高三数学寒假学生自主学习讲义、参考答案
河北省衡水中学2013届高三下学期寒假自主提升测试数学理 PDF版答案13高三寒假自助提高数学试题理答案
1 2 2 2 2 2 2 ，所以 DBC 的面积为 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ABC 的面积为 2 3 ． 12 分 2 3 3
（18）解： （Ⅰ） E 为 BC1 中点． 证法一：取 BC 中点 F ，连接 OF , EF ． 所以可得 OF // AB, EF // BB1 ，所以面 OEF // 面 A1 AB ． 所以 OE // 平面 A1 AB ． ························ 6 分 证法二：因为 A1 A A1C ，且Ｏ为 AC 的中点，所以 A1O AC ．又由题意可知，
则有： A1C (0,1, 3), AA1 (0,1, 3), AB (1,1,0) ． ············ 2 分 设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ( x, y, z ) ，则有
3 n AA1 0 y 3z 0 ，令 y 1 ，得 x 1, z 3 x y0 n AB 0
ABC 3 1 1 ，所以 cos ABC 1 2 . ······· 2 分 2 3 3 3 在 ABC 中，设 BC a, AC 3b ， 4 2 2 则由余弦定理可得 9b a 4 a ① ··············· 4 分 3 16 4b 2 4 3 在 ABD 和 DBC 中，由余弦定理可得 cos ADB ， 16 3 b 3 16 b2 a2 3 cos BDC ． 因为 cos ADB cos BDC ， 8 3 b 3 16 16 4b 2 4 b2 a 2 2 2 3 3 所以有 ，所以 3b a 6 ② 16 3 8 3 b b 3 3 由①②可得 a 3, b 1 ，即 BC 3 ． ·················· 9 分
长郡中学高三年级寒假自主学习作业本-文数答案
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2020高等数学辅导讲义练习题参考答案
《高等数学辅导讲义》练习题解答第一章 函数、极限、连续 1. 【解】应选（D）.由于+∞=−→xx xe x tan lim 2π，则)(x f 无界.2. 【解】应选（B）. 由于x x x x sin ,1sin都在),0(+∞上连续.且01sin lim 0=→x x x ，;11sin lim =+∞→xx x 1sin lim 0=→x x x ，0sin lim =+∞→x x x .故xxx x sin ,1sin 都在),0(+∞上有界. 3. 【解】应选（D）.由于)]()([t f t f t −+是奇函数，则∫−+xt t f t f t 0d )]()([是偶函数.4. 【解】应选（D）.反证：否则，若n x 和n y 都有界，则n n y x 有界，与题设矛盾。
（A）的反例：L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y （B）的反例：L ,1,3,1,1:n x ；.,4,1,2,1:L n y （C）的反例: L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y 5. 【解】应选（A）.反例见上题.6. 【解】应选（C）.若}{n a 收敛，由 1+≤≤n n n a b a 及夹逼原理知}{n b ；反之若}{n b 收敛，则}{n b 上有界，由 1+≤≤n n n a b a 知}{n a 单调增且上有界，故}{n a 收敛.7.【解】选（A）.若附加条件,0)(≠x ϕ则应选（D）. 8.【解】选（B）.)1(1)1(1lim 1)11(1sinlim )11()11(1lim11sin≠−=−+=+−+−∞→−∞→∞→ααααxxx x x x e x x xx9.【解1】选（C）.20)()21ln(lim xx xf x x ++→2220)()](2)2(2[lim x x xf x x x x ++−=→ο,12)(2lim0=−+=→x x f x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x【解2】20)()21ln(lim x x xf x x ++→20)](2[2)21ln(lim xx xf x x x x ++−+=→ ,1)(2lim 2)21ln(lim 020=++−+=→→xx f x x x x x 又.2)2(21lim 2)21ln(lim 22020−=−=−+→→xx x x x x x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x 10.【解1】应选（D）.直接法: 由2cos 1)(lim 0=−→x x f x 知 221)(lim20=→x x f x .即2~)(x x f n x n xx n x x x x x dt t x t t f 60sin 020sin 00sin 31lim lim d )(lim 22→→→==∫∫.0≠=a 则6=n . 【解2】 排除法：由2cos 1)(lim 0=−→xx f x 知，取2)(x x f =显然符合题设条件，此时∫∫==x x x x t t t t f 22sin 0sin 0662.31~sin 31d d )( 则（A）（B）（C）均不正确，故应选（D） 11. 【解】应选（D）.若,2=a 则bx xx x g x f x x 22ln 2sin arctan lim )()(lim−=→→2ln 222ln 2limb bx x x x −=−=→，显然（B）不正确，则,1=a 且 3002sin arctan lim )()(lim x b x x x g x f x x −=→→302][sin ][arctan lim x b x x x x x −−−=→ 33302]61[]31[lim x b x x x −−−=→,131261lim 330=−=−=→b xb x x 故应选（D）. 12. 【解】应选（C）. k x x cx x x x g x f 3sin sin 3lim )()(lim00−=→→k x cxx x x x ]33[sin ]3sin 3[lim 0−−−=→ k x kx cx x cx x x 303304lim 6)3([)]61(3[lim →→=−−−=13. 【解】应选（D）（A）)(21)](21[)](211[1222244242x x x x x x ex x οοο+−=++−++=−+ （2阶）或]1[]11[1242422−−−+=−+x x ex ex 22~24x x −2~2x −（B）221~)cos 1(tan sin tan x x x x x x −=− （3阶） （C）3sin 02sin 02)(sin 31~sin x dt t dt t xx =∫∫ （3阶）（D）25cos 1023cos 1023)cos 1(52~sin x dt t tdt xx −=∫∫−−252)21(52~x （5阶）14.【解】应选（A）. 验证知2,1π±==x x 为)(x f 的无穷间断点，而1)(lim ,1)(lim 00−==−+→→x f x f x x .15.【解】应选（D）.)(x f 在1,0±=x 处可能间断，验证可知1−=x 为无穷间断点.16.【解】应选（C）. xx x x x f xln )1(1)(+−=在1,0,1−=x 处没定义，x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=−→−→−→=∞=+=+−→−→11lim ln )1(ln lim 11x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 000+−=+−=→→→111lim ln )1(ln lim 00=+=+=→→x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=→→→=2111lim ln )1(ln lim 11=+=+→→x x x x x x x x 故0=x 和1=x 为可去间断点. 17.【解】 应选（C）. 由函数be x a x xf x+−+=122)1)(()(在),(+∞−∞上有一个可去间断点和一个跳跃间断点可知，0<b ，否则)(x f 只有一个间断点.0=x显然0=x 是)(x f 的一个间断点，而另一个间断点只能是.1=x 而.e b −=,)(lim 20ea x f x =−→ .0)(lim 0=+→x f x ee x a x xf xx x −−+=→→12211)1)((lim)(lim e e x a x x −−+=→112)1(lim )1(e a e xa xx 21212111lim )1(+−=−+=→则1=x 为可去间断点，而0≠a 时，0=x 为跳跃间断点。
常熟高三数学暑假自主学习讲义13,14答案
第13课时1.25x -2. 53. 20x y +-=4. 15.'234334y x x x --=-+-6. 22sin(4)3y x π'=+7. 1或1348.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，43 7、直线x y =是曲线323y x x ax =-+的切线，则a =1或134详解：8、已知点P 在曲线14+=x e y 上，α为曲线在点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是 .详解：9．求与曲线24xy =在2x =处的切线平行，并在y 轴上的截距为3的直线方程． 解答：∵y ′＝－8x－3 ，12-='=x y 即1k =-，所以直线方程为30x y +-=．10．求曲线y =x1的斜率等于－4的切线的方程． 解答：设P(x 0,y 0)是所求切线的切点,21.4|',1'020±=-=∴-==x y x y x x ．当x 0=1/2时,y 0=2,所求切线方程为y －2=－4(x －1/2),即4x+y－4=0.当x 0=－1/2时,y 0=－2,所求切线方程为y +2=－4(x +1/2),即4x+y +4=0.11．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都经过点P(2，0)，且在点P处有公共的切线，求函数f(x)和g(x)的解析式．解答：由f(x)的图象经过点P(2，0)，得a＝－8，从而f(x)＝2x3－8x，f′(x)＝6x2－8．由g(x)的图象经过点P(2，0)，得4b＋c＝0，又g′(x)＝2bx，且f(x)、g(x)的图象在点P处有公共的切线，所以g′(2)＝f′(2)，即4b＝16，b＝4，所以c＝－16．综上f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16．12.设曲线x e ax y )1(-=在点),(10y x A 处的切线为1l ，曲线x e x y --=)1(在点),(20y x B 处的切线为2l ，若存在230≤≤x ，使得21l l ⊥，求实数a 的取值范围.详解：第14课时填空题答案：⒈](1,0 ⒉单调递增 ⒊充分不必要 ⒋ 7 ⒌1<a⒍))((3,03,⋃-∞- ⒎)(245,245+- 8. []31， 1． 函数()x x x f ln -=的单调递减区间是 ．2． 函数()x x x f s i n 3-=在)(∞+∞-,是 （增减性）．3． 在区间)(b a ,内，()x f '＞0是()x f 在)(b a ,内递增的 条件．4． 函数()7323+-=x x x f 的极大值是 ．5． 若函数()()113+-+=x a x x f 在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 ．6． 设()x f ,()x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且当x ＜0时,()()()()x g x f x g x f '+'＞0且()03=-g ,则不等式()()x g x f ＜0的解集是 ．7． 函数()563+-=x x x f ,若关于x 的方程()a x f =有三个不同的实根, 则实数a 的取值范围是 ．8.设P 为曲线12+-=x x y C ：上的一点，曲线C 在点P 处切线的斜率的范围是[]3,1，则P点的纵坐标的取值范围是 .9．已知函数1)(3--=ax x x f 在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围.10. 