力法的计算步骤和举例七对称性的利用教学内容模块三结构力学基本

六、 力法的计算步骤和举例
例1：作图(a)所示单跨超静定梁的内力图。已知梁的EI、EA均 为常数。
解： （1）确定超静定次数，选取基本结构
三次超静定梁，选取图(b)所示的悬臂梁作为基本结构。 (2) 建立力法方程
根据原结构支座B处位移为零的条件，建立如下方程：
δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0 δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0 δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0
由∑MA=0得 QBA=-ql/2 所以由∑Y=0得 QAB=ql/2
因为AB梁受到均匀分布荷载，剪力图应为斜直线，如图(h)所示。
七、对称性的利用
用力法解算超静定结构时，结构的超静定次数愈高，多余 未知力就愈多，计算工作量也就愈大。但在实际的建筑结构工 程中，很多结构是对称的，我们可利用结构的对称性，适当地 选取基本结构，使力法典型方程中尽可能多的副系数等于零， 从而使计算工作得到简化。
当结构的几何形状、支座情况、杆件的截面及弹性模量等 均对称于某一几何轴线时，则称此结构为对称结构。
七、对称性的利用
如图a所示刚架为对称结构，可选取图b所 示的基本结构，即在对称轴处切开，
以多余未知力x1, x2, x3来代替所去掉的三 个多余联系。
七、对称性的利用
相应的单位力弯矩图如图c,d,e所示，
超静定次数(degree of static indeterminacy )：多余联系的 数目或多余力的数目
确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系， 直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原 结构的超静定次数。
四、 超静定次数的确定与基本结构
从超静定结构上去掉多余联系的方式有以下几种： 1. 去掉支座处的支杆或切断一根链杆，相当下去掉一个联系， 如图 (a) (b) 所示；
11x1 12 x2 1P 0
21x1 22 x2 2P 0 33 x3 3P 0
由此可知，力法典型方程将分成两组：
一组只包含对称的未知力，即x1, x2； 另一组只包含反对称的未知力x3。
因此，解方程组的工作得到简化。
七、对称性的利用
非对称的外荷载可分解为对称的和反对称 的两种情况的叠加 （如图 f.a.b）
模块三 结构力学基本知识
项目十 超静定结构的内力计算
任务二十七 单跨超静定梁的内力计算及内力图绘制
教学内容 一、超静定结构的概念 二、力法的基本原理 三、力法的基本方程 四、超静定次数的确定与基本结构 五、 力法典型方程 六、力法的计算步骤和举例 七、对称性的利用
一、超静定结构的概念
静定结构 （statically determinate structure） 支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定，是没
以
X1 M
倍，再与M P
图的相应纵标叠加，即可绘出
图如图 (c)所示。
综上所述可知,力法是以多余力作为基本未知量，取去掉多
余联系后的静定结构为基本结构，并根据去掉多余联系处的已知
位移条件建立基本方程，将多余力首先求出，而以后的计算即与
静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。
四、 超静定次数的确定与基本结构
四、 超静定次数的确定与基本结构
2. 撤去一个铰支座或撤去一个单铰，相当于去掉二个联系，如 图 (c) (d) 所示；
四、 超静定次数的确定与基本结构
3. 切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当于去掉 三个联系，如图 (e) 所示；
四、 超静定次数的确定与基本结构
4. 将一刚结点改为单铰联结成或将一个固定支座改为固定铰支 座，相当于去掉一个联系，如图 (f) 所示。
根据位移互等定理可知副系数
五、 力法典型方程
该方程称为力法的典型方程 按前面求静定结构位移的方法求得典型方程中的系数和自由 项后，即可解得多余力Xi。
然后可按照静定结构的分析方法求得原结构的全部反力和内力。 …
或按下述叠加公式求出弯矩
M X1M1 X2 M 2 Xn Mn MP
再根据平衡条件可求得其剪力和轴力。



ql4 8EI

l3
3ql 8
3EI
三、 力法的基本方程
多余力X1 求出后，其余所有反力和内力都可用静力平衡条件确定。超
静定结构的最后弯矩图M，可利用已经绘出的 M1 和 M图P 按叠加原理绘出，
即
M M 1X1 MP
应用上式绘制弯矩图时，可将 M1 图的纵标乘
四、 超静定次数的确定与基本结构
图 (a)所示超静定结构属内部超静定结构，因此，只能在结 构内部去掉多余联系得基本结构，如 (b)所示。
四、 超静定次数的确定与基本结构
对于具有多个框格的结构，按框格的数目来确定超静定的次数 是较方便的。一个封闭的无铰框格，其超静定次数等于3，故当一个 结构有n个封闭无铰框格时，其超静定次数等于3n。如图 (a)所示结 构的超静定次数等于3x8=24。当结构的某些结点为铰接时，则一个 单铰减少一个超静定次数。图 (b)所示结构的超静定次数等于 3x8-5=19。
七、对称性的利用
其中x1和x2为对称未知力；x3为反对称的
未知力，显然 M1, M 2 图是对称图形； M 3是反对称图形。
由图形相乘可知：
13 31
M 1 M 3ds 0 EI
23 32
M 2 M 3ds 0 EI
七、对称性的利用
故力法典型方程简化为
Δ1P=-ql4/8EI
Δ2P= ql3/6EI
Δ3P=0
六、 力法的计算步骤和举例
(4) 求多余未知力
将以上各系数和自由项代入力法方程，得
l3 3EI
X1－
l2 2EI
X2－
ql 4 8EI
0
l2
l
ql 3
2EI
X1 +
EI
X2

