2020年《暑假衔接》北师大版八年级上册：1.1 探索勾股定理 同步练习

2020年《暑假衔接》北师大版八年级上册
1.1 探索勾股定理同步练习
一．选择题（共10小题）
1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）
A．B．C．D．
2．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）
A．B．C．D．
3．下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）
A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CEB＝S△CDB
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
5．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（）
A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米
6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，且a：b＝4：3，则大正方形面积与小正方形面积之比为（）
A．25：9B．25：1C．4：3D．16：9
7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边的正方形的面积为（）A．9B．16C．25D．5
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且a＝7，b＝24，则c的长为（）
A．26B．18C．25D．21
9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）
A．9B．6C．5D．4
10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（）
A．4B．6C．D．
二．填空题（共6小题）
11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为．
14．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为．
15．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、
b、c的式子表示），．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝．
三．解答题（共4小题）
17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．
18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
19．如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）
20．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图
②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选：B．
3．解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
可知ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：D．
5．解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：＝4（厘米），可得这个直角三角形的面积为：×3×4＝6（平方厘米）．
故选：A．
6．解：∵a：b＝4：3，
∴大正方形面积与小正方形面积之比为（a2+b2）：（a﹣b）2＝b2：b2＝25：1．故选：B．
7．解：由勾股定理得：AB＝＝5，
所以以AB为边长的正方形的面积为52＝25．
故选：C．
8．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝7，b＝24，
∴c2＝a2+b2
∴c＝25．
故选：C．
9．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，
∴大正方形的边长为5．
故选：C．
10．解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a+b＝8，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝2，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴ab＝32﹣，
∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣8c+32﹣＝2，
解得c1＝6，c2＝10（舍去）．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），
故答案是：3．
12．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，
即（AB﹣2）2+82＝AB2，
解得AB＝17．
故答案为：17．
13．解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2＝25，
则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和＝AC2+BC2＝25．
故答案为：25．
14．解：由图可知，（b﹣a）2＝5，
4×ab＝42﹣5＝37，
∴2ab＝37，
（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．
故答案为79．
15．解：如图所示：
①S＝c2+ab×2＝c2+ab，
②S＝a2+b2+ab×2＝a2+b2+ab．
故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．
16．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则由勾股定理知，AC2+BC2＝AB2．
S1＝πAC2，S2＝πBC2，
所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝12.5π．
故答案为：12.5π．
三．解答题（共4小题）
17．解：设AD＝x
∵CD⊥AB，
∴∠D＝90°，
∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，
∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，
∴x＝，
∴AD＝．
18．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2，
解得BC＝15；
（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∴AD2+122＝202，解得AD＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．
∴S△ABC＝AB•CD＝×25×12＝150．
19．解解：（1）如图所示，是梯形；
由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝（a+b）（a+b）．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即ab+ab+c2．两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；
（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．
20．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，也利用表示为ab+c2+ab，
∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，
即a2+b2＝c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，
∴h＝，
故答案为；
（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，
∴边长为a﹣2b，
由此可画出的图形为：。