设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数．（1）求b 、c 的值；（2）求()g x 的单调区间与极值．解答：（Ⅰ）∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++. 从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间；(是函数()g x 是单调递减区间； ()g x在x =时，取得极大值，极大值为，()g x 在x =-.11. 设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>．（1）若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点，求m的取值范围；（2）若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点，求a 的取值范围；（3）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．详解：11题答案： （1）当1a =时32()f x x x x m =+-+，∵()f x 有三个互不相同的零点，∴32()0f x x x x m =+-+=即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根．令32()g x x x x =--+，则/2()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+.∵()g x 在(,1)-∞-和1(,)3+∞均为减函数，在1(1,)3-为增函数，∴15()(1)1,()()327g x g g x g =-=-==极小极大.所以m 的取值范围是5(1,)27-.（2）由题设可知，方程/22()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根，∴/2/2(1)320(1)3200f a a f a a a ⎧=+-<⎪-=--<⎨⎪>⎩，解得3a > .（3）∵/22()323()(),3af x x a x a x x a =+-=-+又0a >，∴当x a <-或3a x >时，/()0f x >；当3a a x -<<时，/()0f x <．∴函数()fx 的递增区间为(,)(,),3aa -∞-+∞和单调递减区间为(,)3a a - .当[]3,6a ∈时， []1,2,33aa ∈-≤-， 又[]2,2x ∈-，∴{}m a x ()m a x (2),(2)f x f f =-而2(2)(2)1640f f a --=-<，∴2max()(2)8f x f aa=-=-+，又∵()f x ≤在[]2,2-上恒成立，∴2max ()18421f x a a m ≤-+++≤即，即[]29423,6m a aa ≤--∈在上恒成立．∵2942a a --的最小值为87-，∴87.m ≤-12．已知函数322393)(ax a ax x x f +--=.（1）当a =1，求函数)(x f 的极值；（2）若41>a ，且当[]a x 4,1∈时，()12f x a '≤恒成立，试确定a 的取值范围.解：（1）)(x f 的极大值是6)1(=-f ，)(x f 的极小值是26)3(-=f （过程略）。
人大附中2020届高三寒假自主学习综合练习 数学答案
中国人民大学附属中学2020届高三寒假自主学习综合练习数学参考答案和评分标准一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中．）(注：11,14题第一个空3分，第二个2分)三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） （17）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=，.……………………… 1分根据已知条件得sin 2cos B ab C =，sin sin cos C B B C =， ..…………………………2分 ∵0B π<<，∴0sinB ≠，cos C C =， …………………………4分即tan 3C =， .…………………………5分 ∵0C π<<， ∴6C π=.…………………………6分 【注：不声明B 和C 角的范围扣1分】（Ⅱ）由sin()cos b A a B π-=及正弦定理，得sin sin sin cos B A A B =..………………… 8分∵0A π<<，∴sin 0A ≠， ∴sin cos B B =， ∴4B π=. .…………………………10分根据正弦定理sin sin b c B C =，可得sin sin 46cππ=，解得1c =.……………………… 11分∴111sin 1sin sin()2224ABC S bc A A B C ∆==⨯=⨯+=.…………………13分 【注：不声明A 角的范围扣1分】18. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）指标Y 的平均值为： 9.6×16+10×36+10.4×26≈10.07．.…………………………2分（Ⅱ）由分层抽样法知，在抽取的件产品中， 指标Y 在[9.8,10.2]内的有3件， 指标Y 在(10.2,10.6]内的有2件，指标Y 在 [9.4,9.8)内的有1件， .…………………………3分 设事件A=“从6件产品中随机抽取2件产品，这2件产品的指标Y 都在[9.8,10.2]”从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件2615C =个，其中，指标Y 都在[9.8,10.2]内的事件有233C =个， .…………………………5分所以31()155P A ==， 即从6件产品中随机抽取2件产品，这2件产品的指标Y 都在[9.8,10.2]内的概率为15；.……6分 （Ⅲ）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为 η=148(48x +16×300+8×600)=x +200 元．.……9分 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48(x +100)元， 一年内只有8件产品要花费维护，需支出8×300=2400元，平均每件产品的消费费用ξ=148×[48(x +100)+2400]=x +150元， .……12分因为，x +200> x +150，所以该服务值得购买． .……13分19. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC为正三角形.∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥.又BCAD ，∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥， ..…………………………2分而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A =， ∴AE ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ，∴AE PD ⊥； .…………………………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，//AB CD ，∵AB ⊂平面P AB ，CD ⊄平面P AB ，∴//CD 平面P AB ， .…………………………6分 ∵CD ⊂平面PCD ，平面PCD 平面P AB =l ， ∴//CD l ，∴//l AB ； .…………………………7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),1,0),A B C -，(0,2,0),(0,0,2),D P E，1,12F ⎫⎪⎝⎭………………………………9分∴(3,0,0)AE =，31,122AF ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =，则0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11110102x y z =++=取11z =-， 则(0,2,1)m =-…… 因为,,BD AC BD PA PAAC A ⊥⊥=，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量又(BD =- ………………………………………………13分∴5||cos ,5m BD m B m D D B ⋅==⋅⨯=∴二面角的余弦值为5. .………………………………………………14分20.（本题满分14分）解：（Ⅰ）由f ʹ(x )=lnx −2ax +2a ，得 g (x )=lnx −2ax +2a ，x ∈(0,+∞)． 则g ʹ(x )=1x −2a =1−2ax x． .………………………………………………1分当 a ≤0 时，x ∈(0,+∞) 时，g ʹ(x )>0，.……………………………………………2分 当 a >0 时，x ∈(0,12a) 时，g ʹ(x )>0，x ∈(12a,+∞) 时，g ʹ(x )<0， .………………………………………4分∴当 a ≤0 时，g (x ) 的单调增区间为 (0,+∞)；当 a >0 时，g (x ) 的单调增区间为 (0,12a)，单调减区间为 (12a ,+∞)．……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f ʹ(1)=0． .………………………………………7分①当 a ≤0 时，f ʹ(x ) 在(0,+∞)上单调递增，∴当 x ∈(0,1) 时，f ʹ(x )<0，f (x ) 单调递减； 当 x ∈(1,+∞) 时，f ʹ(x )>0，f (x ) 单调递增．∴ f (x ) 在 x =1 处取得极小值，不合题意．.…………………………………8分②当 0<a <12 时，12a>1，由（Ⅰ）知 f ʹ(x ) 在 (0,12a) 内单调递增，当 x ∈(0,1) 时， f ʹ(x )<0，f (x )单调递减， x ∈(1,12a ) 时，f ʹ(x )>0，f (x )单调递增，∴ f (x ) 在 x =1 处取得极小值，不合题意．.………………………………10分③当 a =12 时，12a =1，f ʹ(x ) 在 (0,1) 内单调递增，在 (1,+∞) 内单调递减．∴当 x ∈(0,+∞) 时，f ʹ(x )≤f ʹ(1)=0，f (x ) 单调递减，不合题意．……11分④当 a >12 时，0<12a <1，f ʹ(x )在(12a ,+∞)上单调减，∴当 x ∈(12a ,1) 时，f ʹ(x )>0，f (x ) 单调递增，当 x ∈(1,+∞) 时，f ʹ(x )<0，f (x ) 单调递减，∴ f (x ) 在 x =1 处取得极大值，符合题意．综上可知，实数 a 的取值范围为 (12,+∞)． .………………………………14分21.（本题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题知112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，2a =，2223b a c =-=，所以，椭圆E 的方程为22143x y +=． .………………………………4分（Ⅱ）当1l 、2l 的斜率都存在且不为0时，设1:l ()1y k x =-，则2:l ()11y x k=--， 设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立()221341x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 因为直线1l 经过椭圆内一点，所以0∆>，由韦达定理得，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， .………………………………7分 所以，AB 中点M 的坐标为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； 用1k -替换k ，可得CD 中点N 的坐标为223,43434k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭， （1）若=1k ±，此时求得4MN :7x =，过定点4,0)7（.………………………………8分 （2）当10k ≠±，， ∴()2741MN kk k =-， .