=30cm.
19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD 平分∠CAB ．
（1）求∠CAD 的度数；
（2）延长AC 至E ，使CE=AC ，求证：DA=DE ．
【答案】（1）30°；（2）证明见解析.
解（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°．
又∵AD 平分∠CAB ， ∴∠CAD=12
∠CAB=30°，即∠CAD=30°； （2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠ECD ．
在△ACD 与△ECD 中，AC EC ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△ECD （SAS ），
∴DA=DE ．
20．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠B ＝54°，∠C ＝76°.
(1)求∠ADB 和∠ADC 的度数；
(2)若DE ⊥AC ，求∠EDC 的度数．
【答案】(1) 101°，79°；（2）14°.
解：(1)、首先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，根据角平分线的性质求出∠BAD 和∠DAC 的度数，然后根据三角形内角和定理得出∠ADB 和∠ADC 的度数；(2)
、根
据垂直得出∠AED=90°，然后根据外角的性质求出∠EDC的度数．
试题解析：(1)、∵∠B＝54°，∠C＝76°，∴∠BAC=180°-54°-76°=50°，
∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAC=25°，
∴∠ADB=180°-54°-25°=101°，∠ADC=180°-76°-25°=79°；
(2)、∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠EDC=90°-76°=14°．
21．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD，并延长使DF＝BD，过F点作AB的平行线段MF，连接MD，并延长，在其延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A、C、E成一条直线，请说明其中的道理；
解：∵BD＝DF，DE＝DM，∠BDE＝∠FDM，∴△BDE≌△FDM，
∴∠BEM＝∠DMF，∴BE∥MF，
∵AB∥MF，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴A、C、E在一条直线上．
22．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
(1)试说明：BD=CE；
(2)试说明：∠M=∠N．
解：（1）在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC
∴BD=CE
（2）∵
∴
即
又△ADB ≌△AEC
∴180°-
即.
23．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，分别过B ，C 向经过点A 的直线EF 作垂线，垂足为E ，F ．
（1）如图1，当EF 与斜边BC 不相交时，请证明EF=BE+CF ；
（2）如图2，当EF 与斜边BC 相交时，其他条件不变，写出EF 、BE 、CF 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，猜想EF 、BE 、CF 之间又存在怎样的数量关系，写出猜想，不必说明理由． 解（1）证明：∵BE ⊥EA ，CF ⊥AF ，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA ，
在△ABE 和△CAF 中，
BEA AFC EBA FAC AB AC ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△BEA ≌△AFC （AAS ），
∴EA=FC ，BE=AF ，
∴EF=EA+AF=BE+CF ．
（2）证明：∵BE ⊥EA ，CF ⊥AF ，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠ABE ，
在△ABE 和△ACF 中，
EBA FAC BEA CFA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△BEA ≌△AFC （AAS ），
∴EA=FC ，BE=AF ，
∵EF=AF-AE ，
∴EF=BE-CF ．
（3）EF=CF-BE ，
理由是：∵BE ⊥EA ，CF ⊥AF ，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠ABE ，
在△ABE 和△ACF 中，
EBA FAC BEA CFA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BEA ≌△AFC （AAS ），
∴EA=FC ，BE=CF ，
∵EF=EA-AF ，
∴EF=CF-BE ．。