湖北省2020届高三(5月)调研模拟考试数学(文科)试卷

2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试
文科数学试卷
2020．5
本试卷共5页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=N* ，集合A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8}，则图中的阴影部分表示的集合为
A ．{1，3，5}
B ．{2，4}
C ．{6，8}
D ．{2，4，6，8} 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i =+)1(，则z 的虚部是 A ．
21 B ．i 21- C ．i 21 D ．2
1
- 3．已知数列{}n a 的前项和*
2,12N n n S n ∈+=，则15a a -=
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16 4．若32)2
cos(=
-π
θ．则)2
2sin(πθ-= A ．91-
B ．91
C ．95-
D ．9
5
5．如图，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图．则该几何体的体积为
A ．1
B ．
32 C ．31 D ．6
1
6．若△ABC 三边长分别为3，5，7，则△ABC 的面积为 A ．
8315 B ．235 C ．4315 D ．8
3
21 7．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70 ，80），[80，90），[90．100]，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为
A ．72
B ．72.5
C ．73
D ．73.5
8．△ABC 中，点D 为BC 的中点，AE AB 3=，M 为AD 与CE 的交点，若AD AM λ=，则实数λ= A ．
41 B ．31 C ．52 D ．2
1 9．甲、乙、丙、丁四人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为 A ．
61 B ．31 C ．21 D ．6
5 10．函数24x x x y --=的值城为
A ．]4,222[-
B ．]4,0[
C ．]222,0[+
D ．]222,222[+- 11．已知函数)0)(3
sin()(>-=ωπ
ωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，则ω的取值范围为
A ．)313,310[
B ．)316,313[
C ．)617,37[
D ．)3
16,37[ 12已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f x
x
存在唯一零点，则实数a 的取值范围 A ．),2(+∞π
B ．),2[+∞π
C ．),21(+∞
D ．),2
1
[+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知直线l 过圆06262
2
=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直．则l 的方程是 .
14．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线0=+ay bx 的对称点P 在双曲线
上．则双曲线C 的离心率为 .
15．半径为2的球O 内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为 .
16．已知函数)(x f 是定义在),0(+∞的单调函数，对定义域内任意x ，均有2]ln )([2
=--x x x f f ，则函数在点))(,(e f e 处切线的纵截距为 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(12*
N n S a n n ∈+=．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n a n b ⋅+=)12(，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

18．（本小题满分12分）
已知如图1直角△ABC 中，AC ⊥BC ，AC=6，BC=36，点D 为AB 的中点，BC=3BF ，将△ACD 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2． （1）求证：AC ⊥DF ；
（2）图2中，求C 点到平而ADF 的距离．
如图，已知椭圆)0(122
22>
>=+b a b
y a x C ：的左、右焦点分别为21F F 、
，5221=F F ，Q 是y 轴的正
半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且21PF PF ⊥，1PQF ∆的内切圆⊙M 半径为1． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若N 点为圆M 上一点，求21NF NF ⋅的取值范围.
20．（本小题满分12分）
下表是某原料在市场上从2013年至2019年这7年中每年的平均价格（单位：千元/吨）数据：
（1）从表中数据可认为x 和y 线性相关性较强，求出以x 为解释变量y 为预报变量的线性回归方程（系数精确到0.01）；
（2）以（1）的结论为依据，预测2032年该原料价格．预估该原料价格在哪一-年突破1万元/吨？ 参考数据：
∑==n
i i
y
1
69.26，∑==n i i i y x 1
31.115，∑=≈n i i
y 1
2
43.104，∑=≈n
i i x 1
2140
参考公式：回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=
---=
n
i i
n
i i
i n
i i
n
i i i
x n x
y x n y
x x x x x y y
b 1
2
2
1
1
2
1
)
()
)((，x b y a
ˆˆ-=
已知函数)()()(2
R a a x x x f ∈+=
（1）若3-=a ，求过点)4,4(P 且与)(x f y =相切的直线方程；
（2）若0≤a ，证明：
222
)4(sin sin 2)2(sin -+≤+-+a x x
a x ．
（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．
22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中xOy ，曲线E 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=2
2sin 3sin 2cos sin 32
ααα
αy x （α为参数），若以直角坐标
系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F 的极坐标方程为t 2)4
cos(=-π
θρ（t
为参数）
（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围．
23．[选修4 -5：不等式选讲]（10分）
已知函数01)(12
1
)(>+--=x f x x x f ，的解集为M ． （1）求M ；
（2）若)0,2(-∈∈b M a ，，且b a <-2，证明：b b a a ++->-+224．。