………………………………9分∴直线MN 的方程为：()222374434341k ky x k k k ⎛⎫-=⋅- ⎪++-⎝⎭，即()277441k y x k ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭，∴直线MN 经过定点47,0⎛⎫⎪⎝⎭； . ………………………………11分当1l 、2l 的斜率分别为0和不存在时，直线MN 的方程为0y =，也经过点47,0⎛⎫⎪⎝⎭； 综上所述，直线ST 过定点47,0⎛⎫⎪⎝⎭. .………………………………13分22.(本题满分13分)解：（Ⅰ）是“5阶可重复数列”，1,0,1,0,1． .………………………………3分 （Ⅱ）因为数列A 的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．若m =11，则数列{a n }中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列A 一定是“3阶可重复数列”； .………………………………6分 若m =10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”； 故3≤m ≤10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列．所以，要使数列{a n }一定是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11； .……………………7分（Ⅲ）由题，在数列A 的最后一项a n 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即存在正整数i ，j ，使得a i ，a i +1，a i +2，a i +3，a i +4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n ，0按次序对应相等，且 a j ，a j +1，a j +2，a j +3，a j +4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n ，1按次序对应相等， 由于a i +4=0 ≠ 1=a j +4，所以必有i ≠j ． 如果a 1，a 2，a 3，a 4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n 不能按次序对应相等， 那么必有2≤i ，j ≤n －4，i ≠ j ，使得a i ，a i +1，a i +2，a i +3；a j ，a j +1，a j +2，a j +3与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n 按次序对应相等．此时考虑a i ﹣1，a j ﹣1和a n ﹣4，其中必有两个相同，这就导致数列A 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列A 是“5阶可重复数列”，这和题设中数列A 不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a 1，a 2，a 3，a 4与a n ﹣3，a n ﹣2，a n ﹣1，a n 按次序对应相等，从而a n =a 4=1．.………………13分。
2021年高三数学寒假作业4含答案
2021年高三数学寒假作业4含答案一、选择题.1.（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y ﹣1=02.已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )3.已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是( )A.k≥或k≤－4B.－4≤k≤C. ≤k≤4D.－≤k≤44.点到直线的距离为（）A. 1B.C.D.25.直线l1：x+4y-2=0与直线l2：2x-y+5=0的交点坐标为（）A、（－6，2）B、（－2，1）C、（2，0）D、（2，9）6.两条平行线l1：3x-4y-1=0与l2：6x-8y-7=0间的距离为（）A、B、C、D、17.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x＋1)2＋(y－2)2＝5C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5D．(x－1)2＋(y＋2)2＝58.点的内部，则的取值范围是（）(A) (B) (C) (D)9.已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（）A. B.C. D.10.圆与圆的公共弦长为( )A. B. C. D.二．填空题.11.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的表面积为12π，则该正方体的体积为．12.已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________.13.过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．14.（5分）无论实数a，b（ab≠0）取何值，直线ax+by+2a﹣3b=0恒过定点．三、解答题.15.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．（Ⅰ）求三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）求证：直线AB1∥平面BC1D．16.已知两直线；求分别满足下列条件的的值：（1）直线过点，并且与垂直；（2）直线与平行，并且坐标原点到与的距离相等．17.已知圆：，点，直线.(1)求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上的任一点，都有为一常数，试求出所有满足条件的点的坐标.【】新课标xx年高三数学寒假作业4参考答案1.A考点：两条直线平行的判定；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值解答：解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．点评：本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活．2.D3.A4.C5.B6.A7.B设所求圆的圆心坐标为(a，b)，由题意，知所求圆的半径与已知圆的半径相等，所求圆的圆心(a，b)与已知圆圆心(1，－2)关于原点(0,0)对称，∴所求圆的圆心坐标为 (－1,2)，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.8.. A9.B10.C11.8考点：球内接多面体．专题：球．分析：由题意求出正方体的对角线的长，就是球的直径，求出正方体的棱长，然后正方体的体积．解答：解：一个正方体的各个顶点都在一个表面积为12π的球面上，所以4πr2=12所以球的半径：，正方体的棱长为a：a=2，a=2，所以正方体的体积为：8．故答案为：8点评：本题是基础题，考查正方体的外接球的表面积，求出正方体的体积，考查计算能力．12.13.3x－y＋10＝0设原点为O，则所求直线过点A(－3,1)且与OA垂直，又k OA＝－，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y－1＝3(x＋3)．即3x－y＋10＝0.14.（﹣2，3）考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：把已知直线变形为，然后求解两直线x+2=0和y﹣3=0的交点得答案．解答：解：由ax+by+2a﹣3b=0，得a（x+2）+b（y﹣3）=0，即，联立，解得．∴直线ax+by+2a﹣3b=0恒过定点（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．点评：本题考查了直线系方程，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．15.考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）先根据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B1C中点可得OD∥AB1，即可证：直线AB1∥平面BC1D．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，由AB=6可知，，∴．又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，∴．…（4分）（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD．又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1．又BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1．…（8分）（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，所以OD∥AB1，又OD⊂平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D．…（12分）点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥体积的计算．在证明线面平行时，一般常用做法是证明面面平行或证明线线平行．16.（1）利用直线l1过点（-3，-1），直线l1与l2垂直，斜率之积为-1，得到两个关系式，求出a，b的值a=2，b=2．（6分）（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．a=2，b=-2或a=，b=2（12分）17.（1）设所求直线方程为，即.由直线与圆相切，可知，得，故所求直线方程为 …………………………5分（2）方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，，当为圆与轴右交点时，依题意，，解得（舍去），或. ……………………8分下面证明：点对于圆上任一点，都有为一常数.设，则.()222222222291881189(517)9552525102592(517)255x y x x x x PB x x x x x y PA ⎛⎫+++++-+ ⎪⎝⎭====+++-+++， 从而为常数. …………………………14分 方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，于是，将代入得，22222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-，即对恒成立，所以 ，解得或（舍去），故存在点对于圆上任一点，都有为一常数. ………………14分。
高三数学附加卷作业寒假作业参考解析
高三数学附加卷作业寒假作业参考解析寒假赶忙就要到了，同学们不要忘了在放松的时候还有寒假作业在等着我们去完成，下面是2021高三数学附加卷作业寒假作业参考答案，供学生参考。
一、 A.(选修41：几何证明选讲)自圆O外一点引切线与圆切于点，为中点，过引割线交圆于, 两点.求证: .证明：∵与圆相切于，，∵为中点，，B. 解由题知，四边形ABCD是直角梯形，其的面积为S1=3。
hellip,高中语文;3分A，B，C，D四点经矩阵M对应的变换后依次为7分因为A1D1与B1C1平行且距离为2，且四边形A1B1C1D1也是直角梯形，因此四边形A1B1C1D1的面积为综上所述，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积相等。
10分C.解：两圆的一般方程为：因此的最大值为：.D..证：由柯西不等式得，记为的面积，则ks5u ，故不等式成立.22. 解：(1)不能被4整除的数分为两类：①4个数均为奇数，概率为;②有3个为奇数，1个为2，其概率为因此不能被4整除的概率为.(2)X01234P(X)因为，因此23. 解：(1)设点的坐标为，由，得点是线段的中点，则，，又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由，得，①由，得t=y ②由①②消去，得即为所求点的轨迹的方程(2)证明：设直线的斜率依次为，并记，，语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。
假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破裂,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键确实是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,假如有目的、有打算地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便能够在读中自然领会文章的思想内容和写作技巧,能够在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
江苏省南京师范大学附属中学2016届高三寒假数学补课讲义2.导数的综合应用 Word版含答案
2．导数的综合应用【导数的几何意义】1．已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P (0，0)，则过点P 的曲线S 的切线方程为 . y ＝4x 或y ＝358x【利用导数研究函数的单调性】2．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是 . (0，＋∞)3．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3lnx 在t ，t +1]上不单调，则t 的取值范围是 . (0，1)∪(2，3)4．已知函数f (x )＝lnx －ax ＋1－ax －1，a ∈R ． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间； (2)当0≤a ＜12时，讨论f (x )的单调性．【利用导数讨论含参函数的极值与最值】5．已知函数f(x)＝x－1＋ae x( a∈R，e为自然对数的底数）．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值.【利用导数解决不等式的有关问题】6．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ．f (x )＞e x ＋1的解集为 . (0，＋∞)7．设一次函数f (x )为函数F (x )的导数．若存在实数x 0∈(1，2)，使得f (－x 0)＝－f (x 0)＜0，则不等式F (2x －1)＜F (x )的解集为 . (13，1)8．已知函数f (x )＝2 x 2＋12，g (x )＝lnx ＋b ．(1)当b ＝0时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；(2)若b 是正整数，且g (x )≤ax ≤f (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，试求b 的值及a 的取值范围.9．已知函数f(x)＝e x，g(x)＝a x2＋bx＋1(a，b∈R) ．(1)若a≠0，则a，b满足什么条件时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝0处总有相同的切线？(2)当a＝1时，求函数h(x)＝g(x)f(x)的单调减区间；(3)当a＝0时，若f(x)≥g(x)对任意的x∈R恒成立，求b的取值的集合．【函数与导数的综合问题】10．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈0，1]，存在x 2∈1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是 . 94，＋∞)11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a ＞0)的极大值点和极小值点都在区间(－1，1)内，则实数a 的取值范围是 . (3，2)12．设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x ) ．(1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x )的大小关系；(3)是否存在x 0＞0，使得|g (x )－g (x 0)|＜1x 对任意x ＞0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．。
高三数学寒假作业(5)讲义
高三数学寒假作业（5）命题：王道顺一、选择题1．若集合}0|{≥=x x A ，且A B B = ，则集合B 可能是（ ） A ．}2,1{ B ．}1|{≤x x C ．}1,0,1{- D ． R 2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．33．执行如右图的程序框图，若输出的48S =， 则输入k 的值可以为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．二项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 6．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），是开始输出s 结束否n k >3n n =+ k输入1,1n s ==2s s n =+（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）① ② ③ ④A ．①和② B．③和① C ．③和④ D ．④和② 8．如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和② B．②和③ C．③和④ D ．①和④ 二、填空题9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z z z ⋅+-=___________． 10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ，若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．AC DPOB．xy ．． 1 1 O ． ． ． ．z21 2 211．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c满足,(,)c xa yb x y R =+∈ ，则=x y． 13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的 课程中恰有2门相同的选法．．有 种（用数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}x M x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是 ． 三、解答题15． 在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 若()2f C =，且2a =，1c =，求b .abcxy PQOαACDEFB17． 如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到 直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°． 18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>离心率22e =，短轴长为22．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别 与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．NM QAOPxy高三数学寒假作业（5）答案一、选择题题号 12345678答案A C CB ACD B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题15．（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， …………3分所以()sin cos 2sin()4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1,2]f α∈. …7分 （Ⅱ）因为()2sin()24f C C π=+=， (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2212222b b =+-⨯，解得1b =. ……………13分 17．（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分题号 9 10111213 14 答案 1+2 6π8π112180③④又因为ED BD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()()0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,2,0,2D A E B F()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30，所以AP 与(0,1,1)n = 所成的角为60 或120所以221cos ,242AP n y z AP n AP n y z ⋅+<>===⋅++⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：63y z ==±………13分所以，66(0,,)33P 或66(0,,)33P --. ………14分 18.（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． …1分AC DEFBx z y当1a =时，1()x f x x-'=． ……2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； …10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． ……12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-． ……13分19．（Ⅰ）由短轴长为22，得2b =， …………1分由2222c a b e a a -===，得224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点(2,0)F ±． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y-=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得2x =±.∴以MN 为直径的圆过定点(2,0)F ± 14分。
高三数学(科学)寒假自主学习材料参考答案
【解析】由 得 。当 ，解得 ，由 ，解得 ，由 得 .所以根据积分的应用知所求面积为 .选D.
5、解析：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，
因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，
因为 ， ，
答案A
4．解析 依题意得， ＝ ，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x＋ ＝kπ＋ ，解得x＝ ＋ ，当k＝0时，x＝ .
因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝ .
答案A
5.解析 将y＝sin 图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到函数y＝sin ；再将图象向右平移 个单位，得到函数y＝sin ＝sin ，x＝－ 是其图象的一条对称轴方程．
由 ，
得 ．
故函数 的单调递减区间是 （ ）．…………………7分
（Ⅱ）因为 ，
所以 ．
所以 ．…………………………………………………………12分
因为函数 在 上的最大值与最小值的和 ，
所以 ．…………………………………………………………………………14分
15．解：（1） …2分
由函数的图象及 ，得到函数的周期 ，解得 ………6分
对于选项③，由于f(x)＝ 的图象不是中心对称图形，因此也不正确；
对于选项④，由三角函数的性质可知，f(x)＝ 的单调递增区间是kπ≤2x＋ ≤kπ＋ (k∈Z)，即 － ≤x≤ ＋ (k∈Z)，当k＝1时，x∈ .
