山东省聊城市临清市2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)

山东省聊城市临清市2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cos A的值为()
A. 1
4B. √15
4
C. √15
15
D. 4√17
17
2.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和2cm，那么它们的相似比是()
A. 3
4B. 6
5
C. 3
2
D. 9
4
3.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，以AB为直径的⊙O交AC于点
D，则∠BOD的大小为()
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
4.一斜坡的坡角为45°，则其坡度为：
A. 1:√3
3
B. 1:√3
C. 1︰1
D. 1︰2
5.如图，△ABC中，∠A=n°，AB=6，AC=4，在下列选项中，将△ABC按图示的要求沿虚线截
得的小三角形与△ABC不相似的是()
A. B.
C. D.
6.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是()
A. 当r=2时，直线AB与⊙C相交
B. 当r=3时，直线AB与⊙C相离
C. 当r=2.4时，直线AB与⊙C相切
D. 当r=4时，直线AB与⊙C相切
7.以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP
与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为()
A. (cosα,1)
B. (1,sinα)
C. (sinα,cosα)
D. (cosα,sinα)
8.如图，ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD的平分线交BC于E，
交BD于F，则AF:EF等于()
A. 3:2
B. 4:3
C. 2:1
D. 5:3
9.如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=8，AH=6，⊙O的
半径OC=5，则AB的值为()
A. 5
B. 13
2C. 7 D. 15
2
10.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB
中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=AC
CD
=
2+√3=√3
(2+√3)(2−√3)
=2−√3.类比这种方法，计算tan22.5°的值为()
A. √2+1
B. √2−1
C. √2
D. 1
2
11.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们
通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为()
A. 10√5米
B. (10√5+1.5)米
C. 11.5米
D. 10米
12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=5cm，AD⊥BC
于D，则BD=()
A. 10cm
B. 7.5cm
C. 8.5cm
D.
6.5cm
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13.如图，已知AB//CD，AD与BC相交于点O.若BO
OC =2
3
，AD=10，则
AO=______．
14.如图一副直角三角板放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，AC=5，
CD的长______．
15.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AP=6cm，∠APB=50°，则BP=_________cm，
∠OBA=________°．
16.如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则
弦AB的长为______．
17.在等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=8，点E、F分别是边AC、
AB上的动点，将△AEF折叠，使点A落在△ABC的边AC上点A′处
(A′不与点A重合)，当△A′BC为等腰三角形时，AE的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）
18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为格点三角形(三角形的顶点在网格线的交点上)．
(1)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内作△ABC的位似图形△A′B′C′；
(2)若点B的坐标为(1,2)，请写出点B经过(1)的位似变换后的对应点B′的坐标．
19.如图：在△ABC中，∠BAC=108°，D为BC上的一点且AB=AC=BD．
(1)求证：△ACD∽△BCA;
(2)若AB=6cm，求AD的长．
20.如图，CD为⊙O的弦，P为⊙O上一点，OP//CD，∠PCD=15°
(1)求∠POC的度数；
(2)若AB⏜=CD⏜，AB⊥CD，点A在CD的上方，直接写出∠BPA的度数．
21.如图，两根竹竿AB和AC斜靠在墙BD上，量的∠ABD=37°，∠ACD=45°，
BC=50cm，求竹竿AB和AC的长(结果精确到0.1cm)．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41．
22.将一副三角尺如图①摆放(在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，
∠E=45°).点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．
(1)求∠ADE的度数；
(2)如图②，在图①的基础上将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰
直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，求证：PM
CN =PD
CD
．
23.如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的
仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)
24.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AC⏜=CD⏜=DB⏜，连接AD，过点D作DE⊥AC
交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若直径AB=6，求AD的长．
25.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、
F．
(1)求证：BE=CE；
(2)若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：
根据锐角三角函数的概念直接解答即可．
本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，
∴cosA=AC
AB =1
4
．
故选：A．
2.答案：C
解析：
根据相似多边形对应边的比叫做相似比即可求解．
本题考查相似多边形相似比的定义：相似多边形对应边的比叫做相似比．
解：∵两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和2cm，
∴它们的相似比为3
2
．
故选C．
3.答案：A
解析：
此题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，即可求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°.
