概率统计C复习大纲

n 1 n 1 n 1 2 2 ( ) ( X （ 2 ）样本方差： S X X i i X i2 nX 2 ) n i 1 n 1 i 1 n 1 i 1 2
重要结论: 若 X 1 , X 2 , X n 是取自总体 X ， EX , DX 的简单随机样本，则 (1) EX , DX
' f h y h y , y D2 40 代入公式得： fY y X 0, y D2
(P73 A-3,5)
5. 理解二维随机变量的联合分布函数的定义,边缘分布函数的定义,以及会用联合分布函数表示二维随机变量落 在某个范围内的概率. ( P75 (2.6.1) ) (例如 P(X>a,Y>b)=1-P(X≤a)-P(Y≤b)+P(X≤a,Y≤b)=1-F(a,+∞)-F(+∞,b)+F(a,b) ) 6. 会求二维离散型 r.v. 的联合分布律，边际分布律。联合分布函数，条件分布律，会判断独立性。(P104 例 6 ) 7. 会求二维连续型 r.v. 的联合密度，联合分布，边际密度，边际分布, P



f ( z y, y )dy


f ( x, z x)dx ，P95 例 4,解法二）(P97 A-5)
xi pi E ( X ) i 1 xf ( x)dx
当X为离散型 当X为连续型
g ( xi ) pi E[ g ( X )] i 1 g ( x) f ( x)dx
定义 1： 分布： 若 X i N (0,1) 且独立，则
2 2
X
i 1
n
2 i
2 (n) . 注意 2 分布具有独立情况下的可加性
定义 2： t 分布：设 X N (0,1), Y
2 (n) 且相互独立，则 T
X t ( n) . Y /n X / n1 F (n1 , n2 ) . Y / n2
P188 B-5）
(1) 矩估计：令总体的矩等于样本矩从中解出未知参数。 （一般令 EX 参数的矩估计。 ） (2) 极大似然估计：使似然函数 L( ) 达到最大 离散型总体 概率函数 连续型总体 密度函数
1 n 1 n 2 2 , X EX i X i 可以解出 2 个未知 n i 1 n i 1
p ( x, ) P ( X x ) L( ) p ( xi , )
i 1 n
f ( x, )
n
似然函数
L( ) f ( xi , )
i 1
对数似然函数 ln L( )
ln p( xi , )
i 1
n
ln L( ) ln f ( xi , )
fY ( y ) [ FY ( y )]' [
g ( X ) y

f X ( x)dx]' (要掌握变上限定积分求导公式)
方法二: （定理法 P72 (2.5.1)） 四个步骤：
10 判断 y g x 满足定理条件,严格单调的． 20 当 x D1 时 f X x 0 ，求出 y g x 的值域 D2 ． 30 求出 y g x 的反函数 h y 及反函数的导数 h ' y ．
2
n
(2) ES
2
2
（P165 B－3）
3．掌握一个引理三个定义，并会判断这三大分布. 引理：设 X 1 , X 2 , X n 分别服从 N ( i , i ) 且相互独立，则 Y
2 2 2 （ ai 不全为 0）服从 N ( ai i , ai i ) . ai X i ， i 1 i 1 i 1 n n n