答案④
13.解(1)由acosB＋ bsinA＝c，得
sinAcosB＋ sinBsinA＝sin (A＋B)，
所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]
高三数学学生寒假自主学习讲义文科加试题参考答案
-ππO7．三角函数、平面向量、复数（一）编写 苏晓春 审核 李 英学校___________班级___________ 姓名___________学号____________一．填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．已知向量()()x b a ,2,1,1==，若()()a b b a 24//-+，则实数=x ．22．若tan 3α=,则22sin 2sin cos 3cos αααα-+的值为________________．353．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos ．334．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T = ．π5．已知复数z 满足1z =且21z =-，则z =_________．i ±6．函数y =sin 2x +2cos x 在区间],32[απ-上的最小值为41-，则α的取值范围是 ．22,33ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦7．若B A B A 22cos cos ,32+=+则π的取值范围是 ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．函数)252sin(π+=x y 的图象的对称轴方程是 ．()2k x k π=∈Z9．如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点．若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是___________．12-10．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，若动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，λ∈［0，+∞），则点P 的轨迹一定通过△ABC 的___________心．重二．解答题：本大题共5小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．在锐角ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量2(2sin(),3),cos 2,2cos 12B m A C n B ⎛⎫=+=-⎪ ⎭⎝，且向量m ,n 共线．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）如果1b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．12．设函数f （x ）=a ·b ，其中向量a =（2cos x ，1），b =（cos x ，3sin2x ），x ∈R ． （Ⅰ）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）⎝⎛⎭⎫|m |＜π2平移后得到函数y =f （x ）的图象，求实数m 、n 的值．13． 已知向量a =（1，3cos x ），b =（cos 2x ，sin x ），x ∈R ，定义：y =a ·b ． （Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式y =f （x ）及其单调递增区间； （Ⅱ）若x ∈［0，2π］，求函数y =f （x ）的最大值、最小值及其相应的x 的值．14．设1()cos2sin (0)242a f x x a x x π=+-≤≤ ．（Ⅰ）用a 表示)(x f 的最大值)(a M ； （Ⅱ）当2)(=a M 时，求a 的值．15．已知函数.21)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-+=πf f x x b x a x f 且（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求f （x ）的单调递减区间； （Ⅲ）函数f （x ）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？7．三角函数、平面向量、复数（一）一．填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1． 2 2．35 3．33 4．π 5．i ± 6．22,33ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦7．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．()2k x k π=∈Z9．12-10．重二．解答题：本大题共5小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．解：（Ⅰ）6B π=；（Ⅱ）234+．12．解：（Ⅰ）依题设f （x ）=2cos 2x +3sin2x =1+2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6，由1+2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6=1－3，得sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6=－32．∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x +π6≤5π6，∴2x +π6=－π3，即x =－π4．（Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）平移后得到函数y =2sin2（x －m ）+n 的图象，即函数y =f （x ）的图象．由（Ⅰ）得f （x ）=2sin2⎝⎛⎭⎫x +π12+1，∴|m |＜π2，∴m =－π12，n =1．13．解：（Ⅰ）a =（1，3cos x ），b =（cos 2x ，sin x ），a ·b =cos 2x +3cos x·sin x =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+12，∴y =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+12．单调递增区间是［6,3ππππ+-k k ］（k ∈Z ）．（Ⅱ）由x ∈［0，2π］，得－π3≤2x －π3≤2π3，∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3≤1．∴f （x ）min =0，此时x = π2；f （x ）max =32，此时x = π6．14．解：（Ⅰ）过程略 =∴)(a M 231(2)421(02)2441(0)24a a a a a aa ⎧-≥⎪⎪⎪-+<≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩．（Ⅱ）当2)(=a M 时 ，2311012;23423244a a a a a -=⇒=-+=⇒=或2-=a （舍）； 62421-=⇒=-a a ． 310=∴a 或6-=a ．15．解：（Ⅰ）由,23,32,23232,23)0(==∴=-=a a a f 则得 由,1,2123223,21)4(=∴=-+=b b f 得π).32sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π+=+=-+=∴x x x x x x x f ∴函数)(x f 的最小正周期T =2.2ππ= （Ⅱ）由,12712,2233222ππππππππππk x k k k x k +≤≤≤++≤+≤+得∴f （x ）的单调递减区间是]127,12[ππππk k ++()k ∈Z ．（Ⅲ）)6(2sin )(π+=x x f ，∴奇函数x y 2sin =的图象左移6π即得到)(x f 的图象，故函数)(x f 的图象右移6π后对应的函数成为奇函数． （注：第（Ⅲ）问答案不唯一．）8．三角函数、平面向量、复数（二）编写 苏晓春 审核 李 英学校___________班级___________ 姓名___________学号____________一．填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．已知正方形ABCD 边长为1，,,,AB a BC b AC c ===则_____a b c ++=．2．已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=（i 为虚数单位）有实数根，则纯虚数m 的值是______．112i3．已知(2,3),(21,2)a m m b m m =-+=+-,且a 与b 的夹角为钝角,则实数m 的取值范围是 . 423m -<<且m ≠4．定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y =6cos x 的图象与y =5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y =sin x 的图象交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________.235．已知向量→m ＝(sin θ ，2cos θ )，→n ＝(3,－12)．若→m ∥→n ，则sin2θ 的值为___________．－ 83496．已知在△OAB (O 为原点)中，→OA ＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，若→OA ·→OB ＝-5，则S △AOB 的值为___________．5327．设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ］上单调递增，则ω的取值范围是_______．30,2⎛⎤⎥⎝⎦8．设O 是△ABC 内部一点，且2,OA OC OB +=-则AOB ∆与AOC ∆的面积之比为 ．1：29．已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,则sin2α的值为________．5665-10．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______________．13k <<二．解答题：本大题共5小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数)cos (sin log )(21x x x f -=．（Ⅰ）求它的定义域和值域； （Ⅱ）求它的单调区间； （Ⅲ）判断它的奇偶性；（Ⅳ）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．12．已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2πϕ<.（Ⅰ）若cos cos sin sin 0,44ππϕϕ3-=求ϕ的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数.13．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量→m ＝(1，2sin A )，→n ＝(sin A ，1＋cos A )，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a ．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求sin(B ＋π6)的值．14．已知→a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，→b ＝(cos x －sin x ，2cos x )． （Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；（Ⅱ）若f (x )＝→a ·→b ，当x ∈[-π4，π4]时，求函数f (x )的最大值及最小值．15．已知定义在R 上的函数()()sin cos 0f x a x b x ωωω=+>的周期为π,且对一切x ∈R ,都有()412f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭≤.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式； （Ⅱ）若()6g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求函数()g x 的单调增区间.8．三角函数、平面向量、复数（二）一．填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1． 2．112i 3．423m -<<且m ≠ 4．235．－8349 6．532 7． 30,2⎛⎤⎥⎝⎦8．1：2 9．5665- 10．13k <<二．解答题：本大题共5小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．解：（Ⅰ）由题意sin x -cos x ＞0即0)4sin(2>-πx ，从而得ππππ+<-<k x k 242，∴函数的定义域为），（45242ππππ++k k ()k ∈Z ． ∵1)4sin(0≤-<πx ，故0＜sin x -cos x ≤2，所有函数f (x )的值域是),21[+∞-． （Ⅱ）单调递增区间是），452432[ππππ++k k ()k ∈Z ， 单调递减区间是），（43242ππππ++k k ()k ∈Z ．（Ⅲ）因为f (x )定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f (x )是非奇非偶函数．（Ⅳ）∵)()]2cos()2[sin(log )2(21x f x x x f =+-+=+πππ，∴函数f (x )的最小正周期T =2π．12．解：（Ⅰ）由3cos cos sin sin 044ππϕϕ-=得cos cos sin sin 044ππϕϕ-=，即cos()04πϕ+=又||2πϕ<，∴4πϕ=.