阿贝误差详解

阿贝误差分析
摘要：本文详细分析了阿贝误差的产生原因及对测量结果的影响。

通过理论分析和试验结果，确定了消除阿贝误差影响的方法。

1 问题的提出
笔者在校准一台大量程一维影像测量设备时，首先利用激光干涉仪对被校准设备示值误差进行修正，之后利用激光干涉仪测量示值误差（与修正点不重合），测量结果满足该设备最大允许误差要求。

但是利用该设备测量实物时，却发现测量误差很大，远超出了利用激光干涉仪校准时所得到的示值误差范围。

经过分析，认为原因应该出在阿贝误差方面。

阿贝原则是指在设计计量仪器或测量工件时,应该将被测长度与仪器的基准长度安置在同一条直线上。

测量过程中不能满足阿贝原则时会产生额外测量误差，也就是常说的阿贝误差。

下面内容详细分析阿贝误差产生的原因及影响阿贝误差大小的因素。

2 阿贝误差产生的原因
z打:n测量截面
测量轴线
X
图1一般测量设备各轴线位置关系示意图
上图是一般一维测量设备的基准轴线，仪器导轨轴线及测量轴线的相互关系示意图，我们把三条轴线置于直角坐标系内，并把测量方向指定为Y方向，在该示意图中三条轴线都不在一条直线上。

首先我们把与仪器导轨垂直的平面定义为测量截面。

在测量范围内某一位置，测量截面与基准轴线交点为A,与导轨轴线交点为0,与测量轴线交点为B。

A、O、B的相互关系如下图，该图实际反映了三条轴线的相互位置关系。

图2测量截面内各轴线位置关系
在测量截面内，交点A、0、Z坐标反映了他们之间的位置关系。

如果在整个测量范围内，仪器导轨没有任何制造误差，是一条理想直线，那么在测量平面沿导轨轴线移动过程中，其上面任何一点轨迹都是直线，当然A、B点的移动是同步的，也就不存在所谓的阿贝误差。

但实际上，任何仪器导轨都存在制造、装配误差，测量截面沿导轨移动时，截面上任意一点都不可能是同步的。

在测量过程中，我们以基准轴线上的值作为被测量对象的值，实际上在测量截面内基准轴线上的点与测量轴线上的点是不同步的，这样就会产生测量误差，这也就是阿贝误差的本质来源。

我们知道，在测量截面沿导轨移动过程中其机械误差包括下述5项：
1）导轨直线度误差：该误差可分解为沿X轴分量5和沿X轴分量5。

Xz
2）测量截面以0点为回转点绕Y 轴旋转，该旋转角度定义为a 。

3）测量截面以O 点为回转点绕Z 轴旋转，该旋转角度定义为P 。

4）测量截面以O 点为回转点绕X 轴旋转，该旋转角度定义为Y 。

上述5项误差从定义上是相互独立的，但实际上很难完全分离开来，他们总是相互影响的。

下面以图2所示各轴线位置关系来定量分析一下上述五项误差对测量结果的影响。

假设在测量范围内某一截面位置，基准轴线位置为A （X A ,Y A ,Z A ）（测量值）,测量轴线实际位置为B （X A +A X ,Y A +A Y ,Z A +A Z ）（实际值），由于是沿Y 方向进行一维测量，因此厶丫就是测量误差。

假设上述误差分量完全独立，下面定量分析上述5项误差对A X ，A Y ,A Z 的影响。

1）直线度误差对于测量截面的影响只是引起测量截面沿X 、Z 方向平移，因此直线度误差只影响A X 和A Z ,且其影响量分别为：
XI =5
Z1=5
2）测量截面以O 点为回转点绕Y 轴旋转同样影响的是A X 和A Z ，按图2所示各轴线相互位置，其影响量分别为：
A x2=（x
B -x A ）（1-cos a ）
A z2=（x
B -x A ）sin a
3）测量截面以O 点为回转点绕Z 轴旋转影响的是A Y ，按图2所示各轴线相互位置，其影响量为：
A Y1=（X
B -X A ）sin P
4）测量截面以O 点为回转点绕X 轴旋转同样影响的是A Y ，按图2所示各轴线相互位置，其影响量为：
A Y 2=（Z
B -Z A ）sin 丫
由于已假定各误差相互独立，综合上述分析，得到对A X ,A Y ,A Z 的值分别为：
A X=5
(X B-X A)(1-cos a)
X+
A Y=(X B-X A)sin B+(Z B-Z A)sin y
1）
A Z=5+（X B-X A）sin a
z
由于测量是沿Y方向进行，因此A X和A Z对最终测量误差的影响很小，可以
,从式（1）可以看出，对于由于不符合阿贝原则引起的忽略，实际测量误差是A
Y
测量误差，对于一维测量，影响其大小的主要因素有两个，一是测量轴线、基准轴线偏离导轨轴线的距离，测量误差与这个距离成正比，二是测量界面绕Z和X 轴的扭摆角度，而与严格意义上的导轨直线度几乎无关。

3 对于实际工作的指导意义
从上面的分析，我们了解到了阿贝误差产生的根本原因及影响其大小的主要因素。

这里从仪器校准的角度讨论一下如何减小阿贝误差的影响。

由于导轨的扭摆，使得测量基准点和测量界面上任意点（包括测量点）在移动过程中不同步，从而导致测量误差的产生，对于仪器来讲，其机械结构是固定的因此校准一维测量仪器时，一定要在测量轴线上进行测量，特别是当利用激光干涉仪来校准一维影像测量设备，测长机等大量程测量设备时，一定要保证激光轴线在被校准设备的测量轴线上，这样得到的才是仪器真正的示值误差。

前面提到的，笔者在校准大量程影像测量设备时所遇到的问题就出在，第一次对仪器进行标定时，由于考虑安装方便，激光干涉仪光轴与测量轴线距离偏差较大，因此对仪器用激光干涉仪进行误差修正时，修正的是激光轴线上的误差，而测量轴线上误差仍存在，甚至可能存在修正之后测量轴线上误差反而偏大的情况，因此测量实际工件时测量误差较大。

按这个分析，重新安装激光干涉仪，使得光轴几乎与测量轴向重合，对被校准仪器重新进行示值误差修正，修正后重新测量实物工件，得到了满意的结果。

4 小结
由于仪器机械加工精度的影响，仪器测量原理偏离阿贝原则是，阿贝误差必然存在，其大小与导轨扭摆角度相关，而与直线度无关，并且基准轴线和测量轴线相对距离越大，阿贝误差越大。

在利用激光干涉仪类设备进行仪器示值误差修正、校准时，其光轴一定要与测量轴线重合，至少要尽可能重合。