xf X ( x)dx , 也可以 EX





xf ( x, y )dxdy 计算
8. 理解 r.v. 不相关与独立的关系。 第四章 1. 会利用切比雪夫不等式计算. (P152 一 4) 2. 掌握两个主要的中心极限定理的内容，并能利用它们进行概率计算。 中心极限定理本质上是研究独立的随机变量序列 { X k } 的前 n 项部分和 Yn
《概率统计 C》复习大纲 第一章 1. 理解随机事件的关系与运算，能用集合的运算表示复合的随机事件。(P8 A-3) 2. 会计算古典概率。 (P17 A-2,4, P17 B-2,3) 注意抽签问题的应用(P43 一 4) 3. 掌握概率的基本性质并会利用性质进行概率计算。(P43 一 10,11, P44 三 2) 重点掌握 P( A B) P( AB) P( A AB) P(A ) P( AB) ,当 A,B 互斥时,P(A-B)=P(A).(P43 二 3) 4 掌握条件概率定义并会利用乘法公式进行计算。(P25 例 2, 例 3) 5. 利用全概率公式及贝叶斯公式进行概率计算。(P27 例 6, 例 7, P29 A-4, P45 三 9) 6. 掌握判断事件独立性的方法,利用独立性计算概率. (P36 A-2) 7. 理解伯努里试验，伯努里概型。(,P36 A-6, P43 一 12,B-1) 第二章 1. 会求一维离散型 r.v. 的概率分布律，掌握几个常见的一维离散型 r.v. 的分布，如退化分布，两点分布，二项分布， 泊松分布，几何分布。(P52 A-1,4,5, P108 一 1) 2. 会求 r.v. 的分布函数。 F ( x) P ( x), x R ，掌握一维离散型 r.v. 的分布函数的特点。(P110 三 1) 会利用分布函数的三个性质判断一个任意的一元函数能否作为某个 r.v. 的分布函数。 （书 P54 分布函数的性质） 。 (P55 例 2) 3. 掌握一维连续型 r.v. 的分布函数 F（x）与密度函数 f（x）的关系。(P60 例 3, P62 A-1) 会利用密度函数的两个性质（书 P58 性质 1,2）来判断某个一元函数能否作为某个 r.v. 的密度函数。 掌握几个常见的一维连续型 r.v. 的分布，如：均匀分布，指数分布，正态分布。(P69 A-2) 特别要掌握 N ( , ) 与 N (0,1) 的关系及各自的性质， 会查 N (0,1) 分布表来求得 r.v. 落在某个范围内的概率。 (P 69
X , Y G ,判断独立性．
设 f (x,y)是二维连续型 r.v. (X ,Y )的联合密度函数， r (x), g(y) 为非负可积函数, 若 f (x,y)=r(x)h(y), (a.e.),(即变量 x,y
是可分离,,可拆分的), 则也可以判断 r.v. X ,Y 是相互独立的. (也就是无需计算边缘密度了!) (P87 A-3, 并且掌握二维均匀分布的定义) ( P107 例 9 (1((2)(3)(7) ) 9. 会计算二维离散型 r.v. 的函数的分布(P96 A-1 ). 要 掌 握 二 维 连 续 型 r.v. 的 函 数 g X , Y 的 密 度 函 数 的 求 法 ． 如 尤 其 是 会 求 Z X Y 的 密 度 函 数 。 （ fZ ( z) 第三章 1. 掌握 r.v. 的数学期望的定义，掌握一维 r.v. 的函数 g X 的数学期望的
n
n
~ N (0,1) . ( 主要应用在近似计算一列独立同分布的随机变量之和落在某个范围内的概率 .)
(P147 例 2,P149 B-1) (2) 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace)
设 r.v. X 是 n 重贝努里试验中 A 事件发生的次数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概率,即 X ~ B ( n, p ) ,则当 n 时,随机变量 X ~ N (0,1) . (实质上是反映二项分布的极限分布为正态分布, 也就是将二项分布标准化后查标准正 态分布表来近似计算概率) (P148 例 4, P149 B-3) 第五章 1．掌握简单随机样本的概念： X 1 , X 2 , X n 满足独立且与总体 X 同分布. 2．掌握统计量的定义(会判断)： X 1 , X 2 , X n 取自总体 X ，称 g ( X 1 , X 2 , X n ) 且不含有未知参数为统计量. （P165 A-2 判断是否为统计量,P174 二 1） 记忆几个常用统计量： (1) 样本均值： X
2
A-7,8, 11) 4. 会计算一维 r.v. 的函数的分布，尤其要掌握一维连续型 r.v. X 的函数 g X 的密度函数的求法。 方法一:分布函数法 两个步骤：
10 FY ( y ) P(Y y ) P( g ( X ) y )
2
0
g ( X ) y

f X ( x)dx
定义 3： F 分布：设 X
2 (n1 ), Y 2 (n2 ) 且相互独立，则 F
4．掌握单个正态总体下的抽样分布并能灵活应用 设 X 1 , X 2 , X n 是来自正态总体 N ( , ) 的简单随机样本， X , S 分别是样本均值和样本方差，则有：
2 2
X N (0,1) 定理 1： / n
当(X,Y)为离散型 当(X,Y)为连续型
理解绝对不收敛可使 r.v. 的数学期望不存在． 记忆所有常见的 r.v. 的数学期望及方差的值。 4. 掌握数学期望的性质，会利用这些性质进行计算。 （P119 性质 1－4） 5. 掌握方差的定义及性质。 （P124 性质 2-4）掌握若 X 与 Y 不相关，则 D ( X Y ) DX DY (P126 6. 掌握协方差的定义及性质（P127 性质 1－4） 掌握 X , Y ，有 D ( X Y ) DX DY 2 E[( X EX )(Y EY )] DX DY 2Cov( X , Y ) 7. 掌握相关系数的定义及理解性质（P128 定理 1） ，(P129 例 3, P132 A-3) 注意: EX (P132 A-2,4) A-4)
当X为离散型 当X为连续型
掌握二维 r.v. 的函数 g X , Y 的数学期望的求法.
g ( xi , y j ) pij E[ g ( X , Y )] i 1 j 1 g ( x, y ) f ( x, y )dxdy
定理 2：
定理 3： X 与 S 独立且
2
(n 1) S 2

2

1

2
(X
i 1
n
i
X ) 2 2 (n 1)
1

2
(X
i 1
n
i
) 2 2 ( n)
定理 4：
X t (n 1) S/ n
(P174 一 4,5,6) 第六章
ˆ( X , X , , X ) 作为 1．掌握点估计的定义和方法：总体 X 的分布函数 F ( x, ) 中含有未知参数 ，构造统计量 1 2 n ˆ( x , x , , x ) 为点估计值。(P187 B-3, 的估计，称之为点估计量，称 1 2 n
i 1
n
令
d ln L( ) d
d ln p( xi , )
i 1
n
d
0
d ln L( ) d
X
k 1
n
k
的标准化变量 Z n
Yn EYn ,在 DYn
极限意义下近似服从标准正态分布. (1) 林德伯格-勒维中心极限定理(Levy-Lindberg)(独立同分布的中心极限定理) 设 r.v. X 1 , , X n , 相 互 独 立 同 分 布 , 且 EX k , DX k 0, k 1, 2, , 则 当 n 时 , 随 机 变 量