（法一）（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ()sin()4f x x πω=+，∴依题意 23T π=，又2,T πω=故3ω=，∴()sin(3)4f x x π=+，∴函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，()g x 是偶函数当且仅当3()42m k k πππ+=+∈Z ，即()312k m k Z ππ=+∈，从而，最小正实数12m π=.（法二）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()sin()4f x x πω=+，依题意，23T π=，又2T πω=，故3ω=，∴()sin(3)4f x x π=+，∴函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，()g x 是偶函数当且仅当()()g x g x -=对x ∈R 恒成立，即sin(33)sin(33)44x m x m ππ-++=++对x ∈R 恒成立. ∴sin(3)cos(3)cos(3)sin(3)44x m x m ππ-++-+sin3cos(3)cos3sin(3)44x m x m ππ=+++. 即2sin3cos(3)04x m π+=对x ∈R 恒成立.∴cos(3)04m π+=，故3()42m k k πππ+=+∈Z ， ∴()312k m k Z ππ=+∈，从而，最小正实数12m π=.13．解：(Ⅰ)由→m ∥→n ，得2sin 2A －1－cos A ＝0，即2cos 2A ＋cos A －1＝0，∴cos A ＝12或cos A ＝－1. ∵A 是△ABC 内角，cos A ＝－1舍去，∴A ＝π3.(Ⅱ)∵b ＋c ＝3a ，由正弦定理，sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32，∵B ＋C ＝2π3，sin B ＋sin(2π3－B )＝32， ∴32cos B ＋32sin B ＝32，即sin(B ＋π6)＝32．14．解：（Ⅰ）假设→a ∥→b ，则2cos x (cos x ＋sin x )－sin x (cos x －sin x )＝0， ∴2cos 2x ＋sin x cos x ＋sin 2x ＝0，2·1＋cos2x 2＋12sin2x ＋1－cos2x 2＝0，即sin2x ＋cos2x ＝－3， ∴2(sin2x ＋π4)＝－3，与|2(sin2x ＋π4)|≤2矛盾，故向量→a 与向量→b 不可能平行． （Ⅱ）∵f (x )＝→a ·→b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2(22cos2x ＋22sin2x )＝2(sin2x ＋π4)， ∵－π4≤x ≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f (x )有最小值－1．15．解：（Ⅰ）由题意知,22Tππωω==∴=，.又由x∀∈R都()412f x fπ⎛⎫=⎪⎝⎭≤知4,sin cos4,66a bππ⎨+=⎪⎩∴2216,8,a ba⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得2,ab=⎧⎪⎨=⎪⎩∴()2sin2f x x x=+.（Ⅱ）()4sin2,3f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭∴()4sin233g x xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.∴()24sin23g x xπ⎛⎫=--⎪⎝⎭.∴23222232k x kπππππ+-+≤≤,∴7131212k x kππππ++≤≤，∴函数()g x的单调增区间为()713,1212k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z.。
常熟高三数学自主学习讲义数学(5-6)答案
第5课时 函数的值域和最值1．函数2(),(0,)f x x x x=+∈+∞的值域是_____________． 2．函数22()1x f x x =+的值域是_____________． 分析：方法一：21,0,111t t x t y t t =≥∴==-++令则 ， 方法二：222(),,0111x y y y f x x y x y y===≥+--令则由求解的范围。
3．y=x )21(1-的定义域为_____________________,值域为_______________________. 分析：4．函数()34()2f x x =-的值域是_____________．6．函数()22()log 4f x x x =-的值域是_____________．5．已知二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞，则a c +的最小值是_________． 分析：0440a ac >⎧⎨∆=-=⎩7．函数()log 31(01)a y x a a =+->≠且的图像恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为________________． 分析：(2,1)22A m n --+=，则1212211212()()()(2)(4)222m n n m m n m n m n m n m n++=+=++=++ 注意“1”的巧妙应用8.设2 (||1)() (||1)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是 .分：10．求函数()f x =分析：0t =令31122t t =-+则y ，导函数求解最值。
注意变量t 的范围。
11．设a >0，函数()log a f x x =在区间[a ,2a ]上的最大值与最小值之差12，求a 的值.12．设)20(4sin 2cos 21)(π≤≤-+=x a x a x x f . (1)用a 表示)(x f 的最大值)(a M ； (2)当2)(=a M 时，求a 的值。
2021-2022年高三上学期9月假期自主学习反馈检测 文科数学试题 含答案
山东省堂邑中学xx届高三上学期9月假期自主学习反馈检测文科数学试题2021年高三上学期9月假期自主学习反馈检测文科数学试题含答案一、选择题1．设函数(x∈R)满足，，则的图象可能是2．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为A． B． C． D．3．设m,n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是A．若m//B．若m//C．若m//D．若m//4．函数的部分如图所示,点A、B是最高点,点C是最低点,若是直角三角形,则的值为A． B． C． D．5．命题“，”的否定是（）（A），（B），（C），（D），6．若是空间三条不同的直线，是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是（）（A）若，，则（B）若，，则（C）当且是在内的射影，若，则（D）当且时，若，则7．如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE 内部的概率等于（）（A）（B）（C）（D）8．若数列的通项为，则其前项和为（）（A）（B）（C）（D）9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A）（B）（C）（D）10．设圆锥曲线的两个焦点分别为、，若曲线上存在点满足：：=4：3：2，则曲线的离心率等于（）（A）（B）（C）（D）11．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则” 的否命题为“若，则”B．“”是“”的必要而不充分条件C．命题“存在，使得”的否定是“对任意，均有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题12．下列命题中正确的是（1）已知为纯虚数的充要条件（2）当是非零实数时，恒成立（3）复数的实部和虚部都是（4）设的共轭复数为，若A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（3）D. （2）（4）第II 卷（非选择题）二、填空题13．若某程序框图如图所示，则运行结果为．14．在中，,, 则的面积是_ _15．如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形 内（含边界）任意一点，则的取值范围是 .16．已知实数、满足，则的最大值是 ．三、解答题17．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， AB//CD ，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M 为PB 的中点．（I ）证明：MC//平面PAD ；（II ）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值． 18．如图，已知抛物线的焦点在抛物线上．开始i输出结束是否?49<s 1=i 0=s is s 1+= 1+=i i（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线上的动点作抛物线的两条切线、，切点为、．若、的斜率乘积为，且，求的取值范围．19．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．EBFA DC（Ⅰ）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．20．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点．（Ⅰ）求出椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆上，求m的值．21．已知函数，在点处的切线方程为．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；（Ⅲ）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．22．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：画出散点图，并通过散点图确定变量y对x是否线性相关；（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(精确到0.0001)文科数学参考答案1．B【解析】试题分析：根据题意，由于函数(x∈R)满足，，可知函数为偶函数，且周期为2，那么可知排除A,C,对于B,D来说，就看周期性可知，满足周期为2的为B，故答案为B ,考点：函数图象点评：主要是考查了函数图象以及函数性质的运用，属于基础题。
高三寒假教案及答案-寒假总复习
高三寒假教案及答案-寒假总复习题型1：集合中分类讨论问题例1、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=（ ）A ． 0B ． 0或3C ．1D ．1或3例2、已知集合；则中所含元素的个数为（ ）A ．3 B ．6 C ．8 D ．10 题型2：函数、方程中分类讨论问题 例3、函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例4、对 , a b R ∈,记,max{,},a a ba b b a b ≥⎧=⎨⎩＜，函数() max{|1|,|-2|}(f x x x x R=+ 的最小值是 （ ）A ．0B ．12C ．32D ．3 例5、对定义域分别是f g D D 、的函数()()y f x y g x ==、，规定函数()()()()()f gf g f gf xg x x D x Dh x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩且且且.（1）若函数=-1()1f x x ，=2()g x x ，写出函数()h x 的解析式； （2）求问题⑴中函数()h x 的值域；（3）若=+()()g x f x a ，其中a 是常数，且π∈[0,]a ，请设计一个定义域为R 的函数()f x 及一个a 值，使得=()cos4h x x ，并予以证明。
{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈B 1(0,1)x y a a a a=->≠例6、设函数)0(1)(≥++=x x a x x f 的最小值是22，求实数a 的值。
例7、设函数 （1）判断函数奇偶性，并说明理由，（2）当时，不等式恒成立，试求实数的取值范围。
（3）当[]2,1∈x 时，不等式有解，试求实数的取值范围。
例8、已知函数y =。
（1）求函数()f x 的定义域和值域； （2）设()()()242a F x f x f x ⎡⎤=⋅-+⎣⎦（a 为实数），求()F x 的最大值()g a ； （3）若()222m pm g a -++≤对所有的实数a 及[]2,2p ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。
常熟高三数学暑假自主学习讲义11,12答案
第11课时函数与方程填空题答案：1.（-∞，-2）∪（3，+∞） 2．3 3.(0,0.5f(0.25(0.25,0.5 4．45.(-2,16.m≤－2或m≥17. 0和-18.（,）一、填空题：本大题共8小题，每小题6分，共48分.1．二次函数y=ax2+bx+c(x∈R的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c>0的解集是.2．已知函数f(x＝则函数f(x的零点个数为个．3．用二分法研究函数f(x＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0＜0，f(0.5＞0，可得其中一个零点x0∈，第二次应计算，这时可判断x0∈.4．f(x是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2＝0.则方程f(x＝0在区间(0,6内解的个数的最小值是.5．已知函数在区间（2，4）内有零点，则实数的取值范围为 .6．已知函数f(x＝2mx＋4，若在[－2,1]上存在x0，使f(x0＝0，则实数m的取值范围是 .7. 若有一个零点3，那么函数的零点是 .8．设不等式2x－1>m(x－1对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立．则x的取值范围为.二、解答题：本大题共4小题，共52分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9．已知二次函数的一个零点在（0，2）上，另一个零点在（3，5）上，求b的值．由函数的一个零点在上得，即，解得．又函数的一个零点（即较大的根）在上，即解得．，．10．已知函数f(x＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．∵f(x＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有一正一负根，即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾．∴这种情况不可能．综上可知：m＝－2时，f(x有唯一零点，该零点为x＝0.11．若函数f(x＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x有极值- .(1求函数f(x的解析式；(2若关于x的方程f(x＝k有三个零点，求实数k的取值范围．由题意可知f′(x＝3ax2－b，(1于是解得故所求的解析式为f(x＝x3－4x＋4.(1 由(1可知f′(x＝x2－4＝(x－2(x＋2，令f′(x＝0，得x＝2，或x＝－2.当x变化时f′(x、f(x的变化情况如下表所示：x(－∞，－2－2(－2,22(2，＋∞f′(x＋0－0＋f(x单调递增单调递减－单调递增因此，当x=-2时，f(x有极大值；当x=2时，f(x有极小值-.所以函数的大致图象如图．故实数k的取值范围是12．已知f(x是二次函数，不等式f(x<0的解集是(0,5且f(x在区间[-1,4]上的最大值是12.（1）求f(x的解析式；（2）是否存在自然数m使得方程在区间(m,m+1内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.（1）是二次函数，且的解集是可设f(x在区间上的最大值是由已知，得（2）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数．方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内无实数根，∴存在惟一的自然数使方程在区间内有且只有两个不同的实数根．第12课时函数的模型及其应用填空题答案：1．2．3． 4.4 5．20466． 7.150 8.6一、填空题：本大题共8小题，每小题6分，共48分.1．要做一个母线长为20cm圆锥形漏斗，要使体积最大，则高应为_____________.2．从边长为10cm*16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为___________________.3．一种礼品包装盒是体积为V的正三棱柱，则包装盒所用材料最少时，底面边长为_______.4. 从盛满2L纯酒精的容器里倒出1L,然后填满水，再倒出1L混合溶液后又用水填满，依此继续下去，要使酒精浓度低于，至少倒次.5．用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下砖块的一半多一块，……，依此类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第十层恰好把砖块用完，则此次砌墙共用去了块砖.6．用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的一边比另一边长，那么高为__________时容器的体积最大.7. 已知某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系是，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是台.8. 某旅店共有客床100张，各床每晚收费10元时可以全部客满，若每床每晚收费提高2元，便减少10张客床租出，再提高2元，则又减少10张客床租出，依此变化，为了减少投入，多获利，每床每晚收费应提高元.二、解答题：本大题共4小题，共52分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解：（1）即（）；（2）由均值不等式得：（万元）当且仅当，即时取到等号．答：该企业10年后需要重新更换新设备．-10．现有一批货物用轮船从上海运往青岛，已知该船航行的最大速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成.轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元.（1）把全程运输y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：设每小时燃料费用为m元，则m=(0＜x≤35 ，由题意，全程所用的时间为小时，所以，x(0,35]．故所求的函数为，x(0,35]．（2）以下讨论函数，x(0,35]的单调性：设0＜x1＜x2≤35,∵0＜＜≤35，∴，∴＞0．∴函数，x(0,35]是减函数，故当轮船速度为35海里/小时时，所需成本最小.B11．为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米. 为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y－0.5）米. 在△ABC 中，依余弦定理得：，即化简，得．∵，∴，因此，∴.当且仅当时，取“=”号，即时，y有最小值12．某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x 人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）.（1）写出g（x），h（x）的解析式；（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？（1）由题知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216－x）人.∴g(x=，h(x=，即g(x=，h(x=（0＜x＜216，x∈N*）.（2）g（x）－h（x）=－=. ∵0＜x＜216，∴216－x＞0.当0＜x≤86时，432－5x＞0，g（x）－h（x）＞0，g（x）＞h（x）；当87≤x＜216时，432－5x＜0，g（x）－h（x）＜0，g（x）＜h（x）.∴f（x）=（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值.当0＜x≤86时，f（x）递减，∴f（x）≥f（86）==. ∴f（x）min=f（86），此时216－x=130.当87≤x＜216时，f（x）递增，∴f（x）≥f（87）==.∴f（x）min=f（87），此时216－x=129. ∴f（x）min=f（86）=f（87）=.∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129.自我总结提炼：。
(新)高中寒假自主学习理科数学综合练习试题卷(附答案解析)
（新）高中寒假自主学习理科数学综合练习试题卷理科综合卷面分值：200分 时量：150分钟测试时间： 年 月 日 : ~ :一、选择题(本大题14个小题，每小题4分，共56分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上；其中1~6题是数学试题,7~10题是物理试题，12~14题是生物试题)1.已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围A．( B．( C．( D．(2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺. 问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3， 估算出堆放的米约有（第2题图） （第7题图） （第8题图） A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛3.若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F ,2F ，点P 在双曲线E 上，且1||3PF =，则2||PF 等于A. 11B. 9C. 5D. 3 4.若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 已知AB AC ⊥,1||AB t=，||AC t =，若P 点是ABC △所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+，则 PB PC 的最大值等于A. 13B. 15C. 19D. 21 6.设函数3, 1,()2, 1.x x b x f x x -⎧=⎨⎩＜≥若5(())46f f =，则b =A ．1B ．78 C ．34D．127.如图所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场。
高三数学学生寒假自主学习讲义(一)参考答案
１．集合、函数、导数及其应用一班级_________ 姓名_________一．填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．设集合{|,08}U x x N x =∈≤≤，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则()U SC T =___{1,2,4}_____．2．设函数()221, 12, 1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的值为 15/16 ．3．函数()2423x x f x +=--的值域是______[-7,+∞）___________．4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足12,[0,)x x ∀∈+∞，都有()()()12120x x f x f x -⎡-⎤>⎣⎦，则()()12, 1, 2f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是_______f （1/2）﹤f （1）﹤f （-2）______________．5．关于x 的方程233x x +=的实数解的个数是 2 ．6．已知点P 是曲线3103y x x =-+上位于第二象限内的一点，且该曲线在点P 处的切线斜率为2，则这条切线方程为________y ﹦2x+19_____________．7．函数()21ln 2f x x x =-的单调递增区间是______ （0,1] ．8．已知)(x f ＝1, 01, 0x x ≥⎧⎨-<⎩则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是（-∞，3/2] ． 9．已知函数1()cos ,,222f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则f (x )的最大值为_π/4______________．10．设集合26112x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}4log 1B x x a =+<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是____[1,2]______________．二．解答题：本大题共5小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．设集合1|2432x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，()(){}|1210B x x m x m =-+--<． (1)求A Z ；(2)若A B ⊇，求实数m 的取值范围．11．解(1){}{}52|222|25x A x x x --=≤≤=-≤≤∴{}2,1,0,1,2,3,4,5AZ =--；(2)()(){}|1210B x x m x m =⎡--⎤⎡-+⎤<⎣⎦⎣⎦ 当121m m -=+，即m ＝－2时，B =∅符合当121m m ->+，即m ＜－2时，{}1|21m B x m x <-=+<，∵B A ⊆，∴21215m m +≥-⎧⎨-≤⎩．∴352m -≤≤．又2m <-，∴m ∈∅．当121m m -<+，即m ＞－2时，{}1|21m B x x m -<=<+，∵B A ⊆， ∴12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩．∴12m -≤≤．综上得{}|122m m m m ∈-≤≤=-或．12．二次函数()2f x ax bx c =++的图像经过点()11,A x y ，()22,B x y 两点，且满足()212120a y y a y y +++=．(1)求证：1y a =-或2y a =-；(2)求证：函数f (x )的图像与x 轴必有2个交点；(3)若关于x 的不等式f (x )＞0的解集是{x |x ＞m 或x ＜n }，其中n ＜m ＜0，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0．解(1)由题()()120a y a y ++=，∴1y a =-或2y a =-．(2)当a ＞0时，抛物线开口向上，－a ＜0，∴点A 或点B 在x 轴下方； 当a ＜0时，抛物线开口向下，－a ＞0，∴点A 或点B 在x 轴上方 ∴函数图象必与x 轴有两个不同的交点． (3)∵()0f x >的解集是{}|x x m x n ><或，∴()()()22ax bx c a x m x n ax a m n x amn ++=--=-++，且a ＞0．∴()b a m nc amn ⎧=-+⎨=⎩．∴()2211cx bx a amnx a m n x a amn x x m n ⎛⎫⎛⎫-+=+++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．又∵0n m <<，且a ＞0，∴由20cx bx a -+>解得11x x m n>-<-或． 13．已知函数f (x )＝x －1e x的定义域是(0，＋∞)．(1)求函数f (x )在[m ,m ＋1](m ＞0)上的最小值；(2)∀x ∈(0,＋∞)，不等式xf (x )＞－x 2＋λx －1恒成立，求实数λ的取值范围．13解(1)()xe f x x =，∴()()21'x e x f x x -=．当()0,1x ∈时，∴f (x )在(]0,1上递减；当()1,x ∈+∞时，∴f (x )在[)1,+∞上递增．∴当m ≥1时，f (x )在[m ,m ＋1]上递增，()()min me f x f m m==；当0＜m ＜1时，f (x )在[m ,1]上递减，在[1,m ＋1]上递增，()()min 1f x f e ==．∴()min, 1, 01me mf x m e m ⎧≥⎪=⎨⎪<<⎩． (2)20,1xx e x x λ∀>>-+-恒成立，即1x e x x xλ<++恒成立．由(1)可知，0,xe x e x∀>≥，当且仅当x ＝1时取等号，又10,2x x x∀>+≥，当且仅当x ＝1时取等号，∴当且仅当x ＝1时，有min 12x e x e xx ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭．∴2e λ<+．另外'21(1)(1),x x e x e x y x y x x x -++=++=14．如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD 和曲线EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG ，MK ，且以MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD 的方程是()220020x y x +=≤≤，曲线EF 的方程是()2000xy x =>，设点M 的坐标为(),s t ．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）（1）求三角形观光平台MGK 面积的最小值； （2）若要使∆MGK 的面积不小于320平方米，求t 的取值范围．14．解(1)由题200200,,,G t K s t s ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且220, 010s t t +=<<，∴11200200140000200222MGK S MG MK s t st t s st ∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵222s t st +≥，当且仅当s ＝2t 时取“＝”，∴050st <≤．令(],0,50st μμ=∈，()40000f μμμ=+，∴()240000'10f μμ=-<．∴()f μ在(]0,50上递减．∴()()min 1502002252MGK S f ∆=-=． (2) 由题320MGK S ∆≥，解得40st ≤或1000st ≥．图1 图2∴()020240t t <-≤，即210200t t -+≥．∴5t ≤5t ≥ 又010t <<，∴()0,555,10t ⎡∈-+⎣．15．已知函数()()322339f x x ax a x a a R =--+∈(1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若14a >，且当[]1.4x a ∈时，()|'|12f x a ≤恒成立，试确定a 的取值范围． 15．解(1)当a ＝1时，()2'369f x x x =--．令f ’(x )＝0得x ＝－1或x ＝3，∴()()6,26f x f x ==-极大值极小值． (2)()22'369f x x ax a =--①当114a <≤时，()'f x 在[]1,4a 上递增， ∴()()()()22min max ''1369,''415f x f a a f x f a a ==--==．由()|'|12f x a ≤得22369121512a a a a a ⎧--≥-⎨≤⎩，∴14,45a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． ②若a ＞1，则()2|'|1212f a a a =>，不符合题意． 综上，14,45a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
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9．直线和圆一．填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1．[)20,,33πππ⎤⎡⎥⎢⎦⎣U 2．1 3．20 4．8 5．),33(+∞ 6．点在圆外 7．152 8．9．（-2,-1）或（51,52） 10．{}2(1,1]--U 二．解答题：本大题共5小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．因为圆C 与直线相切于点Q ，则圆心C 在直线上，设圆心坐标,半径因为圆C 与圆相外切，则解之得，或从而，所求圆C 方程为或12．解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y += (Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=, 且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++u u u r u u u u r =224x y x y +++-=2x y +-, 所以PQ MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得) (Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数, 故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= 因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+， 同理,22211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行13．解：（1）22:(2)(3)1C x y -+-=e ．当切线的斜率不存在时，对直线3,(2,3)x C =到直线的距离为1，满足条件；当k 存在时，设直线5(3)y k x -=-，即53y kx k =+-，∴2|2|11k -+=+，得34k =． ∴得直线方程3x =或31144y x =+ ．（2）||AO ==:530l x y -=，d = ，11||22S a AO ==．14．解：（1）圆心O 到直线l 的距离2122kd +=,l Θ与圆O 相交,d ∴<2,1>∴k 或1-<k .∴1()2s k d =⨯==1>k 或1-<k ）． （2）281)4111(22411)1(224)(22222≤+-+-=+++-=kk k k s ， 3±=∴k 时,有2)(max =k s ．15．解：（1）O C 过原点圆Θ，2224tt OC +=∴． 设圆C 的方程是22224)2()(t t ty t x +=-+-， 令0=x ，得ty y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021==． 4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB，即OAB ∆的面积为定值．（2）,,CN CM ON OM ==ΘOC ∴垂直平分线段MN ．21,2=∴-=oc MN k k Θ，∴直线OC 的方程是x y 21=． t t 212=∴，解得：22-==t t 或． 当2=t 时，圆心C 为)1,2(，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，∴圆C 与直线42+-=x y 相交于两点． 当2-=t 时,圆心C 为)1,2(--,5=OC ,则C 到直线42+-=x y 距离559>=d ，∴圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去． 所以圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x ．10．圆锥曲线与方程一．填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1. 2． 3． 4．0＜e ≤22 5．2(6．椭圆 7．内切 8．38cm 12cm21 9．[2,3ππ] 10．320x py q ++=二．解答题：本大题共5小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（1）由题意，得a 2 e 2，∴c =1，∴b 2=1． 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）∵P (－1，1)，F (1，0)，∴12PF k =-，∴2OQ k =．所以直线OQ 的方程为y =2x ．又椭圆的右准线方程为x =2，所以Q (2，4)，所以4112(1)PQ k -==--．又1OP k =-，所以1PQ OP k k ⋅=-，即OP ⊥PQ ．故直线PQ 与圆O 相切．12．解：（1）点A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=．∵m ＜3，∴m ＝1． 设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=． ∵直线PF 1与圆C 相切，圆C ：22(1)5x y -+=， 251k =+111,22k k ==或． 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4．∴F 1（－4，0），F 2（4，0）． 故2a ＝AF 1＋AF 2＝52262+=，32a =，a 2＝18，b 2＝2．椭圆E 的方程为：221182x y +=．（2）(1,3)AP =u u u r ，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--u u u r ，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r ． ∵221182x y +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18． 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]．∴3x y +的取值范围是[－6，6]．即13．解： ⑴设Q （x 0，0），由F （-c ，0），A （0，b ）知),(),,(0b x AQ b c FA -==，c b x b cx 2020,0,==-∴⊥Θ，设PQ AP y x P 58),,(11=由，得21185,1313b x y b c ==．因为点P 在椭圆上，所以1)135()138(22222=+bb ac b ，整理得2b 2=3a c ，即2(a 2－c 2)=3a c ， ∴22320e e +-=,故椭圆的离心率e =21． ⑵由⑴知a c a c a c b ac b 2121233222====，得又；，得，于是F （－21a ，0），Q )0,23(a ，△A QF 的外接圆圆心为（21a ，0），半径r =21|FQ|=a ，所以a a =-2|521|，解得a =2，∴c =1，b =3，所求椭圆方程为13422=+y x ． 14．解：（1）设过点P 的切线斜率为k ，方程为.022),2(2=+---=-k y kx x k y 即其与圆相切则.1.0383,11|22|2122=⋅=+-=+-k k k k k k 所以化简得 （2）设点P 坐标为),(00y x ，过点P 的切线斜率为k ,则方程为)(00x x k y y -=-即,11||.022200=+-=+--k y kx k y kx 其与圆相切则化简得.0)1(2)1(2000220=-+--y k y x k x 因为21,k k 存在，则10±≠x ，且)1)(1(4)2(222---=∆p p p p y x y x 0)1(422>-+=p p y x ，由21,k k 是方程的两个根，所以λ-=--=⋅11202021x y k k ，化简得.12020+=+λλy x 即所求的曲线M 的方程为).1(122±≠+=+x y x λλ 若M ),1,(--∞∈λ所在圆锥曲线是焦点在x 轴上的双曲线； 若M ),0,1(-∈λ所在圆锥曲线是焦点在y 轴上的双曲线； 若(0,1),M λ∈所在圆锥曲线是焦点在x 轴上的椭圆； 若1,M λ=所在曲线是圆；若M ),,,1(+∞∈λ所在圆锥曲线是焦点在y 轴上的椭圆.15．（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===22222262c a b a ca ⇒⎪⎩⎪⎨⎧===3323b c a 所求椭圆M 的方程为191822=+y x …4分 （Ⅱ）当θ≠2π，设直线AB 的斜率为k = tan θ，焦点F ( 3 , 0 )， 则直线AB 的方程为y = k ( x – 3 )有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1918322y x k kx y ⇒( 1 + 2k 2 )x 2 – 12k 2x + 18( k 2 – 1 ) = 0 设点A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 )有x 1 + x 2 =222112kk +, |AB | = (** )又因为 k = tan θ=θθcos sin 代入**式得|AB | =θθθθθ22222sin 126sin 2sin 126sin 2cos 26+=+-=+当θ=2π时，直线AB 的方程为x = 3，此时|AB | =23而当θ=2π时，|AB | =θ2sin 126+=23综上所述 所以|AB | =θ2sin 126+（Ⅲ）过右焦点F 且与直线AB 垂直的直线交椭圆M 于C ，D ，同理可得|CD | =()222126k k ++=θ2cos 126+有|AB | + |CD | =θ2sin 126++θ2cos 126+=θ2sin 412218+因为sin2θ∈[0，1]，所以 当且仅当sin2θ=1时，|AB |+|CD |有最小值是28。