2020-2021学年数学第二册教案：第3章章末综合提升含解析

2020-2021学年新教材数学人教B版选择性必修第二册教案：第3章章末综合提升含解析

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究］

两个计数原理的应用

错误!错误!

其中m∈{1,2，3，4,5}，n∈｛1，2，3,4，5,6，7},那么这样的椭圆的个数是________．

(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？

（1）20［以m的值为标准分类,分五类:

第一类:m＝1时，使n>m，n有6种选择；

第二类：m＝2时,使n〉m，n有5种选择；

第三类：n＝3时，使n〉m，n有4种选择；

第四类：n＝4时，使n〉m，n有3种选择；

第五类：n＝5时，使n〉m,n有2种选择；

所以共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法．]

(2)[解]用1,2,3，4，5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．

第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式；

第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3,6，同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．

(变条件)若本例(1）的条件“焦点在y轴上"改为“焦点在x轴上”,试求满足条件的椭圆的个数．

[解］因为方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m>n>0，

以m的取值进行分类．

当m＝1时,n值不存在；

当m＝2时，n可取1，只有1种选择;

当m＝3时,n可取1，2,有2种选择;

当m＝4时,n可取1，2，3,有3种选择；

当m＝5时，n可取1,2，3，4,有4种选择;

由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个．

应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：

1要做什么事；2如何去做这件事；3怎样才算把这件事完成了。并注意计数原则:分类用加法，分步用乘法。

［跟进训练]

1．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都参加）（1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；

(3）每项限报一人，但每人参加的项目不限．

［解](1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种）．

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3）由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)。

排列、组合的应用

从中选出3名队员排成1，2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．（用数字作答)

（2）在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目,4个舞蹈节目．

①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？

③若已定好节目单，后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序?

(1)48［①只有1名老队员的排法有C错误!C错误!A错误!＝36种．②有2名老队员的排法有C2，2C13C错误!A错误!＝12种．所以共有36＋12＝48种．]

（2）［解］①第一步,先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A错误!＝5 040种方法；第二步,再松绑,给4个节目排序，有A错误!＝24种方法．

根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960种．

②第一步，将6个演唱节目排成一列（如下图中的“□”）,一共有A错误!＝720种方法．

×□×□×□×□×□×□×

第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A4，7＝840种．

根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800种．

③若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有A错误!种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有错误!＝

A错误!＝132种排法．

1．处理排列组合应用题的一般步骤

（1）认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题．

（2）抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”．

2．处理排列组合应用题的规律

（1)两种思路:直接法，间接法．

（2）两种途径:元素分析法，位置分析法．

3．排列组合应用题的常见类型和解决方法

(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略．

（2）合理分类与准确分步的策略．

（3）正难则反，等价转化的策略．

(4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略．

(5)元素定序，先排后除的策略．

(6）排列、组合混合题先选后排策略．

（7)复杂问题构造模型策略．

[跟进训练］

2．某次国际合作论坛,为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组,则这样的安排方法共有________种．（用数字作答)