第1章计数原理 专解2 求特定条件下方法种数 必备知识点 巩固练习-人教A版高中数学选修2-3

【必备知识点】
1.排列的定义
一般地，从n 个不同的元素中取出m （m≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．
2.排列数的定义
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出
元素的排列数，用符号表示.
3.排列数公式
，其中n ，m ∈N +，且m≤n ．
4. 阶乘表示式 （1）全排列：
个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列.
全排列.
（2）阶乘的概念：
把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.
规定：．
（3）排列数公式的阶乘式：
所以．
5.组合定义：
一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
m m n ≤n m m n A A (1)(2)
(1)m
n n n n n m =---+n n (1)(2)
321n
n A n n n =--⨯⨯⨯n n !n n
n A =!n 0!1=(1)(2)(1)()21
!A (1)(2)
(1)()21
()!
m n n n n n m n m n n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅
⋅⋅=---+=
=
-⋅⋅⋅-!
A ()!
m
n n n m =-n m m n ≤n m
6.组合数及其公式 （1）组合数的定义：
从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． （2）组合数的公式及推导
求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数．
根据分步计数原理，得到．
因此 这里n ，m ∈N +，且m ≤n ，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数
公式还可表示为：．
7. 组合数公式：
(1)（ 、，且）
(2) （ 、，且）
8.组合数的性质
性质1：（、，且） 性质2：（、，且）
n m n m ≤n m m
n C m
n A m
n C m
m A m m m
n n m A C A =⋅2)(n m -+!
()!
m
n n A n m =
-!
!()!
m
n n C m n m =-(-1)(-2)(-1)
!m m
n n
m m
A n n n n m C m A +==m +∈N n n m ≤!
!(-)!
m
n n C m n m =
m +∈N n n m ≤m
n n m n C C -=m +∈N n n m ≤1
1-++=m n m n m n C C C m +∈N n n m ≤
【典例展示】
例1（重庆高考）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科，脑壳外和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________（用数学作答）.
【解析】按每科选派人数分3,1,1和，2,2,1两类.
当选派人数为3，1,1时，有3类，共有
种
200
3
5
1
4
1
3
1
5
3
4
1
3
1
5
1
4
3
3
=
+
+C
C
C
C
C
C
C
C
C.
当选派人数为2,1,1时，有3类，共有
种
390
2
5
2
4
1
3
2
5
1
4
2
3
1
5
2
4
2
3
=
+
+C
C
C
C
C
C
C
C
C.
故共有200+390=590（种）
答案：590
例2：（浙江高考）若从1,2,3,……，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
答案：D
例3：（陕西高考）
两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）
A.10种
B.15种
C.20种
D.30种
答案;C
【思路总结与方法】
1.思路：解决这个问题首先要确定所给问题的类别.再根据问题类别采用相应的计数原理进行计算求出方法的个数.
2.解题步骤：
①确定所给问题是“分类”问题还是“分步”问题
②根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理列出算式.
③求出方法总数.
【巩固练习】
1.（山东）现有16张不同的卡片，期中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A.232 B.252 C.472 D.484
解析：含有红色时，C(4,1)*C(12,2)=264种；
不含红色时，分为两种小情况：
1）含有三色，C(4,1)*C(4,1)*C(4,1)=64种；
2）含有两色，必然是1色1种，另一色2种。

先取出两色C(3,2)，然后(C4,1)*C(4,2)或C(4,2)*C(4,1)
所以有C(3,2)*[C(4,1)*C(4,2)+C(4,2)*C(4,1)]=144种。