故选A．
4.答案：C
解析：
本题考查解直角三角形的应用，掌握坡度的概念是解决问题的关键.坡度是坡角的正切值．
【解答】
解：因为tan45°=1
1
，
即坡度为1：1．
故选C．
5.答案：C
解析：
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：A.小三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B.小三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选C．
6.答案：C
解析：
解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=√32+42=5，
由三角形面积公式得：1
2×3×4=1
2
×5×CD，
CD=2.4，
即C到AB的距离等于⊙C的半径长，
∴⊙C和AB的位置关系是相切，
故选：C．
过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可．
本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．7.答案：D
解析：
作PA⊥x轴于点A.那么OA是α的邻边，是点P的横坐标，为cosα；
PA是α的对边，是点P的纵坐标，为sinα．
解决本题的关键是得到点P的横纵坐标与相应的函数和半径之间的
关系．
解：作PA⊥x轴于点A，则∠POA=α，
sinα=PA
，
PO
∴PA=OP⋅sinα，
∵cosα=AO
，
PO
∴OA=OP⋅cosα．
∵OP=1，
∴PA=sinα，OA=cosα．
∴P点的坐标为(cosα,sinα)
故选：D．
8.答案：D
解析：
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质与判定的知识点，注意掌握数形结合思想的应用．
由平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，可证得△ABE是等腰三角形，又由AB=3，AD=5，最后由相似三角形的性质与判定定理进行计算，即可解答．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=5，
∴AD//BC，BC=AD=5，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAE=∠DAE=1
2
∠BAD，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=3，
∵AB//BE，
∴△ADF∽△EBF，
∴AF
EF =DA
BE
=5
3
，
即AF：EF=5：3．
故选D．
9.答案：D
解析：解：作直径AE，连接CE，∵AE是直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠AHB=∠ACE，又∠B=∠E，∴△ABH∽△AEC，
∴AB
AE =AH
AC
，即AB
10
=6
8
，
解得，AB=15
2
，
故选：D．
作直径AE，连接CE，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例计算即可．
此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理是解题的关键，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10.答案：B
解析：解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD=√2，
∴tan22.5°=AC
CD =
1+√2
=√2−1，
故选：B．
在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC= BC=1，则AB=BD=√2，根据tan22.5°=AC
CD
计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．
11.答案：C
解析：
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，准确确定出相似三角形是解题的关键．
确定出△DEF和△DAC相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC，再根据旗杆的高度=AC+BC计算即可得解．
解：∵∠FDE=∠ADC，
∠DEF=∠DCA=90°，
∴△DEF∽△DCA，
∴DE
CD =EF
AC
，
即0.5
20=0.25
AC
，
解得AC=10，
∵DF与地面保持平行，目测点D到地面的距离DG=1.5米，∴BC=DG=1.5米，
∴旗杆的高度=AC+BC=10+1.5=11.5(米)．
故选C．
12.答案：B
解析：
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形的性质求出BC，根据互余关系求出∠CAD=∠B=30°，根据直角三角形的性质求出CD，结合图形计算即可．
解：∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴BC=2AC=10cm，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠B=30°，
∴CD=1
2
AC=2.5cm，
∴BD=BC−CD=7.5cm，
故选B．
13.答案：4
解析：
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
解：∵AB//CD，
∴AO
OD =BO
OC
=2
3
，即AO
10−AO
=2
3
，
解得，AO=4，故答案为4．
14.答案：15
2−5√3
2
解析：
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．
本题考查了解直角三角形及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=5，
∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=5√3，
∵AB//CF，
∴BM=BC×sin30°=5√3×1
2=5√3
2
，
CM=BC×cos30°=15
2
，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，
∴MD=BM=5√3
2
，
∴CD=CM−MD=15
2−5√3
2
．
故答案为：15
2−5√3
2
．
15.答案：6;25
解析：
分别连接OA、OB，由根据切线的性质和四边形内角和可求得∠AOB，再根据等腰三角形的性质则可求得答案．本题主要考查切线的性质及切线长定理．
解：如图，分别连接OA、OB，
，
∵PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，
∴∠OAP =∠OBP =90°，PA =PB =6，
∴∠AOB =360°−90°−90°−∠P =130°，
∵OA =OB ，
∴∠OAB =∠OBA =25°．
故答案为6，25．
16.答案：24cm
解析：
此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出OC 的长是解题关键．首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC 的长，进而根据垂径定理得出答案．
解：如图，过O 作OD ⊥AB 于C ，交⊙O 于D ，
∵CD =8cm ，OD =13cm ，
∴OC =5cm ，
又∵OB =13cm ，
∴Rt △BCO 中，BC =√OB 2−OC 2=12cm ，
∴AB =2BC =24cm ．
故答案为24cm ．
17.答案：3916或3
2
解析：
本题考查了翻折变换的性质、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质，属于中档题，需要进行分类讨论．
设AE=x，则A′E=x，A′C=8−2x，分三种情况讨论：
①当A′B=A′C时，证明三角形相似可得结论；
②当BC=A′C时，如图2，列出方程，解方程即可；
③当A′B=BC时，A与A′重合，此种情况不成立．
解：由翻折变换的性质得：AE=A′E，∠AEF=∠A′EF=90°，∵AC=8，BC=6，
设AE=A′E=x，则A′C=8−2x；
分三种情况讨论：
①当A′B=A′C时，如图1，
∵AB=AC，A′B=A′C，
∴∠C=∠A=∠CBA′，
∴△CA′B∽△CBA，
∴A′C
BC =BC
AC
，
∴8−2x
5=5
8
，
解得x=39
16
，
∴AE=39
16
；
②当BC=A′C时，如图2，
8−2x=5，
解得x =32，
∴AE =32
； ③当A′B =BC 时，A 与A′重合，此种情况不成立；
综上所述：当△A′BC 为等腰三角形时，AE 的长为：3916或32．
故答案为3916或32． 18.答案：解：(1)作图如下：
(2)点B′的坐标为(2,4)．
解析：本题主要考查了位似图形的性质，根据位似变换得出对应点位置是解题关键．
(1)根据位似的性质找到A′，B′，C′点的位置，连接即可；
(2)根据B点位置可直接写出B′点坐标．
19.答案：证明：(1)∵∠BAC=108º，AB=AC，
∴∠B=∠C=36º，
又∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=72º，
∴∠ADC=108º，
∴∠ADC=∠BAC，
又∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA．
(2)∵△ACD∽△BCA，
∴CD
AC =AC
BC
，∠DAC=∠C=36º，
∴AD=DC;
∴AD
6=6
AD+6
，
∴AD2+6AD−36=0;
∵AD>0，
∴AD=3√5−3．
解析：本题主要考查相似三角形的判定，由条件得到∠ADC=∠BAC=108°是解题的关键．(1)由条件可求得∠B=∠C=36°，进一步可求得∠ADC=108°，可证得△ABC∽△DAC；
(2)根据相似三角形的性质，可得CD
AC =AC
BC
，可由AB=AC=BD=6cm，代入求出AD的值即可．
20.答案：解：(1)∵OP//CD，∴∠OPC=∠PCD=15°，
∵OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP=15°，
∴∠OCD=30°．
∴∠POC=180°−30°=150°．
(2)①如图1中，当AB在点O的左侧时，连接PA，PB，OD，OA，OB．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=30°，
∴∠COD=120°，
∵AB⏜=CD⏜，
∴∠AOB=∠COD=120°，
∴∠APB=1
2
∠AOB=60°．
②如图2中，当AB在点O的右侧时，同法可得∠ACB=60°，
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠APB=120°，
综上所述，∠APB=60°或120°．
解析：(1)利用平行线，等腰三角形的性质即可解决问题；
(2)分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；
本题考查圆周角定理，平行线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
21.答案：解：由题意可得：AD=DC=x，
故tan37°=AD
BD =x
x+50
=0.75，
解得：x=150，
故AD=CD=150，
则AC=150√2≈212.1(cm)，则BD=200cm，
故sin37°=AD
AB =150
BA
=0.60，
解得：AB=250.0，
答：竹竿AB的长为250.0cm，AC的长为212.1cm．
解析：直接利用锐角三角函数关系分别得出AD，AB，AC的长即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．22.答案：解：(1)∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=1
2
AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ADC=180°−30°×2=120°，
∴∠ADE=∠ADC−∠EDF=120°−
90°=30°；
(2)∵∠EDF=90°，
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，
∴∠PDM=∠CDN，
∵∠B=60°，BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，
∴∠CPD=∠BCD，
在△DPM和△DCN中，
{∠PDM=∠CDN
∠CPD=∠BCD，
∴△DPM∽△DCN，
∴PM
CN =PD
CD
．
解析：(1)首先证明∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC−∠EDF计算即可得解；
(2)只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明．
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．23.答案：解：设AM=x米，
在Rt△AFM中，∠AFM=45°，
∴FM=AM=x，
在Rt△AEM中，tan∠AEM=AM
EM
，
则EM=AM
tan∠AEM =√3
3
x，
由题意得，FM−EM=EF，即x−√3
3
x=40，
解得，x=60+20√3，
∴AB=AM+MB=61+20√3，
答：该建筑物的高度AB为(61+20√3)米．
解析：设AM=x米，根据等腰三角形的性质求出FM，利用正切的定义用x表示出EM，根据题意列方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.答案：(1)证明：连接OD，
∵AC⏜=CD⏜=DB⏜，
∴∠BOD=1
3
×180°=60°，
∵CD⏜=DB⏜，
∴∠EAD=∠DAB=1
2
∠BOD=30°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAB=30°，
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠EDA=60°，
∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=30°，AB=6，
∴BD=1
2
AB=3，
∴AD=√62−32=3√3．
解析：(1)连接OD，根据已知条件得到∠BOD=1
3
×180°=60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠DAB=30°，得到∠EDA=60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
(2)连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.答案：解法一：(1)证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、
E、F
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∵AB=AC，
∴AB−AD=AC−AF，
即BD=CF，
∴BE=CE；
解法二：(1)证明：连结OB、OC、OE
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=1
2∠ABC，∠OCB=1
2
∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，
∴OE⊥BC，
∴BE=CE；
(2)解：连结OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，
又∵OD=OF，
∴四边形ODAF是正方形，
设OD=AD=AF=r，
则BE=BD=CF=CE=2−r，
在△ABC中，∠A=90°，
∴BC=√AB2+AC2=2√2，
又∵BC=BE+CE，
∴(2−r)+(2−r)=2√2，
得：r=2−√2，
∴⊙O的半径是2−√2．
解析：(1)利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；
(2)首先连结OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF 是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．
此题主要考查了正方形的判定以及切线的性质定理和勾股定理等知识，根据已知得出四边形ODAF 是正方形是解题关键．。