6EI
0
l EA
X3

0
解得
X1

1 2
ql, X2

1 12
ql2, X3

0
六、力法的计算步骤和举例
(5) 作内力图
① 作M图：根据叠加公式 M=M1X1+M2X2+M3X3+MP
计算A、B两端及跨中弯矩如下 MAB=-1/12ql2 (上拉) MBA=-1/12ql2 (上拉) M跨中=1/24ql2 (下拉)
六、力法的计算步骤和举例
② 作剪力图根据已求出的杆端弯矩和荷载，画AB梁的受 力图如图所示。
三、 力法的基本方程
用来确定X1的条件是：基本结构在原有荷载和多余力共同 作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相 等。
为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑静 力平衡条件和变形协调条件
1 11 1P 0
三、 力法的基本方程
若以 11表示X1为单位力（即 X1=1）时，基本结构在X1作
1. 力法(force method)的基本结构
去掉多余联系用多余未知力来代替后得到的静定结构 称为按力法计算的基本结构。
二、 力法的基本原理
现在要设法解出基本结构的多余力X1，一旦求得多余 力X1，就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所 有反力和内力。因此多余力是最基本的未知力，又可称为 力法的基本未知量。但是这个基本未知量X1不能用静力平 衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构 相同的原则来确定。
用点沿X1方向产生的位移，则有 11= 11X1,于是上式可写
成
11 X1 1P 0
X1
－ 1P
11
式(a)就是根据原结构的变形条件建立的用以确定X1的变 形协调方程，即为力法基本方程。
三、 力法的基本方程
为了具体计算位移 δ11和△ 1p，分别绘出基本结构的单 位弯矩图M1和荷载弯矩图Mp（由荷载q产生），分别如图 (a)、 (b) 所示 ：
六、力法的计算步骤和举例
力法计算超静定结构的步骤
1. 去掉原结构的多余联系得到一个静定的基本结构，并以 多余力代替相应多余联系的作用。
2. 建立力法典型方程。根据基本结构在多余力和原荷载 的共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相 应的位移相同的位移条件，建立力法典型方程
3. 求系数和自由项 4. 解典型方程，求出多余未知力。 5. 绘出原结构最后内力图。
五、 力法典型方程
用力法计算超静定结构的关键在于根据位移条件建 立力法的基本方程，以求解多余力。对于多次超静定结 构，其计算原理与一次超静定结构完全相同。
图 (a)所示为一个三次超静定结构，在荷载作用下
结构的变形如图中虚线所示。用力法求解时，去掉支座C
的三个多余联系，并以相应的多余力X1 、X2 和X3代替所 去联系的作用，则得到图 (b)所示的基本结构上，也必
对于同一个超静定结构，可用各种不同的方式去掉多余联 系而得到不同的静定结构。因此在力法计算中，同一结构的基 本结构可有各种不同的形式。但应注意，去掉多余联系后基本 结构必须是几何不变的。为了保证基本结构的几何不变性，结 构中的某些联系是不能去掉的。
四、 超静定次数的确定与基本结构
如图 (a)所示刚架，具有一个多余联系。若将横梁某处改为铰 接，即相当于去掉一个联系得到图 (b)所示静定结构；当去掉 B支 座的水平链杆则得到图 (c)所示静定结构，它们都可作为基本结构。 但是，若去掉 A支座的竖向链杆或 B支座的竖向链杆，即成瞬变体 系[图 (d)]所示，显然是不允许的，当然也就不能作为基本结构。
＝ ＋
七、对称性的利用
（1）外荷载对称时，使基本结构产生的弯
矩图
M′ p是对称的，则得
3P
M 3M P / ds 0 EI
从而得x3=0。
这时只要计算对称多余未知力x1和x2。
i=0(i=1,2,…,n)
据此可以建立n个关于求解多余力的方程
五、 力法典型方程
1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 … 1n X n 1P 0
2 21 X1 22 X 2 23 X 3 … 2n X n 2P 0 n n1 X1 n2 X 2 …n3 X 3 … nn X n nP 0
有多余联系的几何不变体系。 超静定结构 （statically indeterminate structure）
支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定，是有 多余联系的几何不变体系。
一、超静定结构的概念
静定刚架
超静定刚架
有多余联系是超静定结构区别于静定结构的基本特性
二、力法的基本原理
M
三、 力法的基本方程
用图乘法计算这些位移
11
M 1 M 1 dx
1 l 2 2l
l3
EI
EI 2 3 3EI
1P
1 3
l

ql 2 2

3l 4


ql 4 8EI
因此可解出多余力X1
X1


1P
11
这就是求解多余力X1 、X2和X3所要建立的力法方程 其物理意义是：在基本结构中，由于全部多余力和已知 荷载的共同作用，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相 应的位移相等
五、 力法典型方程
用同样的分析方法，我们可以建立力法的一般方程。 对于n次超静定结构，用力法计算时，可去掉n个多余联 系得到静定的基本结构，在去掉的n个多余联系处代之以n个 多余未知力。 当原结构在去掉多余联系处的位移为零时， 相应地也就有n 个已知的位移条件：
须与原结构变形相符，在C点处沿多余力X1 、X2 和 X3
方向的相应位移 1、 2和3
都应等于零。
五、 力法典型方程
五、 力法典型方程
根据叠加原理，可将基本结构满足的位移条件表示为：
1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0
2 21 X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 3 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
六、力法的计算步骤和举例
(3) 计算系数和自由项 作荷载弯矩图MP图和单位弯矩图M1图、M2图、M3图，如图 (c)、(d)、(e)、(f)所示。
利用图乘法求得力法方程中各系数和自由项分别为
δ11=l3/3EI
δ22=l/EI
δ33=l/EA
δ12=δ21=-l2/2EI
δ13=δ31=δ23=δ32=0