根据分类原理，共有264+64+144=472种。

答案：C
2.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，以为同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）种
A.30
B.35
C.42
D.48
答案：A
3.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）
A.4种
B.10种C,18种 D.20种
答案：B
4.从5名男医生、4名女医生种选3名医生组成一个医疗小分队，要求期中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）种
A.70
B.80
C.100 D,140
答案：A
5.将4名大学生分配到4个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）
答案：36
6.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有_______种（用数字作答）
答案：140
【课后练习】
一、选择题
1．共个人，从中选1名组长1名副组长，不同的选法总数是（ ） A. B ． C ． D ．
2. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A.140种
B.120种
C.35种
D.34种
3．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（ ）． A ．18种 B ．24种 C ．45种 D ．90种
4．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（ ）．
A ．36个
B ．24个
C ．18个
D ．6个
5. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A 85
B 56
C 49
D 28
6．从正方体的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
7．平面直角坐标系xOy 中，平行直线x=n （n=0，1，2，…，5）与平行直线y=n （n=0，1，2，…，5）组成的图形中，矩形共有（ ）． A ．25个 B ．36个 C ．100个 D ．225个
8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放人每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）． A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 二、填空题
9.平面上有7个点，问以这7点中任何两个为端点，构成有向线段有 条。

10.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级2个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.
11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种.
A.8
B.12
C.16
D.20
12. 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）． 三、解答题
,,,,a b c d e 52016106''''ABCD A B C D -4812C -488C -486C -4
84C -372
13．在200件产品中，有2件次品，从中任取5件．（注：可以只列式子，不必求结果） （1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？ （2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？ （3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？
14.位实习教师全部分给高一年级的5个班级进行实习，每班至少1人，有多少种不同的分法？
15. 某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.
（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；
（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.
【答案与解析】 1.【答案】C 【解析】(种) 2. 【答案】D
【解析】7人中任选4人，共C 种选法，扣除只有男生的选法C ，就可得有既有男生，又有女生的选法C －C =34. 3．【答案】D
【解析】 （种）．
4．【答案】A
【解析】 若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故（个），故选A ．
5. 【答案】C
【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，
另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C 项。

6．【答案】A
2
554
1021
C ⨯==⨯222
64290C C C =213
32336C C A ⋅⋅=12
27C C 42⋅=21
27C C ⋅
【解析】 四个选项的思路是相同的．差别在于四点共面的情况有几种．6个表面及6组
对棱构成的6个对角面都是四个顶点共面，不能构成四面体．
7．【答案】D
【解析】 垂直于x 轴的6条直线中任取2条，垂直于y 轴的6条直线中任取2条，可得
一矩形，故共有（个）．
8．【答案】A
【解析】 4个小球分2组有：①（种），②（种），不同的分组方法．
在①中这3种分组方式可以随便放，∴种放法．
在②中只能有1种放法．故总种数为6+4=10（种）． 9. 【答案】21
【解析】两点确定一条直线，先从7个点中选2个点出来，共有=21种选法 10. 【答案】36
【解析】把10个名额分成2份，每份至少一个名额即可，用隔板法： C =36. 11. 【答案】12
【解析】此题正面分析情形较多，若逆向思考，则转化为总体中除去3个面两两相邻的 情形：6个面中任意解取3个，共有C 个，其中3个面两两相邻则对应于正方体的顶点个数，有8个，故所有不同选法有C -8=12（个）. 12. 【答案】336
【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．
13．【解析】（1）要取5件，恰有2件次品，则3件正品要从198中抽取，有种． （2）恰有l 件次品，则4件正品要从198中抽取，有种． （3）“没有次品”，则全为正品，有种．
（4）“至少有1件次品”，即要么l 件次品，要么2件次品．即是（1）（2）中所得
结果之和，为种．
14. 【解析】把实习教师先分成5组，人数分别为1，1，1，1，2，然后分给5个班级进行
22
661515225C C ⨯=⨯=22422
2
3C C A =13
434C C =2
236A ⨯=2
7C 3
63
63
7A 1
2
37C A 3
2
1982C C 1
4
2198C C 5
198C 3214
19822198C C C C +
实习，共有C ·C ·C ·C ·C ·A 种分法.
但事实上有4个班级所分的实习老师数目相同，不用相互交换.因此上述分法种数是实际数的A 倍，故应除以A .
所以不同分法种数应为=1800（种）. 15. 【解析】（1）C =126种.
（2）以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：①甲、乙都不上场有C C =120种；②甲、乙有一名上场，作前锋位有C （C C ）种，作后卫位有C （C C ）种，共C （C C ）+C （C C ）=340种；③甲、乙都上场，有C C +C C +C （C C ）=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636种.
16151413225
54
44
44
4
5
5
2213141516A A C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅。